Análise de Algoritmos Parte 4

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1 Análise de Algoritmos Parte 4 Túlio Toffolo [email protected] BCC202 Aula 07 Algoritmos e Estruturas de Dados I

2 Como escolher o algoritmo mais adequado para uma situação? (continuação)

3 Mais sobre notação assintótica de funções Existem duas outras notações na análise assintótica de funções: Notação o ( O pequeno) Notação ω Estas duas notações não são usadas normalmente, mas é importante saber seus conceitos e diferenças em relação às notações O e Ω, respectivamente 3

4 Notação o O limite assintótico superior definido pela notação O pode ser assintoticamente firme ou não: Por exemplo, o limite 2n 2 = O(n 2 ) é assintoticamente firme, mas o limite 2n = O(n 2 ) não é. A notação o é utilizada para definir um limite superior que não é assintoticamente firme Matematicamente, g(n) é o(f(n)) se: Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n m, temos g(n) < c f(n). 4

5 Notação ω De forma análoga, a notação ω está relacionada com a notação Ω, da mesma maneira, ou seja: A notação ω é utilizada para definir um limite inferior que não é assintoticamente firme Matematicamente, g(n) é ω (f(n)) se: Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n m, temos g(n) > c f(n). 5

6 Hierarquia de Funções A seguinte hierarquia pode ser definida do ponto de vista assintótico: 1 log log n log n n n c n log n c n n n c cn onde ε e c são constantes com 0 < ε < 1 < c. 6

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8 Problema do Caixeiro Viajante Seja um conjunto de cidades e uma matriz de distâncias entre elas PCV consiste em encontrar uma rota para um Caixeiro Viajante tal que este: parta de uma cidade origem passe por todas as demais cidades uma única vez retorne à cidade origem ao final do percurso percorra a menor distância possível Esta rota é conhecida como ciclo hamiltoniano

9 Problema do Caixeiro Viajante

10 Problema do Caixeiro Viajante

11 Recursividade Parte 1 Túlio Toffolo [email protected] BCC202 Aula 07 Algoritmos e Estruturas de Dados I

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13 Recursividade A recursividade é uma estratégia que pode ser utilizada sempre que uma função f pode ser escrita em função dela própria. Exemplo Função fatorial: n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *...* 1 (n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) *...* 1 logo: n! = n * (n-1)!

14 Recursividade Definição: dentro do corpo de uma função, chamar novamente a própria função Recursão direta: a função A chama a própria função A Recursão indireta: a função A chama uma função B que, por sua vez, chama A

15 Condição de parada Nenhum programa nem função pode ser exclusivamente definido por si Um programa seria um loop infinito Uma função teria definição circular Condição de parada Permite que o procedimento pare de se executar Exemplo: f(x) > 0 onde x é decrescente Objetivo Estudar recursividade como ferramenta prática!

16 Recursividade Para cada chamada de uma função, recursiva ou não, os parâmetros e as variáveis locais são empilhados na pilha de execução. No que isto implica? Maior consumo de memória!

17 Execução Internamente, quando qualquer chamada de função é feita dentro de um programa, é criado um Registro de Ativação na Pilha de Execução do programa O registro de ativação armazena os parâmetros e variáveis locais da função bem como o ponto de retorno no programa ou subprograma que chamou essa função. Ao final da execução dessa função, o registro é desempilhado e a execução volta ao subprograma que chamou a função

18 Exemplo int fat1(int n) { int r; if (n<=0) r = 1; else r = n*fat1(n-1); return r; void main() { int f; f = fatx(4); printf("%d",f); int fat2(int n) { if (n<=0) return 1; else return n * fat2(n-1);

19 Complexidade A complexidade de tempo do fatorial recursivo é O(n). (Em breve iremos ver a maneira de calcular isso usando equações de recorrência). Mas a complexidade de espaço também é O(n), devido a pilha de execução. Ja no fatorial não recursivo a complexidade de espaço é O(1). Fat (int n) { int f = 1; while(n > 0){ f = f * n; n = n 1; return f;

20 Recursividade Portanto, a recursividade nem sempre é a melhor solução, mesmo quando a definição matemática do problema é feita em termos recursivos Além disso, pode-se afirmar que: Todo algoritmo recursivo tem uma versão nãorecursiva O que devemos nos perguntar é: vale a pena implementar esta versão não-recursiva?

21 Fibonacci Outro exemplo: Série de Fibonacci: F n = F n-1 + F n-2 n > 2, F 0 = 0 F 1 = 1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, int Fib(int n) { if (n<=0) return 0; else if ( n == 1) return 1; else return Fib(n-1) + Fib(n-2);

22 Fibonacci não recursivo int FibIter(int n) { int i, k, F; i = 1; F = 0; for (k = 1; k <= n; k++) { F += i; i = F - i; return F; Complexidade: O(n) Conclusão: não usar recursividade cegamente!

23 Análise da função Fibonacci Ineficiência em Fibonacci Termos F n-1 e F n-2 são computados independentemente Número de chamadas recursivas = número de Fibonacci! Custo para cálculo de F n O(φ n ) onde φ = (1 + 5)/2 = 1, Golden ratio Exponencial!!!

24 Fibonacci recursivo melhorado int FibR(int n, int a, int b) { if (n == 0) return a; if (n == 1) return b; return FibR(n-1, b, a+b); int Fib(int n) { return FibR(n, 0, 1);

25 Quando vale a pena usar recursividade Recursividade vale a pena para Algoritmos complexos, cuja a implementação iterativa é complexa e normalmente requer o uso explícito de uma pilha Dividir para Conquistar (Ex. Quicksort) Caminhamento em Árvores (pesquisa, backtracking)

26 Dividir para Conquistar Duas chamadas recursivas Cada uma resolvendo a metade do problema Muito usado na prática Solução eficiente de problemas Decomposição Não se reduz trivialmente como fatorial Duas chamadas recursivas Não produz recomputação excessiva como fibonacci Porções diferentes do problema

27 Exemplo simples: régua int regua(int l,int r,int h) { int m; if ( h > 0 ) { m = (l + r) / 2; marca(m, h); regua(l, m, h 1); regua(m, r, h 1); Qual é a ordem de impressão das marcas?

28 Execução: régua regua(0, 8, 3) marca(4, 3) regua(0, 4, 2) marca(2, 2) regua(0, 2, 1) marca(1, 1) regua(0, 1, 0) regua(1, 2, 0) regua(2, 4, 1) marca(3, 1) regua(2, 3, 0) regua(3, 4, 0) regua(4, 8, 2) marca(6, 2) regua(4, 6, 1) marca(5, 1) regua(4, 5, 0) regua(5, 6, 0) regua(6, 8, 1) marca(7, 1) regua(6, 7, 0) regua(7, 8, 0)

29 Outra implementação: régua int regua2(int l,int r,int h) { int m; m = (l + r) / 2; marca(m,h); if ( h > 1 ) { regua(l, m, h 1); regua(m, r, h 1);

30 Outra implementação: régua int regua(int l,int r,int h) { int m; if ( h > 0 ) { m = (l + r) / 2; marca(m, h); regua(l, m, h 1); regua(m, r, h 1); int regua2(int l,int r,int h) { int m; m = (l + r) / 2; marca(m,h); if ( h > 1 ) { regua(l, m, h 1); regua(m, r, h 1);

31 Perguntas?

32 Exercício Crie uma função recursiva que calcula a potência de um número: Como escrever a função para o termo n em função do termo anterior? Qual a condição de parada?