1.2 Subgrafos. 8 Conceitos Basicos

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1 8 Conceitos Basicos Exerccio 8. Considere o caso geral do exerccio : Um qumico deseja embarcar os produtos p,p,...,p n usando o menor numero de caixas. Alguns produtos n~ao podem ser colocados numa mesma caixa porque reagem. Seja G o grafo que modela esse problema, onde vertices s~ao produtos e arestas os pares que reagem, e denote por χ(g) o numero de mnimo de caixas de modo que seja possvel encaixotar os produtos com seguranca. Prove que χ(g) + m + onde m e o numero de pares de produtos que reagem. (Dica: Em uma distribuic~ao mnima de caixas, a cada duas caixas, precisa existir pelo menos um produto em uma caixa reagindo com um produto da outra caixa. Assim podemos garantir um numero mnimo de arestas para o grafo, m.) Exerccio 9. Chico e sua esposa foram a uma festa com tr^es outros casais. No encontro deles houveram varios apertos de m~ao. Ninguem apertou a propria m~ao ou a m~ao da(o) esposa(o), e ninguem apertou a m~ao da mesma pessoa mais que uma vez. Apos os cumprimentos Chico perguntou para todos, inclusive para a esposa, quantas m~aos cada um apertou e recebeu de cada pessoa uma resposta diferente. Quantas m~aos Chico apertou? Exerccio 0. Prove que δ(g) d(g) (G) para todo grafo G. Exerccio. Decida se pode existir um grafo G com vertices que t^em graus,,,,,, respectivamente. E graus,,,,? Se sim, descreva-os. Exerccio. Seja G um grafo com vertices e arestas. Se todo vertice de G tem grau ou, quantos vertices de grau o grafo G possui? Exerccio. Prove que em todo grafo de ordem pelo menos dois existem pelo menos dois vertices com o mesmo grau. (Dica: comece por um caso pequeno, por exemplo ordem, antes de tentar resolver o caso geral.) Exerccio. Para um numero natural r, um grafo e r-regular se todos os vertices t^em grau r. Para um grafo r-regular com n vertices e m arestas, expresse m em func~ao de n e r. Exerccio. D^e exemplo de um grafo -regular que n~ao e completo. Exerccio. Dado G, o grafo linha de G, denotado por LG, e o grafo cujos vertices s~ao as arestas de G e um par de vertices dene uma aresta em LG se, e somente se, esses vertices s~ao arestas adjacentes em G. Dado G determine V(LG) e E(LG). Exerccio 7. Prove que num grafo G com δ(g) > 0 e E(G) < V(G) existem pelo menos dois vertices de grau.. Subgrafos Dizemos que o grafo H e um subgrafo do grafo G se, e somente se, V(H) V(G) e E(H) E(G) e nesse caso escrevemos H G para indicar que H e subgrafo de G. Exemplo. Considerando o grafo G do exemplo temos que s~ao subgrafos de G, enquanto que G = ({,, }, { {,},{,},{,} }) e G = ({,, }, ) H = ({,, }, { {,},{,} }), I = ({,,,,9 }, { {,},{,} }) e J = ({,,,,8 }, { {,},{,},{,8} }) n~ao s~ao subgrafos de G pois: H n~ao e grafo, em I n~ao vale V(I) V(G) e em J n~ao vale E(J) E(G).

2 Subgrafos 9 Dados um grafo G e um subconjunto de vertices U V(G), escrevemos G[U] para o subgrafo induzido por U que e o subgrafo ( ( )) U G[U] = U, E(G). Analogamente, denimos subgrafo induzido por um subconjunto de arestas. Se M = {e,e,...,e m } E(G), ent~ao o subgrafo induzido por M, denotado, tem como conjunto de vertices e e e m e como conjunto de arestas o proprio M ( m G[M] = i= ) e i,m. Exemplo. Dos grafos G, H e I cujos diagramas s~ao dados na gura., podemos dizer que H e um subgrafo induzido de G enquanto que I e um subgrafo mas n~ao e induzido. a b a b a b c c d e d e d e G H I Figura.: Diagrama dos grafos G, H e I. Um subgrafo H G onde V(H) = V(G) e chamado de subgrafo gerador. No exemplo acima I e subgrafo gerador de G, enquanto que H n~ao e subgrafo gerador de G... Clique e conjunto independente Se o subconjunto U V(G) induz um subgrafo completo em G ent~ao chamamos U de clique em G. Mais especicamente, se G[U] e um grafo completo com k vertices ent~ao dizemos que U e um k-clique em G. O caso particular de um -clique num grafo G e chamado de tri^angulo de G. Por outro lado, se U V(G) e tal que G[U] = (U, ) e chamado de conjunto independente de G, ou k-conjunto-independente no caso U = k. Exemplo. O subgrafo G do exemplo e um -clique e G do exemplo e um -conjuntoindependente. No grafo G do exemplo os conjuntos {,,} e {,,,8} s~ao independentes; no caso de {,,,8} temos um conjunto independente de cardinalidade maxima pois n~ao ha naquele grafo conjunto independente com ou mais vertices. Nesse mesmo grafo, {8}, {,7} e {,,} s~ao cliques, o ultimo de cardinalidade maxima. Observac~ao. O tamanho do maior clique e o tamanho do maior conjunto independente num grafo G s~ao difceis de serem calculados computacionalmente. Eles pertencem a classe dos problemas NPdifceis (veja [], pagina ). Uma consequ^encia desse fato e que n~ao e sabido se existem algoritmos cujo tempo de execuc~ao no pior caso e um polin^omio em V(G) + E(G) para resolver esse problemas. A descoberta de um algoritmo com tempo de pior caso polinomial no tamanho de G, ou a prova de que ele n~ao existe, e um dos problemas n~ao-resolvidos mais importantes da atualidade, o problema P NP. Trata-se de um dos sete problemas do mil^enio [], dos quais restam seis n~ao resolvidos, cada um com uma recompensa de US$ ,00 para uma soluc~ao, paga pelo Clay Mathematics Institute.

3 0 Conceitos Basicos.. Grafo bipartido e corte Chamamos um grafo G de grafo bipartido se existem dois conjuntos independentes A e B em G que particionam V(G), isto e, A e B s~ao tais que A B = e A B = V(G). Por exemplo, o seguinte grafo e bipartido V(G) = {,,,,,, 7, 8} E(G) = {{,},{,},{,7},{,8},{7,},{7,}}, pois V(G) = {,,,,} {,7,8} e tanto {,,,,} quanto {,7,8} s~ao conjuntos independentes. Notemos que a bipartic~ao pode n~ao ser unica, no caso do exemplo acima podemos escrever V(G) = {,,,} {,,7,8} e tanto {,,,} quanto {,,7,8} s~ao conjuntos independentes. Para evitar ambiguidades escrevemos um grafo bipartido G com bipartic~ao {A,B} como G = (A B,E). Sejam G um grafo, A e B V(G) dois subconjuntos disjuntos em V(G). Denimos o subconjunto de arestas E(A,B) = e o subgrafo bipartido induzido por A e B e o grafo bipartido ( ) A B, E(A,B). { } {u,v} E(G): u A e v B ; (.) Exemplo. A gura abaixo mostra as arestas de E(A,B) para A = {0,,8} e B = {,,,} Figura.: E ( {0,,8},{,,,} ) e formado pelas arestas { {0,},{0,},{,},{,},{8,},{,8} }. O conjunto de arestas E(A,A) e chamado de corte definido por A. Exemplo 7. A gura abaixo mostra as arestas de E(A,B) para A = {0,,8} e B = {,,,} Figura.: O corte denido pelo conjunto {0,,,7,8} e formado pelas arestas { {0,},{0,},{,},{,},{8,},{,8},{,7},{,7},{,},{,} }. Da denic~ao de corte podemos escrever E(G) = E(G[A]) E(G[A]) E(A,A). (.) Observac~ao. Convencionamos que os grafos triviais e vazio s~ao grafos bipartidos.

4 Subgrafos.. Teorema de Mantel Suponha que G = (V,E) e um grafo que n~ao contenha tri^angulo. Vamos determinar o numero maximo de arestas que pode haver em G. Seja A um conjunto independente em G de cardinalidade maxima. Como G n~ao contem tri^angulos a vizinhanca de qualquer vertice e um conjunto independente, portanto temos d(v) A, para todo v V. (.) Como A e um conjunto independente em G podemos classicar as arestas de E(G) em dois tipos: E s~ao as arestas de G que t^em exatamente um dos extremos fora de A e E s~ao as arestas de G que tem ambos extremos fora de A. Dessa forma, o numero de arestas em E e E + E e d(u) = E + E E. Usando (.) chegamos a u A u Ad(u) u A A = A A, portanto E A A. Usando a desigualdade entre as medias aritmetica e geometrica A A = A ( V A ) V. (.) Assim, provamos o seguinte resultado que foi mostrado pela primeira vez por Mantel em 90. Teorema (Mantel, 90). Se G e um grafo sem tri^angulos ent~ao E(G) V(G) /. Esse teorema e um caso particular do famoso Teorema de Turan, que foi o princpio de um ramo da teoria dos grafos chamada de Teoria Extremal de Grafos (veja mais sobre esse assunto em []). Exercícios Exerccio 8. Quantos subgrafos tem o grafo ( {,,,,, },{{,}} )? Exerccio 9. Quantos subgrafos completos tem o grafo completo de ordem n? Exerccio 0. Sejam G um grafo e M E(G). Tome o subconjunto U = e M e de vertices de G. Prove ou d^e um contra-exemplo para G[U] = G[M]. Exerccio. Descubra um subgrafo induzido de V(G) = {,,,,,, 7, 8} e E(G) = {{,},{,},{,},{,},{,},{8,},{8,},{,},{,},{,7}} -regular e com o maior numero possvel de arestas. (Qual a relac~ao com a resoluc~ao do exerccio?) Exerccio. Mostre que em qualquer grafo G com pelo menos vertices vale: ou G tem um -clique e G tem um -conjunto-independente, ou G tem um -conjunto-independente e G tem um -clique. (Dica: exerccio 7 e princpio da casa dos pombos sobre E K (v), para algum vertice v.) Exerccio. Dado um grafo G, denotamos por α(g) a cardinalidade do maior conjunto independente emg, α(g) = max { A : A V(G) e um conjunto independente }. Prove que se d(g) > α(g) ent~ao G contem tri^angulo, para todo G. Desigualdade: (a a a n) n a +a + +a n. O caso n = e simples e pode ser derivado do fato de que n (a b) 0.

5 Conceitos Basicos Exerccio. Para todo grafo G, denotamos por ω(g) a cardinalidade do maior clique em G ω(g) = max { A : A V(G) e um clique }. Prove que ω(g) = α(g). Exerccio. Demonstre que as desigualdades abaixo valem para todo grafo G (i) α(g) V(G) /( (G) + ); (ii) α(g) E(G) /δ(g), se δ(g) 0; (iii) ω(g) (G) +. Exerccio. Suponha H G. Prove ou refute as desigualdades: (i) α(h) α(g); (ii) α(g) α(h); (iii) ω(g) ω(h); (iv) ω(h) ω(g). Exerccio 7. Seja G um grafo bipartido. Prove que todo subgrafo de G e bipartido. Exerccio 8. Seja G = (A B, E) um grafo bipartido qualquer e suponha que A < B. E verdade que α(g) = B? Determine ω(g). Exerccio 9. Um grafo bipartidog com partes A e B e dito completo se E(G) = {{a,b} V(G): a A e b B}. Um grafo bipartido completo sobre {A,B} com partes de cardinalidade A = n e B = m e denotado por K n,m (A,B). Determine E(K n,m (A,B)). Exerccio 0. Prove que todo grafo G tem um subgrafo bipartido H com E(H) E(G) /. Exerccio. Prove que todo grafo G tem um subgrafo gerador bipartido H tal que d H (v) d G (v)/ para todo v V(G). Exerccio. Prove a armac~ao da equac~ao (.). Exerccio. Dado um grafo G, dena para todo U V(G) a vizinhança de U, denotada N G (U), por N G (U) = N G (u). E verdade que E(U, U) = N G (U)? Justique. u U Exerccio. Um grafo G e dito k-partido, para k N, se existem k conjuntos independentes A, A,..., A k que particionam V(G), ou seja, V(G) = A A A k, o conjunto A i e um conjunto independente em G para todo i {,,...,k} e A i A j = para quaisquer i e j distintos. Prove que dentre os grafos k-partidos (k ) completos com n vertices o numero maximo de arestas e atingido quando A i A j para todos i,j {,,...,n} distintos. D^e uma descric~ao desse grafo k-partido de ordem n e com o maior numero possvel de arestas. Exerccio. Mostre que, se n = kq + r com 0 r < k, ent~ao o numero de arestas do grafo do exerccio anterior e ( ) ( ) k r (n r ) + k e que esse numero e limitado por k k ( ) n. Exerccio. Redena para todo grafo G o par^ametro χ(g) dado no exerccio 8 em func~ao dos conjuntos independentes de G. Esse par^ametro de um grafo e conhecido na literatura como numero cromatico do grafo (veja [], captulo ). Computar o numero cromatico e um problema NP-difcil [].

6 Isomorsmo Exerccio 7. Prove que G e bipartido se e somente se χ(g) <. Exerccio 8. Prove que as duas desigualdades dadas a seguir valem para todo grafo G com pelo menos um vertice ω(g) χ(g) e χ(g) V(G) α(g). (.) Exerccio 9. Prove que todo grafo G satisfaz. Isomorfismo χ(g) + max H G δ(h). Dizemos que os grafos G e H s~ao isomorfos e, nesse caso escrevemos G H, se existe uma func~ao bijetora f: V(G) V(H) (.) tal que {u,v} E(G) {f(u),f(v)} E(H) (.7) para todos u,v V(G). Uma func~ao f como acima e chamada de isomorfismo. Exemplo 8 (Grafo de Petersen). Os grafos representados na gura. s~ao isomorfos pelo isomor- smo f() = a, f() = b, f() = c, f() = d, f() = e, f() = f, f(7) = g, f(8) = h, f(9) = i, f(0) = j. Esse grafo e chamado de grafo de Petersen, e um dos grafos mais conhecidos na Teoria dos Grafos. a g b c j e h f d i Figura.: Grafos isomorfos (grafo de Petersen). Notamos que quaisquer dois grafos completos G e H de mesma ordem s~ao isomorfos. Mais que isso, qualquer bijec~ao entre V(G) e V(H) dene um isomorsmo entre eles. Nesse caso, dizemos que o grafo e unico a menos de isomorsmos e por isso usamos a mesma notac~ao para todos eles, a saber K n, quando o conjunto dos vertices n~ao e relevante. Exemplo 9. Ha oito grafos distintos com tr^es vertices, eles est~ao descritos nas representac~oes da gura. abaixo. Figura.: Grafos distintos de ordem.

7 Conceitos Basicos Figura.7: Grafos n~ao-isomorfos de ordem. No entanto, ha apenas grafos n~ao-isomorfos com tr^es vertices, representados pelos diagramas da gura.7 N~ao existe uma caracterizac~ao simples de grafos isomorfos. Isso signica que n~ao ha algoritmo eciente que recebe dois grafos e decide se eles s~ao isomorfos. Exemplo 0. Nenhum dos grafosg, H e K representados na gura.8 s~ao isomorfos. G H K Figura.8: Grafos n~ao-isomorfos. Temos que G n~ao e isomorfo a H porque G n~ao tem um vertice de grau quatro enquanto que o vertice em H tem grau quatro, portanto n~ao ha como haver uma bijec~ao entre os vertices desse grafo que preserve as adjac^encias. Pelo mesmo motivo H n~ao e isomorfo a K. Agora, G n~ao e isomorfo a K porque caso existisse um isomorsmo f: V(G) V(K) ent~ao a imagem por f do conjunto {,,} V(G) e, obrigatoriamente, o conjunto {,,} V(K), mas qualquer bijec~ao f n~ao preserva adjac^encia entre esses vertices pois {,,} em G induz um tri^angulo e em K n~ao (veja o exerccio abaixo). Nesse exemplo foram dados argumentos diferentes para concluir o mesmo fato, o n~ao-isomorsmo entre pares de grafos. Ainda, existem exemplos de grafos n~ao isomorfos para os quais esses argumentos n~ao funcionam (da mesma forma que a exist^encia de um vertice de grau quatro funciona para mostrar que G n~ao e isomorfo a H mas n~ao serve para mostrar que G n~ao e isomorfo a K pois,,,,, s~ao os graus dos vertices de ambos os grafos). Observac~ao. E difcil caracterizar de modo eciente o n~ao-isomorsmo entre grafos: O problema do n~ao-isomorsmo de grafos: Dados os grafos G = (V,E) e H = (V,E ) decidir se eles s~ao n~ao-isomorfos. N~ao se conhece algoritmo de tempo polinomial no tamanho dos grafos para decidir se dois grafos n~ao s~ao isomorfos. Mais do que isso, n~ao se conhece um algoritmo de tempo polinomial que receba como entrada uma terna (G, H,P) onde P e uma prova de que G e H n~ao s~ao isomorfos e que devolva sim se G n~ao e isomorfo a G e devolva n~ao caso contrario. Em linguagem tecnica dissemos que n~ao se sabe se o problema do n~ao-isomorsmo de grafos esta na classe NP de complexidade computacional. Observac~ao. Por outro lado, podemos considerar o problema do isomorsmo de grafos: O problema do isomorsmo de grafos: Dados os grafos G = (V,E) e H = (V,E ) decidir se eles s~ao isomorfos.

8 Outras noc~oes de grafos Atualmente n~ao se conhece algoritmo polinomial no tamanho do grafo que resolva o problema. Entretanto, n~ao e difcil projetar um algoritmo de tempo polinomial que recebe a terna (G, H,f) onde f: V(G) V(H) e devolve sim caso G e H s~ao isomorfos e f e o isomorsmo, caso contrario devolve n~ao. Em linguagem tecnica dizemos que o problema do isomorsmo de grafos esta na classe NP de complexidade de problemas computacionais. Entretanto, n~ao e sabido se esse problema e NP-completo. Exercícios Exerccio 0. Determine quais pares dentre os grafos abaixo s~ao isomorfos. (i) G dado por V(G ) = {v,u,w,x,y,z } e E(G ) = {{u,v },{u,w },{v,w },{v,x },{w,y },{x,y },{x,z }}; (ii) G dado por V(G ) = {v,u,w,x,y,z } e E(G ) = {{u,v },{u,w },{v,w },{v,x },{w,y },{x,y },{y,z }}; (iii) G dado por V(G ) = {v,u,w,x,y,z } e E(G ) = {{u,v },{u,w },{v,w },{v,x },{w,y },{x,y },{u,z }}. Exerccio. Mostre que existem grafos n~ao-isomorfos com vertices. Exerccio. Sejam G e H grafos isomorfos e f: V(G) V(H) um isomorsmo. G[U] e isomorfo a H[f(U)] para todo U V(G)? Justique. E verdade que Exerccio. Mostre que o grafo de Petersen e isomorfo ao complemento do grafo linha do K. Exerccio. Um automorfismo de um grafo e um isomorsmo do grafo sobre ele mesmo. Quantos automorsmos tem um grafo completo? Exerccio. Mostre que o conjunto de automorsmos de um grafo com a operac~ao de composic~ao de func~oes denem um grupo. Exerccio. Qual o numero de grafos distintos sobre um conjunto de vertices V de tamanhon? Exerccio 7. Prove que ha pelo menos (n ) n! grafos n~ao isomorfos sobre um conjunto de vertices de ordem n. Exerccio 8. Um grafo G = (V,E) e vértice-transitivo se para quaisquer u,v V existe um automorsmo f de G com f(v) = u. Analogamente, G e aresta-transitivo se para quaisquer arestas {x,y},{z,w} E existe um automorsmo f de G tal que {f(x),f(y)} = {z,w}. D^e um exemplo de grafo vertice-transitivo. D^e um exemplo de grafo aresta-transitivo. D^e um exemplo de grafo aresta-transitivo mas n~ao vertice-transitivo.. Outras noções de grafos Em algumas situac~oes podemos ter um modelo para um problema a ser resolvido e esse modelo seria um grafo se desconsiderassemos algumas peculiaridades da situac~ao. Por exemplo, um mapa rodoviario pode ser modelado denindo-se um vertice para cada cidade e duas cidades formam uma aresta no grafo (modelo) se existe rodovia ligando essas cidades correspondentes aos vertices. Normalmente, dist^ancia e um par^ametro importante nesses mapas e assim as arestas devem ter um comprimento associado a elas. Entretanto, \comprimento de aresta" n~ao faz parte da denic~ao de um grafo. Num outro exemplo, se estamos interessados em rotas de trafego dentro de uma cidade podemos denir um vertice por esquina e duas esquinas consecutivas numa mesma rua formam uma aresta. Nesse caso, as ruas t^em sentido (m~ao e contra-m~ao) e as arestas tambem deveriam ter mas, novamente, essa caracterstica n~ao faz parte da denic~ao de grafos. Esses problemas e muitos outros podem ser modelados com \outros tipos" de grafos. Alguns desses outros tipos s~ao