ALGUNS PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS INDEPENDENTES EM GRAFOS

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1 ALGUNS PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS INDEPENDENTES EM GRAFOS Karla Roberta P. do Nascimento UFG Campus II - Samambaia krlanascimento@gmail.com Rommel M. Barbosa UFG Campus II - Samambaia rmbarbosa@yahoo.com RESUMO Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal I de vértices em G tiver a mesma cardinalidade e, um grafo G é Z m -bem-coberto se I J (mod m), para todo I, J conjuntos independentes maximais de vértices em G. A cintura de um grafo é definida como sendo o comprimento do menor ciclo do grafo, e infinita se o grafo não possui ciclos. O problema de reconhecimento dos grafos bem-cobertos é Co-NP-completo. Os grafos bem-cobertos com cintura maior do que ou igual a cinco e os grafos Z m -bem-cobertos com cintura maior do que ou igual a seis já foram caracterizados. Apresentamos neste trabalho, algumas condições suficientes para que grafos de cintura quatro sejam bem-cobertos e também condições suficientes para que grafos com cintura cinco sejam Z m -bem-cobertos. PALAVRAS CHAVE. Conjuntos independentes, Grafos bem-cobertos, Problemas Co- NPcompletos (Teoria dos Grafos -TG). ABSTRACT A graph G is well-covered if every maximal independent set of vertices I has the same cardinality and Z m -well-covered if I J (mod m), for all I, J maximal independent sets of vertices in G. The girth of a graph with a cycle is the length of its shortest cycle, a graph with no cycle has infinite girth. The recognition problem for well-covered graphs is Co-NP-complete. The well-covered graphs with girth larger than or equal to 5 and the Z m -well-covered with girth larger than or equal to 6 were characterized. Here we present, sufficient conditions for well-covered graphs of girth 4 to be well-covered and also sufficient conditions for graphs with girth 5 to be Z m -well-covered. KEYWORDS. Independent sets, Well-covered graphs, Co-NP-complete problems (Graph Theory). [ 2243 ]

2 1 INTRODUÇÃO A notação usada aqui segue em West (2001). Um caminho em um grafo ou é um único vértice ou uma lista ordenada de vértices distintos v 1,..., v n tal que v i-1 v i é uma aresta para todo 2 i n. Um u, v-caminho é um caminho com extremos u e v. Um ciclo é uma lista ordenada v 1,..., v n tal que todos v i-1 v i e v n v 1 são arestas. O primeiro e o último vértices de um caminho são seus extremos. Um grafo G que não possui ciclos é um grafo acíclico. Uma corda de um ciclo C é uma aresta que não está em C, mas possui seus extremos em C. Um ciclo sem corda em G é um ciclo de comprimento pelo menos 4 em G que não possui corda. Um grafo G é cordal se G não possui ciclo sem corda. Um grafo G é bipartido se V(G) é a união de dois conjuntos disjuntos, tal que cada aresta consiste de um único vértice de cada conjunto. Para um grafo bipartido completo escreve-se K r,s. Dizemos que um grafo é claw-free se o grafo não possui o K 1,3 como subgrafo induzido. Um grafo G é conexo se este tem u, v-caminho para cada par u, v V(G). As componentes de um grafo G são os subgrafos maximais conexos de G. O grau de um vértice v em um grafo G escreve-se d G (v) ou d(v), o grau máximo escreve-se Δ(G), e o grau mínimo escreve-se δ(g). Um grafo G é regular se Δ(G) = δ(g) e k-regular se Δ(G) = δ(g) = k. Para os vizinhos de v escreve-se N(v). Um vértice isolado possui grau zero. A ordem de um grafo, escreve-se n(g), é o número de vértices em G. O tamanho de um grafo G, escreve-se e(g), é o número de arestas de G. Um grafo completo ou clique, escreve-se K n, é um grafo simples em que para todo par de vértices do grafo existe uma aresta, ou seja, um subgrafo completo maximal de G. Um vértice v de um grafo G é dito ser simplicial se o grafo gerado por N[v] for uma clique. Uma clique de um grafo G tendo pelo menos um vértice simplicial é denominado um simplex do grafo. Um grafo G é um grafo simplicial se todo vértice de G for simplicial ou for adjacente a um vértice simplicial. Um emparelhamento em um grafo G é um conjunto de arestas, não loops, tal que estas arestas não possuem nenhum vértice extremo em comum. Um emparelhamento perfeito em um grafo é um emparelhamento que satura todo vértice do grafo. Um conjunto de vértices não adjacentes aos pares é dito ser um conjunto independente. Um conjunto independente I é dito ser maximal se não existe outro conjunto independente J que contenha propriamente I. Um conjunto independente máximo é um conjunto independente maximal de maior cardinalidade no grafo. Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal I de vértices em G tiver a mesma cardinalidade. Generalizando, um grafo G é Z m -bem-coberto se I J (mod m), para todo I, J conjuntos independentes maximais de vértices em G. Uma abordagem será feita dos resultados obtidos para as classes de grafos bem-cobertos cordais, simpliciais, bipartidos e claw-free. A maioria dos resultados para estas classes de grafos bem-cobertos, como veremos, foi generalizada para grafos Z m -bem-cobertos, exceto para os grafos bipartidos. A classe dos grafos bem-cobertos foi introduzida por Plummer (1970), e, não existe uma caracterização para os grafos bem-cobertos em geral, de fato, Chvátal e Slater (1993), e Sankaranarayana e Stewart (1992) provaram que a propriedade de não ser bem-coberto é NP - completo. Para algumas classes de grafos foram obtidas caracterizações que permitem o reconhecimento de grafos bem-cobertos em tempo polinomial. Apresentamos algumas dessas caracterizações. Caro, Sebö e Tarsi (1996) mostraram que para os grafos livres de K 1,4 o problema de reconhecimento de grafos bem-cobertos continua Co-NP-completo. Tankus e Tarsi (1996) provaram que este problema é polinomial para a classe dos grafos livres de K 1,3. Barbosa (1999) e Barbosa e Hartnell (1998) provaram que os grafos bem-cobertos são os únicos grafos livres de K 1,3 de paridade, e também generalizaram esse resultado para os grafos Z m -bem-cobertos (teorema 1). [ 2244 ]

3 Teorema 1 - (Barbosa, 1999; Barbosa e Hartnell, 1998) Se G for um grafo livre de K 1,3 Z m -bemcoberto, então G é bem-coberto. Barbosa (1999) e Barbosa e Hartnell (2001), mostraram uma condição suficiente para que um grafo dado seja Z m -bem-coberto (teorema 2) e que para os grafos simpliciais, a condição é suficiente e necessária (teorema 3). Teorema 2 - (Barbosa, 1999; Barbosa e Hartnell em 2001) - Seja G um grafo qualquer. Se para cada v V(G), l Ν, tal que v pertence à exatamente (ml + 1) simplexos, então G é Z m -bemcoberto. Teorema 3 - (Barbosa, 1999; Barbosa e Hartnell, 2001) - Se G é um grafo Z m -bem-coberto e simplicial, então para cada v V(G), l Ν, tal que v pertence à exatamente (ml + 1) simplexos. Barbosa (1999) e Barbosa e Hartnell (2001), provaram que um grafo cordal Z m -bemcoberto deve necessariamente ser simplicial (teorema 4). Teorema 4 - (Barbosa, 1999; Barbosa e Hartnell, 2001) - Se G é cordal e Z m -bem-coberto então G é simplicial. Favaron (1982) caracterizou os grafos muito bem-cobertos (α(g) = V(G) /2) fornecendo um algoritmo que reconhece grafos bipartidos bem-cobertos em tempo polinomial. 2 GRAFOS BEM-COBERTOS E Z m -BEM-COBERTOS A cintura de um grafo G é definida como sendo o comprimento do menor ciclo do grafo, caso o grafo não possua ciclos a cintura é definida como sendo infinita. Uma folha é um vértice de grau 1, enquanto que um vértice interior é um vértice de grau dois ou mais e, um vértice adjacente a uma folha é chamado talo. Uma aresta que incide em uma folha é chamada de pendente. Se G tem um u, v-caminho então a distância entre u e v, escreve-se d(u, v), é o menor comprimento de um u, v -caminho. Se G não possui caminho entre u e v, escreve-se d(u, v) = 1. Um arbusto é um vértice interior com todas as folhas ligadas a ele. Um conjunto S de vértices é dito ser coberto por um conjunto S, se cada elemento em S é adjacente a pelo menos um elemento de S. Finbow, Hartnell e Nowakowiski (1993) caracterizaram os grafos bem-cobertos com cintura maior do que ou igual a cinco e esta caracterização não foi generalizada para os grafos Z m -bem-cobertos, porém, já existe uma caracterização para os grafos Z m -bem-cobertos de cintura maior igual a seis, obtida por Caro e Hartnell (1998). Um vértice x, em um grafo bem-coberto G é chamado extensível, se G - {x} é bemcoberto e α(g) = α(g - {x}). Por outro lado, x V(G) é não extensível se, somente se existe um conjunto independente S V(G) tal que x é um vértice isolado em V(G) - N[S]. Dizemos que um conjunto independente S isola um vértice x, se x é de grau zero em G - N[S]. Se G e H são grafos bem-cobertos com vértices extensíveis x e y, respectivamente, então o grafo formado pela união disjunta de G e H junto com a aresta (x, y) é também bem-coberto, portanto vértices com a propriedade de serem extensíveis foram a chave para a caracterização dos grafos bem-cobertos com cintura maior do que ou igual a cinco. Um 5-ciclo C de um grafo G é dito ser básico se C não contém nenhum dois vértices adjacentes de grau três ou mais em G. Um grafo G é da família PC se V(G) puder ser particionado em dois subconjuntos P e C: P contém os vértices incidentes das arestas pendentes, e as arestas pendentes formam um emparelhamento perfeito em P; C contém os vértices dos 5- ciclos básicos e os 5-ciclos básicos formam uma partição de C. Os grafos bem-cobertos de cintura maior do que ou igual a cinco foram caracterizados levando em consideração duas características diferentes, grafos que possuem vértices extensíveis e grafos que não possuem vértices extensíveis. [ 2245 ]

4 Finbow, Hatrnell e Nowakowiski (1993) mostraram (teorema 5 e 6) que se um grafo bem-coberto de cintura maior do que ou igual a cinco possui pelo menos um vértice extensível então este grafo pertence à família PC (Na figura 1 temos alguns grafos da família PC. Um 5- ciclo básico está destacado com um círculo e algumas arestas pendentes com retângulos) e se não possui vértice extensível, este grafo é isomorfo a um dos grafos da figura 2 aos quais chamaremos de grafos órfãos (teorema 7). Figura 1 - Grafos da família PC Teorema 5 - (Finbow, Hartnell e Nowakowiski, 1993) i. Seja G um grafo em PC. Então G é bem-coberto; ii. Seja G um grafo bem-coberto, e x e y vértices extensíveis não adjacentes em V(G). Então G = (V(G), E(G) (x, y)) é bem-coberto e α(g) = α(g ); iii. Seja G um grafo bem-coberto e U = {u 1, u 2,..., u k } um conjunto independente de G, onde cada u i é um vértice extensível de G. Então G - U é bem-coberto e α(g) = α (G - U). Teorema 6 - (Finbow, Hartnell e Nowakowiski, 1993) - Seja G um grafo conexo bem-coberto de cintura maior do que ou igual a cinco. Então o grafo G pertence a PC se, somente se, G contém um vértice extensível. Teorema 7 - (Finbow, Hartnell e Nowakowiski, 1993) - Seja G um grafo bem-coberto de cintura maiordo que ou igual cinco. Se G não contém um vértice extensível, então G é isomorfo a K 1, C 7, P 10, P 13, Q 13, P 14. Finbow, Hartnell e Nowakowiski (1994) caracterizaram os grafos bem-cobertos que possam ter ciclo de tamanho 3, porém sem ciclo de tamanho 4 e 5 (teorema 8). Um grafo G é da família F se existe {x 1, x 2,..., x k } V (G) onde para cada i, x i é simplicial, N[x i ] 3 e {N[x i ] i = 1, 2,..., k} é uma partição de V(G). Teorema 8 - (Finbow Hartnell e Nowakowiski, 1994) - Seja G um grafo conexo, bem-coberto contendo nem C 4 nem C 5 como um subgrafo: i. G contém um vértice extensível ou G K 1 se, somente se, G F; ii. Caso contrário, G é isomorfo a C 7 ou T 10.. Observamos que essa caracterização dos grafos bem-cobertos sem ciclos de tamanho quatro e cinco são de fato uma classe de grafos simpliciais, porém os grafos simpliciais em geral foram caracterizados por Barbosa e Hartnell (2001), perdendo, portanto, esse resultado obtido por Finbow, Hartnell e Nowakowski (1994), sua relevância. [ 2246 ]

5 Figura 2 Grafos órfãos Em 1995, Finbow e Hartnell (1995) caracterizaram grafos de paridade que não tenham ciclo de tamanho 5 ou menos. Eles definem um grafo de paridade como sendo um grafo em que todos os conjuntos independentes maximais possuem a mesma paridade. Posteriormente em 1998, Caro e Hartnell (1998) generalizaram esta mesma caracterização para os grafos Z m -bemcobertos com cintura maior do que ou igual a seis (teorema 9). Na figura 3 foram desenhados grafos Z 2 -bem-cobertos de cintura seis. Vértices x e y de G são ditos ser conectados por uma 2-ponte se existem vértices u e v V(G) com d(u) = d(v) = 2 e com N(u) = {x, v} e N(v) = {u, y}. Teorema 9 - (Y Caro e B. Hartnell, 1998) - Um grafo conexo é um grafo Z m -bem-coberto de cintura maior do que ou igual a seis se, G é K 1, C 7, ou um grafo conexo de cintura ao menos seis que consiste de uma união finita de arbustos B j cada um com talo x i onde cada talo tem r i congruente a 1 (mod m) folhas, e onde para cada i e j, uma e somente uma das seguintes acontece: i. x i e x j são unidos por uma aresta e qualquer outro caminho, se existe um, ligando x i e x j deve incluir ao menos um talo além de x i e x j ; ii. x i e x j são conectados por km 2-pontes, e algum outro caminho ligando x i e x j deve incluir ao menos outro talo junto de x i e x j ; iii. Todo caminho ligando x i e x j contém ao menos outro talo além de x i e x j. 3 RESULTADOS Figura 3 - Grafos Z 2 -bem-cobertos de cintura seis Os grafos de cintura cinco Z m -bem-cobertos ainda não foram caracterizados. A dificuldade em caracterizá-los é que existem várias famílias com essa propriedade, e nenhuma delas com semelhanças entre si. [ 2247 ]

6 Afirmamos que o teorema 9 é uma condição suficiente para que um grafo de cintura cinco seja Z m -bem-coberto, entretanto, nem todo grafo de cintura cinco Z m -bem-coberto satisfaz esse resultado, caso contrário, teríamos também uma caracterização para esta classe de grafos. Alguns grafos dessa família podem ser vistos na figura 4. Figura 4 Grafos Z m -bem-cobertos de cintura cinco Corolário 1 - Se G é um grafo conexo de cintura cinco e é formado por uma união finita de arbustos B j, cada um com talo x i onde cada talo tem r i congruente a 1 (mod m) folhas, e para cada i e j, uma e somente uma das condições ocorre, então o grafo G é Z m -bem-coberto. i. x i e x j são unidos por uma aresta e qualquer outro caminho, se existe um, ligando x i e x j deve incluir ao menos um talo além de x i e x j ; ii. x i e x j são conectados por km 2-pontes, e algum outro caminho ligando x i e x j deve incluir ao menos outro talo junto de x i e x j ; iii. Todo caminho ligando x i e x j contém ao menos outro talo além de x i e x j Prova: No corolário 1, devemos mostrar que os grafos são Z m -bem-cobertos somente para os grafos não simpliciais, pois de fato, os grafos simpliciais já estão caracterizados. A única diferença de um grafo simplicial para um não simplicial conforme o corolário acima, é que os grafos que não são simpliciais possuem arbustos ligados por km 2-ponte. Sem perda de generalidade, sejam x e y os talos ligados por km 2-ponte e z o talo vizinho de x e y conforme o item (ii) e seja I um conjunto independente maximal qualquer em G. Analisaremos localmente todas as possibilidades de conjuntos independentes maximais para um grafo não simplicial, de fato, temos quatro possibilidades diferentes. No primeiro caso, poderemos ter x, y e as ml + 1 folhas de z no conjunto independente maximal I, totalizando uma contribuição de ml +3 vértices para a formação deste conjunto, no segundo caso, se x está em I (se y está em I a análise é a mesma), as ml + 1 folhas de y, as ml + 1 folhas de z e os km vizinhos de y dos km 2-pontes pertencem a esse conjunto independente maximal I. Temos assim uma contribuição de 2ml + km + 3 vértices para o conjunto I. Para o terceiro caso, se z está em I, as ml + 1 folhas de x, as ml + 1 folhas de y e km vértices um para cada 2-pontes que conecta x e y estão em I, tendo assim uma contribuição de km + 2ml + 3. No último caso, em que as ml + 1 folhas de x, ml + 1 folhas de y, ml + 1 folhas de z juntamente com os km vértices um para cada 2-pontes que conecta x e y estão em I, temos uma contribuição de km + 3ml + 3 vértices neste conjunto. Observe então que para os quatro casos temos uma contribuição de vértices congruentes módulo m Portanto G é Z m -bemcoberto. O resultado do item (ii) referente ao teorema 5, não possuem restrição de cintura, ou seja, basta que o grafo seja bem-coberto e possua dois ou mais vértices extensíveis não adjacentes entre si, assim, estamos diante de algumas propriedades que podem nos auxiliar a obtenção de famílias de grafos bem-cobertos em geral. Dado um grafo G bem-coberto com cintura maior do que ou igual a cinco e x e y vértices não adjacentes extensíveis temos que: [ 2248 ]

7 i. Se d(x, y) = 2, após ligarmos x a y, o novo grafo será bem-coberto e terá cintura três; ii. Se d(x, y) = 3, após ligarmos x a y, o novo grafo será bem-coberto e terá cintura quatro. Note que obtemos uma maneira de construir infinitos grafos bem-cobertos de cintura três e quatro, pois os vértices x e y em G não deixam de ser extensíveis assim podem ser ligados blocos de grafos bem-cobertos através de vértices extensíveis. Na figura 5 apresentamos alguns exemplos dessa classe de grafos. Figura 5 Grafos bem-cobertos de cintura três e quatro Teorema 10 - Dado um grafo G(V, E) bem-coberto com cintura maior do que ou igual a cinco, K 2, e dois vértices x e y adjacentes e extensíveis em G. Sejam w e z os vértices de K 2. O grafo G = (V, E ) onde V (G ) = V (G) V (K 2 ) e E (G )= E(G) E(K 2 ) (x, z) (y, w) é bemcoberto e possui cintura quatro. Prova: Primeiramente observe que, G é bem-coberto e para qualquer conjunto independente maximal tomado em G, suponha que seja I, ou o vértice x, ou o vértice y, ou nenhum destes está no conjunto independente maximal I. De fato, para todas essas possibilidades o subgrafo K 2 contribuirá sempre com um dos seus vértices para a formação de I. Portanto G será bem-coberto, pois qualquer conjunto independente maximal tomado em G terá cardinalidade: ( P. / C / 5 + q(k 2 ), onde q representa a quantidades de K 2 adicionados ao grafo G. Se x e y em G são não adjacentes, podemos incluir x e y na obtenção de um conjunto independente maximal, com isso, o K 2 não contribuirá mais com um vértice para a formação deste conjunto, assim, para outro conjunto independente maximal tomado nesse grafo, em que o subgrafo K 2 contribua com um vértice, teremos cardinalidade diferentes. Ou seja, não será bemcoberto. Fixado um grafo bem-coberto de cintura maior igual a cinco, a quantidade de vértices extensíveis adjacentes é limitado, além disso, os vértices inicialmente extensíveis em G, os quais foram ligados o K 2, deixam de serem extensíveis em G, assim blocos de grafos bem-cobertos não poderão mais ser anexados, o que impede este resultado de ser uma maneira de construir infinitos grafos bem-cobertos de cintura quatro, porém, para os vértices extensíveis os quais foram ligados o K 2, infinitos K 2 podem ser ligados a estes mesmos vértices, pelo mesmo motivo inicial. No teorema 10, nos grafos bem-cobertos de cintura cinco não simpliciais, podemos ligar uma folha para cada vértice de K 2 adicionado ao grafo, e o grafo permanece não simplicial e de cintura quatro. Esse procedimento tem por objetivo tornar os vértices w e z do K 2 novamente extensíveis, com isso, blocos de grafos bem-cobertos que possuam pelo menos um vértice extensível podem ser ligados ao grafo agora bem-coberto e de cintura quatro. Por outro lado, o teorema 10 reduz um grafo de cintura maior do que ou igual a cinco, bem-coberto para um grafo bem-coberto de cintura quatro, logo não é necessário utilizar todos os vértices extensíveis do grafo inicial para chegar ao objetivo do teorema 10. Na figura 6 desenhamos alguns grafos dessa classe. [ 2249 ]

8 Figura 6 Grafos bem-cobertos de cintura quatro Na figura 5 e 6 obtemos uma maneira de construir grafos de cintura três e quatro bemcobertos, entretanto, não são todos os grafos bem-cobertos de cintura três e quatro que possuem as características destas classes de grafos (figura 5 e 6), e esse é o motivo pelo qual não se conseguem uma caracterização que englobe, por exemplo, todos os grafos bem-cobertos de cintura quatro. O problema está justamente em caracterizar os grafos bem-cobertos de cintura quatro, visto que a caracterização dos grafos bem-cobertos em geral é um problema Co-NPcompleto. Na caracterização obtida por Finbow, Hartnell e Nowakowiski (1994) vimos que um grafo G é da família F se existe {x 1, x 2,..., x k } V(G) onde para cada i, x i é simplicial, N[x i ] 3 e {N[x i ] i = 1, 2,..., k} é uma partição de V(G). Criamos a partir da família F, uma família F * de grafos a qual é fácil verificar ser uma família de grafos Z m -bem-cobertos, pois de fato, F e F * são classes de grafos simpliciais. Dizemos que um grafo G é da família F * se existe {x 1, x 2,..., x k } V(G) onde para cada i, x i é simplicial com δ(x i ) = 2 e N[x i ] 3, e existem arbustos B j onde para cada j, B j possui ml + 1 folhas, l N, tal que {N[x i ] i = 1, 2,..., k} {B j j = 1, 2,..., l} é uma partição de V(G). Os grafos desta nova família são formados pelos subgrafos K 1, K 1,ml+1 e K 3. Utilizaremos a família F e F * para obtermos uma nova família de grafos bem-cobertos e Z m -bem-cobertos de cintura quatro não simpliciais (alguns grafos dessa classe podem ser vistos na figura 7). Teorema 11 - Dado um grafo G(G, E) bem-coberto (respectivamente, Z m -bem-coberto) sem ciclos de tamanho quatro e cinco, K 2, e dois vértices x e y adjacentes e extensíveis em G. Sejam w e z os vértices do K 2. O grafo G = (V, E ) onde V (G ) = V (G) V (K 2 ) e E (G ) = E(G) E(K 2 ) (x, z) (y, w) é bem-coberto (respectivamente, Z m -bem-coberto), não simplicial e possui ciclos de tamanho três e quatro sem ciclos de tamanho cinco. Prova: A análise é a mesma feita para o teorema 10. Observe que qualquer quantidade de K 2 s podem ser ligados a x e y, e para cada K 2, temos que o conjunto independente maximal será acrescido de um vértice tanto para os grafos inicialmente bem-cobertos quanto Z m -bem-cobertos. Os vértices x e y inicialmente extensíveis perdem essa propriedade. Note que se o grafo original G é formado por K 2 s (respectivamente, por K 2 s e pelo menos um K 1,ml+1 ), o grafo G será um grafo de cintura quatro bem-coberto (respectivamente, Z m -bem-coberto) não simplicial, temos assim uma família de grafos bem-cobertos (respectivamente, Zm-bem-coberto) de cintura quatro que não possam ter ciclos de tamanho cinco. Figura 7 Grafos bem-cobertos sem ciclos de tamanhos cinco [ 2250 ]

9 Definimos que um grafo G é da família BC se V(G) puder ser particionado em dois subconjuntos B e C. B contém os arbustos B j cada qual com um talo x i, onde cada talo tem r i 1 (mod m) folhas; C contém os vértices dos 5-ciclos básicos (um 5-ciclo é dito ser básico se não existe dois vértices adjacentes de grau três no mesmo ciclo) e as folhas dos vértices dos 5-ciclos que possuem grau maior do que ou igual a três. A quantidade de folhas as quais podem ou não existirem são ml folhas para cada vértice. Obtemos aqui uma outra condição suficiente, para que um grafo de cintura cinco seja Z m - bem-coberto. Teorema 12 - Seja G um grafo da família BC. Então G é Z m - bem-coberto. Prova: A idéia é mostrar que dado um grafo G BC, os conjuntos independentes maximais em B são congruentes (mod m) e que os conjuntos independentes maximais em C também são congruentes (mod m). Seja S um conjunto independente maximal. Sabemos que S domina todos os vértices do grafo. Seja x um talo de B, como B é constituído de arbustos ligados entre si, cada qual com ml + 1 folhas, então, ou x está em S ou as ml + 1 folhas de x estão em S, ou seja, cada arbusto contribui com uma quantidade de vértices congruente (mod m) para o conjunto independente maximal. Matematicamente, seja cada B j um arbusto de B, e I(B j ) um conjunto independente maximal, respectivamente para cada B j, mostramos que I(B j ) 1(mod m) para todo j = 1, 2,..., k, pela própria construção de B j. Então todos S i = j=1 k I(B j ), i = 1, 2,..., r. (S i são todas as possibilidades de conjuntos independentes maximais em B) são congruentes (mod m), ou seja S 1 S 2... S k (mod m). Seja S um conjunto independente maximal em G e C = abcde um 5-ciclo básico, com os vértices nomeados em ordem. Sem perda de generalidade, seja a, b e d de grau dois (por definição sabemos que não podemos ter dois vértices adjacentes de grau maior do que ou igual a três em um 5-ciclo básico) e suponha que e e c possuem ml folhas cada um. S domina todos os vértices do grafo, então se a está em S, a domina b e e, (note que, até aqui, temos ml + 1 vértices no conjunto independente, que são a e as folhas de e), assim ou c ou d juntamente com as folhas de c está em S, temos então mais 1 ou ml + 1 vértices para o conjunto S, totalizando ml + 2 ou 2ml + 2 vértices para S contendo a. Se b está em S a análise é a mesma feita para o vértice a. Se c está em S, ou e ou a juntamente com as folhas de e estão em S, temos então conjuntos independentes de tamanho 2 ou ml + 2. Se d está em S (logicamente as folhas de c e e também), ou a ou b está em S, temos novamente 2ml + 2 vértices contribuindo para o conjunto independente S. Se e está em S a análise é a mesma realizada para o vértice c. De fato, observe que, para todas as possibilidades de conjuntos independentes em C, cada 5-ciclo básico contribui com 2, ml + 2, ou 2ml + 2 vértices, e, esses conjuntos são congruentes (mod m). Portanto, os arbustos e os 5-ciclos básicos formam uma partição dos vértices de G, segue que para todo R e S conjuntos independentes maximais de G, R S(mod m). Alguns grafos da família BC podem ser visualizados na figura 8. Note que não estamos caracterizando os grafos Z m -bem-cobertos de cintura cinco, existem grafos Z m -bem-cobertos de cintura cinco e que não satisfazem o teorema 12, como os grafos da figura 8. [ 2251 ]

10 Figura 8 Grafos da família BC Definimos que, dois vértices x e y são unidos por 1-ponte se existe um vértice u V(G) com d(u) = 2 e N(u) = {x, y}. Daremos aqui uma condição suficiente para que um grafo de cintura quatro seja Z m -bem-coberto. Alguns grafos dessa família podem ser vistos na figura 9. Teorema 13 - Se G é um grafo conexo de cintura quatro e é formado por uma união finita de arbustos B j, cada com talo x i onde cada talo tem r i 1(mod m) folhas e, para cada i e j, uma e somente uma das condições ocorre, então o grafo G é Z m -bem-coberto. i. x i e x j são unidos por uma aresta e qualquer outro caminho, se existe um, ligando x i e x j deve incluir ao menos um talo além de x i e x j ; ii. x i e x j são conectados por k m 1-pontes, e algum outro caminho ligando x i e x j deve incluir ao menos outro talo junto de x i e x j ; iii. Todo caminho ligando x i e x j contém ao menos outro talo além de x i e x j Prova: Observe que para termos grafos de cintura quatro, Z m -bem-coberto e simplicial no teorema 13, basta que o grafo não possua km 1-ponte. Para esses grafos simpliciais, é fácil verificar que são Z m -bem-cobertos pelo teorema de Barbosa e Hartnell (2001) que caracteriza os grafos simpliciais. Para os grafos que não são simpliciais, os arbustos, exceto os que não são ligados por km 1-pontes, formam uma partição no grafo, então as possibilidades de conjuntos independentes maximais para estes arbustos são congruentes mod m. Para dois arbustos que são ligados por km 1-ponte, temos as seguintes possibilidades de conjuntos independentes maximais: Seja x e y os talos ligados por km 1-ponte e z o talo vizinho de x e y conforme item (ii) e seja I um conjunto independente maximal qualquer. No primeiro caso, se x e y estão em I, as ml + 1 folhas de z também, totalizando ml + 3 vértices para I. No segundo caso, se x está em I (a mesma análise é feita para y) as ml + 1 folhas de y e as ml + 1 folhas de z também, o que são 2ml + 3 vértices em I. No terceiro caso, se z está em I, os km vértices que conecta x e y juntamente com as ml + 1 folhas de x e de y estão em I, sendo assim uma contribuição de km + 2ml + 3 vértices em I, e por último se todas as folhas de x, y e z estão em I juntamente com km vértices que conecta x e y, então temos um total de km + 3ml + 3 vértices para I. Para todas essas possibilidades observe que os conjuntos independentes maximais são congruentes (mod m), portanto grafos dessa classe são Z m -bem-coberto. Figura 9 Grafos Z m -bem-cobertos de cintura quatro 4 BIBLIOGRAFIA BARBOSA, R. M. Sobre conjuntos independentes maximais de um grafo. Tese (Doutorado) Rio de Janeiro COPPE - UFRJ, Discrete Math V. 233 n. 1-3 p [ 2252 ]

11 BARBOSA, R. M.; HARTNELL, B. Almost parity graphs and claw-free parity graphs BARBOSA, R. M.; HARTNELL, B. Characterzation of Z m -well-covered graphs for some classes of graphs CARO, A. SEBÖ. Y.; TARSI, M. Recognizing greedy structures. Journal of Algorithms, v. 20, CARO, Y.; HARTNELL, B. A characterization of Z m -well-covered graphs of girth 6 or more. Journal of Graph Theory, v. 33, CHVÁTAL, V.; SLATER, P. A note on well-covered graphs. Ann. Discrete Math., v. 55, FAVORON, O. Very well-covered graphs. Ann. Discrete Math., v. 42, FINBOW, A. S.; HARTNELL, B. L. A characterization of parity graphs containing no cycle of order five or less. Ars Combinatoria, v. 40, FINBOW, B. L. H. A. S.; NOWAKOWSKI, R. J. A characterization of well covered graphs of girth 5 or greater. Journal of Combinatorial Theory, v. 57-B, FINBOW, B. L. H. A. S.; NOWAKOWSKI, R. J. A characterization of well covered graphs that contain neither 4 - nor cycles. Journal de Graph Theory, v. 18, PLUMMER, M. D. Some covering concepts in graphs. Journal of Combinatorial Theory, v. 8, SANKARANARAYANA, R. S.; STEWART, L. K. Complexity results for well-covered graphs. Networks 22, v. 22, TANKUS, D.; TARSI, M. Well-covered claw-free graphs. Journal Combin. Theory, v. 66 B, p , WEST, D. Introduction to graph theory. [S.l.]: Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001, [ 2253 ]