Universidade Federal do ABC Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC) Jorge Luis Barbieri Pucohuaranga

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1 Universidade Federal do ABC Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC) Curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação Dissertação Jorge Luis Barbieri Pucohuaranga CICLOS HAMILTONIANOS EM PRODUTOS CARTESIANOS DE GRAFOS Santo André - SP 2014

2 Curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação Dissertação Jorge Luis Barbieri Pucohuaranga CICLOS HAMILTONIANOS EM PRODUTOS CARTESIANOS DE GRAFOS Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciência da Computação, sob orientação da Professora Doutora Letícia Rodrigues Bueno. Santo André - SP 2014

3 Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de sua orientadora. Santo André, 26 de maio de Assinatura do autor: Assinatura da orientadora:

4 Jorge Luis Barbieri Pucohuaranga CICLOS HAMILTONIANOS EM PRODUTOS CARTESIANOS DE GRAFOS Essa Dissertação foi julgada e aprovada para a obtenção do grau de Mestre em Ciência da Computação no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação da Universidade Federal do ABC. BANCA EXAMINADORA Profa. Dra. Letícia Rodrigues Bueno CMCC/UFABC Prof. Dr. Candido Ferreira Xavier de Mendonça Neto EACH/USP Prof. Dr. Daniel Morgato Martin CMCC/UFABC Prof. Dr. Ademir Aparecido Constantino DIN/UEM Prof. Dr. Rodrigo de Alencar Hausen CMCC/UFABC Santo André - SP 2014

5 i Este trabalho contou com auxílio financeiro da Universidade Federal do ABC - UFABC (bolsa de mestrado, institucional), de junho/2012 a janeiro/2014 e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES (bolsa de mestrado, demanda social), de fevereiro/2014 a maio/2014.

6 ii Dedico aos meus pais Jorge Jesús e Esther Luzmila, e aos meus irmãos Luis Gustavo e María Alessandra.

7 iii Agradecimentos A toda minha família pelo constante apoio e incentivo que sempre me derem em todo momento. Em especial, aos meus pais Jorge e Esther, aos meus irmãos Gustavo e María Alessandra e a minha avó Teresa pelas orações. A minha orientadora Letícia Rodrigues Bueno, pelo apoio, paciência, amizade e por ser a primeira pessoa que acreditou nas minhas possibilidades para realizar esse trabalho, Aos professores do Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC), especialmente aos professores Wagner, Daniel, Ronaldo, Harlem, Claudio, Jesús pela importância na minha formação como mestre. Aos membros da banca na minha qualificação, os professores, Daniel Morgato Martin e Jai Donadelli Junior, os seus conselhos foram muito importantes para a culminação deste trabalho. A UFABC e a Capes pelo apoio financeiro. Agradeço também a todos os amigos e colegas que conheci durante esses dois anos. Emfim, a todos que de alguma maneira contribuíram na realização deste trabalho. Muchas gracias.

8 iv Resumo Dado um grafo G, o problema do ciclo hamiltoniano consiste em determinar se existe um ciclo que passa por todos os vértices de G exatamente uma vez. Devido à dificuldade inerente a um problema NP-Completo, uma tendência recente tem sido procurar por ciclos longos, buscando determinar o ciclo com o maior número de vértices possível. Outra tendência consiste na busca por estruturas relacionadas. Neste aspecto, ser um grafo prisma-hamiltoniano tem se mostrado ser uma relaxação interessante de ser hamiltoniano. O prisma de um grafo G consiste em duas cópias de G com uma aresta unindo cada par de vértices correspondentes. Se o prisma de G contém um ciclo hamiltoniano então G é prisma-hamiltoniano. Neste trabalho estudamos uma conjectura que afirma que todo grafo 4-regular 4-conexo é prisma-hamiltoniano. Provamos essa conjectura para grafos livres de garras. De fato, para uma subclasse dos grafos 4-regulares 4-conexos livres de garras, provamos um resultado mais forte: sua hamiltonicidade; corroborando assim com outra conjectura de 1993 que afirma que grafos 4-regulares 4-conexos livres de garras são hamiltonianos. Dado um grafo G, seja G 1 = G K 2 e G q = G q 1 K 2, para q > 1. Mostramos que, para todo grafo conexo G, temos que G q é hamiltoniano para todo q log 2 (G), onde (G) é o grau máximo de G.

9 v Abstract Given a graph G, the hamiltonian cycle problem consists in determining if there is a cycle containing all vertices of G exactly once. This problem is known to be NP-Complete, therefore a recent trend is to searching for long cycles in order to determine the cycle with the largest possible number of vertices. Another trend is searching for related structures. In this aspect, being prism-hamiltonian has been an interesting relaxation of being hamiltonian. The prism over a graph G consists of two copies of G with an edge joining the corresponding vertices. A graph G is prism-hamiltonian if the prism over G contains a hamiltonian cycle. In this work, we study a conjecture which claims that every 4-connected 4-regular graph is prism-hamiltonian. We prove the conjecture for claw-free graphs. In fact, for a subclass of claw-free 4-connected 4-regular graphs, we prove a stronger result: its hamiltonicity; therefore, corroborating to another conjecture from 1993 which states that claw-free 4-connected 4-regular graphs are hamiltonian. Given a graph G, let G 1 = G K 2 and G q = G q 1 K 2, for q > 1. For every connected graph G, we prove that G q is hamiltonian for q log 2 (G), where (G) is the maximum degree of G.

10 Lista de Figuras 1.1 Um ciclo hamiltoniano no dodecaedro Um caminho hamiltoniano no grafo de Petersen Um grafo G e um ciclo hamiltoniano no prisma de G União de Grafos Grafo Completo K Os grafos bipartidos completos K 1,3 e K 2, Grafos estrela para n = 3, 4 e Os grafos n-cubo para n = 1, 2, O produto cartesiano de C 4 e do K O prisma sobre o grafo completo K Um ciclo hamiltoniano no prisma de G construído a partir de um caminho hamiltoniano em G O grafo K 2,4 é prisma-hamiltoniano, mas K 2,4 não tem uma 2-árvore Um exemplo de um grafo G que tem um 2-passeio mas não é prismahamiltoniano Um cacto par Exemplos de um EP-subgrafo e de um SEEP-subgrafo A contração de um triângulo O produto cartesiano entre C 4 e C Ilustração da prova do Lema O produto S 4 K vi

11 LISTA DE FIGURAS vii 5.1 Exemplos de grafos 4-regulares 4-conexos Um caminho hamiltoniano no grafo de Meredith Um grafo 4-regular 4-conexo bipartido não hamiltoniano Exemplos de dois grafos em G Exemplos de dois grafos em G Grafo em G com r = Remoção de K 4 (m) no Caso Construção de um ciclo hamiltoniano para o Caso 1 do Teorema Construção de G para o caso 2 do Teorema Construção de um ciclo hamiltoniano para o Caso 2 do Teorema Construção de G para o Caso 3 do Teorema Construção de um ciclo hamiltoniano para o Caso 3(iii) do Teorema Construção de um ciclo hamiltoniano para o Caso 3 do Teorema Análise do Caso 4(i) do Teorema Construção de G para o Caso 4(ii) do Teorema

12 Lista de Teoremas 1 Proposição Proposição Proposição Teorema (König, 1916 [16]) Teorema (Euler, 1736 [8]) Teorema (Whitney, 1932 [30]) Teorema (Menger, 1927 [19]) Teorema (Menger, 1927 [19]) Teorema (Dirac, 1952 [6], Dirac, 1960 [7]) Teorema (Dirac, 1952 [6], Dirac, 1960 [7]) Teorema (Barnette e Rosenfeld, 1973 [27]) Teorema (Barnette e Rosenfeld, 1973 [27]) Teorema (Fleischner, 1974 [9]) Teorema (Paulraja, 1993 [23]) Teorema (Paulraja, 1993 [23]) Corolário (Paulraja, 1993 [23]) viii

13 LISTA DE TEOREMAS ix 17 Teorema (Paulraja, 1993 [23]) Teorema (Paulraja, 1993 [23]) Lema Teorema (Čada et al., 2004 [5]) Teorema (Petersen, 1891 [24]) Lema (Čada et al., 2004 [5]) Teorema (Rosenfeld e Barnette, 1973 [27], Čada et al., 2004 [5]) Lema Lema Lema Lema Teorema (Čada et al., 2009 [4]) Teorema Corolário Teorema Teorema Conjectura (Nash-Williams, 1971 [21]) Conjectura (Kaiser et al., 2007 [13]) Proposição Conjectura (Matthews e Summer, 1984 [17]) Conjectura (Plummer, 1993 [25])

14 LISTA DE TEOREMAS x 38 Teorema (Plummer, 1995 [26]) Teorema (Plummer, 1995 [26]) Teorema (Plummer, 1995 [26]) Teorema Teorema Teorema (Plummer, 1995 [26]) Teorema (Kaiser et al., 2007 [13]) Corolário Corolário

15 Sumário Lista de Figuras vii Lista de Teoremas x 1 Introdução 1 2 Fundamentação Teórica Definições em Grafos O Problema Classes de Grafos Prisma-Hamiltonianos Grafos bipartidos 2-conexos de grau máximo 2 ou Grafos 3-regulares 3-conexos Outros Produtos Cartesianos de Grafos 21 5 Grafos 4-regulares 4-conexos Grafos 4-regulares 4-conexos livres de garras Conclusões 39 Referências Bibliográficas 40 xi

16 Capítulo 1 Introdução Um dos problemas mais estudados em Teoria dos Grafos foi proposto por William Rowan Hamilton em 1859 sendo, no começo, apenas um jogo matemático. Tratava-se da busca de um ciclo que passa exatamente uma vez por cada vértice de um dodecaedro (Figura 1.1). O problema de determinar a existência de um ciclo hamiltoniano em um grafo, ou seja, um ciclo que percorre todos os vértices de um grafo e volta ao vértice inicial, ficou conhecido como o Problema do Ciclo Hamiltoniano ( Hamiltonian Cycle Problem - HCP, em inglês). Em 1972, Karp [15] mostrou que o problema de decisão associado ao HCP é NP-completo. Figura 1.1: Um ciclo hamiltoniano no dodecaedro. Uma variação do HCP é o Problema do Caminho Hamiltoniano ( Hamiltonian Path Problem - HPP, em inglês) que consiste na busca de um caminho que passa por todos os pontos exatamente uma vez. É fácil notar que, se um grafo G tem um ciclo hamiltoniano C, obtemos um caminho hamiltoniano em G simplesmente removendo uma aresta do ciclo C. Porém, um grafo com um caminho hamiltoniano não necessariamente possui um ciclo hamiltoniano como, por exemplo, o grafo de Petersen (Figura 1.2). Assim como o HCP, o problema de decisão associado ao HPP é NP-Completo [10]. Devido à dificuldade inerente a um problema NP-Completo, uma tendência recente tem sido procurar por ciclos longos, buscando determinar o ciclo com o maior número de vértices possível. Outra tendência tem sido buscar por estruturas relacionadas. Neste 1

17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 Figura 1.2: Um caminho hamiltoniano no grafo de Petersen. aspecto, ser prisma-hamiltoniano tem se mostrado ser uma relaxação interessante de ser hamiltoniano. O prisma de um grafo G consiste em duas cópias de G com uma aresta unindo os vértices correspondentes (Figura 1.3). Dizemos que G é prisma-hamiltoniano se o prisma de G contém um ciclo hamiltoniano (Figura 1.3(b)) (a) G (b) O prisma de G e um ciclo hamiltoniano Figura 1.3: Um grafo G e um ciclo hamiltoniano no prisma de G. Já foi provado que grafos 3-regulares 3-conexos são prisma-hamiltonianos [23]. Neste trabalho, estudamos uma conjectura de Kaiser et al. [13] que afirma que todo grafo 4- regular 4-conexo é prisma-hamiltoniano. Provamos a conjectura de Kaiser et al. [13] para os grafos livres de garras. Dado um grafo G, seja G 1 = G K 2 e G q = G q 1 K 2, para q > 1. Provamos também que, para todo grafo conexo G, temos que G q é hamiltoniano para todo q log 2 (G), onde (G) é o grau máximo do grafo G. No Capítulo 2, apresentamos conceitos básicos em teoria dos grafos e o estado da arte para o problema estudado. No Capítulo 3, estudamos as provas de alguns resultados relacionados existentes na literatura. Nos Capítulos 4 e 5, apresentamos nossos resultados e o Capítulo 6 apresenta as conclusões.

18 Capítulo 2 Fundamentação Teórica Neste capítulo apresentamos as definições básicas em Teoria dos Grafos (Seção 2.1) utilizadas ao longo do texto. Na Seção 2.2 apresentamos o estado da arte do problema estudado. 2.1 Definições em Grafos Dados um inteiro não-negativo k e um conjunto X, dizemos que Y é k-subconjunto de X se Y X e Y = k, ou seja, se Y for um subconjunto de X e se Y possuir exatamente k elementos. Denotamos por ( X k ) a família de todos os k-subconjuntos de X. Um grafo G é um tripla ordenada G = (V (G), E(G), ψ G ) onde V (G) é um conjunto finito e não vazio de pontos chamados vértices, E(G) é um conjunto finito de arestas e ψ G : E(G) ( ) V (G) 2 é uma função de incidência que associa a cada aresta e de G um par de vértices u e v (não necessariamente distintas), notação ψ G (e) = {u, v} (ou ψ G (e) = {v, u} onde a ordem não é importante). Se u, v são vértices de um grafo e e = {u, v} é uma aresta desse grafo, dizemos que u e v são vértices adjacentes ou extremos de e. Também dizemos que a aresta e é incidente em u e em v. Por motivos de simplicidade na notação, denotamos também a aresta {u, v} como uv. Um grafo possui arestas paralelas ou múltiplas se tem arestas diferentes compartilhando os mesmos extremos. Se o grafo admite arestas e = uv com u = v, então dizemos que o grafo contém laços. Um grafo é simples se não contém laços nem arestas múltiplas. Neste trabalho chamaremos os grafos simples de grafos. Um grafo é trivial, se tem apenas um vértice. A qualquer outro grafo chamaremos de não trivial. A união de dois grafos G 1 e G 2, denotado por G 1 G 2, é o grafo cujo conjunto de vértices é V (G 1 ) V (G 2 ) é o conjunto de arestas é E(G 1 ) E(G 2 ), veja um exemplo na Figura

19 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4 (a) G 1 (b) G 2 (c) G 1 G 2 Figura 2.1: União de Grafos. Dois grafos G e H são isomorfos se existe uma função bijetora φ : V (G) V (H) tal que φ(u)φ(v) E(H) uv E(G) e, neste caso, dizemos que φ é um isomorfismo entre G e H. Um automorfismo de um grafo G é um isomorfismo entre G e G, o qual pode ser considerado uma permutação α de V (G) que preserva a adjacência: uv E(G) se e somente se α(u)α(v) E(G). Dizemos que um grafo G é vértice-transitivo se, para todo par de vértices u, v V (G), existe um automorfismo α que mapeia u em v. Dizemos que um grafo G é aresta-transitivo se, para todo par de arestas uv, xy E(G), existe um automorfismo α tal que α(u)α(v) = xy. Um grafo vértice e aresta-transitivo é um grafo simétrico. Um grafo H é um subgrafo de um grafo G, denotado por H G, se V (H) V (G) e E(H) E(G). Também dizemos que H é um subgrafo de G se existe um subgrafo H de G tal que H e H são isomorfos. Dois grafos G e H são idênticos se G é subgrafo de H e, se H é subgrafo de G. Dizemos que H é um subgrafo próprio de G, denotado por H G, se H é subgrafo de G onde V (H) < V (G) ou E(H) < E(G). Um subgrafo H de um grafo G é chamado de subgrafo gerador se V (H) = V (G). Seja V um subconjunto não vazio de V (G), dizemos que um subgrafo de G é o subgrafo induzido por V, denotado por G[V ], se V (G[V ]) = V e E(G[V ]) é o conjunto das arestas de G que têm os dois extremos em V. Também denotamos o subgrafo induzido G[V (G)\V ] por G V. Seja E um subconjunto não vazio de E(G). Denotamos por G E o subgrafo gerador de G cujo conjunto de arestas é E(G)\E ; ou seja, o subgrafo obtido ao remover as arestas E de G. Seja P uma propriedade qualquer de um grafo G. Dizemos que H G é maximal relativo à propriedade P se não existe um subgrafo H G que possui a propriedade P onde H H. A definição não implica necessariamente que H seja o maior subgrafo de G com a propriedade P. Quando isso ocorre, o subgrafo H é dito ser máximo relativo a propriedade P. A vizinhança de um vértice v em um grafo G, denotado por N(v), é o conjunto de vértices adjacentes a v. O grau de um vértice v, denotado por d(v), é o número de vértices

20 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 5 de G adjacentes a v, ou seja, d(v) = N(v). Proposição 1. Todo grafo G satisfaz d(v) = 2 E(G). v V (G) A propriedade a seguir é um corolário da Proposição 1 e foi provado em [1]. Proposição 2. Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. O grau mínimo de um grafo G é denotado por δ(g). O grau máximo de um grafo G é denotado por (G). Se δ(g) = (G) = k, dizemos que G é um grafo k-regular, ou seja, todos os vértices de G tem grau k. Um grafo 3-regular é também chamado de grafo cúbico. Dizemos que um grafo com n vértices é completo, denotado por K n, se todos seus pares de vértices são adjacentes. A Figura 2.2 mostra o grafo completo em cinco vértices K 5. Figura 2.2: Grafo Completo K 5. Um grafo G é bipartido se existe uma partição de V (G) em dois subconjuntos V 1 e V 2 tal que toda aresta e E(G) tem exatamente um extremo em V 1 e um extremo em V 2. Um grafo bipartido completo, denotado por K n,m, tem V (G) = n + m, V 1 = n, V 2 = m e, para todo vértice v V 1, vale que N(v) = V 2. A Figura 2.3 mostra os grafos bipartidos completos K 1,3 e K 2,3. O grafo K 1,3 é também chamado de garra ( claw, em inglês) (Figura 2.3(a)). Um grafo é livre de garra ( claw-free, em inglês) se não contém uma garra como subgrafo induzido. Chamamos de estrela ao grafo bipartido completo K 1,n. Denotamos o grafo estrela K 1,n de S n. A Figura 2.4 mostra as estrelas S 3, S 4 e S 5. Note que o grafo estrela é aresta-transitivo e que a estrela S 3 é uma garra. Um passeio, de u a v, em um grafo G é uma sequência de vértices e arestas P = (u = v 1, e 1, v 2,..., v k 1, e k 1, v k, e k, v k+1 = v), onde as arestas e i têm extremos v i e v i+1, para 1 i k. O comprimento de um passeio é o número de seus vértices. Em um grafo simples, um passeio é determinado pela sequência (v 1, v 2,..., v k, v k+1 ) de seus

21 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6 (a) K 1,3 (b) K 2,3 Figura 2.3: Os grafos bipartidos completos K 1,3 e K 2,3. (a) S 3 (b) S 4 (c) S 5 Figura 2.4: Grafos estrela para n = 3, 4 e 5. vértices; consequentemente, usaremos a partir de agora essa notação. Os vértices v i, com 2 i k, são chamados de vértices internos do passeio. Os vértices u e v são chamados de extremos do passeio e, nesse caso, dizemos que ele é um (u, v)-passeio. Se u = v dizemos que P é um passeio fechado, caso contrário, P é um passeio aberto. Um caminho é um passeio que não repete vértices, e chamamos de (u, v)- caminho, a qualquer caminho de extremos u e v. E, um ciclo é um passeio fechado (v 1, v 2,..., v k, v k+1 ), tal que k 3 e, os vértices v i para 1 i k são diferentes. Um caminho de comprimento k é denotado por P k e, um ciclo de comprimento k é denotado por C k. Dizemos que a distância entre um par de vértices u e v em um grafo G, denotado por d G (u, v), é o comprimento do caminho mais curto entre u e v em G. Se um caminho contém todos os vértices de um grafo dizemos que é um caminho hamiltoniano. Similarmente, um ciclo é hamiltoniano se contém todos os vértices do grafo. Chamamos de trilha um passeio que não repete arestas. Uma trilha euleriana de um grafo G é uma trilha que passa por todas as arestas de G. Uma trilha euleriana fechada é um passeio fechado que passa por cada aresta do grafo exatamente uma vez. Um grafo G é euleriano se G contém uma trilha euleriana fechada. Uma condição necessária e suficiente para um grafo ser euleriano é apresentada no Teorema 5. Um grafo G é conexo se para todo par de vértices u, v existe um (u, v)-caminho; caso contrário, dizemos que G é desconexo. Um grafo conexo G é uma árvore se G não contém

22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 7 ciclos. Um subgrafo T de um grafo G é uma árvore geradora de G, se T é uma árvore e é um subgrafo gerador de G. Da definição de grafo conexo é fácil ver que: Proposição 3. Todo grafo conexo bipartido tem uma única bipartição. Uma das características mais amplamente conhecidas dos grafos bipartidos foi provada por König [16] em 1916: Teorema 4 (König, 1916 [16]). Um grafo G é bipartido se e somente se G não tem ciclos de comprimento ímpar. Existe um teorema que caracteriza grafos conexos eulerianos. Teorema 5 (Euler, 1736 [8]). Um grafo conexo G é euleriano se e somente se todos seus vértices tem grau par. Um corte de vértices de um grafo G é um subconjunto de vértices V, tal que G V é desconexo. Um k-corte de vértices é um corte de vértices com k elementos. Dizemos que o vértice v é um ponto de articulação se {v} é um 1-corte de vértices. Se G tem um par de vértices não adjacentes, a conectividade κ(g) é o tamanho do menor k-corte de vértices de G; em outro casso, κ(g) = V (G) 1. Dizemos que G é k-conexo se k κ(g). Dizemos que um corte de vértices V desconecta os vértices u e v se não existe um (u, v)-caminho em G V. Similarmente, definimos a conectividade de arestas. Um corte de arestas de G é um subconjunto de arestas E, tal que G E é desconexo. Um k-corte de arestas é um corte de arestas com k elementos. Se {e} é 1-corte de arestas, então a aresta e é chamada de ponte. Se G é não trivial, a conectividade em arestas, denotado por κ (G), é o tamanho do menor k-corte de arestas. Se G é trivial, k (G) = 0. Dizemos que G é k-conexo em arestas se k κ (G). O Teorema 6 apresenta uma relação entre a conectividade em vértices, a conectividade em arestas e o grau mínimo de um grafo. Teorema 6 (Whitney, 1932 [30]). Seja G um grafo, então κ(g) κ (G) δ(g). Dizemos que dois caminhos P e Q são internamente disjuntos se P e Q não tem vértices internos em comum. Note que, se P e Q são (u, v)-caminhos internamente disjuntos, então V (P ) V (Q) = {u, v}. Apresentamos dois teoremas fundamentais em conectividade: o Teorema 7 estabelece uma relação entre o corte de vértices e caminhos internamente disjuntos. O Teorema 8 estabelece que qualquer par de vértices u e v de um grafo k-conexo tem pelo menos k caminhos internamente disjuntos conectando u a v.

23 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 8 Teorema 7 (Menger, 1927 [19]). Sejam s e t dois vértices não-adjacentes de um grafo, então o número máximo de caminhos internamente disjuntos entre s e t é igual ao número mínimo de vértices em um corte de vértices que desconecta s e t. Teorema 8 (Menger, 1927 [19]). Um grafo G com V (G) k+1 é k-conexo se e somente se para quaisquer dois vértices de G existem k caminhos internamente disjuntos. Os Teoremas 9 e 10 foram provados por Dirac: Teorema 9 (Dirac, 1952 [6], Dirac, 1960 [7]). Seja G um grafo 2-conexo com δ(g) = d. Então G tem um ciclo de comprimento maior ou igual a min{ V (G), 2d}. Teorema 10 (Dirac, 1952 [6], Dirac, 1960 [7]). Seja G é um grafo k-conexo com k 2. Para todo conjunto S V (G) com k vértices, existe um ciclo em G que inclui S no seu conjunto de vértices. Um n-cubo (ou cubo de dimensão n), denotado por Q n, é um grafo onde os vértices são todas as sequências de n bits e, onde dois vértices são adjacentes se e somente se diferem em exatamente um bit. Por exemplo, os vértices do 3-cubo são 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 e o vértice 000 é adjacente somente aos vértices 001, 010 e 100, e assim por diante. (a) Q 1 (b) Q 2 (c) Q 3 Figura 2.5: Os grafos n-cubo para n = 1, 2, 3. O produto cartesiano de dois grafos G e H é denotado por G H e tem como conjunto de vértices V (G) V (H) e o conjunto de arestas é o conjunto de todos os pares (u 1, v 1 )(u 2, v 2 ) tais que u 1 u 2 E(G) e v 1 = v 2 ou v 1 v 2 E(H) e u 1 = u 2. Veja na Figura 2.6 o produto cartesiano do C 4 e do K 2. Dizemos que L(G) é o grafo linha de G, onde V (L(G)) = E(G), e e 1, e 2 E(G) são adjacentes em L(G) se e 1 e e 2 são arestas adjacentes em G. Dizemos que um grafo H é um grafo linha se existe um grafo G tal que H = L(G). Uma cobertura de vértices por ciclos de um grafo G é um conjunto de ciclos de G cuja união contém todos os vértices de G. Se os ciclos da cobertura não tem vértices em

24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 9 (a) C 4 e K 2 (b) O grafo C 4 K 2 Figura 2.6: O produto cartesiano de C 4 e do K 2. comum, a cobertura é então uma cobertura de vértices por ciclos disjuntos e, neste caso, o conjunto de ciclos consiste em um subgrafo gerador de G. Um subconjunto M E(G) é um emparelhamento de G se todo par de arestas de M não é adjacente em G. Um emparelhamento M satura um vértice v, se existe uma aresta em M incidente em v. Um emparelhamento M é chamado de emparelhamento perfeito se, para todo vértice de G, existe uma aresta em M incidente a ele. Um emparelhamento M é um emparelhamento máximo se, para todo emparelhamento M de G, temos que M M. Claramente, todo emparelhamento perfeito é máximo. Um k-fator de G é um subgrafo gerador k-regular de G. Dizemos que G é k-fatorável se existem k-fatores disjuntos em arestas H 1, H 2,..., H l tais que G = H 1 H 2... H l. Observe que um 1-fator é um emparelhamento perfeito e um 2-fator é uma cobertura dos vértices por ciclos disjuntos. Na próxima seção, discutimos o estado da arte do problema estudado. 2.2 O Problema Dado um grafo G, o problema de determinar se G tem um ciclo hamiltoniano é NPcompleto [15]. Da mesma forma, determinar se G tem um caminho hamiltoniano é NPcompleto [10]. Dada a dificuldade inerente aos problemas NP-completos, uma direção adotada pelos pesquisadores consiste na busca por estruturas relacionadas. Um k-passeio é um passeio gerador fechado onde cada vértice é visitado no máximo k vezes e uma k-árvore é uma árvore geradora de grau máximo k. Portanto, um ciclo hamiltoniano é um 1-passeio e um caminho hamiltoniano é uma 2-árvore. Jackson e Wormald [12] provaram que um grafo com uma k-árvore tem um k-passeio e, se um grafo

25 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 10 G tem um k-passeio, então G tem uma (k + 1)-árvore, resultando na seguinte hierarquia: 1-passeio (ciclo hamiltoniano) = 2-árvore (caminho hamiltoniano) = 2-passeio = 3-árvore = 3-passeio = O prisma sobre um grafo G é o produto cartesiano G K 2. Um prisma sobre G pode ser visto como um grafo obtido ao unir por meio de uma aresta os vértices correspondentes de duas cópias de G. Veja, por exemplo, a Figura 2.7. Se o prisma sobre um grafo G tem um ciclo hamiltoniano, então G é prisma-hamiltoniano. Mais tarde, Kaiser et al. [13] mostraram que: 2-árvore = prisma-hamiltoniano = 2-passeio (2.1) (a) O grafo completo K 5 (b) O prisma sobre K 5 Figura 2.7: O prisma sobre o grafo completo K 5. Portanto, grafos prisma-hamiltonianos estão mais próximos de serem hamiltonianos que os grafos com apenas um 2-passeio. Vamos analisar a Expressão 2.1. Se um grafo G tem um caminho hamiltoniano (2- árvore), então construímos um ciclo hamiltoniano no prisma sobre G conectando o caminho hamiltoniano em cada cópia do grafo através de duas arestas (veja a Figura 2.8). Por outro lado, um ciclo hamiltoniano no prisma sobre G não implica a existência de um caminho hamiltoniano em G. Veja na Figura 2.9 que o prisma sobre o grafo K 2,4 é hamiltoniano. No entanto, não existe um caminho hamiltoniano no grafo K 2,4, pois a diferença entre o tamanho das bipartições é maior que 1. Um grafo G ser prisma-hamiltoniano implica que G tem um 2-passeio porque, a partir de um ciclo hamiltoniano C no prisma sobre G, podemos construir um 2-passeio, usando a mesma ordem dos vértices de C. Por exemplo, na Figura 2.9 (b), a partir do ciclo hamiltoniano (a, a, y, d, d, y, c, c, x, b, b, x, a) no prisma sobre K 2.4, obtemos o 2-passeio (a, y, d, y, c, x, b, x, a) em K 2,4. Por outro lado, a existência de um 2-passeio em G não implica um ciclo hamiltoniano no prisma sobre G. Veja um exemplo na Figura 2.10, onde G tem um 2-passeio (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 4, u 6, u 7, u 6, u 8, u 2, u 1 ), mas G não é prisma-

26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 11 (a) O grafo G e um caminho hamiltoniano (b) Um ciclo hamiltoniano no prisma de G Figura 2.8: Um ciclo hamiltoniano no prisma de G construído a partir de um caminho hamiltoniano em G. (a) K 2,4 (b) O prisma sobre K 2,4 e um ciclo hamiltoniano Figura 2.9: O grafo K 2,4 é prisma-hamiltoniano, mas K 2,4 não tem uma 2-árvore. hamiltoniano, pois se o prisma sobre G tivesse um ciclo hamiltoniano, o ciclo teria que passar por todas as arestas não tracejadas (veja a Figura 2.10 (b)). No entanto, em um ciclo hamiltoniano, u 2 e u 2 não podem ser adjacentes, porque o ciclo obtido seria não hamiltoniano. Logo u 2, deve ser adjacente a u 3 ou u 8. Sem perda de generalidade, assuma que u 2 é adjacente a u 3, então necessariamente u 8 é adjacente a u 6 e a u 8. Consequentemente, u 3 é adjacente ou a u 4 ou a u 3. Se u 3 é adjacente a u 4, então u 3 é adjacente a u 2 e a u 4, resultando em um ciclo não hamiltoniano. Por outro lado, se u 3 é adjacente a u 3, então u 4 não pode ser adjacente nem a u 4, pois resultaria em um ciclo não hamiltoniano, nem a u 6 porque já estabelecemos que u 6 deve ser adjacente a u 8 e a u 7. Portanto, o grafo não é prisma-hamiltoniano. Paulraja [23] mostrou que todo grafo bipartido 2-conexo de grau máximo 2 ou 3 é prisma-hamiltoniano. Nesse mesmo trabalho, ele provou também que todo grafo 3-regular 3-conexo é prisma-hamiltoniano. Mais tarde, Cada et al. [5] apresentaram uma prova mais simples de que grafos 3-regulares 3-conexos são prisma-hamiltonianos. Uma outra estrutura útil para mostrar que um grafo é prisma-hamiltoniano foi apresentado em [5, 27]. Um cacto gerador de um grafo G é um subgrafo conexo gerador H de grau máximo 3 que consiste de ciclos disjuntos em vértices e caminhos disjuntos tal que, se cada ciclo é substituído por um vértice conectado aos caminhos incidentes a ele,

27 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 12 (a) G tem um 2 passeio (b) G não é prisma-hamiltoniano Figura 2.10: Um exemplo de um grafo G que tem um 2-passeio mas não é prismahamiltoniano. o grafo resultante é uma árvore. Um cacto é chamado de cacto par se todos os ciclos são pares, ou seja, se o cacto é um grafo bipartido (veja a Figura 2.11). Figura 2.11: Um cacto par. Rosenfeld e Barnette [27] e, posteriormente, Čada et al. [5] mostraram que a existência de um cacto par gerador em um grafo G implica que G é prisma-hamiltoniano. A busca por ciclos hamiltonianos em prismas sobre grafos tem trazido um novo olhar sobre muitos problemas relacionados. Uma conjectura de Thomassen [29] de 1986 afirma que todo grafo linha 4-conexo é hamiltoniano. Kaiser et al. [13] provaram a existência de ciclos hamiltonianos no prisma destes grafos e também que, para prisma-hamiltonicidade, é suficiente que o grafo linha seja 2-conexo. Mais tarde, um trabalho de Ozeki [22] relacionou prisma-hamiltonicidade à uma condição para a soma dos graus de um grafo G, a exemplo dos conhecidos teoremas de Dirac [6] e de Bondy e Chvátal [2] para a existência de ciclos hamiltonianos em grafos.

28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 13 O quadrado de um grafo G é o grafo no qual o conjunto de vértices é V (G) e onde quaisquer dois vértices distintos são adjacentes se e somente se a distância entre eles em G é de no máximo 2. Um famoso resultado de Fleischner [31] estabelece que o quadrado de qualquer grafo 2-conexo é hamiltoniano. Kaiser et al. [13] provaram que, para prismahamiltonicidade, é suficiente que o grafo seja somente conexo. O estudo de prismas sobre grafos motivou também o interesse no produto cartesiano de um grafo com outros grafos diferentes do grafo completo K 2. Barnette e Rosenfeld [27] provaram os Teoremas 11 e 12. Teorema 11 (Barnette e Rosenfeld, 1973 [27]). Se G é um grafo conexo, então G K n é hamiltoniano para (G) n. Teorema 12 (Barnette e Rosenfeld, 1973 [27]). Se G é um grafo conexo, então G C 4 é hamiltoniano para (G) 4. Posteriormente, Cada et al. [4] estenderam o Teorema 12 para G C n com (G) n. Além disso, dentre outros resultados, os autores também provaram que, se G é um grafo cúbico sem ponte, então G P t é hamiltoniano, para t 3. Utilizando a prova de que grafos 3-regulares 3-conexos são prisma-hamiltonianos [23, 5], Horák et al. [11] provaram que os grafos conhecidos por grafos dos níveis intermediários ( middle-levels graph, em inglês) são prisma-hamiltonianos. Posteriormente, Bueno e Horák [3] mostraram que metade dos grafos de uma classe conhecida por grafos ímpares ( odd graph, em inglês) possuem um subgrafo gerador 3-regular 3-conexo, implicando assim que estes grafos são prisma-hamiltonianos pelo resultado de [23]. Recentemente, Mesquita et al. [20] mostraram que todos os grafos ímpares são prismahamiltonianos ao provar a existência de um cacto par gerador nestes grafos que, de acordo com [27, 5], é uma condição suficiente para ser prisma-hamiltoniano. No próximo capítulo, estudamos as provas de alguns resultados relacionados existentes na literatura.

29 Capítulo 3 Classes de Grafos Prisma-Hamiltonianos Neste capítulo, estudamos algumas provas de prisma-hamiltonicidade para algumas classes de grafos. 3.1 Grafos bipartidos 2-conexos de grau máximo 2 ou 3 Nesta seção estudamos o resultado de Paulraja [23] que determina que todos os grafos 2-conexos bipartidos com grau máximo 2 ou 3 são prisma-hamiltonianos. O Teorema 13 foi mostrado por Fleischner [9] e é utilizado na demonstração de Paulraja [23]. Teorema 13 (Fleischner, 1974 [9]). Seja G um grafo 2-conexo em arestas, e sejam v e w vértices distintos de G. Então existem subgrafos E e P de G tal que 1. S = E P é um subgrafo gerador conexo de G; 2. E é uma união de ciclos disjuntos em arestas; 3. P é uma floresta de caminhos; 4. E e P são disjuntos em arestas, e; 5. v V (E) V (P ) e w V (E) I(P ), onde I(P ) é o conjunto dos vértices internos de P. Um subgrafo H de um grafo conexo G é um EP-subgrafo de G (veja a Figura 3.1 (a)) se satisfaz as seguintes condições: 14

30 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 15 (a) H é um subgrafo gerador conexo de G; (b) (H) 4, e; (c) H = E P, onde E é uma união de ciclos disjuntos em arestas, P é uma união de caminhos disjuntos, tal que nenhum vértice de um caminho em P é de grau 4 em H, e tal que E e P são disjuntos em arestas. Observe que em um EP-subgrafo H de G, quando duplicamos as arestas dos caminhos de P, obtemos um multigrafo H com grau máximo 4. Se H admite uma decomposição em ciclos pares, então dizemos que o EP-subgrafo H de G é um EEP-subgrafo de G. Se H é um EEP-subgrafo de um grafo G, então H admite uma decomposição em ciclos pares e é possível colorir as arestas de cada ciclo par com as cores azul e amarelo alternadamente. Note que duas arestas azuis e duas arestas amarelas devem ser incidentes a cada vértice de grau 4. Dizemos que um EEP-subgrafo H de G é um SEEP-subgrafo (veja a Figura 3.1 (b)) se H com alguma bicoloração admite uma trilha euleriana que satisfaz a seguinte regra: qualquer vértice pode ser usado como vértice inicial da trilha euleriana fechada. Se uma aresta de uma cor é usada para alcançar um vértice v e existe outra aresta da mesma cor incidente a v, então essa aresta é usada para sair do vértice. Uma trilha euleriana fechada que satisfaz a regra anterior é chamada de uma AR-trilha. (a) Um EP-subgrafo H (b) Um SEEP-subgrafo H Figura 3.1: Exemplos de um EP-subgrafo e de um SEEP-subgrafo. Teorema 14 (Paulraja, 1993 [23]). Um grafo G é prisma-hamiltoniano se e somente se G tem um SEEP-subgrafo H. Demonstração. Denote por G 1 e G 2 as duas cópias disjuntas de G em G K 2. Denote as arestas de K 2 em G K 2 por pilares. Seja C um ciclo hamiltoniano de G K 2. Sejam e 0, e 1, e 2,, e 2t 1, com t 1, o conjunto dos pilares que estão em C, na ordem em que ocorrem em C a partir de uma direção fixa em C. Note que, C {e 0, e 1, e 2t 1 } são 2t caminhos disjuntos P 0, P 1,, P t 1 em G 1 e P 0, P 1,, P t 1 em G 2. O ciclo C é expressado como P 0 e 0 P 0e 1 P 1 e 2 P 1e 3 P 2 e 4 P t 1e 2t 1, onde e 2k é incidente ao vértice terminal de P k, e ao vértice inicial de P k+1, para 0 k t 1.

31 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 16 Alterne as cores das arestas dos caminhos P 0, P 1,, P t 1 em G 1, com cores B 1 e B 2 e as arestas dos caminhos P 0, P 1,, P t 1 em G 2 com as cores Y 1 e Y 2 usando a seguinte regra: colorir as arestas do caminho P 0 alternadamente com as cores B 1 e B 2. Se a última aresta de P 0 é colorida com B 1 (B 2, resp.), então a aresta inicial do caminho P 0 é colorida com Y 1 (Y 2, resp.) e a aresta inicial de P 1 é colorida com B 2 (B 1, resp.) e, assim por diante. Construa um multigrafo H 0, onde o conjunto de vértices é V (G), o conjunto de arestas é o conjunto de arestas dos caminhos P 0, P 1, P 2,, P t 1 de G 1 e o conjunto de arestas dos caminhos P 0, P 1,, P t 1 de G 2 sobre G. Claramente, H 0 é conexo e pode ter arestas múltiplas. O caminho de H 0 correspondente ao caminho P i ou P i, para 0 i t 1, de G 1 ou G 2 é denotado por P i (H 0 ) ou P i (H 0 ), respectivamente. Colorimos cada aresta de H 0, com a mesma cor dos caminhos correspondentes em P i ou P i, 0 i t 1. Claramente, cada vértice de H 0 tem grau 2 ou 4. Em H 0, arestas com as quatro cores B 1, B 2, Y 1 e Y 2 são incidentes aos vértices com grau 4, e arestas com cores B 1 e Y 2, ou B 2 e Y 1 são incidentes a cada vértice de grau dois. Sejam H 1 e H 2 subgrafos de H 0, induzidos pelas arestas com cores Y 1 ou B 2 e Y 2 ou B 1, respectivamente. Então H 1 e H 2 são uniões de ciclos pares disjuntos. Uma vez que H 0 = H 1 H 2 temos que H 0 é uma união de ciclos pares que são disjuntos em arestas. Troque a cor das arestas de H 0 da seguinte maneira: para e E(H 0 ), atribua a cor Y se e tem cor Y 1 ou Y 2, e a cor B se tem cor B 1 ou B 2. Claramente, as arestas dos caminhos P i (H 0 ) e P i (H 0 ), para 0 i t 1, tem cores B e Y, respectivamente. Então P 0 P 0(H 0 )P 1 (H 0 )P 1(H 0 )P 2 (H 0 )P 2(H 0 ) P t 1 (H 0 )P t 1(H 0 ) é uma AR-trilha de H 0, onde o vértice terminal de P i (H 0 ) é o vértice inicial de P i (H 0 ) e o vértice terminal de P i (H 0 ) é o vértice inicial de P i+1 (H 0 ), para 0 i t 1. Seja H 3 o subgrafo de H 0 induzido por suas múltiplas arestas. Como H 0 é um grafo conexo com δ(h 0 ) = 2 e (H 0 ) 4, segue que H 3 não tem subgrafo 4-regular. Seja H 4 = H 0 E(H 3 ). Como H 0 é um grafo euleriano, H 4 é a união de ciclos disjuntos em arestas (possivelmente com alguns vértices isolados). Denote os subgrafos P e E de G como H 3 e H 4, respectivamente. Então, P é uma união de caminhos disjuntos e E é uma união de ciclos disjuntos. Além disso, P e E são disjuntos em arestas. Portanto, P E = H é um SEEP-subgrafo de G. Reciprocamente, se G tem um SEEP-subgrafo H, então obtenha o grafo H de H com uma bicoloração (usando azul e amarelo) das arestas de H e uma AR-trilha de H. Colora as arestas de G K 2 da seguinte maneira: se existe uma aresta azul ou amarela em H, então colora a aresta correspondente em G 1 e G 2. Uma vez que H tem uma AR-trilha, as arestas coloridas de G 1 e G 2 são uniões de caminhos disjuntos, denotados por P 1 e P 2 em G 1 e G 2, respectivamente. Como H tem uma AR-trilha, cada vértice terminal (inicial, resp.) de um caminho em P 1 (P 2, resp.) corresponde ao vértice inicial (terminal, resp.) em G 2 de um caminho em P 2 (P 1, resp.). Os pilares que conectam os extremos dos

32 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 17 caminhos de P 1 e P 2 e os conjuntos de caminhos P 1 e P 2 fornecem um ciclo hamiltoniano em G K 2. Teorema 15 (Paulraja, 1993 [23]). Se G é um grafo bipartido 2-conexo com (G) 3, então G é prisma-hamiltoniano. Demonstração. Seja G um grafo bipartido 2-conexo com grau máximo 2 ou 3. Pelo Teorema 13, existe um conjunto de ciclos disjuntos C e um conjunto de caminhos disjuntos P, tal que P e C são disjuntos em arestas, onde H = C P é um subgrafo gerador conexo de G. Seja H 1 um subgrafo conexo gerador de H tal que os ciclos de H 1 são precisamente os ciclos de C. Note que a contração dos ciclos de H 1 em vértices resulta em uma árvore. Denote a união dos caminhos de H 1 como P. Note que E(P ) = E(H 1 C1 CE(C i )) e que H 1 = C P. Se duplicamos as arestas dos caminhos de P em H 1, obtemos um grafo euleriano H 1 com grau máximo 4. Denote por C a união dos ciclos C com os ciclos de comprimento dois obtidos ao duplicar as arestas. Note que C é uma decomposição em ciclos pares de H 1. Além disso, qualquer bicoloração de arestas dos ciclos de C resulta em uma AR-trilha. Portanto, G tem um SEEP-subgrafo H 1. Pelo Teorema 14, G é prisma-hamiltoniano. Corolário 16 (Paulraja, 1993 [23]). Se G tem um subgrafo bipartido gerador 2-conexo H com (H) 3, então G é prisma-hamiltoniano. 3.2 Grafos 3-regulares 3-conexos Paulraja [23] mostrou que todo grafo 3-regular 3-conexo é prisma-hamiltoniano. Mais tarde, Čada et al. [5] conseguiu uma prova mais simples. Nesta seção estudamos as duas demonstrações, na ordem que foram apresentadas na literatura. Teorema 17 (Paulraja, 1993 [23]). Seja B um subgrafo bipartido 2-conexo de um grafo 3-conexo G. Então, G tem um subgrafo bipartido gerador 2-conexo H que contém B. Teorema 18 (Paulraja, 1993 [23]). Se G é um grafo cúbico 3-conexo, então G é prismahamiltoniano. Demonstração. Segue do Teorema 17, que G tem um subgrafo bipartido gerador 2-conexo H. Logo, segue do Teorema 15 que H K 2 é hamiltoniano e, portanto, G é prismahamiltoniano. Čada et al. [5] provam que os grafos 3-regulares 3-conexos são prisma-hamiltonianos já que eles tem um cacto par gerador. Lema 19. Um grafo k-conexo G contém um ciclo par para k 3.

33 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 18 Demonstração: Sejam u, v V (G). Como G é k-conexo, segue do Teorema 8 que existem k (u, v)-caminhos internamente disjuntos P 1, P 2,... e P k. Então existem pelo menos dois caminhos cujo comprimento tem a mesma paridade. Sem perda de generalidade, assuma que P 1 e P 2 têm a mesma paridade e que P 1 = (u, p 1, p 2,..., p r 1, p r, v) e P 2 = (u, w 1, w 2,... w t 1, w t, v). Então C = (u, p 1, p 2,..., p r 1, p r, v, w t, w t 1..., w 2, w 1 ) é um ciclo par. Teorema 20 (Čada et al., 2004 [5]). Um grafo 3-conexo G contém um subgrafo gerador bipartido 2-conexo. Demonstração: Segue do Lema 19 que G tem um subgrafo bipartido 2-conexo. Seja H um subgrafo bipartido 2-conexo maximal de G. Se H não é subgrafo gerador de G; então, existe um vértice g V (G) V (H). Uma vez que H é bipartido; então, os vértices de H podem ser coloridos de preto e branco. Uma vez que G é 3-conexo, existem 3 caminhos internamente disjuntos P 1, P 2 e P 3 de g a um vértice de H. Seja h i o primeiro vértice em H em cada caminho P i, 1 i 3. Além disso, dois dos vértices de h 1, h 2 e h 3 tem a mesma cor. Assuma que os vértices h 1 e h 2 tem cor branca. Se P 1 e P 2 tem a mesma paridade, então g pode ser adicionado a H, contradizendo a maximalidade. Se h 3 tem cor preta então, uma vez que P 1 e P 2 tem paridades distintas, um deles tem paridade distinta ao caminho P 3. Ao adicionar esses dois caminhos incrementamos o tamanho de H. Portanto, H é um subgrafo gerador de G. Teorema 21 (Petersen, 1891 [24]). Todo grafo 3-regular sem ponte tem um emparelhamento perfeito. Lema 22 (Čada et al., 2004 [5]). Todo grafo 2-conexo H com (H) 3 tem um subgrafo gerador C tal que C é um cacto (não necessariamente par) e suas folhas contém todos os vértices v com d(v) = 3 em H. Demonstração. A prova é feita por indução no número de vértices de H. Se V (H) 4, então H é hamiltoniano. Portanto, C é o ciclo hamiltoniano. Assuma que H é cúbico. Como H é 2-conexo, pelo Teorema 21 H contém um 1-fator F. O complemento F = E(G)\F é um 2-fator. Denote por H o grafo obtido ao contrair cada componente de F em um vértice. Observe que H é conexo. Adicionar as arestas de qualquer árvore geradora de H em F, resulta em um cacto gerador de H. Agora, assuma que H não é cúbico. Seja h um vértice de grau 2 em H. Sejam a e b os vizinhos de h. Se ab E(H), então, como H é 2-conexo e V (H) > 4, temos que a e b são adjacentes a a e b, respectivamente, onde a b. Contraia o triângulo ahb em um vértice c de grau 2 como na Figura 3.2. Claramente, o grafo resultante é 2-conexo. Pela hipótese de indução, esse grafo tem um cacto gerador C. Se o caminho a cb pertence a uma folha, modificamos ao caminho a ahbb, obtendo assim um cacto gerador em G. Se

34 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 19 a cb não é parte de uma folha, então, sem perda de generalidade, assuma que a c E(C). Modifique o cacto C removendo c e, adicionando o triângulo ahb e a aresta aa. Se b c E(C), então também adicione a aresta bb. Como o triângulo é uma folha, o cacto resultante ainda preserva a propriedade requerida. Figura 3.2: A contração de um triângulo. Se ab / E(H), então, remova o vértice h e adicione a aresta ab. Pela hipótese de indução, o grafo resultante tem um cacto gerador C. Se ab E(C), então, basta substituir essa aresta pelo caminho ahb. Assuma que ab E(C). Sem perda de generalidade, assuma que a tem grau 3 em H então, por hipótese de indução, a pertence a uma folha e podemos estender C acrescentando a aresta ah. Se ambos a e b tem grau 2 então, como ab / E(C), a tem grau 1 em C. Obtemos um cacto gerador adicionando a aresta ah a C. A importância do estudo do cacto par em ciclos hamiltonianos é mostrada no seguinte teorema provado por Rosenfeld e Barnette [27] e, mais tarde, por Čada et al. [5]: Teorema 23 (Rosenfeld e Barnette, 1973 [27], Čada et al., 2004 [5]). Se um grafo G contém um cacto par gerador C, então G é prisma-hamiltoniano. Demonstração. Provamos, por indução no número de vértices de C, que C K 2 tem um ciclo hamiltoniano F tal que: F contém a aresta xx para cada vértice x de grau 2 que pertence a uma folha de C. (3.1) Se V (C) = 2, então a prova é trivial já que C é um caminho com dois vértices. A prova é também trivial se C é um ciclo. Assuma que C não é um ciclo. Seja T a árvore obtida ao contrair cada ciclo Q de C num vértice v Q. Uma vez que T tem pelo menos dois vértices, escolha um vértice t de grau 1 em T. Caso 1: Se t V (C), então, t tem grau um em C e não pertence a nenhuma folha. Seja u o único vizinho de t em C. Se u pertence a uma folha do cacto C t então, por indução, usando a Expressão 3.1, (C t) K 2 tem um ciclo hamiltoniano que contém a aresta uu. Se u não pertence a alguma folha de C t, então o grau de u em C t é um e, portanto, o ciclo hamiltoniano de (C t) K 2 deve conter a aresta uu. Em qualquer dos

35 CAPÍTULO 3. CLASSES DE GRAFOS PRISMA-HAMILTONIANOS 20 casos, substitua a aresta uu pelo caminho utt u obtendo assim um ciclo hamiltoniano em C K 2 e satisfazendo a Expressão 3.1. Caso 2: Se t = v Q, então, t corresponde a um ciclo Q de C. Uma vez que t tem grau 1 em T seja w o único vértice que tem grau 3 em C. Seja C o grafo obtido ao remover todos os vértices de Q exceto w de C. Por indução, C K 2 tem um ciclo hamiltoniano F que satisfaz a Expressão 3.1 e que, necessariamente, deve conter ww já que w tem grau 1 em C. Acrescentando todas as arestas entre Q e Q exceto ww, obtemos um ciclo em C que satisfaz a Expressão 3.1. Agora podemos apresentar a prova alternativa de Čada et al. [5] do Teorema 18. Demonstração do Teorema 18 (Čada et al.[5]). Pelo Teorema 20, G contém um subgrafo bipartido 2-conexo gerador H. Ora, G é cúbico, então (H) 3. Segue do Lema 22 que H tem um cacto gerador C. Uma vez que H é bipartido, C é par. Finalmente, como C está contido em G, pelo Teorema 23, G é prisma-hamiltoniano,

36 Capítulo 4 Outros Produtos Cartesianos de Grafos Neste capítulo, estudamos o problema do ciclo hamiltoniano em produtos cartesianos de um grafo G com grafos distintos do K 2. Veja na Figura 4.1 o produto cartesiano C 4 C 8. Dado um grafo conexo G, seja G 1 = G K 2, G 2 = G 1 K 2,..., G q = G q 1 K 2. Nosso principal resultado neste capítulo é a prova de que G q é hamiltoniano para todo q log 2 (G). Mostramos também que essa prova é equivalente a provar que G Q n é prisma-hamiltoniano para de n = q. (a) C 4 e C 8 (b) C 4 C 8 Figura 4.1: O produto cartesiano entre C 4 e C 8. O Lema 24 mostra que o produto cartesiano de grafos é associativa. Lema 24. Dados os grafos G, H e I, temos que (G H) I = G (H I). Demonstração. Sejam os vértices g V (G), h V (H) e i V (I). A aresta ((g 1, h 1 ), i 1 )((g 2, h 2 ), i 2 ) E((G H) I) se e somente se [(g 1, h 1 ) = (g 2, h 2 ) i 1 i 2 E(I)] ou [i 1 = i 2 (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) E(G H)] 21

37 CAPÍTULO 4. OUTROS PRODUTOS CARTESIANOS DE GRAFOS 22 [g 1 = g 2 (h 1 = h 2 i 1 i 2 E(I))] ou [i 1 = i 2 [(g 1 = g 2 h 1 h 2 E(H)) ou (h 1 = h 2 g 1 g 2 E(G))]] [g 1 = g 2 (h 1 = h 2 i 1 i 2 E(I))] ou [g 1 = g 2 (i 1 = i 2 h 1 h 2 E(H))] ou [i 1 = i 2 h 1 = h 2 g 1 g 2 E(G)] [(g 1 = g 2 ) [(h 1 = h 2 i 1 i 2 E(I)) ou (i 1 = i 2 h 1 h 2 E(H))]] ou [(h 1, i 1 ) = (h 2, i 2 ) g 1 g 2 E(G)] [g 1 = g 2 (h 1, i 1 )(h 2, i 2 ) E(H I)] ou [(h 1, i 1 ) = (h 2, i 2 ) g 1 g 2 E(G)] (g 1, (h 1, i 1 ))(g 2, (h 2, i 2 )) E(G (H I)). Pelo Lema 24, podemos denotar os grafos (G H) I e G (H I) por apenas G H I. Lema 25. Se H 1 é subgrafo de H 2, então G H 1 é subgrafo de G H 2. Demonstração. Como V (H 1 ) V (H 2 ) então V (G H 1 ) = V (G) V (H 1 ) V (G) V (H 2 ) = V (G H 2 ). Seja (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) E(G H 1 ). Então g 1 = g 2 h 1 h 2 E(H 1 ) E(H 2 ) ou h 1 = h 2 g 1 g 2 E(G). Então (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) E(G H 2 ). Denotamos por K n 2 o grafo que resulta do produto cartesiano de n grafos K 2, definido da seguinte maneira: K n 2 = { K 2, se n = 1; K n 1 2 K 2, se n > 1. Lema 26. O grafo n-cubo Q n = K n 2, para n 1. Demonstração. Provamos por indução em n. O caso base n = 1 é trivial, uma vez que K 2 é isomorfo ao grafo Q 1. K m 2 Suponha que o lema é verdadeiro para n = m, ou seja, = Q m. Observe que cada vértice no grafo Q m é representado por uma string binária de m bits (veja o grafo Q 2 na Figura 4.2(a)). Para construir Q m+1, faça duas cópias de Q m (inclusive dos rótulos dos vértices) e denote por Q m e Q m, como na Figura 4.2(b). Adicione uma aresta entre os vértices correspondentes, obtendo um grafo Q m. Observe que Q m = Q m K 2. Modifique os rótulos dos vértices de Q m acrescentando 0 a esquerda do rótulo e modifique os rótulos de Q m acrescentando 1 a esquerda do rótulo (Figura 4.2(c)), obtendo o grafo Q m+1. Portanto, Q m+1 é isomorfo ao grafo Q m K 2. Logo, Q m+1 = Q m K 2 = K m 2 K 2 = K m+1 2. Lema 27. O grafo n-cubo Q n é hamiltoniano, para todo n 2. Demonstração. Provamos por indução em n. O caso base n = 2 é trivial uma vez que Q 2 é um ciclo. Assuma que o lema é verdadeiro para n = m. Da demonstração do