MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 Cetro Uiversitário Ítalo Brasileiro Admiistração de Empresas Ciêcias Cotábeis MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof a Julia Satie Morita Nobre Prof a Liaa Maria Ferezim Guimarães 2009

2 Matemática Fiaceira O material aqui apresetado cotém, resumidamete, coceitos, defiições, exercícios e problemas extraídos dos textos abaixo relacioados: a) BODIE, Z. & MERTON, R.C. Fiaças, São Paulo : Bookma, b) BRANCO, A.C.C. Matemática Fiaceira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. 2. ed. São Paulo: Pioeira Thomso Learig, c) CASAROTTO, F.N. & KOPITTKE, B.H. Aálise de Ivestimetos. São Paulo, Atlas, d) CASCINO, Marcos Atoio Gagliardi. Apostila de Matemática Fiaceira. São Paulo: Cetro Uiversitário Ítalo Brasileiro, e) FARIA, Jorge Luís. Apostila de Matemática Fiaceira. São Paulo: Cetro Uiversitário Ítalo Brasileiro, f) FORTUNA, E. Mercado Fiaceiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Jaeiro: Qualitymark, g) GITMAN, L.J. Pricípios de Admiistração Fiaceira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997 h) HIRSCHFELD, H. Egeharia ecoômica e aálise de custos. São Paulo, Atlas, i) MATHIAS, W.F.& GOMES, J.M. Matemática Fiaceira. Atlas, São Paulo, j) PUCCINI, A.L. Matemática Fiaceira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, k) RAMIRO, W. Apostila de Admiistração Fiaceira e Orçametária I e II. Uiversidade Ibirapuera, l) ROSS, S. et alii. Pricípios de Admiistração Fiaceira. 2. ed. São Paulo: Atlas, m) SECURATO, J.R. Cálculo Fiaceiro das Tesourarias Bacos e Empresas. São Paulo, Sait Paul, ) VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Fiaceira. 7. ed. São Paulo: Atlas, Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 1

3 Porcetagem 1. TAXA PERCENTUAL A expressão por ceto vem do latim per cetum e quer dizer por um ceto. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (Cieto) usada pelos mercadores italiaos do século XV as suas trasações comerciais e aparece, pela primeira vez, em 1685, um livro fracês, Le Guide de Negotie (O Guia do Comerciate). a Toda razão 100 chama-se taxa percetual 47% = 47 = = 0, TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA (o deomiador desta fração é igual a 100) (o deomiador desta fração é igual a 1) Quado a taxa percetual é aplicada a um certo valor, o resultado obtido recebe o ome de porcetagem. Quado um cálculo de porcetagem é efetuado, a verdade, é realizado um simples cálculo de proporção. Exemplo: Uma fábrica tiha 600 fucioários. Este ao o úmero de fucioários aumetou em 15%. Quatos fucioários a fábrica tem agora? Vamos resolver essa questão de três modos diferetes: 1 o modo: Calculamos 15% de 600: Observação: de = multiplicação 15 15% de 600 =.600 = 0, = 90 fucioários 100 taxa percetual porcetagem = 690 fucioários Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 2

4 2 o modo: Fazemos o úmero iicial de fucioários correspoder a 100%. Com o aumeto de 15%, o total de fucioários vai correspoder a 115% % de 600 =.600 = 1, = 690 fucioários o modo: Estabelecemos uma regra de três: Número de fucioários Taxa percetual % x 115% Como as gradezas são diretamete proporcioais, temos: 600 x = 100.x = x = x = 690 fucioários Exercícios 1) Trasformar os úmeros abaixo em taxa uitária: a) 37% b) 5,3% c) 3 5% d) 8% e) 200% f) 0,25% g) 3% 2) Trasformar os úmeros abaixo em taxa percetual: a) 0,45 b) 0,032 c) 12,35 d) 3 4 e) 0,03 f) 0,004 g) 7 3) Calcule: a) 37% de b) 5,3% de c) 180% de 540 d) 0,75% de 380 e) 3 5 de DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL ( %) Quado comparamos a difereça etre o valor ovo e o valor atigo de uma variável com seu valor atigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcetagem, ela é chamada de taxa de variação percetual. Portato: V % = ovo V V at at 100 ode V at = valor atigo da variável; V ovo = valor ovo da variável. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 3

5 Exemplos: 1) Uma mercadoria que custava R$ 12,50 sofreu um aumeto, passado a custar R$ 13,50. Qual a porcetagem de aumeto o preço? Primeiramete, idetificamos os valores ovo e atigo da mercadoria: V at = R$ 12,50 e V ovo = R$ 13,50 Aplicamos, etão, a fórmula: Vovo Vat 13,50 12,50 % = 100 = 100 = 8% V at 12,50 A mercadoria sofreu um aumeto de 8% em seu preço. 2) Um ivestimeto de R$ ,00 em ações propiciou um resgate líquido de R$ ,00. Qual a porcetagem de desvalorização desse ivestimeto? V at = R$ ,00 e V ovo = R$ ,00 Vovo Vat % = 100 = 100 = 28,5% V at Esse ivestimeto sofreu uma desvalorização de 28,5%. 3. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Uma propriedade importate das taxas percetuais é aquela em que se deseja calcular a porcetagem de uma porcetagem. Neste caso, as taxas percetuais ão podem ser adicioadas, mas sim devem ser multiplicadas. No caso de serem dadas duas ou mais porcetages que represetam acréscimos sucessivos a um mesmo úmero: efetuamos um primeiro acréscimo ao úmero; efetuamos um segudo acréscimo ao resultado obtido e assim sucessivamete. Em geral, se um valor V sofre acréscimos sucessivos de taxas uitárias i 1, i 2,..., i, etão o ovo valor R é dado por: R = V + i. 1+ i [( )( ) ( )] No caso de serem dadas duas ou mais porcetages que represetam descotos sucessivos a um mesmo úmero: efetuamos um primeiro descoto ao úmero; efetuamos um segudo descoto ao resultado obtido e assim sucessivamete. Em geral, se um valor V sofre descotos sucessivos de taxas uitárias i 1, i 2,..., i, etão o ovo valor R é dado por: i [( i )(. 1 i )...( )] R = V i Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 4

6 Portato, para ecotrarmos o valor de taxas acumuladas por acréscimos ou descotos sucessivos, calculamos: i [( ± i )(. 1± i )...( 1± i ) 1. ]100 ac = ode utilizamos (+) para acréscimos e ( ) para descotos. Exemplos: 1) Uma aplicação de R$ 1.200,00 redeu por 3 meses cosecutivos as taxas líquidas de 5%, 3% e 2%, qual o valor resgatado? R = V.[(1 + i 1 ). (1 + i 2 ). (1 + i 3 )] = 1200.[(1 + 0,05).(1 + 0,03).(1 + 0,02)] R = R$ 1.323,76 2) Sobre uma fatura de R$ ,00 foram feitos dois descotos sucessivos de 7% e 4%. Qual o valor líquido dessa fatura? R = V.[(1 - i 1 ). (1 - i 2 )] = [(1-0,07).(1-0,04)] R = R$ ,00 3) Durate 5 meses cosecutivos, a variação do valor das cotas de um fudo de ações foi de 12%, 7%, -6%, 1% e -2%. Qual foi a variação esse período? i ac = [(1 ± i 1 ). (1 ± i 2 ).. (1 ± i ) - 1] x 100 i ac = [(1 + 0,12).(1 + 0,07).(1 0,06).(1 + 0,01).(1 0,02) - 1] x 100 i ac = 11,5006% os cico meses. Observação: Note que, as fórmulas, as taxas são utilizadas sempre a forma uitária. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 5

7 Problemas evolvedo porcetagem 01) O salário de um trabalhador em abril de 2000 era de R$ 1.265,00. Determie o ovo salário, após um reajuste de 8,30% em maio. [R: $ 1.370,00] 02) O preço de um determiado produto o mês passado era de $ 126,00. Se o seu preço atual é de $ 148,50, determie a porcetagem do aumeto sofrido esse período. [R: 17,86%] 03) Um vededor gaha 3,5% de comissão sobre as vedas que realiza. Tedo recebido R$480,00 de comissões, quato vedeu? [R:$ ,29] 04) Um vededor recebe mesalmete um salário fixo de $ 800,00 e comissão de 3,5% sobre as vedas que realiza. Tedo recebido um salário de R$ 1.760,00, determie quato vedeu o mês em questão. [R: $ ,57] 05) Uma pessoa gasta seu salário da seguite maeira: 30% vão para a poupaça, 20% para o aluguel, 35% para a alimetação e o restate é utilizado em atividades de lazer. Qual é o salário dessa pessoa, se são gastos $ 450,00 em lazer? [R: $ 3.000,00] 06) Um ivestidor aplicou $ 1.100,00 em CDB, $ 1.500,00 a cadereta de poupaça e $ 1.300,00 em ações. Determie a distribuição percetual de suas aplicações. [R:28,21% (CDB); 38,46% (poupaça); 33,33% (ações)] 07) Um eletrodoméstico passou a ser vedido por $ 200,00, após um aumeto de 25%. Determie o preço ates da alteração. [R: $ 160,00] 08) O preço das ações da Cia. GG caiu de $ 4,20 para $ 3,15. Qual foi a variação percetual? [R: -25,00%] 09) Um ivestidor comprou uma casa por $ ,00 e gastou 80% do custo em uma reforma. Mais tarde, vedeu a casa por $ ,00. Qual foi seu lucro? De quato foi seu lucro percetual? [R: $ ,00; 33,33%] 10) Em 1990 as vedas de uma determiada compahia foram de $ ,00. Em 1991 as vedas apresetaram um acréscimo de 35% e o ao seguite, uma redução de 17%. Determie o valor das vedas dessa compahia em [R: $ ,00] 11) O preço de um determiado produto sofreu dois aumetos sucessivos: 10% e 20%. Qual foi a variação percetual? [R: 32,00%] 12) O preço de um determiado produto sofreu duas reduções sucessivas: 10% e 20%. Qual foi a variação percetual? [R: - 28,00%] 13) Um objeto é oferecido por $ 600,00; este preço sofre um descoto de 20% e depois de 15%. Determie o ovo preço. [R: $ 408,00] 14) Promoções do tipo leve 3 e pague 2 têm sido cada vez mais utilizadas o comércio. Calcule o descoto percetual oferecido sobre cada uidade vedida. [R: 33,33%] 15) O salário míimo foi criado o século XIX a Austrália e a Nova Zelâdia. No Brasil o salário míimo surgiu o século XX a década de 30, com a promulgação da Lei de º185 em jaeiro de 1936 e decreto de lei em abril de No dia 1º de Maio o etão presidete Getúlio Vargas, fixou os valores do salário míimo que começou a vigorar o mesmo ao. Nesta época existiam 14 salários míimos diferetes, sedo que a capital do país, o Rio de Jaeiro, o salário míimo correspodia a quase três vezes o valor do salário míio o Nordeste. A primeira tabela do salário míimo tiha um prazo de vigêcia de três aos, mas em 1943 foi dado o primeiro reajuste seguido de um outro em dezembro do mesmo Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 6

8 ao. Os aumetos eram calculados para recompor o poder de compra do salário míimo. A uificação total do salário míimo acoteceu em (Fote: Cosidere os valores de salário míimo istituídos o Brasil os últimos aos, apresetados a tabela: Data Salário Míimo (R$) Data Salário Míimo (R$) Abril/ ,00 Abril/ ,00 Abril/ ,00 Abril/ ,00 Maio/ ,00 Março/ ,00 Maio/ ,00 Fevereiro/ ,00 Com base esses dados, pede-se determiar a variação percetual do salário míimo de abril/2007 a março/2008. [R: A variação percetual do salário míio de abril/2007 a março/2008 foi de 9,2105%]. 16) O Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbaa (IPTU) é um imposto brasileiro istituído pela Costituição Federal cuja icidêcia se dá sobre a propriedade urbaa. Ou seja, o IPTU tem como fato gerador a propriedade, o domíio útil ou a posse de propriedade imóvel localizada em zoa urbaa ou extesão urbaa...os cotribuites do imposto são as pessoas físicas ou jurídicas que matém a posse do imóvel, por justo título....atualmete ele é defiido pelo artigo 156 da Costituição de 1988, que caracteriza-o como imposto muicipal, ou seja, somete os muicípios têm competêcia para aplicá-lo. A úica exceção ocorre o Distrito Federal, uidade da federação que tem as mesmas atribuições dos Estados e dos muicípios....a base de cálculo do IPTU é o valor veal do imóvel sobre o qual o imposto icide. Este valor deve ser etedido como seu valor de veda em diheiro à vista, ou como valor de liquidação forçada... A alíquota utilizada é estabelecida pelo legislador muicipal, variado coforme o muicípio. (Fote: Cosidere uma situação a qual um cotribuite pagou o IPTU devido com atraso, arcado com multa de 20% sobre o valor devido. Tedo efetuado um pagameto de $ 414,00 (multa iclusa), determiar o valor do imposto sem a multa. [R: O valor do imposto sem multa é de $ 345,00] 17) Promoção de férias de julho: descoto de 33% em todos os pacotes a América do Sul. este foi o aúcio publicado o joral Gazeta da Mahã a última semaa. Detre as diversas ofertas apresetadas, destacamos o pacote de viagem para Bueos Aires, com passagem aérea ida e volta, traslado e 3 dias de hospedagem com café da mahã. Determie o preço de tabela, se o valor pago pelo cliete por esse pacote com a promoção foi de $ 2.340,00. [R: O preço de tabela é de $ 3.492,54] 18) As motadoras istaladas o país termiaram maio de 2009 com a produção total de veículos, uma queda de 7.7% em relação a igual mês de Os dados são da Associação Nacioal dos Fabricates de Veículos Automotores (Afavea). (Fote: ecoomia.uol.com.br/ultot/valor, de 04/06/2009) Com base a iformação apresetada acima, determiar a produção de veículos o ao de [R: A produção de veículos em 2008 foi de veículos.] 19) Após 8 meses, dólar fica abaixo de R$ 2,00. Capital extero, atraído por juro alto, derruba cotação para R$ 1,97; empresas reduzem dívida em R$ 33 bi. Para especialistas, um dos fatores que atraem estrageiros é o juro básico de 10,25% ao ao, etre os maiores do mudo... Outras razões apotadas para a valorização do real são a alta o preço das commodities agrícolas e metálicas, pricipais produtos de exportação do país, e o fato de a ecoomia ão ter se desacelerado tato quato outras atigidas pela crise. (Fote: Folha de São Paulo, 30/05/2009) Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 7

9 Na Tabela abaixo você ecotra algus valores de cotação do dólar americao o ao de 2008 e Com base os dados apresetados, pede-se determiar a variação percetual da cotação do dólar o período de 02/01/09 a 02/02/09. Data Cotação (R$) Data Cotação (R$) 01/09/2009 1,64 02/01/2009 2,33 01/10/2008 1,92 02/02/2009 2,35 03/11/2008 2,18 02/03/2009 2,41 02/12/2008 2,34 02/04/2009 2,23 [R: A cotação do dólar variou 0,8584% o período de 02/01/2009 a 02/02/2009.] Exercícios extras 20) A população de uma pequea cidade do iterior sergipao em 1970 era de habitates. Em 1980, a população passou para habitates. Qual foi a variação percetual da população dessa cidade de 1970 para 1980? [R: - 20%] 21) A média de reprovação em cocursos públicos é de 82%. Quatas pessoas serão aprovadas um cocurso com iscritos? [R: aprovados] 22) Numa determiada turma de um curso uiversitário, 78% dos aluos foram aprovados, 15% reprovados e os 14 aluos restates desistiram do curso. Qual é o úmero de aluos dessa turma? [R: 200 aluos] 23) Um carro foi adquirido por R$ ,00. Por quato deve ser vedido, se a margem de lucro pretedida é de 5% sobre o preço de custo? [R: $15.330,00] 24) Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lojista quiser obter um lucro de 20% sobre o preço de custo, por quato deve veder esta mercadoria? [R: $ 9.600,00] 25) Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lucro que o lojista quer obter represeta 20% do preço de veda, por quato deve veder esta mercadoria? [R: $ ,00] 26) Certo comerciate vedeu uma determiada mercadoria com o lucro de 10% sobre a veda. Sabedo-se que o preço de custo do produto em questão foi de $ 1.800,00, determie o valor do lucro dessa operação. [R: 200,00] 27) Uma rede de papelarias aucia: compre 12 e pague 10. Sabedo-se que Mariaa levou 12 caderos e pagou $ 64,00, perguta-se: Quato ela pagaria se levasse apeas 3 caderos? Qual é a porcetagem de descoto oferecida a promoção? [R: $ 19,20; 16,6667%] 28) Uma embalagem de uma determiada bolacha cotedo 240 gramas era vedida a $ 5,60. O fabricate optou por reduzir a embalagem para 180 gramas e reajustou o preço de veda para $ 5,20. Qual foi a variação percetual desse produto? [R: 23,8095%] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 8

10 Matemática Fiaceira MATEMÁTICA FINANCEIRA: Estudo do valor do diheiro ao logo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar aálises e comparações dos vários fluxos de etrada e saída de diheiro de caixa verificados em diferetes mometos. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa de uma operação fiaceira ou de um ivestimeto é uma represetação esquemática das etradas e saídas de caixa que ocorrem ao logo do tempo. Na escala horizotal é idicado o período de tempo, que pode ser: dias, semaas, meses, aos,.... As setas orietadas para baixo estão associadas a saídas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sial egativo. As setas orietadas para cima estão associadas a etradas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sial positivo. Exemplos: 1) Represetar o diagrama de fluxo de caixa a seguite situação: uma empresa fez uma aplicação de R$ ,00 em um baco e, após dois meses, resgatou R$ ,00. FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA (INVESTIDOR) FLUXO DE CAIXA DO BANCO (TOMADOR) (+) (+) (-) (-) ) Represetar o diagrama de fluxo de caixa a seguite situação: um idivíduo (pessoa física) tomou um empréstimo de R$ ,00 em um baco e pagará o mesmo em quatro prestações mesais de R$ 5.500,00 cada uma, a partir do mês seguite. FLUXO DE CAIXA DO INDIVÍDUO (+) (-) FLUXO DE CAIXA DO BANCO (+) (-) Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 9

11 Em matemática fiaceira, defiimos Capital como um valor dispoível para aplicação uma certa data. Uma pessoa ou istituição que decide aplicar (ou emprestar) um certo capital para outra pessoa ou istituição, por um certo período de tempo, espera ser remuerada por isso. A remueração recebida pelo aplicador e chamada de Juro. Juro é, portato, um valor que remuera um capital empregado por um determiado tempo, de acordo com uma taxa (geralmete estipulada em percetual) previamete combiada. Assim, se um capital (PV) estiver aplicado por um tempo () a uma taxa de juros (i), ao resgatá-lo, após fidar o prazo de aplicação, o aplicador deverá receber do tomador, além do valor aplicado, um valor a mais, calculado com base a taxa (i) combiada, que vem a ser o juro ou o redimeto sobre o capital empregado. Termos básicos: Juro (J): remueração do capital emprestado (aluguel pago pelo uso do diheiro). Taxa de juros: razão etre os juros recebidos pagos (ou recebidos) e o capital iicial J aplicado: i = PV Pricipal ou Valor Presete (PV) : capital iicial, também chamado de pricipal. Motate ou Valor Futuro (FV): capital iicial acrescido da remueração obtida durate o período da aplicação, também chamado de Motate. Motate = Capital Iicial + Juros ou FV = PV + J Existem basicamete duas metodologias para o cálculo de juros: a capitalização simples e a capitalização composta. Capitalização Simples a taxa de juros icide somete sobre o capital iicial. J = PV.i. FV = PV.(1 + i.) Capitalização Composta a taxa de juros icide sobre o motate do período aterior (capital iicial + juros acumulados até o período aterior). J = PV.[( 1+ i) 1] FV = PV.( 1+ i) Observação: Taxa de juros (i) Como já foi visto, a taxa de juros pode ser apresetada em duas formas: forma cetesimal (10%, 2%) forma uitária: (0,10; 0,02) Nos euciados ou as respostas de exercícios será usada a forma cetesimal (%). Nas fórmulas deve ser usada a forma uitária. Na HP-12C, a etrada da taxa de juros deve ser feita a forma cetesimal (%). Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 10

12 Capitalização Simples No regime de juros simples, a taxa de juros cobrada a trasação fiaceira icide sempre sobre o mesmo valor, isto é, sobre o valor iicial do capital. Isto quer dizer que os juros de um determiado período ão são icorporados ao capital para efeitos de formação de uma ova base de cobraça para o período seguite. Esse modo de aplicação é chamado de coveção liear de cobraça de juros. Logicamete essa taxa de juros cobrada ficará multiplicada pelo tempo de aplicação cotratado. Assim temos: Juros = Capital x Taxa de Juros x Tempo de Aplicação ou J = PV. i. A soma do valor dos juros (J) com o capital (PV) iicialmete aplicado é chamada de Motate (FV), isto é: FV = PV + J ou seja, FV = PV + PV.i. e portato FV = PV(1 + i.) Podemos esquematizar os elemetos acima em uma escala de tempo coforme o diagrama apresetado abaixo: FV = PV ( 1+ i. ) PV = FV ( 1+ i. ) Exemplos: 1) Calcular os juros recebidos por um ivestidor que aplicou R$ 5.000,00 por 3 meses à taxa de juros simples de 3% ao mês. Dados: Solução: PV = Como J = PV.i., etão, substituido os valores dados, temos: i = 3 % a.m. = 3 meses J = ,03. 3 J =? J = ,09 J = 450,00 Resposta: Os juros recebidos essa aplicação foram iguais a R$ 450,00. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 11

13 2) Imagie que você toma emprestado hoje R$ 1.000,00. Na egociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Cosiderado o regime de capitalização simples para a taxa de 10% a.m., qual o valor dos juros (J)? Quato deverá ser devolvido (FV)? 1 o modo: Cálculo dos juros (J): J = PV.i. J = ,1. 5 J = 500,00 Cálculo do Motate ou Valor Futuro (FV): FV = PV + J FV = FV = 1.500,00 2 o modo: Cálculo do Motate ou Valor Futuro (FV): FV = PV ( 1 + i. ) FV = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) FV = (1 + 0,5) FV = (1,5) FV = 1.500,00 Cálculo dos juros (J): J = FV PV J = J = 500,00 Nos exemplos acima podemos otar que os períodos de tempo () e taxa de juro (i) são homogêeos, ou seja, as variáveis estão a mesma uidade de tempo (estes exemplos, a taxa e o prazo estão em meses). Cotudo, há casos em que o prazo e a taxa de juros ão são apresetados a mesma uidade de tempo. Nestes casos, é ecessário adequarmos o prazo e a taxa de juros para a mesma uidade de tempo. REGRAS DE HOMOGENEIDADE ENTRE A TAXA DE JUROS E O TEMPO 1. Se a taxa ( i ) é mesal e o prazo ( ) de aplicação é em dias, teremos a expressão: i J = PV.., ode é o úmero de dias Se a taxa ( i ) é aual e o prazo ( ) de aplicação é em meses, teremos a expressão: i J = PV.., ode é o úmero de meses. 12 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 12

14 3. Se a taxa ( i ) é aual e o prazo ( ) de aplicação é em dias, teremos a expressão: i J = PV.., ode é o úmero de dias 360 Exemplos: Determiar o redimeto produzido por uma aplicação de R$ ,00 à taxa simples de 39% a.a., pelo prazo de: a) 2 aos b) 2 aos e 5 meses c) 2 aos 5 meses e 11 dias a) Dados: Solução: PV = Como J = PV. i., etão, substituido os valores dados, temos: i = 39 % a.a. = 2 aos J = ,39. 2 J = ,78 J = ,00 Resposta: O redimeto (juros) obtido é de R$ ,00. b) Dados: Solução: PV = Como J = PV. i., etão: i = 39 % a.a. = 2 aos e 5 meses = 29 meses J = , J =? 12 J = , J = ,9425 J = ,00 Resposta: O redimeto (juros) obtido é de R$ ,00. c) Dados: Solução: PV = Como J = PV. i., etão: i = 39 % a.a. = 2 aos e 5 meses e 11 dias = 881 dias J = , J = , J = , J = ,33 Resposta: O redimeto (juros) obtido é de R$ ,33. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 13

15 Problemas evolvedo juros simples 29) Calcular os juros recebidos por um ivestidor que aplicou um capital de $ ,00 à taxa de juros simples de 0,8% a.m. pelo prazo de 90 dias. [R: $ 624,00] 30) Calcule a taxa total (do período) de juros recebidos do exercício aterior. [R: 2,4000% o período] 31) Uma pessoa tomou um empréstimo o valor de $ 8.400,00 pelo prazo de 2 aos, à taxa de juros simples de 2,3% a.m. Quato pagou ao fial do prazo? [R: $ ,80] 32) Calcule o valor dos juros pagos e a taxa total (do período) da operação descrita o exercício aterior. [R: $ 4.636,80; 55,20% o período] 33) O cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bacos colocam à disposição dos clietes, levado em cota o seu cadastro e o relacioameto. Sua dispoibilidade é automática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito a cota correte superior ao saldo dispoível. A utilização está sujeita ao pagameto aos juros proporcioais ao valor utilizado durate o mês. Os ecargos juros e IOF são calculados diariamete e cobrados mesalmete. (Fote: fiaceter.terra.com.br, de 11/06/2009) Cosidere que um determiado cliete tomou um empréstimo o valor de $ 6.200,00 e pagou, ao fial de 21 dias, o valor de $ 6.780,00. Qual foi a taxa mesal de juros simples cobrada pela istituição fiaceira? [R: A taxa mesal cobrada foi de 13,3641 % a.m.] 34) Calcular os juros pagos em um empréstimo o valor de $ 7.200,00 pelo prazo de 18 dias, se a taxa egociada foi de 8,4% a.m. (juros simples). [R: $ 362,88] 35) Um terreo pode ser adquirido pelo preço à vista de $ ,00, ou por $ ,00 para pagameto após seis meses. Qual é a taxa mesal de juros simples que está sedo cobrada? [R: 2,0833% a.m.] 36) Uma istituição bacária aucia: aplique hoje $ 5.000,00 e receba $ 6.000,00 daqui a 150 dias. Qual é a taxa mesal de juros que está sedo oferecida, cosiderado o sistema de juros simples? [R: 4,0000% a.m.] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 14

16 Exercícios extras 37) Determiar qual o valor do capital, que aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.t. (ao trimestre), produz juros de $ 600,00 ao fial de um ao. [R: $ 6.000,00] 38) Uma loja fiacia um televisor de $ 390,00 sem etrada para pagameto em uma úica prestação de $ 420,00 o fial de 3 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada ao mês? [R: 2,5641% a.m.] 39) Quato tempo você deve deixar aplicado um capital o valor de $ 8.000,00 para obter um motate de $ ,00, se a taxa de juros simples da aplicação é de 17% a.a.? [R: 1,4706 aos] 40) Um cliete de determiada loja efetuou um pagameto de uma prestação de $ 250,00 por $ 277,08. Sabedo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja é de 5% a.m., por quatos dias esta prestação ficou em atraso? [R: 65 dias] 41) Em quato tempo um capital aplicado dobra de valor, se a taxa de juros simples remuerada é de 2% a.m.? [R: 50 meses] 42) Um capital de R$ ,00, aplicado a juros simples gerou, depois de certo prazo, o motate de R$ ,00. Sabedo-se que a taxa da operação é 1,5% a.m., calcule o prazo da aplicação. [R: 6 meses] 43) Qual o valor dos juros correspodetes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de juros simples de 7,5% ao mês? [R: R$ 2.430,00] 44) Que taxa de juro aual triplica um capital, o regime de juros simples, ao fial de 10 aos? [R: 20% a.a.] 45) Uma pessoa empresta a um amigo R$ 3.000,00 à taxa de juros simples de 65% ao ao, pelo prazo de 4,5 aos. Determiar o valor do resgate. [R: R$ ,00] 46) Determiar a taxa de juros simples (mesal e do período) correspodete à aplicação de R$ 1.500,00 por 5 meses, com valor de resgate igual a R$ 1.869,30. [R: 4,92% a.m. ou 24,62% para 5 meses] 47) Qual o pricipal que, aplicado a juros simples durate 15 dias, à taxa de 0,12% ao dia, produz um motate de R$ ,00? [ R: R$ ,46] 48) Qual o juro produzido pela aplicação de R$ ,00, durate 3 trimestres, à taxa de juros simples de 5,5% ao mês? [R: R$ 4.950,00] 49) Qual foi o capital ivestido em certa operação, cujo valor resgatado é de R$ ,00 e foi feita pelo período de 1 ao, à taxa de juros simples de 13% ao bimestre? [R: R$ ,31] 50) Aplique hoje R$ 55,00 e receba após um ao R$ 78,42. Qual a taxa mesal auferida essa aplicação, cosiderado o regime de capitalização simples? [R: 3,55% a.m.] 51) Foi feita uma aplicação em CDB o valor de R$ 3.500,00 pelo prazo de um ao e meio e foi estimado que a retabilidade será de 21% ao trimestre. Qual será o motate fial tedo sido essa aplicação realizada a juros simples? [R: R$ 7.910,00] 52) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00, à taxa de 5% ao trimestre. Calcule o prazo da aplicação em meses. [R: 48 meses] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 15

17 Descoto de Títulos : Descoto Bacário ou Comercial Simples Descoto é o ome dado a um abatimeto que se faz quato um título é resgatado ates de seu vecimeto. Trata-se de uma operação rotieira o mercado fiaceiro e o setor comercial, em que o portador de títulos de crédito (duplicatas, otas promissórias, etc.) pode levatar fudos uma istituição fiaceira (em geral bacos), descotado o título um período de tempo, ates do vecimeto. Nas operações de descoto o valor do descoto é calculado, multiplicado-se o valor omial (VN) do título a ser descotado pela taxa de descoto e pelo tempo que falta para o seu vecimeto. Este tipo de descoto, o qual a taxa de descoto icide sempre sobre o valor de resgate, é deomiado Descoto bacário ou Descoto comercial simples. D = VN. id. VA = VN D VA = VN( 1 i. ) ode: D = valor do descoto VN = Valor Nomial: é o valor defiido para um título em sua data de vecimeto. VA = Valor Atual ou valor descotado. i D = taxa de descoto. = prazo de atecipação (a decorrer do iício da operação de descoto até o vecimeto do título), em dias corridos. Como o valor do juro é subtraído do valor omial do título, o valor atual (VA) do título, após o descoto, passa a ser: Valor Atual = Valor Nomial - Descoto D ou VA = VN D tedo-se VA = VN( 1 i. ) D Na verdade podemos ver que o descoto comercial ada mais é que o juro simples cobrado atecipadamete sobre o valor omial de um título realizado ates do prazo de vecimeto. O esquema abaixo ilustra as operações de descoto comercial simples: VA 0 VN Observação: Nas operações de descoto simples, além do descoto propriamete dito, ocorrem duas outras despesas: IOF (Imposto sobre Operações Fiaceiras) e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito, correspodete a despesas admiistrativas da istituição fiaceira): Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 16

18 VA = VN D IOF TAC A TAC pode ser um percetual que icide sobre o valor de face do título ou Valor Nomial (VN). Cotudo, a TAC também pode ser um valor fixo. No caso de duplicatas e otas promissórias, o IOF é calculado sobre o valor descotado (VN-D), ou seja, IOF =.(VN D).α ode α = alíquota de IOF Exemplos: 1. Um título de Valor Nomial R$ ,00 foi descotado 55 dias ates de seu vecimeto à taxa simples de descoto de 3% a.m.. Calcular o valor do descoto e o valor recebido. 1 o modo: Dados: VN= i D = 3% a.m. Solução: Como: D = VN. i D., etão: = 55 dias D = , D =? 30 VA =? D = , D = 5.500,00 Uma vez cohecido o valor do descoto, podemos ecotrar o valor recebido, substituido o valor do mesmo a expressão: VA = VN D VA = VA = Resposta: O valor recebido ou Valor Atual (VA) é de R$ ,00. Poderíamos, alterativamete, utilizar a expressão VA = VN( 1 i D. ), daí: 2 o modo: VA = , VA = , = ( 1 0,055 ) = ,945 VA = R$ ,00 D = VN VA = D = R$ 5.500,00 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 17

19 2. Um título de Valor Nomial R$ ,00 foi descotado um baco 45 dias ates de seu vecimeto à taxa simples de descoto de 2,8 % a.m.. O baco cobrou IOF de 1,5% a.a. e TAC de R$ 80,00. Calcular o valor do descoto e o valor líquido recebido. Dados: VN= d = 2,8 % a.m. Solução: Como D = VN. i D., etão: = 45 dias D = , IOF = 1,5% a.a. = 0,0082% a.d. D = , TAC = R$ 80,00 D = , D =? VA =? D = 1.470,00 Podemos ecotrar o valor do IOF, aplicado a alíquota de 0,0082% a.d. sobre o Valor Nomial (VN) meos o valor do Descoto (D) o prazo. Etão: IOF = (VN D).0, IOF = ( ). 0,00369 IOF = ,00369 IOF = 123,73 TAC = 80,00 Uma vez cohecido o valor do DESCONTO, do IOF e da TAC podemos ecotrar o Valor Atual, substituido seus valores a expressão: VA = VN D IOF TAC VA = ,73 80 VA = ,27 Resposta: O valor líquido recebido é igual a R$ ,27. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 18

20 Problemas evolvedo Descoto Bacário (Comercial Simples) 53) Calcular o valor líquido creditado a cota de um cliete, correspodete ao descoto de uma duplicata o valor de $ ,00, com prazo de 42 dias, sabedo-se que o baco está cobrado uma taxa de descoto comercial de 4,7% a.m. e uma taxa de serviço de $ 5,00 pela operação. [R: $ ,80] 54) Um empresário deseja descotar uma ota promissória o valor de $ ,00 com prazo de vecimeto de 36 dias. Se a taxa de descoto bacário (descoto comercial) egociada foi de 4,5% a.m., determiar: a) o valor do descoto; b) o valor recebido. [R: $ 4.320,00; b) $ ,00] 55) Um cliete vai resgatar dois títulos à taxa de descoto comercial simples de 8% a.m.: o primeiro, de $ 3.480,00, com vecimeto para 3 meses e o segudo, de $3.960,00, para daqui a 5 meses. Calcule o valor total recebido pelo portador se a data de resgate for: a)hoje b)daqui a 1 mês. [R: a) $ 5.020,80; b) $5.616,00] 56) Uma empresa recebe $ pelo descoto de uma duplicata com valor de resgate de $36.465,30 e com prazo de vecimeto de 4 meses. Qual é a taxa de descoto comercial aplicada pelo baco? [R: 4,4325% a.m.] 57) Quatos dias faltam para o vecimeto de uma duplicata o valor de $ 9.800,00, que sofreu um descoto comercial simples de $ 448,50, à taxa de 18% ao ao? [R: 92 dias] 58) O descoto comercial simples de uma duplicata gerou um crédito de $ ,00 a cota de uma empresa. Calcular o valor da duplicata, sabedo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vecimeto e que o Baco cobra uma taxa de descoto de 5,2% a.m. essa operação. [R: $ ,00] 59) Qual o valor do descoto bacário de um título de R$ 2.000,00, com vecimeto para 30 dias, à taxa de 5% ao mês? [R: R$ 100,00] 60) Qual a taxa mesal de descoto bacário utilizada uma operação por 35 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e o valor atual é de R$ 850,00? [R: 12,86% a.m.] 61) Uma duplicata o valor de R$ ,00 é descotada por um baco gerado um crédito de R$ 9.000,00 a cota do cliete. Sabedo-se que a taxa cobrada pelo baco é de 5% a.m., determiar o prazo de vecimeto da duplicata. [R: 5 meses] 62) Um título de R$ 5.000,00 é descotado à taxa de 10% a.m., 15 dias ates do seu vecimeto. Calcular o valor depositado a cota do cliete e o valor do descoto. [R: R$ 4.750,00 ; R$ 250,00] 63) Sabedo que o descoto de uma duplicata o valor de R$ ,00, com 14 dias a vecer, gerou um crédito de R$ ,00 a cota do cliete, determiar a taxa mesal de descoto bacário utilizada. [R: 12% a.m.] 64) O baco Delta S.A. oferece empréstimos pessoais cobrado 20% a.m. de taxa de descoto comercial. Se uma pessoa ecessita de R$ ,00 agora para pagar daqui a 45 dias, qual será o valor do compromisso assumido? [R: R$ ,86] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 19

21 65) Uma duplicata o valor de R$ ,00 é descotada por um baco, gerado um crédito de R$ ,00 a cota do cliete. Sabedo-se que a taxa de descoto cobrada pelo baco é de 6,50% a.m., determiar o prazo (em dias) de vecimeto da duplicata? [R: 75 dias] 66) Calcular a que taxa mesal um título de R$ ,00, com 25 dias a vecer, gera um descoto o valor de R$ ,00? [R: 15,30% a.m.] 67) Uma empresa descota uma duplicata o valor de R$ ,00 e com 60 dias de prazo até o vecimeto. Sabedo-se que o baco cobra uma taxa de descoto comercial de 5,3% a.m., calcular o valor creditado a cota da empresa e o valor do descoto. [R: R$ ,00 ; R$ 4.664,00] 68) Uma duplicata com prazo de 43 dias foi descotada à taxa de descoto bacário de 5,4% a.m.. O valor omial da duplicata é de $ 2.000,00. Sabe-se que a alíquota de IOF (Imposto sobre Operações Fiaceiras) é de 0,0041% a.d. e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito) é de 0,2% do valor omial do título. Calcular: a) o descoto bacário (D). b) o imposto sobre operações fiaceiras (IOF). c) o valor da taxa de abertura de crédito (TAC). d) o valor colocado à disposição da empresa. [R: $ 154,80;$ 3,25; $ 4,00; $ 1.837,95] 69) Uma duplicata de $ 1.000,00 foi descotada um baco que cobra 0,5% de despesa admiistrativa. O título foi descotado 37 dias ates de seu vecimeto e a taxa de descoto é de 5,1% a.m.. Cosiderado-se que o IOF (Imposto sobre Operações Fiaceiras) é de 0,0041% a.d., calcule: a) O valor do descoto bacário b) O IOF c) A despesa admiistrativa; d) O valor colocado à disposição do cliete. [R: $ 62,90; $ 1,42; $ 5,00; $ 930,68] 70) O Descoto de Titulos ou Duplicatas é um adiatameto de recursos, feito pelo baco, sobre os valores dos respectivos títulos (duplicatas ou otas promissórias). Neste tipo de operação o cliete recebe diheiro atecipado de suas vedas a prazo. Ao apresetar um título para descoto, etretato, o cliete ão recebe seu valor total, pois são descotados diversos ecargos sobre o seu valor omial como por exemplo: taxa de descoto, IOF e taxa admiistrativa. (Fote: Fortua, Eduardo, Mercado Fiaceiro, Qualitymark, 16ª edição, Rio de Jaeiro, 2007, obtido em O gerete de uma empresa de materiais de costrução realizou uma operação de descoto bacário de uma duplicata o valor de $ ,00, tedo sido egociada uma taxa de descoto comercial simples de 2,7% a.m. Determie o prazo de vecimeto desse título, sabedo-se que o valor recebido pela empresa foi de $ ,00. Descosiderar pagameto de IOF (imposto sobre operações fiaceiras) e taxas admiistrativas. [R: O prazo de vecimeto da duplicata é de 4,7645 meses.] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 20

22 Capitalização Composta Equato que o regime de juros simples a taxa de juros icide sempre sobre o capital iicial, o regime de juros compostos o redimeto gerado pelo capital é icorporado a ele e capitalizado ovamete. É o que chamamos de juros sobre juros, ou modo expoecial de cobraça de juros já que, para a obteção do motate (FV) de um capital aplicado essa modalidade, a taxa de juros (i) fica multiplicada por ela mesma vezes, sedo o tempo de aplicação do capital iicial (PV). Dessa forma temos: FV = PV.[(1 + i ).( 1 + i ).( 1 + i )...(1 + i )]... vezes... de modo que o motate, o regime de juros compostos, é dado por: FV = PV.( 1+ i) Nessa fórmula o fator (1 + i) é o fator de valor futuro ou de capitalização. Logo, o seu iverso (1 + i) -, é chamado de fator de valor presete ou de descapitalização. O esquema abaixo ilustra as operações: PV FV = descapitalizado ( 1+ i) FV ) = PV.( 1+ i capitalizado Cálculo de juros compostos para períodos ão iteiros Quado o prazo da operação ão é um úmero iteiro de períodos a que se refere a taxa cosiderada, são adotadas duas coveções: a expoecial e a liear: Coveção Expoecial Calcula-se o motate correspodete ao prazo total da operação () o sistema de juros compostos: FV = PV.( 1+ i) Ateção: HP 12C C o visor: coveção expoecial. Sem a letra C o visor: coveção liear. Com a seqüêcia de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a letra C o visor. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 21

23 Coveção Liear Calcula-se o motate correspodete à parte iteira de períodos (k) o sistema de juros compostos e Na fração de tempo ão iteiro restate, calcula-se os juros segudo o sistema de capitalização simples. k FV = PV.( 1+ i).(1 + i. m) ode k é a parte iteira de períodos e m é a parte fracioária de períodos, ou seja k + m =. Exemplos de uso da HP-12C para cálculo de juros compostos 1. Imagie que você toma emprestado R$ 1.000,00. Na egociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Cosiderado o regime de capitalização composta para uma taxa de 10% a.m., quato deverá ser devolvido (FV)? FV = PV.(1 + i) FV = (1 + 0,10) 5 Na HP 12C: FV = (1,10) 5 f clear FIN FV = , ,00 CHS PV FV = 1.610,51 10 i 5 FV VISOR 1.610,51 c Resposta: O valor a ser devolvido (FV) é igual a R$ 1.610,51. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 22

24 2. Qual será o valor de resgate (FV) de uma aplicação iicial de R$ 1.800,00 (PV) o fial de 12 meses à taxa composta de 1 % a.m.? FV = PV.(1 + i) FV = (1 + 0,01) 12 Na HP 12C: FV = (1,01) 12 f clear FIN FV = , ,00 CHS PV FV = 2.028,29 1 i 12 FV VISOR 2.028,29 c Resposta: O valor resgatado (FV) é igual a R$ 2.028,29. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 23

25 3. Determiar o valor de emissão (PV) de um título que, o fim de 10 meses à taxa composta de 3% a.m., tem R$ 6.719,58 de valor de resgate (FV). FV = PV.(1 + i) 6719,58 = PV. (1 + 0,03) 10 Na HP 12C: 6719,58 = PV. (1,03) 10 f clear FIN 6719,58 = PV. 1, ,58 FV PV = 6719,58 1, i PV = 5.000,00 10 VISOR PV ,00 c Resposta: O valor de emissão (PV) para esse título foi de R$ 5.000,00. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 24

26 4. Uma pessoa aplicou R$ ,00 (PV) e deseja resgatar R$ ,00 (FV) ao fial de 1 ao () para pagar uma dívida. A que taxa mesal composta deve aplicar seu capital? Na HP 12C: FV = PV.(1 + i) = (1 + i) 12 Ou f 9 (ove casas) ENTER (1 + i) 12 = (1 + i) (1 + i) 1 + i = 12 = 12 = , , i = (1, ) i = 1, i = 1, i = 0, a.m. ou (x100), i 1,20% a.m. ou VISOR 1, /x VISOR 0, y x VISOR 1, (meos) 100 x (vezes) f 2 (duas casas) VISOR 1,20 Na HP 12C: f clear FIN [STO] [EEX] (com a letra C o visor) f 2 (duas casas) 13000,00 CHS PV 15000,00 FV 12 i VISOR 1,20 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 25

27 5. Qual será o prazo (em aos) ecessário para que R$ ,00 (PV) aplicado à taxa composta de 12% a.a. se trasforme em R$ ,50 (FV)? FV = PV.(1 + i) 34785,50 = (1 + 0,12) Ou (1 + 0,12) = 34785, ,50 1,12 = ,12 = 3,47855 l1,12 = l 3,47855.l1,12 = l 3,47855 = l1,12 l 3,47855 Na HP 12C: f 9 (ove casas) 34785,50 ENTER VISOR 3, VISOR 1, ,12 VISOR 0, = 1, , = 11 aos ou f 2 (duas casas) VISOR 11,00 Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) [STO] [EEX] (com a letra C o visor) 10000,00 CHS PV 34785,50 FV 12 i VISOR 11,00 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 26

28 6. Utilizado a coveção liear, calcular o motate (FV) produzido por R$ 1.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados aualmete, ao fial de 2 aos e 3 meses. FV = PV.(1 + i) k.(1 + i.m) k = 2 aos 3 m = = 0,25 aos Na HP 12C: 12 FV = 1000.(1 + 0,40) 2.(1 + 0,40.0,25) FV = (1,40) 2.(1 + 0,10) f clear FIN [STO] [EEX] (sem a letra C o visor) FV = ,96. 1, ,00 CHS PV 40 i FV = 2.156,00 2,25 FV VISOR 2.156,00 Resposta: O motate produzido (FV) é igual a R$ 2.156,00. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 27

29 Problemas evolvedo Juros Compostos 71) Um capital de $ 8.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 5% a.t. Calcule o motate para os seguites prazos de aplicação: a) 1 ao b) 6 meses c) 90 dias [R: a) $ 9.724,05; b) $ 8.820,00; c) $ 8.400,00] 72) Cosidere um empréstimo o valor de $ ,00 pelo prazo de 60 dias à taxa de juros de 2,5% a.m. Calcule o valor dos juros e do motate a ser pago ao fial do prazo, os sistemas de capitalização composta. [R: $ 936,56; $ ,56] 73) Um terreo pode ser adquirido pelo preço à vista de $ ,00. Como alterativa, o vededor oferece a seguite codição de pagameto: 20% de etrada e o restate após 120 dias. Qual o valor do pagameto fial, se a taxa de juros compostos egociada foi de 2,8% a.m.? [R: $ ,24] 74) Uma pessoa aplicou um determiado capital pelo prazo de 84 dias à taxa de juros compostos de 1,2% a.m. e obteve um motate de $ ,00. Qual foi o capital aplicado? [R: $ ,15] 75) O preço de um carro é de $ ,00 podedo este valor ser pago até o prazo de 3 meses. Quem optar pelo pagameto à vista beeficia-se de um descoto de 10%. Qual é a taxa de juro composto cobrada esta operação? [R: 3,5744% a.m.] 76) Um cliete tem 2 alterativas de pagameto a compra de um imóvel: $ ,00 à vista ou $ ,00 após 6 meses sem etrada. Calcular a taxa de juros efetiva mesal cobrada pela imobiliária. Cosiderado que a taxa de juros auferida pelo cliete em suas aplicações fiaceiras é de 4,5% a.m., qual é a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? [R: 3,7891 % a.m.; a melhor opção de compra é a prazo, já que as aplicações fiaceiras oferecem maior retabilidade] 77) Uma aplicação de $ ,00 à taxa de juros compostos de 2,4% a.m. gerou um motate de $ ,00. Calcular o prazo da operação. [R:10,60 meses, ou 10 meses e 18 dias] 78) Em quato tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês: a) dobra seu valor? b) triplica seu valor? c) tora-se uma vez e meio o seu valor? d) aumeta em 20% o seu valor? [R: a) 17,67 meses; b) 28,01 meses; c) 10,34 meses; d) 4,65 meses] 79) Quatos dias serão ecessários para triplicar um capital aplicado a juros compostos de 6% ao ao? [R: dias] 80) Se um aparelho eletrôico adquirido à vista por R$ 449,80 poderia ter sido adquirido a prazo por R$ 600,00, quato tempo poderia ter sido dispoibilizado para o pagameto, se a loja opera com uma taxa de juros composta de 5% a.m.? [R: 5,9 meses ou 5 meses e 27 dias] 81) Se você empresta a uma pessoa o valor de R$ 6.000,00, quato você receberia de juros, após 1 ao e meio, se a taxa de juros composta o empréstimo for de 2,75% a.m.? [R: R$ 3.777,42] 82) Se você tem uma dívida juto a uma istituição fiaceira cujo valor hoje é de R$ ,08 e ela foi cotraída há 4 trimestres, qual o valor origialmete devido, se a taxa composta evolvida é de 7,5% a.m.? [R: R$ ,00] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 28

30 83) Você pretede comprar um ovo computador daqui a um ao. Hoje você tem R$ 1.000,00 e espera que o computador custe R$ 1.200,00 a data compra. O baco remuera suas aplicações à taxa de 1, % (juros compostos) ao mês. Com o motate obtido pela aplicação, você terá codições de adquirir o bem? Que valor você terá? [R: Sim, R$ 1.200,00] 84) Uma pessoa deixou de pagar uma fatura de cartão de crédito o valor de R$ 540,00. Sabedo que após 1 ao e meio, o valor devido era de R$ 4.796,06, perguta-se: qual a taxa mesal composta cobrada pela admiistradora do cartão? [R: 12,90% a.m.] 85) A A cadeia automotiva respode por 23% do PIB idustrial brasileiro, segudo o miistro da Fazeda. A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Idustrializados) dos carros ovos foi uma das medidas tomadas pelo govero federal para aquecer o setor automotivo, um dos mais afetados pela crise fiaceira iteracioal. (Fote:ecoomia.dgabc.com.br, de 30/03/2009, com adaptação). A redução do IPI possibilitou a redução os preços dos carros populares, o que provocou um aumeto sigificativo de veda o setor: o período de jaeiro a março de 2009 foram vedidos mais de 600 mil carros ovos, represetado um crescimeto de cerca de 3% em relação aos mesmos meses do ao de (Fote: de 28/03/2009, com adaptação) Cosidere que uma pessoa procurou uma cocessioária de veículos para adquirir um carro popular e costatou que, além do preço promocioal do veículo por cota da redução do IPI, a loja ofereceu também uma redução a taxa de juros compostos. O carro escolhido estava sedo vedido as seguites codições: pagameto à vista de $ ,00 ou um pagameto de $ ,00 após um ao. Determie a taxa mesal de juros compostos que está sedo cobrada por essa cocessioária. [R: A taxa mesal que está sedo cobrada pela cocessioária de veículos é de 1,7808% a.m.] 86) Cadastro positivo pode favorecer aumeto do crédito e queda de juros. A criação do cadastro positivo poderá favorecer a ampliação do crédito e a redução das taxas de juros e do spread bacário, segudo cosidera a Fecomercio (Federação de Comércio). Isso seria possível já que o cadastro criaria uma seguraça e eficácia maior os egócios, permitido uma avaliação mais abragete do histórico fiaceiro dos cosumidores. (Fote: IfoMoey, de 19/05/2009). Um estudate do curso de admiistração, estimulado pela possibilidade de redução da taxa de juros, ecotra, em uma determiada loja, o microcomputador com a cofiguração desejada com o valor à vista de $ 3.100,00. Para pagameto a prazo, o vededor oferece a seguite alterativa de pagameto: 18% de etrada e uma parcela de $ 2.700,00 após 54 dias. Qual é a taxa mesal de juros compostos que está sedo cobrada por essa loja? [R: A taxa mesal cobrada pela loja é de 3,4068% a.m.] 87) A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Idustrializados) os produtos chamados liha braca foi autorizada pelo Govero Federal em 17/04/2009. Por três meses o imposto ficará reduzido de 15% para 5% para as geladeiras; de 5% para 0% para os fogões; de 20% para 10% para máquias de lavar e de 10% para 0% para os taquihos. (Fote: bad.com.br/primeirojoral de 20/04/2009). Esta foi uma das medidas tomadas pelo Govero Federal para aquecer o mercado itero e fazer frete à redução do volume de vedas decorrete da crise fiaceira iteracioal iiciada em Com a expectativa do aumeto de vedas, algumas redes de lojas de eletrodomésticos auciaram promoções especiais essa liha de produtos. É o caso de um determiado modelo de refrigerador, que pode ser adquirido por $ 3.400,00 para pagameto à vista, ou a prazo com taxa de juros de 1,5% a.m. Cosidere que um cliete deseja adquirir esse produto as seguites codições: etrada de $ 1.200,00 e pagameto do restate após 90 dias. Determie o valor desse último pagameto. [R: O valor do último pagameto deve ser de $ 2.300,49.] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 29

31 Taxas de Juros Taxas Proporcioais / Taxas Equivaletes / Taxas Nomiais / Taxas Efetivas Taxas Proporcioais Duas taxas se dizem proporcioais se: i1 i2 = 1 2, ode 1 e 2 represetam os períodos de capitalização de cada taxa e i 1 e i 2 represetam os percetuais das taxas cosideradas. Exemplo: As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcioais, pois tomado o período de um mês como uidade de tempo, tem-se: 72% 12 36% 18% 6% = = = imesal = 6% a.m Taxas Nomiais Taxa omial é aquela em que a uidade de tempo ão coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. É comum adotar-se a coveção de que a taxa por período de capitalização seja proporcioal à taxa omial. Exemplo: Se a taxa egociada é de 18% a.a. capitalizada mesalmete, a taxa aplicada é a taxa proporcioal do período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mesal proporcioal: i mesal = 18/12 = 1,5% a.m. (taxa omial). Taxas Efetivas Taxa efetiva é a taxa efetivamete aplicada a operação fiaceira. Neste caso, a uidade de tempo referida a taxa coicide com o período de capitalização. Regra: Para se calcular a taxa efetiva quado o período de capitalização ão coicide com o período da taxa: a) Calcula-se a taxa simples (proporcioal) correspodete a um período de capitalização; b) Potecia-se essa taxa simples ao úmero de períodos de capitalização existete o itervalo de tempo a que se refere a taxa omial. Ou seja: k i iefet = , ode k é o úmero de sub-períodos de capitalização. k Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 30

32 Exemplos: 1. Qual a taxa aual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mesalmete? k i iefet = k [( 1+ 0,01) 1] 100 = ( 1,01 1) 100 = ( 1, ) ,12 iefet = = 12 i efet = 12,682503% a.a. 2. Qual a taxa aual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmete? k i iefet = k 2 2 [( 1+ 0,05) 1] 100 = ( 1,05 1) 100 = ( 1,1025 1) ,10 iefet = = 2 i efet = 10,25% a.a. Taxas Equivaletes Duas taxas se dizem equivaletes quado produzem o mesmo motate o fial de determiado tempo, pela aplicação de um mesmo capital iicial. Capitalização Simples: as taxas proporcioais são taxas equivaletes. Capitalização Composta: as taxas equivaletes são calculadas pela expressão abaixo: ode: i q = [ ( 1 + i t ) q / t 1 ]. 100 i q = taxa para o período que eu quero; i t = taxa que eu teho; q = período da taxa que eu quero t = período da taxa que eu teho Exemplos: 1. Qual a taxa aual equivalete a 2% a.m.? i q = [ ( 1 + i t ) q / t 1 ]. 100 i 12 = [ ( 1 +0,02 ) 12 /1 1 ]. 100 = [ ( 1,02 ) 12 1 ]. 100 i 12 = 26,824180% a.a. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 31

33 2. Qual a taxa mesal equivalete a 15,39% a.a.? i q = [ ( 1 + i t ) q / t 1 ]. 100 i 1 = [ ( 1 +0,1539 ) 1 /12 1 ]. 100 = [ ( 1,1539 ) 1/12 1 ]. 100 i 1 = 1,20% a.m. Taxa Bruta A taxa bruta é aquela obtida sem levar em cosideração o descoto dos diversos ecargos evolvidos em uma operação fiaceira: refere-se aos juros brutos da operação. Taxa Líquida A taxa de juros líquida é aquela obtida após o descoto dos diversos ecargos evolvidos a operação, tais como o imposto de reda (IR), imposto sobre operações fiaceiras (IOF), etc. A taxa de juros líquida refere-se aos juros líquidos efetivamete pagos ou recebidos em uma operação fiaceira. Taxa Acumulada A composição da taxa acumulada de juros com taxas variáveis pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas egativas. Matematicamete, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser represetado por (1 + i) e de uma taxa egativa por (1 i). Assim, têm-se a seguite fórmula geérica: Exemplo: i = [(1 + i ) (1 + i ) (1 + i )... (1 + i ) 1] ac Calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada o segudo semestre de 2008, sabedo que de julho a dezembro, os valores deste ídice foram, respectivamete: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%. iac = [(1 + i1) (1 + i2 ) (1 + i3)... (1 + i ) 1] 100 i ac = [(1 + 0,0176) (1 0,0032) (1 + 0,0011) (1 + 0,0098) (1 + 0,0038) (1 0,0013) 1] 100 i ac = [(1,0176) (0,9968) (1,0011) (1,0098) (1,0038) (0,9987) 1] i ac = 2,7969% em seis meses Resposta: O IGP-M acumulado o segudo semestre de 2008 foi de 2,7969%. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 32

34 Taxa Média A taxa média de juros tem como base teórica o coceito estatístico da média geométrica. Do poto de vista da matemática fiaceira, calcula-se a taxa média de um cojuto de taxas variáveis extraido a raiz -ésima da taxa acumulada, ode é o úmero de taxas que foram acumuladas. Ou seja: Exemplo: i {[( 1 i ) (1 i ) (1 i )... (1 i )] média = } 100 Calcular o IGP-M (FGV) médio para o segudo semestre de 2008, sabedo que de julho a dezembro, os valores deste ídice foram, respectivamete: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%. i {[(1 i ) (1 i ) (1 i )... (1 i )] média = } i 6 média = {[(1 + 0,0176) (1 0,0032) (1 + 0,0011) (1 + 0,0098) (1 + 0,0038) (1 0,0013)] 1} i 6 média = {[(1,0176) (0,9968) (1,0011) (1,0098) (1,0038) (0,9987)] 1} i média = 0,4608% ao mês Resposta: O IGP-M médio o segudo semestre de 2008 foi de 0,4608%. Taxa Aparete A taxa aparete é aquela adotada ormalmete em operações corretes de mercado, icluido os efeitos iflacioários previstos para o prazo da operação. Em outras palavras, a taxa aparete é costituída de dois compoetes: um, relacioado à iflação e outro, relacioado com os juros realmete recebidos ou pagos. Taxa Real A taxa real é o redimeto ou custo de uma operação fiaceira, seja de aplicação ou captação, apurado livre dos efeitos iflacioários. É calculada a partir da expressão: 1+ i ) = (1 + i ).(1 + i ) ( aparete if lação real 1 + iaparete e portato: i real = iif lação Quado se cosidera as operações fiaceiras em cotexto iflacioário, pode ser utilizada a expressão: FV = PV.( 1+ iif ).(1 + i ) lação real Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 33

35 Exemplos: 1. Uma empresa fez uma aplicação por 30 dias em CDB à taxa de 1,5% a.m.. Se a iflação esse período foi de 0,5%, qual a taxa de remueração real dessa aplicação? 1+ iaparete ireal = 1 1 i + if lação i real 1+ 0,015 1,015 = 1 = ,005 1,005 i real = 0, (x 100) i real = 0, % a.m. 2. Um capital foi aplicado por 12 meses à taxa de 18,2% a.a.. Se a taxa de iflação foi de 21,5% esse período, calcule a taxa real dessa aplicação. 1+ iaparete ireal = 1 1 i + if lação i real 1+ 0,182 1,182 = 1 = ,215 1,215 i real = - 0, (x 100) i real = - 2, % o período Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 34

36 Exercícios evolvedo Taxas de Juros 88) Determie as taxas mesais proporcioais: a) 0,2% a.d. b) 15% a.a. c) 6,9% a.t. [R: 6,00% a.m.; b) 1,25% a.m.; c) 2,30% a.m.] 89) Determie a taxa aual equivalete correspodete a um fiaciameto de automóvel se a taxa é: a) 2,7% a.s.; b) 0,12% a.d.; c) 0,9% a.m. d) 3,6% a.t. [R: a) 5,4729 % a.a.; b) 53,9936 % a.a.;c) 11,3510% a.a.;d) 15,1964% a.a.] 90) O cheque especial de uma determiada istituição bacária cobra, atualmete, uma taxa mesal de 13% a.m. de um cliete. Qual é a taxa aual cobrada? [R: 333,45% a.a.] 91) Determie a taxa diária equivalete: a) 1,8% a.m. b) 14,00% a.a. c) 0,7% em 20 dias. [R: a) 0,0595% a.d.; b) 0,0364% a.d.; c) 0,0349% a.d.] 92) Uma aplicação de $ 8.400,00 redeu $ 730,00 de juros, pelo prazo de 51 dias. Calcule a taxa diária e mesal dessa operação. [R: 0,1635 % a.d.; 5,0241 % a.m.] 93) Uma aplicação remuera uma taxa de 6% a.a. capitalizada mesalmete. Neste caso, a taxa auciada, de 6% a.a. é deomiada taxa omial. Determiar a taxa mesal efetiva e a taxa aual efetiva. [R: taxa mesal efetiva = 0,5% a.m.; taxa aual efetiva = 6,1678% a.a.] 94) A taxa de juros cobrada o fiaciameto imobiliário de uma determiada istituição fiaceira é de 10,5% a.a. capitalizada mesalmete, pela Tabela Price. Determie a taxa aual efetiva cobrada. [R: 11,0203% a.a.] 95) Uma aplicação cuja taxa é igual a 26% a.a. foi realizada pelo prazo de 37 dias. Qual a taxa equivalete para o prazo da aplicação? [R: 2,4038% para 37 dias] 96) A retabilidade de determiado fudo foi de 0,79% a.m.. Qual a taxa semestral equivalete? [R: 4,8346% a.s.] 97) Qual é a taxa mesal equivalete para a taxa de 96% a.a.? E a taxa diária equivalete? [R: 5,7681% a.m.; 0,1871% a.d.] 98) Aplicou-se um capital de $ ,00 a uma taxa de 2,8% a.m. por 5 meses. Cosiderado que o imposto de reda (alíquota de 20% sobre os redimetos brutos) será pago somete o fial do prazo, determiar: a) os juros brutos ou omiais; b) o valor do imposto de reda; c) o valor líquido de resgate; d) a taxa mesal líquida. [R: a) $11.845,01; b)$2.369,00; c) $89.476,01; d)2,2641 % a.m.] 99) Cosidere uma aplicação de $ ,00 em um fudo de ivestimetos que remuera a taxa de 2,7% a.m. pelo prazo de 60 dias. Se essa operação fiaceira está sujeita ao pagameto de imposto de reda (alíquota de 20% sobre os redimetos brutos), determie: a) o valor dos juros brutos; b) o valor do imposto de reda recolhido; c) o valor líquido recebido a operação; d) a taxa mesal líquida. [R: a) $ 4.597,24; b) $ 919,45; c) $ ,79; d) 2,1657% a.m.] 100) Uma empresa aplicou R$ ,00 um RDB pré-fixado de 33 dias à taxa de 45% a.a. O IR retido a fote é de 20% sobre os juros. Calcular: Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 35

37 a) a taxa bruta obtida essa operação; b) o motate bruto resgatado; c) o valor dos juros brutos; d) o valor do imposto de reda recolhido; e) o valor líquido recebido a operação; f) a taxa líquida obtida essa operação; g) a taxa mesal líquida; h) a taxa aual líquida. [R: a) i = 3,4647% para 33 dias; b) R$ ,00; c) R$ 5.197,00; d) R$ 1.039,40; e) R$ ,60; f) 2,7717% para 33 dias; g) 2,5166% a.m.; h) 34,7502% a.a.] 101) Uma pessoa aplica $ ,00 o mercado fiaceiro por 3 meses, obtedo as seguites retabilidades mesais (juros compostos): 6%, 17% e 4%, o primeiro, segudo e terceiro mês, respectivamete. Determiar o motate do resgate e a taxa total desse período. [R: ,40; 28,9808% o período] 102) Uma determiada aplicação gerou um motate de $ ,00. Sabedo-se que as retabilidades mesais (capitalização composta) auferidas foram de 2,4%, 3,1% e 1,5% o primeiro, segudo e terceiro mês, respectivamete, determie: a taxa total auferida o trimestre e o valor do capital aplicado essa operação fiaceira. [R: a) 7,1580 % a.m.; bc) $ ,54] 103) O preço de um carro em 4 meses cosecutivos aumetou 5%, 3%, 2% e 4% respectivamete. Qual foi o aumeto total acumulado os quatro meses? Qual a média mesal de aumeto? [R: O aumeto total foi de 14,7255%; a média mesal foi de 3,4940%] 104) Cosidere que as variações do Ídice de Custo de Vida (ICV) do último trimestre foram os seguites: 2%, 5% e 8%. Determiar a taxa de iflação acumulada o período e a taxa de iflação mesal média. [R: taxa de iflação acumulada: 15,6680%; taxa mesal média: 4,9714%] 105) Juros do cheque especial recuam pela quita vez e atigem 8,89% a.m. Pesquisa divulgada pela Fudação Proco de São Paulo mostrou que, em maio, a comparação com abril, os juros médios do cheque especial passaram de 9,03% ao mês para 8,89% mesais - um recuo de 0,14 poto percetual -, marcado a quita queda cosecutiva dos juros, após sucessivas altas. (Fote: Cosiderado que a taxa mesal de juros do cheque especial, como afirma o texto acima, é, em média, de 8,89% a.m., qual é a taxa aual equivalete de juros que está sedo cobrada? [R: A taxa aual de juros que está sedo cobrada o cheque especial é de 177,8792% a.a.] 106) Um capital de R$ ,00 foi aplicado por 6 meses, à taxa de juros de 8% a.a., e a seguir, o motate obtido foi reaplicado por mais 6 meses a juros de 5% a.t. Qual será o motate ao fial desse ao? [R: ,52] 107) Uma aplicação em CDI em certa istituição fiaceira redeu 12,27% em Se o IPCA/IBGE, que é medidor oficial da iflação o país, foi de 5,90% o mesmo período, qual foi a remueração real de uma aplicação em CDI? [R: 6,0151%] 108) O IPTU a cidade de São Paulo teve um reajuste de 8,18% o período 2008/2009. Se o IPC/FIPE, que mede o ídice de iflação a cidade de São Paulo, foi de 6,17% o mesmo período, qual foi a taxa real de aumeto desse imposto? [R: 1,8932%] 109) Cosiderado as taxas omiais abaixo, qual é a taxa efetiva aual para cada hipótese? a) 24% a.a. Capitalização mesal [R: i efet = 26,82 %.a.a.] b) 28% a.a. Capitalização trimestral [R: i efet = 31,08 % a.a.] c) 21% a.a. Capitalização quadrimestral [R: i efet = 22,5 % a.a.] d) 40% a.a. Capitalização semestral [R: i efet = 44 % a.a.] e) 30% a.a. Capitalização aual [R: i efet = 30 % a.a.] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 36

38 Equivalêcia de Capitais Equivalêcia de capitais: costitui um coceito essecial ao cálculo fiaceiro, isto é, dois capitais podem ser equivaletes mesmo se colocados em épocas diferetes. Mas, os capitais só podem ser comparados em uma mesma data. O coceito de equivalêcia de capitais é utilizado a atecipação ou prorrogação de um ou mais títulos em operações fiaceiras, as quais dizem respeito, de um modo geral, à comparação de valores diferetes referidos a datas diferetes, cosiderado-se uma data taxa de juros. Capitais equivaletes: dois ou mais capitais, com datas de vecimeto determiadas, são equivaletes quado tiverem valores iguais, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros. A trasferêcia de capitais de uma data para a outra posterior é feita pela fórmula: FV = PV.( 1+ i) A trasferêcia de capitais de uma data para a outra aterior é feita pela fórmula: PV FV = (1 + i ) É importate ressaltar que, o regime de juros compostos, dois cojutos de capitais que sejam equivaletes em uma determiada data o serão em qualquer outra. Data Focal: também chamada de data de referêcia ou data de avaliação, é a data que se cosidera como base de comparação dos valores referidos a datas diferetes. Equação de valor: permite que sejam igualados capitais diferetes, referidos a datas diferetes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada a taxa de juros. Exemplos: 1. Um comerciate deve R$ 6.000,00 que deverá ser pago daqui a 5 meses. Etretato, ele deseja quitar sua dívida 2 meses ates do prazo. Quato pagará por ela, se a taxa de juros é de 5% a.m., capitalizada mesalmete? FV PV = (1 + i) 6000 PV = (observe que há 2 meses etre as datas focais 3 e 5 meses) 2 (1 + 0,05) PV = R$ 5.442,18 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 37

39 2. Uma pessoa deve R$ 5.000,00 que deverá ser pago daqui a 1 mês. Etretato, ela sabe que ão poderá horar sua dívida esse prazo, mas somete daqui a 6 meses. Quato pagará por ela, se a taxa de juros é de 8% a.m., capitalizada mesalmete? FV = PV.(1 + i) 5 FV = 5000.(1 + 0,08) (observe que há 5 meses etre as datas focais 1 e 6 meses) FV = R$ 7.346,64 Exercícios evolvedo Equivalêcia de Capitais 110) Uma pessoa deseja quitar uma dívida o valor de $ ,00 com vecimeto para um ao. Cosiderado que a taxa de juros egociada foi de 3,0% a.m., quato deverá pagar as seguites datas: a) hoje; b) daqui a 3 meses; c) daqui a 6 meses. [R: $ ,98; b) $ ,75; c) $ ,17] 111) Um empresário deseja atecipar o pagameto de uma dívida o valor de $ ,00, a vecer daqui a 7 meses. Admitido que será utilizada a taxa de juros de 2,8% a.m., qual deverá ser o valor pago? [R: O valor pago deverá ser de $ ,82] 112) O gerete de uma pequea cofecção de roupas ifatis deseja reegociar uma dívida de $ 8.000,00 a vecer daqui a 90 dias. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., quato deverá pagar as seguites datas: a) hoje; b) daqui a 30 dias; c) daqui a 10 meses. [R: a) $ 7.428,80; b) $ 7.614,52; c) $ 9.509,49] 113) O valor à vista de um equipameto é de R$36.000,00. O cliete deseja dar uma etrada de 20% e pagar o restate em 2 parcelas, sedo a primeira de R$ ,00. Calcule o valor do segudo pagameto, se a taxa de juros cobrada é de 3,6% a.m.. [R: R$ ,92] 114) Uma doa de casa deseja atecipar o pagameto de um carê cotedo aida 3 prestações a pagar, com prazo de vecimeto para 30, 60 e 90 dias. Se o valor das prestações é de $ 600,00 e a taxa de juros egociada é de 2,0% a.m., qual o valor do pagameto úico que deverá ser feito para a quitação dessa dívida? [R: $ 1.730,33] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 38

40 Séries de Pagametos e Recebimetos Um fluxo de caixa represeta uma série de pagametos ou de recebimetos previstos para ocorrer em determiado itervalo de tempo. Os fluxos de caixa podem ser classificados quato a: a) períodos de ocorrêcia (postecipados, atecipados ou diferidos), b) periodicidade (períodos iguais ou diferetes), c) de duração (temporários ou perpétuos) e d) de valores (uiformes ou variáveis). As séries estudadas com maior detalhe são as séries de pagametos uiformes, periódicas e fiitas, as quais podem ser classificadas quato ao período de ocorrêcia em: Imediatas: quado o primeiro pagameto da série ocorre o 1 período. As redas imediatas podem ser: Postecipadas: o primeiro pagameto da série ocorre o fial do 1 período. Atecipadas: o primeiro pagameto da série ocorre o iício do 1 período. Diferidas: Nas redas diferidas, os pagametos são exigíveis a partir de uma data que ão seja o 1 período (tem-se um período de carêcia). 1.) Séries ou Redas Uiformes Postecipadas (Modelo Básico de Auidade) Nas redas postecipadas, os pagametos são exigíveis o fial dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagameto ou recebimeto sem etrada. Pagametos ou recebimetos podem ser chamados de prestação, represetada pela sigla PMT, que vem do iglês Paymet. 0 PMT PMT PMT períodos PV FV [(1 + i) 1] = PMT. PV = PMT. a i ode a i = fator de valor presete (1 + i). i [(1 + i) 1] = PMT. FV = PMT. s i ode s i = fator de valor futuro.. i Coeficietes Fiaceiros = cálculo das prestações por uidade de capital. Pode ser calculado pela expressão: Coeficiete Fiaceiro = 1 (1 + i). i = (1 + i) 1 a i Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 39

41 Exemplos: 1. Calcular o valor de um fiaciameto a ser quitado por seis pagametos mesais de R$ 1.500,00, vecedo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sedo a taxa de juros egociada a operação igual a 3,5% a.m.. [(1 + i) PV = PMT. (1 + i) 1] [(1 + 0,035) 1] PV = (1 + 0,035).0,035.i 6 Na HP 12C: f 9 (ove casas) 1,035 ENTER 6 y x VISOR 1, [1,035 1] PV = ,035.0,035 6 [1,035 1] PV = ,035.0,035 1, PV = , ,035 0, PV = , PV = , PV = R$ 7.992, (meos) VISOR 0, ,035 ENTER 6 y x VISOR 1, ,035 x (vezes) VISOR 0, (dividir) VISOR 5, x (vezes) f 2 (duas casas) VISOR 7.992,83 ou Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) 1500 CHS PMT 6 3,5 i Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 40 PV VISOR 7.992,83

42 2. Dados: PV = R$ 7.992,83 = 6 meses i = 3,5% a.m. calcular PMT =? Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) 7992,83 CHS PV 6 3,5 i PMT VISOR 1.500,00 3. Dados: PV = R$ 7.992,83 = 6 meses PMT = R$ 1.500,00 calcular i =? Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) 7992,83 CHS PV PMT i VISOR 3,50 Observação: O mesmo raciocíio pode ser aplicado quado são dadas três das variáveis FV, PMT,, i e deseja-se ecotrar a quarta variável. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 41

43 2.) Séries ou Redas Uiformes Atecipadas Nas redas atecipadas, os pagametos são exigíveis o iício dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagameto ou recebimeto com etrada. PMT PMT PMT PMT... períodos PV [(1 + i) 1] = PMT.(1 + i). (1 + i). i FV [(1 + i) = PMT.(1 + i). i 1] PMT (1 + i ).i = PV. ( 1 + i ).[( 1 + i ) 1] PMT i = FV. ( 1 + i ).[( 1 + i ) 1] Observação sobre as Fuções [BEG] e [END] a HP 12C Para efetuarmos os cálculos de uma série uiforme de pagameto atecipada a calculadora HP 12C, será ecessário itroduzir o visor da calculadora a fução BEGIN, que é facilmete itroduzida através da seqüêcia de letras [g] [BEG], ou seja, BEGIN = pagameto o iício do período. Porém, havedo a ecessidade da realização de cálculos de uma série uiforme de pagameto postecipada, basta pressioar a seqüêcia de teclas [g] [END], ou seja, END = pagameto o fial do período. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 42

44 Exemplo: Uma pessoa ecessita acumular os próximos 5 aos a importâcia de R$ ,00 e acredita que, se a data de hoje aplicar R$ 500,00 mesalmete em um fudo de reda fixa que paga a taxa de 0,8% ao mês, ele terá o valor de que precisa. Perguta-se: o poupador vai coseguir acumular esse valor? Na HP 12C: i = 5 aos = 60 meses f 9 (ove casas) [(1 + i) FV = PMT.(1 + i). i 1] [(1 + 0,008) FV = 500.(1 + 0,008). 0, [(1,008) FV = 500.(1,008). 0,008 [1, ] FV = ,008 FV = , FV = R$ ,43 1] 60 1] Resposta: O poupador ão só coseguirá acumular R$ ,00 como aida sobrarão R$ 1.118,43. ou 500 ENTER 1,008 x (vezes) VISOR 540, ,008 ENTER 60 y x VISOR 1, (meos) VISOR 0, ,008 (dividir) VISOR 76, x (vezes) f 2 (duas casas) VISOR ,43 Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) g BEG 500 CHS PMT 60 0,8 i FV VISOR ,43 BEGIN Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 43

45 3.) Séries ou Redas Uiformes Diferidas Nas séries uiformes de pagametos diferidas são aquelas em que há um período de carêcia, ou seja, se cosiderarmos um período de carêcia qualquer como, a primeira prestação será paga o período seguite (+1) PMT PMT PMT... PMT períodos PV c 1 1 (1 + i ) (1 + i ) = PMT. PMT = PV i c 1 i.( 1 + i ) 1 (1 + i ), ode c é o período de carêcia. Exemplo: Certa loja vede determiada mercadoria à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas mesais, devedo a primeira parcela ser paga após 4 meses do fechameto da compra. Cosiderado uma taxa de 4% ao mês, determiar o valor de cada prestação. c 1 (1 + i) PMT = PV i [1 (1 + i) (1 + 0,04) PMT = 850 0,04 [1 (1 + 0,04) (1,04) PMT = 34 [1 (1,04) , PMT = 34 [1 0, ] PMT = 34 1, , PMT = 34 1, ] ] ] Na HP 12C: f 9 (ove casas) 850 ENTER 0,04 x (vezes) VISOR 34, ,04 ENTER 3 y x VISOR 1, x (vezes) VISOR 38, ENTER 1,04 ENTER 24 CHS y x PMT = R$ 62,71 - (meos) VISOR 0, (dividir) f 2 (duas casas) VISOR 62,71 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 44

46 Observação: Na HP 12C cosidera-se, iicialmete, o período de carêcia e calcula-se o valor realmete devido (FV) após a carêcia. Esse valor tora-se, etão, o ovo PV que será pago em prestações o prazo cotratado e que, portato, ão gerará ehum valor devido (FV = 0). Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) 3 4 i 850 CHS PV FV VISOR 956,13 CHS PV 0 FV 24 PMT VISOR 62,71 4.) Redas Perpétuas Existem casos em que os pagametos ou recebimetos são uiformes e o úmero de termos tede ao ifiito. Estas séries ecotram aplicações práticas pricipalmete em avaliações de imóveis efetuadas com base os redimetos de aluguéis, a apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividedos, etc. No caso das séries perpétuas, determia-se uicamete o seu valor presete, dado pela expressão: PMT PV = i Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 45

47 Exercícios evolvedo Séries de Pagametos e Recebimetos 115) Uma determiada empresa fiacia eletrodomésticos em 6 prestações mesais iguais, e deseja gahar uma taxa de 2,5%a.m.. Qual o valor dessas prestações para um fiaciameto de $ 3.000,00? Cosidere que a primeira prestação vece 30 dias após a assiatura do cotrato. [R: $544,65] 116) Um carro pode ser adquirido em 36 prestações mesais iguais de $1.720,00, vecedo a primeira 30 dias após a data da compra. Calcule o valor à vista, se a taxa de juros utilizada a operação foi de 3,44% a.m.. [R: $ ,66] 117) Determiar a que taxa aual foi firmada uma operação de empréstimo de $ ,00, para ser liquidada em 18 prestações mesais, iguais e cosecutivas de $ 7.200,00 cada uma? Cosidere que a primeira prestação vece 30 dias após a assiatura do cotrato. [R: 2,8844 % a.m.] 118) Calcule o valor da prestação mesal de um aparelho de som, cujo preço à vista é de $5.000,00, a uma taxa de juros 6% a.m. e um total de 12 prestações. Cosiderar que: a) a primeira parcela vece a 30 dias após a compra. [R:$ 596,39] b) a primeira parcela vece o ato da compra. [R:$ 562,63] 119) Calcule o valor de um fiaciameto quitado em 36 prestações mesais de $7.500,00, se a taxa de juros aplicada foi de 10% a.m., as seguites codições: a) se a primeira prestação vece o ato da assiatura do cotrato, [R: $79.831,19] b) se a primeira prestação vece a 30 dias. [R: $72.573,81] 120) Um terreo pode ser fiaciado as seguites codições: etrada de $ ,00 e mais 18 pagametos mesais e iguais de $ 2.400,00. Sabedo-se que a taxa de juros acordada a operação foi de 4,0% a.m., e que a primeira prestação deverá ser paga 30 dias após a compra, pede-se: a) determiar o valor à vista do terreo; b) se o cliete desejar fiaciar o mesmo terreo em 50 prestações mesais iguais, sedo a primeira o ato da compra, qual será o valor da ova prestação? [R: $ ,31; $ 2.008,92] 121) A propagada de uma grade loja de eletrodomésticos aucia: "Compre tudo e pague em 12 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de fiaciameto é de 4,5% a.m., qual é o valor da prestação de um refrigerador cujo preço à vista é de $ 3.500,00? [R: $ 419,15] 122) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alterativas: a) pagameto à vista de $ 2.300,00; b) pagameto de 8 prestações mesais de $ 431,11; c) pagameto de 4 prestações mesais de $965,75, sedo a 1ª paga daqui a 4 meses; d) um úico pagameto de $ 4.930,26 daqui a 8 meses. Do poto de vista fiaceiro, qual plao é o melhor, cosiderado que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.? [R: Cosiderado os valores presetes dos plaos de fiaciameto, verifica-se que as quatro alterativas são equivaletes.] Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 46

48 123) Uma pessoa efetua um depósito iicial de $ ,00 uma cota remuerada, e seqüecialmete mais 14 depósitos mesais iguais de $ 2.000,00 cada. Determiar quato essa pessoa terá acumulado a data do último depósito, admitido-se uma taxa de juros de 2% a.m. [R: $71.532,24] 124) Uma pessoa depositou, aualmete, $ 500,00 uma cota de poupaça, em ome de seu filho, a juros de 8% a.a.. O primeiro depósito foi feito o dia em que o filho completou 1 ao, e o último por ocasião de se 18 aiversário. O diheiro ficou depositado até o dia em que o filho completou 21 aos, ocasião em que o motate foi sacado. Quato recebeu o filho? [R:$ ,26] 125) Uma pessoa irá ecessitar de $22.000,00 daqui a um ao para realizar uma viagem. Para tato, ela deposita mesalmete $1.250,00 em uma cota que remuera os depósitos a uma taxa de juros de 4% a.m.. Determiar se essa pessoa terá acumulado o motate ecessário ao fial de um ao para fazer a sua viagem. (Cosidere que o primeiro depósito foi efetuado a abertura da cota). [R: Não, acumulou somete $ ,55] 126) O gerete fiaceiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário, deseja estabelecer fatores (coeficietes) que serão aplicados ao preço à vista para cálculo da prestação mesal. Cosiderado a taxa de juros da empresa de 6,8% a.m., calcule estes fatores por uidade de capital, os prazos 6 meses, 12 meses e 18 meses: [R: f = 0,2085 (6 meses); f = 0,12456 (12 meses); f = 0,09798 (18 meses)] 127) Costruir a tabela fiaceira dos coeficietes para cálculo das prestações por uidade de capital (ou seja R$ 1,00) de uma série uiforme postecipada, para as taxas de juros mesais de 3%, 5%, 7%, 10% e 12%, para prazos de até 5 meses. [R: Coeficiete N o de meses 3 % a.m. 5% a.m. 7% a.m. 10% a.m. 12% a.m. 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,27741 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 47

49 Sistemas de amortização Os sistemas de amortização são desevolvidos para operações de empréstimos e fiaciametos de logo prazo, evolvedo desembolsos periódicos do pricipal e ecargos fiaceiros. As plailhas de amortização permitem acompahar os valores referetes aos desembolsos efetuados, juros pagos, amortizações efetuadas e saldos devedores em cada período. De uma maeira geral, os seguites dados são apresetados as plailhas: a) Juros: calculados sobre o saldo devedor apurado em período imediatamete aterior. b) Amortização: pagameto do pricipal (capital emprestado). c) Saldo Devedor: é o valor do pricipal da dívida, em determiado mometo. d) Prestação: é composta pela amortização mais os ecargos fiaceiros devidos. Pr estação = Amortização + Juros + outros ecarg os Carêcia: é o período que vai desde a data de cocessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. A seguir são apresetados os sistemas de amortização mais utilizados: 1) SAF Sistema de Amortização Fracês Amplamete adotado o mercado fiaceiro brasileiro, estabelece que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. PV t (1 + i) 1 (1 + i) 1 = PMT. SD t = PMT. t (1 + i). i (1 + i). i Tabela Price: variate do Sistema Fracês, é caracterizado pelo uso da taxa omial (geralmete aual), sedo que as prestações são calculadas com base a taxa proporcioal ao período a que se refere a prestação (geralmete mesal). 2) SAC - Sistema de Amortização Costate Característica básica: as amortizações do pricipal são sempre costates, em todo o PV prazo da operação. Amortização = Os juros são decrescetes, e as prestações periódicas e sucessivas do SAC são PV. i decrescetes em progressão aritmética, sedo o valor periódico da redução de. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 48

50 3) SAM - Sistema de Amortização Misto Represeta basicamete a média aritmética etre o sistema fracês (SAF) e o sistema de amortização costate (SAC). 4) SAA Sistema de Amortização Americao Neste sistema, o pricipal é restituído por meio de uma parcela úica ao fial da operação. Os juros podem ser pagos periodicamete (mais comum), ou capitalizados e pagos jutamete com o pricipal o fim do prazo acertado. Fudo de Amortização (Sikig Fud): Costitui um fudo o qual são acumuladas poupaças periódicas durate o prazo do empréstimo, de modo que, ao fial do prazo, o motate do fudo seja igual ao valor do empréstimo. Exercícios evolvedo Sistemas de Amortização 128) Um empréstimo de $ ,00 será pago pelo Sistema Fracês de Amortização (SAF) em 6 prestações mesais postecipadas, sem período de carêcia. Costruir a plailha de amortização, cosiderado-se que a taxa de juros cotratada é de 2,5% a.m. 129) Uma pessoa está egociado a compra de um imóvel pelo valor de $ ,00, as seguites codições de amortização: 1 Mês: $70.000,00; 2 Mês: $50.000,00; 3 Mês: $80.000,00; 4 Mês: $60.000,00 e 5 Mês: $90.000,00 (Sistema de amortização variável). Sedo de 4% a.m. a taxa correte de juros, determiar o valor dos desembolsos mesais (amortização e juros) que devem ser efetuados caso o egócio seja realizado estas codições. 130) Um baco cocede um fiaciameto de $ ,00 para ser liquidado em 4 pagametos mesais pelo Sistema de Amortização Fracês (SAF). Sedo a operação realizada com uma taxa de juros de 5% a.m., elaborar a plailha de desembolsos deste fiaciameto as seguites codições: a) Sem carêcia. b) Carêcia de 3 meses, sedo somete os juros pagos esse período. c) Carêcia de 3 meses, sedo os juros capitalizados o período de carêcia. 131) O baco Caravaggio emprestou $ ,00 à taxa de 9% ao semestre pelo Sistema de Amortização Costate (SAC). Costruir a plailha de desembolso, cosiderado as prestações semestrais, e o prazo total para a amortização do fiaciameto de 2 aos. 132) Um fiaciameto para capital de giro o valor de $ ,00 é cocedido a uma empresa pelo prazo de 4 aos, à taxa de 8% a.a. Sabedo-se que será adotado o Sistema Americao de amortização (SAA) e que o pagameto dos juros será efetuado o prazo de liquidação do fiaciameto, calcule os valores de desembolso aual. Determiar os depósitos Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 49

51 auais para costituição de um fudo de amortização ("sikig fud"), cosiderado uma taxa de aplicação de 6% ao ao. 133) Um fiaciameto de $ ,00 pode ser amortizado pelo SAC (Sistema de Amortização Costate), SAF (Sistema de Amortização Fracês) e SAM (Sistema de Amortização Misto). Cosiderar um prazo de 5 meses e taxa de juros de 3% ao mês. Elaborar a plailha fiaceira deste fiaciameto. 134) Um fiaciameto de $10.000,00 será pago pela Tabela Price em 5 parcelas mesais à taxa omial de 12% a.a. capitalizados mesalmete. Calcular a amortização do 4 mês e o saldo devedor logo após o pagameto da 3ª prestação. 135) Um empréstimo o valor de $ ,00 será liquidado pelo sistema de amortização costate (SAC) em 40 parcelas mesais. A taxa de juros cotratada para a operação é de 4% a.m.. Determiar: a) o valor de cada amortização mesal; b) o valor dos juros e da prestação referetes ao 22 pagameto; c) o valor da última prestação; d) o valor do saldo devedor imediatamete após o pagameto da 10ª prestação. 136) Um fiaciameto o valor de $ ,00 é amortizado em 30 parcelas mesais pelo sistema fracês (SAF). Sedo a taxa de juros cotratada de 2,8%a.m., determiar: a) o valor de cada prestação mesal; b) o valor da amortização e dos juros referetes ao 19 mês. 137) Cosidere um fiaciameto o valor de $ ,00 a ser pago em 5 meses, pelo Sistema de Amortização Fracês (SAF), à taxa real de 6% a.m.. mais IGPM. Costruir a plailha de amortização, com e sem atualização moetária. Cosidere os seguites valores de IGPM: 1 mês: 2,1%- 2 mês: 3,8% - 3 mês: 4,7% - 4 mês: 3,4% - 5 mês: 2,5%. Respostas (sistemas de amortização) 128) Plailha de amortização SAF: (Taxa de juros: 2,5% a.m.) Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,99 6 0, ,38 885, ,99 Total , , ,97 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 50

52 129) Plailha de amortização (Sistema de amortização variável): (Taxa de juros: 4% a.m.) Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,00 5 0, , , ,00 Total , , ,00 130) Plailha de amortização (SAF) a) Sem carêcia Fiaciameto de ,00, 5% a.m., 4 prestações mesais. Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , , , ,81 4 0, , , ,81 Total , , ,24 b) Carêcia de 3 meses - pagameto dos juros o período de carêcia Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, ,00 0, , , ,00 0, , , , , , , , , , , , , , ,81 6 0, , , ,81 Total , , ,24 c) Carêcia de 3 meses - capitalização dos juros o período de carêcia Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, , , , , , , , , , , , ,91 0, , , ,91 Total , , ,64 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 51

53 131) Plailha de desembolso: SAC; 2 aos, prestações semestrais, taxa de 9% a.s. Período (semestre) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0, , , , , , , , , , , , ,00 4 0, , , ,00 Total , , ,00 132) Plailha de amortização (Sistema de amortização americao SAA): Pagameto dos juros a data da liquidação: Período (ao) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação aual ,00 0,00 0,00 0, , ,00 0, , ,00 0, , ,68 0,00 4 0, , , ,33 Total , , ,33 Exercício aterior: Fudo de amortização (para FV = ,00) Valores dos depósitos do fudo de amortização: PMT = 3.428,87 (i = 6 %a.a.) 133) a) Plailha de desembolsos pelo SAC Fiaciameto = ,00, taxa 3% a.m., prazo de 5 meses. Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,00 5 0, ,00 960, ,00 Total , , ,00 b) Plailha de desembolsos pelo SAF Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mesal ,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,73 5 0, , , ,73 Total , , ,66 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 52

54 c) Plailha de desembolsos pelo SAM: P SAM = P saf + P Período Saldo Amortização Juros Prestação mesal (mês) Devedor Prest- SAC Prest SAF Prest SAM ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,37 5 0, ,58 988, , , ,37 Total , , ,85 3 sac 134) a) $ 2.180,00 e b) $ 1.492,00 135) a) $ 2.000,00, b) $ 1.520,00 e $ 3.520,00, c) $ 2.080,00 e d) $ ,00 136) a) $ ,10 e b) $ ,70 e $ ,20 137) a) Plailha de Amortização SAF (Taxa de juros de 6,0% a.m.) Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Saldo Devedor Atualizado Prestação mesal ,00 0,00 0,00-0, , , , , , , , , , , , , , , , ,64 5 0, , , ,64 Total , , ,20 b) Plailha de amortização SAF: (Taxa de juros: 6,0% a.m. + IGPM) Período (mês) Saldo Devedor Amortização Juros Saldo Devedor Atualizado Prestação mesal ,00 0,00 0,00 0, , , ,00 ( ,00) , , , ,81 (87.696,84) , , , ,34 (72.472,31) , , , ,15 (54.885,76) , , , ,01 (35.300,25) ,64 Total , , ,20 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 53

55 Itrodução ao uso da calculadora HP-12C 1) O TECLADO A maioria das teclas da HP 12C realiza duas ou até mesmo três fuções. A fução primária de uma tecla é idicada pelos caracteres impressos em braco a face superior da tecla. As fuções alterativas de uma tecla são idicadas pelos caracteres impressos em amarelo e pelos caracteres impressos em azul. Para acioarmos tais fuções, devemos previamete pressioar a tecla de prefixo f para a fução amarela ou a tecla de prefixo g para a fução azul. Se as teclas f e g forem pressioadas por egao, elas podem ser caceladas pressioado-se f CLEAR PREFIX. 2) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS Para itroduzirmos um úmero a calculadora pressioe as teclas dos dígitos em seqüêcia, tal como se você estivesse escrevedo um papel. A tecla do poto decimal deverá ser pressioada se o úmero possuir dígitos a parte decimal; se o úmero for iteiro, o poto decimal é desecessário. Para itroduzirmos um úmero egativo, digitamos o úmero sem o sial e a seguir pressioamos a tecla CHS (Chage Sig). Se a tecla CHS for pressioada ovamete o úmero ficará positivo. 3) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS NA NOTAÇÃO CIENTÍFICA O visor da HP 12C ão comporta úmeros com mais de 10 dígitos. Números com mais de 10 dígitos deverão ser escritos a otação cietífica, produto de um úmero por uma potêcia do úmero dez. Esses úmeros serão armazeados fazedo uso da tecla EEX (ENTER EXPONENT). EXEMPLOS: A) = 1, PRESSIONE VISOR EEX B) 0,0003 = PRESSIONE VISOR 3 EEX 4 CHS Obs: É óbvio que úmeros com meos de 10 dígitos também poderão ser itroduzidos a calculadora usado a otação cietífica. 4) AS TECLAS CLEAR : Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus coteúdos origiais por zero. Ao se apagar a memória de programação, substitui-se todas as istruções ela armazeadas por g GTO 00. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 54

56 As fuções para apagar são as seguites: TECLA APAGA CLx O úmero que aparece o visor. f CLEAR Σ Os registradores estatísticos (R 1 a R 6 ), os registradoras da pilha operacioal e o visor. f CLEAR FIN f CLEAR REG Os registradores fiaceiros. Os registradores de armazeameto de dados, os registradores fiaceiros, os registradores da pilha operacioal, o último x LSTx e o visor. f CLEAR PRGM A memória de programação, somete se pressioadas o modo PRGM. 5) CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES: A operação etre dois úmeros é feita iformado à calculadora quais são os dois úmeros e etão qual a operação a ser realizada. Em resumo, devemos seguir os seguites passos: 1. Itroduzimos o primeiro úmero. 2. Pressioamos ENTER para separar o segudo úmero do primeiro, ou aida, para ecerrarmos a itrodução de dígitos do primeiro úmero. 3. Itroduzimos o segudo úmero. 4. Pressioamos +, -, x ou para realizarmos a operação desejada. A tecla ENTER serve para ecerrar a itrodução de dígitos do primeiro úmero. Não há ecessidade de pressioar ENTER após o segudo úmero porque quado pressioamos as teclas +, -, x, também ecerramos a itrodução de dígitos. Na verdade, todas as teclas ecerram a itrodução de dígitos, com exceção das teclas. CHS EEX f g STO RCL e GTO. 6) A PILHA OPERACIONAL A HP-12C dispõe de quatro registradores temporários (X, Y, Z, T) que formam a chamada pilha operacioal e que pode ser represetada através do seguite diagrama: T Z Y X Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 55

57 É importate observar que: a) O registrador X é aquele cujo coteúdo está aparecedo o visor. b) Todas as operações aritméticas são efetuadas com os coteúdos dos registradores Y e X. c) Os coteúdos dos registradores sobem a pilha operacioal toda vez que os valores são itroduzidos a calculadora através da tecla ENTER. d) Os coteúdos dos registradores descem a pilha operacioal quado são efetuadas operações aritméticas através das teclas +, -, x,. e) A tecla R quado acioada mostra sucessivamete o coteúdo dos registradores Y, Z, T, X. f) A tecla X > < Y permuta os coteúdos dos registradores X e Y matedo o coteúdo dos registradores Z e T ialterados. 7) A TECLA ENTER Quado um úmero é digitado ocupa, imediatamete, a memória X, que é a úica memória cujo coteúdo aparece o visor. Ao se acioar a tecla ENTER são desecadeadas as seguites trasferêcias de valores etre os registradores da pilha operacioal: a) O coteúdo de X (visor) é trasferido para Y e matido em X. b) O coteúdo de Y é trasferido para Z. c) O coteúdo de Z é trasferido para T. d) O coteúdo de T é perdido. EXEMPLOS A) = 16 SOLUÇÃO: 15 ENTER B) ( ). 7 = = 77 SOLUÇÃO: 5 ENTER C) (3 x 4 ) + ( 5 x 6 ) = = 42 SOLUÇÃO: 3 ENTER 4 5 ENTER 6 + D) A HP 12 C comporta até 3 úmeros além do armazeado o visor. ( 3 x 4 ) + ( 5 x 2 ) + (4 x 5 ) + 7 = = = = 49 Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 56

58 SOLUÇÃO: 3 ENTER 4 5 ENTER 2 4 ENTER E) 5 = 5 = 0, SOLUÇÃO: 5 ENTER 3 ENTER ) AS TECLAS % e %T A tecla % serve para calcular a variação percetual etre dois valores. Para o cálculo, itroduz-se, primeiramete, o valor atigo e, depois, o ovo valor e pressioa-se a tecla %. A tecla %T serve para calcular distribuição percetual. Para o cálculo, itroduz-se, primeiramete, o valor total e depois o valor para o qual se deseja ecotrar a parte percetual, pressioado, a seguir, a tecla %T. Este procedimeto deve ser repetido para cada valor que se deseja ecotrar a parte percetual o total. EXEMPLOS A) Calcular a variação percetual etre os preços R$ 15,00 (atigo) e R$ 18,00 (ovo). SOLUÇÃO: 15 ENTER 18 % Visor 20,00 Acréscimo de 20%. B) Calcular a variação percetual etre os preços R$ 18,00 (atigo) e R$ 15,00 (ovo). SOLUÇÃO: 18 ENTER 15 % Visor -16,67 Decréscimo de 16,67%. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 57

59 C) Calcular a distribuição percetual das aplicações de um ivestidor sabedo que o valor ivestido em ações é R$ 2.000,00; em reda fixa é R$ 3.000,00 e a poupaça é R$ 4.000,00. SOLUÇÃO: 9000 ENTER 2000 %T Visor 22, ENTER 3000 %T Visor 33, ENTER 4000 %T Visor 44,44 O ivestidor aplica em ações 22,22% do valor total, em reda fixa 33,33% do valor total e em poupaça 44,44% do valor total. 9) O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS: A tecla amarela f é a que determia o úmero de casas decimais que aparecerá o visor. Para isso, basta que se pressioe a tecla f e a seguir o úmero de casas decimais desejadas (0 a 9). A seqüêcia de teclas tecla f. apresetará o úmero a otação cietífica. Idepedete do úmero de casas decimais represetadas o visor, a HP-12C trabalha sempre com úmeros de 10 dígitos. 10) REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO: Nos registradores da pilha operacioal, utilizados para armazear úmeros durate os cálculos e, também, um outro registrador chamado LAST X, usado para armazear o último úmero cotido o visor ates de realizar uma operação, os úmeros são armazeados automaticamete. Além destes acham-se dispoíveis 25 registradores para o armazeameto maual de úmeros. Tais registradores são desigados por R 0 a R 9, R. 0 a R. 9,, i, PV, PMT e FV. 11) ARMAZENAMENTO E RECUPERAÇÃO DE NÚMEROS: Para armazear um úmero cotido o visor um registrador de armazeameto: 1. Pressioe STO (store). 2. Itroduza o úmero registrador de 0 a 9 para os registradores R 0 a R 9 ou.0 a.9 para os registradores R. 0 a R. 9 ou pressioe as teclas i PV PMT FV para os registradores fiaceiros. De maeira semelhate, para recuperar um úmero de um registrador pressioe RCL (recall) e etão itroduza o úmero ou o ome do registrador. Isto fará com que o úmero cotido o registrador especificado seja copiado o visor, etretato, o coteúdo do registrador permaecerá ialterado. Além disso, quado esta operação é realizada, o úmero ateriormete cotido o visor é automaticamete matido detro da calculadora para um cálculo posterior. Da mesma maeira que o coteúdo do visor é matido quado é itroduzido um ovo úmero. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 58

60 12) ARITMÉTICA COM OS REGISTRADORES R 0 a R 4 Os registradores R 0 a R 4 permitem realizar uma operação aritmética etre um úmero o visor e o úmero cotido um desses registradores. A seqüêcia é: 1. Se o úmero ão estiver o visor você deverá digitá-lo ou calculá-lo. 2. Pressioe STO. 3. Pressioe +, -, x, para especificar a operação desejada. 4. Itroduza o úmero do registrador. EXEMPLOS A) O registrador 1 (R 1 ) cotém o úmero 7. a) Queremos multiplicar seu coteúdo por 3. SOLUÇÃO: 3 STO x 1 b) Queremos somar 5 ao seu coteúdo. SOLUÇÃO: 5 STO + 1 c) Queremos dividir o coteúdo por 2. SOLUÇÃO: 2 STO 1 d) Queremos subtrair 4 do coteúdo. SOLUÇÃO: 4 STO - 1 B) ( 3 x 2 ) + ( 8 x 7 ) = 2,07 ( 2 x 15 ) SOLUÇÃO: 3 ENTER 2 x STO 0 8 ENTER 7 x STO ENTER 15 x STO 0 RCL 0 13) CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS EXEMPLO Quatos dias há etre 01 de Fevereiro de 2008 e 31 de Agosto de a forma: Com a calculadora o modo M.DY (Moth.DayYear ou Mês.DiaAo). Ates de efetuar os cálculos tecle: g M. DY Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 59

61 Agora, o visor da sua HP 12C deve mostrar somete 0,00 poto Itroduza a primeira data: ENTER Itroduza a seguda data: Por último tecle: g DYS Visor 212 Difereça de dias etre as datas = 212 dias. 2 a forma: Com a calculadora o modo D.MY (Day.MothYear ou Dia.MêsAo). Ates de efetuar os cálculos tecle: g D.MY Agora, o visor da sua HP 12C deve mostrar 0,00 e abaixo o idicador de estado D.MY poto Itroduza a primeira data: ENTER Itroduza a seguda data: Por último tecle: g DYS Visor 212 Difereça de dias etre as datas = 212 dias. Prof a Júlia Nobre e Prof a Liaa Guimarães 60