UMA PARTIÇÃO DO CONJUNTO DOS GRAFOS CONEXOS DE ORDEM n EM CLASSES DE GRAFOS (a, b)-lineares

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1 UMA PARTIÇÃO DO CONJUNTO DOS GRAFOS CONEXOS DE ORDEM n EM CLASSES DE GRAFOS (a, b)-lineares Patricia Erthal de Moraes Colégio Pedro II Campo de São Cristóvão, 77 - São Cristóvão -Rio de Janeiro, CEP: 9-44 Brasil patricia.erthal@gmail.com Christine Sertã Costa Pontifícia Universidade Católica Rua Marquês de São Vicente, 5, Gávea -Rio de Janeiro, CEP: Brasil cserta@mat.puc-rio.br Nair Maria Maia de Abreu Universidade Federal do Rio de Janeiro Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia - Bloco F, Rio de Janeiro, Brasil nair@pep.ufrj.br Andréa Soares Bonifácio Universidade Federal do Rio de Janeiro Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia - Bloco F, Rio de Janeiro, Brasil andrea@pep.ufrj.br Cybele T. M. Vinagre Universidade Federal Fluminense Rua Mário Santos Braga s/n, Valonguinho, Niterói, Rio de Janeiro, CEP: Brasil cybl@vm.uff.br RESUMO Dados números racionais da forma, onde, diz-se que um grafo simples com vértices e arestas é um grafo -linear quando e. Este conceito foi introduzido por Moraes et al. () (Graphs with homogeneous density in -linear classes, Congressus Numerantium, 5, 53-64). Em nosso trabalho, utilizamos alguns dos resultados já conhecidos desta teoria para construir uma partição do conjunto de todos os grafos conexos com vértices por meio de classes de grafos -lineares. Estabelecemos ainda uma ordem total entre as classes de tal partição. PALAVRAS CHAVE. Grafo Área de classificação principal: Teoria de Grafos. -linear. Grafos conexos. Grafo simples. ABSTRACT Let be rational numbers of the form,. A simple graph on vertices and edges is said to be a -linear graph if and only if and. This notion was introduced by Moraes et al.() (Graphs with homogeneous density in -linear classes, Congressus Numerantium, 5, 53-64). The goal of this paper is to establish a partition of the set of all simple connected graphs on vertices by means of classes of -linear graphs. We also define a total order on the classes of this partition. KEYWORDS. -linear graphs. Simple graph. Connected graphs. Main area: Graph Theory. XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 33

2 . Introdução Os grafos -lineares foram introduzidos por Moraes et al. em, e, nos anos seguintes, alguns artigos foram publicados com resultados relacionando os parâmetros e com conectividade algébrica e conectividade de vértices, veja (Lima et al. (4), Oliveira et al. (5), Abreu (7) e Lima et al. (7)). Nosso objetivo principal é obter uma partição do conjunto de todos os grafos conexos com vértices em classes de grafos lineares. Para isto, fazemos primeiramente uma apresentação autossuficiente dos resultados desta teoria que serão necessários ao desenvolvimento posterior do trabalho. Assim, na seção apresentamos os grafos -lineares e, na seção 3, estudamos os conjuntos de grafos lineares conexos com um certo número de vértices. Na seção 4, estabelecemos uma partição do conjunto dos grafos conexos com vértices em classes de grafos lineares. Além disso, definimos uma ordem total para as classes de tal partição.. Grafos -lineares Seja um grafo simples com vértices e arestas. O grau médio de é, por definição, o número. O top de é definido como, o menor inteiro maior ou igual a. O gap de é o número natural. É claro que podemos descrever o gap de em função do grau médio pondo. Tais invariantes foram introduzidos e estudados por Lima et al. (4). Em tudo o que se segue, indica o conjunto de todos os números racionais da forma com. Definição.: Para, um grafo é dito linear quando e. Indicamos por o conjunto de todos os grafos lineares conexos. Segue da definição que, para cada grafo, existem únicos racionais tais que é um grafo -linear. Exemplo.: Seja o grafo da Figura. é conexo e tem e. Então, e. Logo, e. Portanto,. Figura : Um grafo em S(3/, 3/) Teorema. (Moraes () e Lima et al.(4)) Seja um grafo com vértices e arestas, e. é um grafo linear se e somente se e. Prova: Seja um grafo com vértices e m arestas. Se é linear, então e. Como, obtemos. A desigualdade é sempre verdadeira. Logo. Reciprocamente, suponhamos e. Como temos e XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 34

3 portanto,, já que. Além disso, temos que. Assim, é um grafo linear. Destacamos a seguir alguns exemplos de conjuntos de grafos -lineares conexos: Exemplo.: Desde que qualquer grafo é conexo então, no caso em que, temos Um grafo com vértices e arestas é uma árvore se e somente se é conexo e tem e é um grafo unicíclico se e somente se é conexo e (veja Harary (97)). Logo, é exatamente o conjunto de todas as árvores com vértices e é exatamente o conjunto de todos os grafos unicíclicos conexos com vértices. Para todo grafo MOP (maximal outerplanar conexo) com vértices e arestas temos. Logo, todo MOP com vértices pertence ao conjunto. No entanto, contém outros grafos que não são MOP s. Todo grafo planar maximal conexo com vértices possui arestas. Portanto todo grafo planar maximal com vértices pertence ao conjunto, que contém outros grafos além destes. Todo grafo regular conexo tem arestas e, portanto, pertence ao conjunto, que contém outros grafos além destes. 3. Conjuntos de grafos lineares conexos de ordem Sejam. Para cada, o conjunto de todos os grafos -lineares conexos com vértices será denotado por. Notemos que se e então, para todo,, ou seja,. No que se segue, trabalhamos para conseguir condições de garantir que. O próximo resultado é um lema técnico: Lema 3.. Sejam e. Então: se, e então ; se, e então se e somente se é par; se e então se e somente se é ímpar; se e então. Prova: Para provar, suponhamos e,. Então. Como é obviamente um número inteiro, fica provado o primeiro item. Em temos por hipótese que, onde é ímpar, e. É claro que implica par. Reciprocamente, se é par então. Segue se que pelo mesmo raciocínio usado em (i). A afirmação está provada. Para provar, consideremos e, onde e são naturais ímpares, e. Se é ímpar então. Como, então, e portanto. Reciprocamente, se então, para, ou seja,. Como é ímpar, então é ímpar e portanto, é ímpar. Finalmente, se e, onde é um natural ímpar então. A afirmação está provada. O Lema 3. nos garante, portanto, que são vazios os conjuntos para,, se,, e é ímpar ou se, e é par. Há ainda outras condições em que ocorre independentemente do parâmetro, como descrito na seguinte proposição: XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 35

4 Proposição 3.. Não existe grafo linear conexo para satisfazendo qualquer das seguintes condições: e ou e ou e e. Prova: Que é verdadeiro, segue do item do Lema 3.. Para o item, suponhamos que exista um grafo conexo com vértices que seja - linear, para algum. Pelo Teorema., possui arestas. Como então contrariando o fato de que é conexo. Para o item, suponhamos por absurdo que exista um grafo conexo linear, onde e. Se possui arestas e vértices então. Desta forma não é conexo, um absurdo. Pela Proposição acima e do Exemplo., para e os conjuntos e são os únicos não vazios. É claro que. Podemos, no entanto, ter com. De fato, vimos que o grafo da Figura pertence a mas temos que para todo par,. A proposição a seguir fornece condições suficientes para que. Proposição 3.. Sejam e tais que e. Se e ou é par, e ou é ímpar e então. Prova: Sejam e. Em qualquer das condições ou acima, temos pelo Lema 3. ( ), que. Suponhamos que e que. Logo os parâmetros e estão fora das condições e da Proposição 3. (vide prova). Portanto, se é o caminho com vértices, podemos inserir aleatoriamente arestas entre os vértices de. Desta forma, obtemos um grafo conexo com vértices e arestas. Calculando o grau médio de obtemos. Como, então. Logo,, pois, e. Portanto,. Proposição 3.3. Sejam e tais que. Então e. Prova: Seja um grafo linear conexo com vértices e arestas. Pela Definição., com. Como então Como, então, ou seja,. Logo. Chegamos, portanto, a e fica provada a primeira desigualdade. Temos que onde. Na divisão euclidiana de por obtemos onde e Se então ; logo. Daí XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 36

5 implicando. Agora, se, então. Logo. Como, então, ou seja,. Juntando ambos os casos, podemos afirmar que, o que prova a segunda desigualdade. Corolário 3.. Sejam e tais que. Então (i) se é par então, e ; (ii) se é ímpar, e então e ; (iii) se é ímpar e então. Prova: Para provar, suponhamos par e tais que. O Lema 3. (ou a Proposição 3.) nos garante que, quer tenhamos ou, devemos ter (e que as situações e e não são possíveis, pois ). Como é ímpar, segue da Proposição 3.3 que e. Os itens (ii) e (iii) seguem direto da Proposição 3.3, com as alterações evidentes. 4. Uma partição do conjunto de todos os grafos conexos com vértices Para, denotemos por o conjunto formado por todos os grafos conexos com vértices. Nesta seção vamos mostrar que podemos particionar em um número finito de conjuntos da forma. Além disso, estabelecemos uma ordem total para as classes de tal partição. Consideremos,. Para cada,, ponhamos e definamos os parâmetros e como a seguir: (4.) Proposição 4.. Para fixado, os conjuntos, onde,, e e são definidos como em, determinam uma partição de. Prova: Primeiramente, afirmamos que para cada,,. De fato, fixado um tal, por (4.) temos que ; como podemos concluir que. Além disso,, pois, e. E como então. Agora, é fácil verificar que se então, se é par e então e que, se é ímpar e então, ou seja, que e satisfazem, ou da Proposição 3.. A afirmação está provada. Afirmamos que os conjuntos são dois a dois disjuntos, ou seja, se então e e portanto, os conjuntos são iguais. De fato, suponhamos que para e como em (4.) exista um grafo conexo tal que. Ora, pela Definição. temos que e implicando. Além disso, e, ou seja,, provando a afirmação. Finalmente, afirmamos que. De fato, seja um grafo conexo com vértices. Se possui arestas então. Se tomamos temos então que e. Deste modo, e. Portanto. XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 37

6 No que se segue vamos mostrar que uma ordenação das classes que formam a partição de é naturalmente induzida pelos índices. De fato, fixado, se e são classes da partição de estabelecida na Proposição 4., definimos a relação pondo (4.) Proposição 4.. A relação definida em estabelecida na Proposição 4.. induz uma ordem total na partição de Prova: Imediata do fato de que a ordem usual dos naturais induz a ordem definida por. Notar que a relação em (4.) pode ser descrita também como: Segundo esta relação, a -ésima classe da partição de é a que possui grafos com arestas, para. Exemplo 4.. Pela Proposição 4., é particionado em classes não vazias de grafos conexos -lineares de ordem 4. Ora, tem 6 grafos. Para, e a classe é formada pelas duas árvores com 4 vértices e arestas da Figura. Figura : Árvores de S 4 (, ). Para temos e e, portanto, é formada pelos dois grafos unicíclicos conexos com 4 vértices e arestas da Figura 3. Figura 3: Grafos unicíclicos de S 4 (, ). Para temos e. O único elemento de é o grafo com arestas isomorfo ao grafo completo menos uma aresta. E para temos e. O grafo completo é o único elemento da classe. Proposição 4.3. Dado, se e são duas classes da partição de e vale segundo a ordem definida em (4.) então se então, e se então. XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 38

7 Prova: Suponhamos. Então, por (4.) vale, de onde obtemos Se e então, e daí (4.3) o que implica. Agora, suponhamos que e. Chamando, temos que e podemos reescrever (4.3) pondo. Ora, pelo Corolário temos que ; logo, pois. Assim, Logo ; mas e portanto,. O primeiro item está provado. Se, da desigualdade em, segue imediatamente o item. Exemplo 4.. Para e temos, respectivamente: e As classes das partições e acima aparecem em ordem crescente segundo a ordenação definida em (4.). De modo geral temos: Proposição 4.4. Para se é par então ; se é ímpar então, temos:. Prova: Segue do Corolário 3.. Para os valores de e, vemos na Figura 4, a representação no plano cartesiano dos pares tais que as classes constituem a partição de. O mesmo é feito na Figura 5 para e. Por exemplo, para, a partição de é constituída de 46 classes da forma, e a ordenação segue como: XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 39

8 Classes (a, b)-lineares de grafos conexos de ordem par Classes (a, b)-lineares de ordem n = 4 Classes (a, b)-lineares de ordem n = 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 3 Classes (a, b)-linear of order n = 8 Classes (a, b)-linear of order n = valors de b Figura 4: Pares tais que é classe da partição de, para. Classes (a, b)-lineares de grafos conexos de ordem ímpar Classes (a, b)-lineares de ordem n = 5 Classes (a, b)-lineares de ordem n = 7,5,5,5,5,5, Classes (a, b)-lineares de ordem n = 9 Classes (a, b)-lineares de ordem n = Figura 5: Pares tais que é classe da partição de, para. XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3

9 Acknowledgement: As terceira e quarta autoras agradecem ao CNPq (Conselho Brasileiro para o Desenvolvimento Científico e Tecnológico) por todo o suporte recebido. 5. Referências. Abreu, N. M. M de. (7), Old and new results on algebraic connectivity of graphs, Linear Algebra and its Applications 43, Issue, Harary, F, Graph Theory, Addison Wesley, 97. Lima, L. S., Abreu N. M. M., Moraes, P. E. e Sertã, C. (4), Some properties of graphs in -linear classes, Congressus Numerantium, 66, Lima, L. S., Abreu, N. M. M., Oliveira, C. S. e Freitas, M. A. A. (7), Laplacian integral graphs in, Linear Algebra and its Applications 43, Issue, Moraes, P. E., Abreu, N. M. M. e Jurkiewicz, S. (), Graphs with homogeneous density in linear classes, Congressus Numerantium, 5, Oliveira, C. S., Abreu, N. M. M. e Pazoto, A. F. (5), Parameters of connectivity in - linear graphs, Eletronic Notes in Discrete Mathematics,, XLI SBPO 9 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3