Teoria dos Grafos. Componentes, Conj. Indep., Cliques
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- Artur Lobo Nobre
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1 Teoria dos Grafos Componentes, Conj. Indep., Cliques
2 Grafo Conexo/Desconexo Um grafo é conexo se existe um caminho entre qualquer par de nós, caso contrário ele é chamado desconexo. Basta que não exista um caminho entre um nó p e qualquer outro nó do grafo para o grafo ser desconexo. Dois nós estão conectados se existe um caminho entre eles no grafo. u u p y v y v x conexo w x w desconexo
3 Componentes Conexos Os componentes conexos de um grafo são os subgrafos conexos maximais deste grafo, ou seja, são os subgrafos conexos que não estão estritamente contidos em outros subgrafos conexos. O subgrafo formado pelos vértices u e v juntamente com a aresta (u, v) corresponde a componente conexo? y u v p x w
4 Componentes Conexos Não, pois ele está contido no subgrafo formado pelos nós u, v, w, x, y e arestas (u, v), (v, w), (w, x), (x, y), (y, u) e (u, x). y u v p x w O grafo possui 2 componentes conexos. O primeiro formado pelos nós u, v, w, x, y e arestas (u, v), (v, w), (w, x), (x, y), (y, u), (u, x). E o segundo unicamente formado pelo nó p.
5 Componentes Conexos Quantos componentes conexos o grafo abaixo possui? s z t y u x w v
6 Componentes Conexos Quantos componentes conexos o grafo abaixo possui? s z t y u x w v Dois! s z t y u w x v
7 Grafo totalmente conexo/desconexo Um grafo totalmente desconexo tem todos os seus vértices com grau zero. u v w Um grafo completo de n vértices, denotado por K n, possui a característica de que todo vértice do grafo é adjacente aos demais. y u v x w w v u x
8 Grafo totalmente conexo/desconexo Um grafo totalmente desconexo tem todos os seus vértices com grau zero. u v w Um grafo completo de n vértices, denotado por K n, possui a característica de que todo vértice do grafo é adjacente aos demais. y u v x w w v u x Quantas arestas um grafo completo (K n ) com n vértices possui?
9 Grafo totalmente conexo/desconexo Um grafo totalmente desconexo tem todos os seus vértices com grau zero. u v w Um grafo completo de n vértices, denotado por K n, possui a característica de que todo vértice do grafo é adjacente aos demais. y u v x w w v u x Quantas arestas um grafo completo (K n ) com n vértices possui? Ele possui exatamente ( ) n 2 = n(n 1) 2 arestas.
10 Conjunto Independente Um conjunto independente (maximal) em um grafo é um conjunto de vértices não adjacentes entre si que não está estritamente contido em outros conjuntos independentes. O tamanho do maior conjunto independente é chamado número de independência, denotado por α(g) O Grafo abaixo mostra um conjunto independente de tamanho 2 formado pelos vértices {u, w}. Existe mais algum? u y v x w Sim. {y, v}, {y, w} e {x, v}.
11 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: número de independência α(g) =?
12 Conjunto Independente - Exercício 1, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: número de independência α(g) =?
13 Conjunto Independente - Exercício 1, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: número de independência α(g) =?
14 Conjunto Independente - Exercício 1, 4, 3, 7, 2, 6, 8, Quais os conjuntos independentes: número de independência α(g) =?
15 Conjunto Independente - Exercício 1, 4, 3, 7, 2, 6, 8, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8} número de independência α(g) =?
16 Conjunto Independente - Exercício 1, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8} número de independência α(g) =?
17 Conjunto Independente - Exercício 1, 4, 3, 7, 5, 2, 6, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8} número de independência α(g) =?
18 Conjunto Independente - Exercício 1, 4, 3, 7, 5, 2, 6, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
19 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
20 Conjunto Independente - Exercício 2, 8, 4, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
21 Conjunto Independente - Exercício 2, 8, 4, 5, 1, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
22 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
23 Conjunto Independente - Exercício 4, 1, 2, 3, 5, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7} número de independência α(g) =?
24 Conjunto Independente - Exercício 4, 1, 2, 3, 5, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
25 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
26 Conjunto Independente - Exercício 5, 2, 4, 6, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
27 Conjunto Independente - Exercício 5, 2, 4, 6, 8, 1, 3, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
28 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
29 Conjunto Independente - Exercício 6, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
30 Conjunto Independente - Exercício 6, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
31 Conjunto Independente - Exercício 6, 5, 1, 2, 3, 7, 8, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
32 Conjunto Independente - Exercício 6, 5, 1, 2, 3, 7, 8, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
33 Conjunto Independente - Exercício 6, 5, 4, 1, 2, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
34 Conjunto Independente - Exercício 6, 5, 4, 1, 2, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
35 Conjunto Independente - Exercício 6, 5, 4, 1, 2, 3, 7, Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) =?
36 Conjunto Independente - Exercício Quais os conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} número de independência α(g) = 6
37 Cliques Um clique (clique maximal) de um grafo é um conjunto de vértices adjacentes entre si que não está estritamente contido em outros cliques (conceito similar para dígrafos). O tamanho do maior clique de (dí)grafo G é chamado número de clique, ω(g). Um clique de G é um subgrafo completo de G.
38 Cliques Quantos cliques os grafos abaixo possuem? Quais os valores de ω(g)? z y u x v w u w? cliques, ω(g) =?? cliques, ω(g) =? ? cliques, ω(g) =?? cliques, ω(g) =? y 1 5 x v 4
39 Cliques Quantos cliques os grafos abaixo possuem? Quais os valores de ω(g)? u v w x y z u v w x y z u v w x y 2 cliques, ω(g) = 3? cliques, ω(g) =? ? cliques, ω(g) =?? cliques, ω(g) =?
40 Cliques Quantos cliques os grafos abaixo possuem? Quais os valores de ω(g)? u v w x y z u v w x y z u v w x y 2 cliques, ω(g) = 3 4 cliques, ω(g) = ? cliques, ω(g) =?? cliques, ω(g) =?
41 Cliques Quantos cliques os grafos abaixo possuem? Quais os valores de ω(g)? u v w x y z u v w x y z u v w x y 2 cliques, ω(g) = 3 4 cliques, ω(g) = cliques, ω(g) = 4? cliques, ω(g) =?
42 Cliques - Exercício Quantos cliques os grafos abaixo possuem? Quais os valores de ω(g)? u v w x y z u v w x y z u v w x y 2 cliques, ω(g) = 3 4 cliques, ω(g) = cliques, ω(g) = 4 2 cliques, ω(g) = 4
43 Grafo Regular Um grafo G = (V, A) é regular se todos os vértices de G possuírem o mesmo grau, i.e., δ(g) = (G) = d(v) v V Observe que todo grafo completo é regular de grau n 1, onde n corresponde ao número de vértices.
44 Grafo Regular - Exercício Quantas arestas são necessárias para desenhar um grafo regular de 9 vértices, onde o grau de cada vértice é igual a 3?
45 Grafo Regular - Exercício Quantas arestas são necessárias para desenhar um grafo regular de 9 vértices, onde o grau de cada vértice é igual a 3? Não é possível! A soma dos graus dos vértices precisa ser par, logo o número de vértices de grau ímpar também deve ser par.
46 Grafo Regular - Exercício Quantas arestas são necessárias para desenhar um grafo regular de 9 vértices, onde o grau de cada vértice é igual a 3? Não é possível! A soma dos graus dos vértices precisa ser par, logo o número de vértices de grau ímpar também deve ser par. E um grafo com 10 vértices? Desenhe!
47 Grafo Regular - Exercício Quantas arestas são necessárias para desenhar um grafo regular de 9 vértices, onde o grau de cada vértice é igual a 3? Não é possível! A soma dos graus dos vértices precisa ser par, logo o número de vértices de grau ímpar também deve ser par. E um grafo com 10 vértices? Desenhe! Sim. Um grafo regular com 10 vértices, onde cada vértice tem grau 3, também é chamado de 3-regular
48 Grafo Ciclo Um grafo ciclo, C n, de n vértices (com n > 2) é um grafo simples 2-regular C 4 C 6
49 Grafo Roda Um grafo roda W n, com n > 2, é igual ao grafo C n adicionado de mais um vértice, o qual é adjacente a todos os demais. Um grafo W n possui n + 1 vértices e 2n arestas O vértice adicionado ao C n possui grau igual a n, enquanto que os demais possuem grau igual a W 4 W 6 2 3
50 Grafo Bipartido Um grafo G é bipartido se seus vértices podem ser separados em dois conjuntos independentes de tal forma que todas arestas do grafo conectam vértices de conjuntos distintos. y u v x z w Neste caso, o conjunto de vértices pode ser dividido em dois conjuntos V 1 = {y, u, v} e V 2 = {x, z, w}
51 Grafo Bipartido Considere um grafo bipartido constituído dos conjuntos V j e V k. Se todo vértice v V j estiver ligado a todo vértice u V k, então temos um grafo bipartido completo G, chamado de biclique e denotado por K r,s, onde r = V j e s = V k. y u v x z K 3,3 w
52 Grafo Bipartido Considere um grafo bipartido constituído dos conjuntos V j e V k. Se todo vértice v V j estiver ligado a todo vértice u V k, então temos um grafo bipartido completo G, chamado de biclique e denotado por K r,s, onde r = V j e s = V k. y u v x z w K 3,3 Quantos vértices e quantas arestas possui um biclique K r,s?
53 Grafo Bipartido Considere um grafo bipartido constituído dos conjuntos V j e V k. Se todo vértice v V j estiver ligado a todo vértice u V k, então temos um grafo bipartido completo G, chamado de biclique e denotado por K r,s, onde r = V j e s = V k. y u v x z w K 3,3 Quantos vértices e quantas arestas possui um biclique K r,s? Ele possui r + s vértices e r.s arestas.
54 Grafo K-partido Um grafo G é k-partido se ele possuir k conjuntos independentes. Logo, um grafo G bipartido é um grafo com 2 conjuntos independentes, portanto, ele é 2-partido. Um grafo G = (V, A) é chamado k-partido se os seguintes criterios forem obedecidos 1 for possível particionar o conjunto de vértices em k conjuntos não vazios V 1, V 2, V k, de forma que eles sejam disjuntos dois a dois, e a união dos elementos destes conjuntos seja o conjunto de vértices original. 2 cada aresta a A, tenha extremidades em conjuntos distintos. 3 k é o menor inteiro que ainda garante os critérios anteriores, caso contrário qualquer grafo com n vértices seria um grafo n-partido.
55 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos:
56 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5}
57 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8}
58 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8}
59 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5}
60 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5}
61 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5} {4, 6}, {1, 2, 7, 8}, {3, 5}
62 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5} {4, 6}, {1, 2, 7, 8}, {3, 5} {4, 6}, {1, 2, 3, 8}, {7, 5}
63 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5} {4, 6}, {1, 2, 7, 8}, {3, 5} {4, 6}, {1, 2, 3, 8}, {7, 5} {4, 6}, {2, 7, 8}, {1, 3, 5}
64 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5} {4, 6}, {1, 2, 7, 8}, {3, 5} {4, 6}, {1, 2, 3, 8}, {7, 5} {4, 6}, {2, 7, 8}, {1, 3, 5} {4, 6}, {2, 3, 8}, {1, 5, 7}
65 Grafo K-partido - Exercício Conjuntos independentes: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {1, 3, 5, 7}, {4, 6} Particionamentos: {1, 2, 3, 6, 7, 8}, {4}, {5} {1, 3, 5, 7}, {4, 6}, {2, 8} {1, 3, 5, 7}, {4}, {2, 6, 8} {4, 6}, {1, 2, 3, 7, 8}, {5} {4, 6}, {2, 3, 7, 8}, {1, 5} {4, 6}, {1, 2, 7, 8}, {3, 5} {4, 6}, {1, 2, 3, 8}, {7, 5} {4, 6}, {2, 7, 8}, {1, 3, 5} {4, 6}, {2, 3, 8}, {1, 5, 7} {4, 6}, {1, 2, 8}, {3, 5, 7}
66 Grafo K-partido
67 Teoria dos Grafos Componentes, Conj. Indep., Cliques
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