Aulas Particulares on-line

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1 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detetor dos direitos autorais. I9 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: Pré-vestibular.. Educação. 3. Estudo e Esio. I. Título. CDD Disciplias Lígua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Fracis Madeira da S. Sales Márcio F. Satiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Dato Pedro dos Satos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Adrade Neto Reato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Atoio Noroha Vitor M. Saquette Edso Costa P. da Cruz Ferada Barbosa Ferado Pimetel Hélio Apostolo Rogério Ferades Jefferso dos Satos da Silva Marcelo Picciii Rafael F. de Meezes Rogério de Sousa Goçalves Vaessa Silva Duarte A. R. Vieira Eilso F. Veâcio Felipe Silveira de Souza Ferado Mousquer Projeto e Desevolvimeto Pedagógico Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

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5 Aplicações: Progressão Aritmético- -Geométrica, Juros Simples e Compostos Somatório O somatório é uma otação abreviada para idicar uma soma. O símbolo, que se lê, somatório de a i, variado i de até, represeta a soma de todos os valores de a i, quado se atribuem a i os valores iteiros,, 3,...,. Σ a i = a + a + a a i= O ídice i é o ídice do somatório (ídice mudo) e assume todos os valores iteiros de a chamados, respectivamete, limite iferior e limite superior do ídice i. O úmero de parcelas do somatório é igual à difereça etre os limites superior e iferior do ídice mais uma uidade. O somatório ão precisa ecessariamete ter como limite iferior. Dessa forma, sedo m dois iteiros, temos: Σ a i =a m + a m+ + a m a i=m O somatório Σ (i+3) = ( + 3) = ( + 4) i= idica a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética de primeiro termo 5 e razão. Propriedades I. II. Σ i= (a i +b i ) = Σ i= a i + Σ i= b i Σ i= Σ i= a =. a a i i= Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações III. (k. a i ) = k. Σ

6 Produtório O produtório é uma otação abreviada para idicar um produto. O símbolo a i, que se lê, produtório de a i, variado i de até, represeta o produto de todos os valores de a i, quado se atribuem a i os valores iteiros,, 3,...,. Seja a PA PG (a b, a b, a 3 b 3,..., a b ) ode (a ) é uma PA de razão r e (b ) é uma PG de razão q. S = a b + a b + a 3 b a b qs = qa b + qa b + qa 3 b qa b qs = a b + a b 3 + a 3 b a b + qa b S q S = a b +(a a )b +(a 3 a )b (a a )b + qa b Π a i = a a a 3... a i= O ídice i é o ídice do produtório (ídice mudo) e assume todos os valores iteiros de a chamados, respectivamete, limite iferior e limite superior do ídice i. O úmero de fatores do produtório é igual à difereça etre os limites superior e iferior do ídice mais uma uidade. O produtório ão precisa ecessariamete ter como limite iferior. Dessa forma, sedo m dois iteiros, temos: Π a i = a m. a m+. a m+... a i=m O produtório Π 3 i = = 3 i= (+) idica o produto dos primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 3 e razão 3. Propriedades I. II. III. Π i= Π i= Π i= (a i b i ) = Π a = a i= (k a i ) =k Π a i Π a i i= b i i= Progressões aritmético- -geométricas (PA PG) Uma PA PG é uma sequêcia da forma (a. b ), ode (a ) é uma PA e (b ) é uma PG. A soma dos primeiros termos de uma PA PG pode ser obtida como segue: S ( q) = a b +qa b + r(b +b b ) S ( q) = a b + qa b + r. ab + qa b b (q ) S = r. q (q ) b (q ) q Assim, para calcular x + x + 3x 3 + 4x , ode 0 < x <, devemos fazer: S = x + x + 3x 3 + 4x xs = x + x 3 + 3x 4 + 4x ( x) S = x + x + x + x = x S = ( x) x x Progressões aritméticas de ordem superior PA de.ª ordem É uma sequêcia umérica a qual a difereça etre os termos cosecutivos forma uma PA ão- -estacioária (r 0). Exemplo: (.ª ordem) (PA) O termo geral de uma PA de.ª ordem é um poliômio do.º grau em. p() = a +b +c A sequêcia formada pela soma dos primeiros termos de uma PA é uma PA de.ª ordem. Isso pode ser verificado a fórmula da soma dos termos da PA que é de.º grau em. PA de ordem k É uma sequêcia umérica a qual a difereça etre os termos cosecutivos forma uma PA de ordem k. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

7 Exemplo: Supodo f uma combiação liear de r e r (3.ª ordem) (.ª ordem) (PA) O termo geral de uma PA de ordem k é um poliômio de grau k em. p() = α k k +α k k α + α 0 A sequêcia formada pelas somas os primeiros termos de uma PA de ordem k é uma PA de ordem k +. Soma das potêcias de grau k de uma PA A soma das potêcias de grau k de termos de uma PA é um poliômio de grau (k +) em. S = a k + a k a k + a k = - α k + k+ + α k k α + α 0 Assim, para calcular a soma dos quadrados dos primeiros úmeros aturais positivos, basta fazer: S = = a 3 + b + c + d = a + b + c + d = = 8a + 4b + c + d = 5 = 3 7a + 9b + 3c + d = 4 = 4 64a + 6b + 4c + d = 30 a =, b =, c = e d = S = = Sequêcias recorretes Vamos desevolver a teoria das sequêcias recorretes aalisado um caso particular, a chamada sequêcia de Fiboacci, defiida como segue: f 0 = 0 f = f = f + f, equação de recorrêci Com base a defiição, calculam-se os primeiros termos da sequêcia. (f ) = (0,,,, 3, 5, 8, 3,, 35, 56, 9,...) O termo geral dessa sequêcia é obtido fazedo f = r. ± 5 r = r + r r r = 0 r, = Usado f 0 = 0 e f =, obtém-se α= e 5 β= e o termo geral da sequêcia é expresso 5 por: f =. 5 O método acima pode ser utilizado para outra defiição dos primeiros termos, assim como outra equação de recorrêcia. Aumetos e descotos Seja um preço iicial PI que foi aumetado de x%, o ovo preço é: PF = PI + PI.x% = PI.( + x%) Seja um preço iicial PI que sofreu um descoto de x%, o ovo preço é: PF = PI PI.x% = PI.( x%) Exemplos: ) Um produto custava R$80,00 e sofreu um aumeto de 30%. Qual o ovo preço? 80,00 (+ 0,3) = R$04,00 ) Um produto que custava R$80,00 foi vedido com um descoto de 30%. Qual o preço de veda? 80,00. ( 0,3) = R$56,00 3) Um produto que custava R$80,00 passou a custar R$0,00. Qual o percetual de aumeto? 80. (+ x) = 0 x = 0,375 = 37,5% 4) Um produto que custava R$80,00 foi vedido com descoto por R$70,00. Qual o percetual do descoto? 80. ( x) = 70 x = 0,5 =,5% Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 3

8 4 5) Uma mercadoria sofreu dois aumetos sucessivos de 0%. Qual o aumeto resultate? Pf = Pi. ( + 0,). ( + 0,) =,Pi Aumeto: Pf Pi =,Pi Pi = 0,Pi = % 6) Uma mercadoria sofreu um aumeto de 0% e posteriormete um descoto de 0%. Qual o resultado fial? Pf = Pi. ( + 0,).( 0,) = 0,96Pi Descoto: Pf Pi = 0,96Pi Pi = 0,04Pi = 4% Operações sobre mercadorias São operações que evolvem a compra e veda de mercadorias e o lucro ou prejuízo essas operações. Vedas com lucro: o preço de veda é obtido pelo preço de custo mais o lucro. V = C + L Vedas com prejuízo: o preço de veda é obtido pelo preço de custo meos o prejuízo V = C P O lucro ou o prejuízo são comumete calculados com base o preço de custo, mas podem também ser calculados sobre o preço de veda. Observe o quadro a seguir Cálculo sobre o preço de custo Cálculo sobre o preço de veda Com lucro V = C + i%.c V = C +i%.v Com prejuízo V = C i%.c V = C i%.v Exemplos: ) Uma mercadoria custou R$80,00. Por quato deve ser vedida para que haja um lucro de 0% sobre o preço de custo? V = C + 0%.C =,.C =,. 80,00 = R$88,00 ) Uma mercadoria custou R$80,00. Por quato deve ser vedida para que haja um lucro de 0% sobre o preço de veda? V = C + 0%.V = C + 0,.V 0,9.V = 80,00 V = R$88,89 0,9.V = C 3) Uma mercadoria foi vedida por R$80,00, com um prejuízo de 0% sobre o preço de veda. Qual o preço de custo dessa mercadoria? V = C i%.v C = ( + i%).v = (+0,). 80,00 C = R$98,00 4) Uma calça foi vedida por R$0,00 com um lucro de 0% sobre o preço de custo. Qual o preço de custo da calça? V = C + i%.c V = C.( + i%) 0,00 = C.( + 0,) C = 0,00:, = R$00,00 Juros simples O regime de capitalização simples é aquele em que os juros gerados em cada período são iguais e sobre eles ão icidem ovos juros, ou seja, os juros ão são capitalizados. Juros simples são etão, a remueração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i% durate um certo tempo t, cuja remueração é calculada somete sobre o capital iicial C. J= C.i.t 00 em que C é o capital iicial aplicado (pricipal) i é a taxa percetual de juros. t é o tempo de aplicação. J são os juros recebidos. Na fórmula acima, o tempo t deve ser expresso a mesma uidade a que estiver refereciada a taxa de juros i. Dessa forma, se a taxa de juros for ao ao, o tempo deve ser expresso em aos, já se a taxa de juros for ao mês, o tempo deverá estar em meses. Chama-se motate (M) o valor resgatado ao fial da aplicação do capital C. M = C + J M = C + i.t 00 No regime de capitalização a juros simples os acréscimos ao capital em cada período são iguais, ou seja, o motate cresce segudo uma progressão aritmética, o que pode ser cofirmado pela característica da expressão acima que é uma fução do.º grau em t. Vale citar que, para o cálculo de juros, ormalmete é usado o ao comercial de 360 dias, o qual os meses são sempre cosiderados com 30 dias. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

9 Exemplos: ) Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, determie os juros recebidos e o motate. J = C. i. t/00 = 3.000, :00 = 600,00 M = C + J = 3.000, ,00 = 3600,00 ) Um capital de R$.000,00 foi aplicado por 7 meses a uma taxa aual de juros simples de 4%. Qual o motate dessa aplicação? Como o tempo está em meses e a taxa de juros ao ao, deve-se trasformar um dos dois para a uidade do outro. 4%a.a. = 4% a.m.= %a.m M = C. ( + i%. t) M = 000,00. ( + 0,0. 7) =.000,00.,4 = R$.80,00 3) Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por 0 dias a juros simples a 9% ao mês. Qual o motate da aplicação? 0 dias = 0/30 mês = /3 mês i% = 9% a.m. M = C. ( + i%. t) M = 5.000,00. ( + 0,09. :3) = 5.000,00.,06 M = R$5.300,00 4) O capital de R$500,00 aplicado durate um ao e meio a juros simples redeu R$80,00. Qual a taxa mesal? J = C. i%. t i% = J/C. t t =,5 ao = 8 meses i% = 80,00/500,00. 8 = 0,0 = %a.m. 5) A aplicação de R$3.000,00 a juros simples de taxa mesal igual a 6% gerou motate igual a R$3.40,00. Determie o prazo da aplicação. M = C + J J = M C J = 3.40, ,00 = 40,00 J = C. i%. t t = J/C. i% t = 40,00/3.000,00. 0,06 = 7:3 meses = 70 dias Juros compostos A maioria das operações fiaceiras ão trabalha com sistema de capitalização simples, mas sim com capitalização composta. No regime de capitalização composta, os juros gerados em cada período são icorporados ao capital (capitalizados) para o cálculo dos juros o período seguite. Chamamos de juros compostos a remueração que o capital C recebe após períodos de aplicação, quado a cada período, a partir do segudo, os juros são calculados sobre o motate do capital o período aterior. M = C. ( +i%) ode M é o motate, ou seja, o valor resgatado ao fial do período. É importate iterpretar o sigificado da expressão aterior a qual estabelece que uma quatia hoje igual a C 0, trasformar-se-á, depois de períodos de tempo, em uma quatia M = C 0. ( +i%). Isto é, uma quatia de valor atual A equivalerá o futuro, após períodos de tempo, a uma quatia F=A(+i%). Assim, podemos cocluir o seguite: para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (+i%) ; para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (+i%). O fator ( +i%) é chamado fator de capitalização. Os juros J podem ser obtidos subtraido do motate M o capital iicial C. J = M C No regime de capitalização a juros compostos o motate cresce segudo uma progressão geométrica, o que pode ser cofirmado pela característica da expressão M = C. ( +i%), que é uma fução expoecial em t. Exemplos: ) Qual o motate produzido por R$0.000,00 à taxa de juros compostos de 6% ao mês durate 5 meses? ) M = C. ( + i%) M = 0.000,00. (+0,06) 5 = 0.000,00.,06 5 = R$3.38,5 Calcular o motate da aplicação de R$0.000,00 à taxa composta de 8% ao trimestre durate ao. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5

10 6.. = ao = 4 trimestres M = C. ( + i%) M = 0.000,00. (+0,08) 4 = 0.000,00.,08 4 = R$3.604,88 3) Uma pessoa aplicou R$.000,00 por um ao e meio à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre. Qual o motate dessa aplicação? =,5 aos = 8 meses = 9 bimestres M = C. ( + i%) M =.000,00. (+0,06) 9 =.000,00.,06 9 = R$.689,48 4) Qual o capital que aplicado a juros compostos de % ao mês gera um motate de R$5.3,40 após um semestre? = semestre = 6 meses M = C M... ( + i%) ( + i%) C = 5.3,40:(+0,0) 6 = 5.3,40:,0 6 C = R$00.000,00 5) Determiar o capital que aplicado à taxa composta de 9% ao mês rede juros de R$8.36,0 uma aplicação de 4 meses. M = C. ( + i%) J = M C = C. [( + i%) ] 8.36,0 = C. [(+0,09) 4 ] 8.36,0 = C. (,09 4 ) C = 8.36,0:0,458 C = ,00 60 (FGV) Calcule Σ (j ) Solução: j = ( + 60 ).60 ( j ) = j =. = j= j= j= (Uicamp) Cosidere uma progressão geométrica de termos ão-ulos, a qual cada termo, a partir do 3. terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamete ateriores. Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. 5 Supodo que o primeiro termo seja e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. Solução: Termo geral da PG: a = a. q, a = a + a, 3 (: a q 3 ) q q = 0 q = 5 q > a. q = a. q + a q 3 5 (+ 5 )(+ 5 a = a = aq = = a 3 = a q = ( ). ( + 5 ) = 5 S 3 = a + a + a 3 = a 3 = 5 (UFRJ) Uma reta divide o plao em duas regiões; duas retas dividem-o em, o máximo, quatro regiões; três retas dividem-o em, o máximo, sete regiões; e assim sucessivamete. Em quatas regiões, o máximo, 37 retas dividem o plao? Solução: Observemos, iicialmete, que, dadas retas o plao, sempre é possível ecotrar uma eésima que as itercepte (de fato: basta que o âgulo da ova reta com uma reta fixa seja diferete do que as retas já dadas fazem com a mesma reta fix e ão passe por ehum dos potos de iterseção já existetes. Observemos, aida, que, se o plao está dividido em k regiões covexas e itroduzimos uma ova reta, passamos a ter k + p regiões covexas, ode p é o úmero de regiões atravessadas pela reta. Ora, se temos retas dividido o plao em S regiões e itroduzimos a eésima reta, esta, ao cruzar m retas (em potos outros que os de iterseção destas), atravessa exatamete m + regiões. Como a ova reta pode, o máximo, cruzar todas as retas já existetes, passamos a ter, o máximo, S + regiões. Para cada N, seja S o úmero máximo de subdivisões obtido com retas. Etão: S = S = 4 = S + Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

11 4. S 3 = 7 = S + 3 = S S 4 = = S = S S = S + = S ( + ) S = + ( ) = + = 37 S 37 = 704 (UERJ) Um fruticultor, o primeiro dia da colheita de sua safra aual, vede cada fruta por R$,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$0,0 por dia. Cosidere que esse fruticultor colheu 80 frutas o primeiro dia e a colheita aumeta uma fruta por dia. Expresse o gaho do fruticultor com a veda das frutas como fução do dia de colheita. Determie o dia da colheita de maior gaho para o fruticultor. Solução: Expressado as iformações do euciado a tabela abaixo: Frutas Valor (R$),00 Período da colheita Dia Dia Dia 3... Dia +,00 0,0.,00 0,0.,00 0,0 Quatidade Gaho = G() = (80 +) (,00 0,0) = ,4 0,0 Basta calcular o valor de, para qual o triômio do.º grau assume seu valor máximo. 0,4 = = 0.( 0,0 ) 6. d) e) R$9.400,00 R$9.600,00 Solução: E Ao fim do primeiro ao o motate da dívida era de , = R$.000,00. Com o pagameto da.ª parcela, a dívida caiu para R$.000,00 R$4.000,00 = R$8.000,00. Ao fim do segudo ao, a dívida total era de , = R$9.600,00 Este deve ser o valor da.ª parcela para quitar a dívida. (Fuvest) Uma empresa vede uma mercadoria e vai receber o pagameto em duas prestações. A primeira o ato da veda e a seguda trita dias após. Supodo que o preço à vista da mercadoria seja C reais, que o primeiro pagameto seja de C/3 reais e que a iflação esses 30 dias seja de 5%, calcule o valor que deve ser cobrado o segudo pagameto da veda a compesar exatamete a iflação do período. 5C/4 5C/6 c) C/3 d) 5C/ e) C/6 Solução: B A situação do problema pode ser represetada pelo diagrama abaixo: 5. Dia: + = 0 + = (FGV) Fábio recebeu um empréstimo bacário de R$0.000,00, para ser pago em duas parcelas auais, a serem pagas respectivamete o fial do primeiro e do segudo ao, sedo cobrados juros compostos à taxa de 0% ao ao. Sabedo que o valor da.ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos cocluir que o valor da.ª foi de: c) R$8.800,00 R$9.000,00 R$9.00,00 7. Para obter o valor x, basta cosiderar que ele é o valor futuro do valor atual C C/3 = C/3 após um período a uma taxa de 5%. x = C (+ 5%) = C = 5C 6 (FGV) O Sr. Oliveira aplicou R$0.000,00 uma cadereta de poupaça e R$30.000,00 um fudo de ações por um ao. Nesse período, a cadereta de poupaça redeu 8% e o fudo de ações apeas %. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 7

12 8 8. Qual a taxa de redimeto global do Sr. Oliveira, o período? Quato ele deveria ter aplicado o fudo de ações (matida a aplicação de R$0.000,00 a cadereta de poupaç para que sua taxa global fosse de 6% ao ao? Solução: motate cadereta: 0.000,08 =.600 motate fudo de ações: ,0 = redimeto global = = ,4% x = valor aplicado o fudo de ações redimeto global = x.,0 ( x) = 6% x = x 4,4% R$0.000,00 (FGV) Beedito, um motorista de táxi que percorre 5 040km por mês, aalisa a hipótese de adquirir um veículo equipado com tecologia flex fuel, bicombustível. No folheto de propagada a motadora explica que o veículo bicombustível tato pode usar álcool como gasolia, em qualquer proporção, apresetado a seguite tabela de cosumo, de acordo com as proporções de combustíveis utilizadas: Combustível Álcool Gasolia Cosumo (km por litro) 00% 8 40% 60% 6 60% 40% 5 70% 30% 4 00% 0 Cosiderado que atualmete a gasolia custa R$,00 por litro e que o preço do litro de álcool é 45% do preço do litro de gasolia, que proporção de combustíveis Beedito deveria utilizar o veículo equipado com tecologia flex fuel, para que tivesse o meor gasto mesal possível? Para comprar o carro bicombustível, Beedito des- pederá R$3.000,00 a mais do que gastaria se adquirisse o mesmo modelo com motor movido a gasolia, que faz 8km por litro. Nas duas hipóteses, o seu carro atual etrará como parte do pagameto. O osso motorista está em dúvida, pois se comprar o. carro a gasolia poderá aplicar os R$3.000,00 em um fudo de ivestimeto que garate um redimeto de 30% de juros o período de 3 aos. Supodo que os preços dos combustíveis mateham-se os íveis atuais os próximos 3 aos, qual a aquisição que proporcioará maior gaho a Beedito? Solução: Supodo-se que Beedito possa usar apeas as opções apresetadas a tabela do euciado, pode-se motar a tabela abaixo para o gasto em cada uma das situações. Preço por litro(r$) 0. 0,90 +.,00 =,00 0,4. 0,90 + 0,6.,00 =,56 0,6. 0,90 + 0,4.,00 =,34 0,7. 0,90 + 0,3.,00 =,3. 0, ,00 = 0,90 Cosumo mesal (L) 5040 : 8 = : 6 = : 5 = : 4 = : 0 = 504 Gasto mesal (R$), = 560,00, = 49,40, = 450,4, = 44,80 0, = 453,60 A aálise dos resultados mostra que seu gasto mesal será o meor possível com a proporção de 70% de álcool e 30% de gasolia. Nas codições acima, se Beedito adquirir um veí- culo com tecologia flex fuel, ele poderá ecoomizar, o máximo, 560,00 44,80 = 7,0 reais por mês, o gasto com combustível. Isso correspode a 7,0. 36 = 49,0 reais em 3 aos. Descotado R$3.000,00 que ele gastaria a mais a aquisição, ele ecoomizaria R$.9,0. Nesse mesmo período, a aplicação de R$3.000,00 rederia R$900,00 (30% de R$3.000,00). Logo, a melhor aquisição é a do veículo flex-fuel. 70% de álcool e 30% de gasolia. Um veículo equipado com tecologia flex fuel. (UFSCar) Uma fução f é defiida recursivamete como 5f ( ) + f ( + ) =. Sedo f() = 5, o valor de f(0) é: Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

13 . c) 55 d) 60 e) 65 (FGV) As figuras represetam 3 etapas de uma sequêcia costruída com quadrados escuros e claros, todos de lados iguais A= A difereça etre o úmero de quadrados escuros e o úmero de quadrados claros em uma etapa será igual a 9 apeas a.ª etapa. c) d).ª etapa. 3.ª etapa. 4.ª etapa. e) 5.ª etapa. (FGV) Durate o último jogo da seleção brasileira, briquei com meu primo, apostado quem coseguiria colocar mais pipocas a boca. Comecei colocado duas a boca e fui aumetado r pipocas por vez, como em uma PA. Ele começou colocado uma a boca e foi multiplicado por r, como uma PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas a boca, descobrimos que a quatidade colocada por ós dois foi a mesma. Nessa ossa bricadeira, o valor de r é: c) d) um úmero quadrado perfeito. um úmero maior que 3. um divisor de 5. um múltiplo de 3. e) um úmero primo. 4. (PUC-Rio) Um quadrado mágico de ordem é uma matriz x cujas etradas são os iteiros de até e tal que a soma de todos os iteiros em cada liha e em cada colua dá o mesmo resultado S. Qual o valor de S? 5. (UFF) Cada liha e cada colua da matriz A 00x00 costitui uma progressão aritmética coforme idicado a seguir: Determie a soma dos elemetos da diagoal pricipal de A. (UFC) Uma sequêcia de úmeros reais é dita uma progressão aritmética de seguda ordem quado a sequêcia formada pelas difereças etre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assiale a alterativa a qual se ecotra parte de uma progressão aritmética de seguda ordem. c) d) (0, 5,,, 3) (6, 8, 5, 7, 44) ( 3, 0, 4, 5, 8) (7, 3,, 0, ) e) (, 4, 8, 0, 30) (UFPR) Cosidere a sequêcia cujo termo geral é x = + ( ), com =,, 3,.... Atribuido-se valores cada vez maiores para, o úmero x se aproxima de: c) d) 4 e) 0 8. Calcule a soma: S = ( + ) 9. (UERJ) Um comerciate gastou R$50,00, adquirido as mercadorias A e B para reveder. Observado a tabela abaixo, calculou e comprou o úmero de uidades de A e B para obter o lucro máximo. Mercadorias Preço por uidade (R$) de custo de veda Máximo de uidades liberado para o comerciate A,00,50 00 B,00 3,00 00 Com a veda de todas as uidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi: Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 9

14 c) 75 d) (UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumeta os preços de seus produtos em 60%. Na liquidação após o Ao Novo, os mesmos produtos sofrem um descoto de 7,5%, em relação aos preços reajustados em 5 de dezembro. Após esta liquidação, podemos costatar que os preços dos produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro, sofreram uma variação percetual de: 6,0% 9,0% c) 3,5% d) 44,0%. (UERJ) João, a compra de um produto pago por meio de um sistema de crédito, optou por dividir o pagameto em 5 parcelas iguais. Esse sistema cobra, ao fial de cada mês, a partir da data da compra, juros de 0% sobre a quatia que aida resta a ser paga. A percetagem total que João pagará de juros, esta compra, será aproximadamete de: 50% 3% c) 5% d) 0%. (FGV) Um aparelho de TV é vedido por R$.000,00 em dois pagametos iguais, sem acréscimo, sedo o.º como etrada e o.º um mês após a compra. Se o pagameto for feito à vista, há um descoto de 4% sobre o preço de R$.000,00. A taxa mesal de juros simples do fiaciameto é aproximadamete igual a: 8,7% 5,7% c) 7,7% d) 4,7% 3. (Uicamp) Um eletrodoméstico está à veda por R$.00,00 em três pagametos: R$400,00 à vista, R$400,00 um mês depois e R$400,00 dois meses depois. Para pagameto à vista o comerciate dá um descoto de 0%. Supodo que a iflação teha se estabilizado em 0% ao mês, e que matedo o diheiro o baco o comprador gaha essa correção mesal, verifique qual dos dois plaos é mais vatajoso à vista ou a prazo e explique por quê. 4. (UERJ) Se um comprador dispusesse exatamete de R$5.890,00 para a aquisição de um vetilador, e optasse pela forma de pagameto em duas vezes, teria que quitar, o ato da compra, a primeira parcela de R$3.960,00, restariam R$.930,00 (R$5.890,00 R$3.960,00) para pagar, 30 dias após, a seguda parcela de R$ 3.960,00. Supoha que os R$.930,00 restates veham a ser aplicados o mercado fiaceiro até o dia do pagameto da seguda parcela de R$3.960,00. Nesse caso, os R$.930,00 teriam de reder, para saldar a dívida, aproximadamete, o míimo de: 34,5% 50,5% c) 55% d) 80% e) 05% 5. (UFRRJ) Um armário custa à vista R$60,00 ou duas prestações de R$375,00, uma o ato da compra e outra após 30 dias. Para que a compra em duas vezes seja vatajosa, devemos ecotrar um ivestimeto que reda, em 30 dias, mais do que: 53% 45% c) 35% d) % e) 33% 6. (UFRJ) Um eletrodoméstico custa R$50,00 à vista, mas pode também ser pago em duas vezes: R$50,00 de etrada e R$50,00 ao fim de 30 dias. Qual a taxa de juros mesal que a loja está cobrado do cliete que paga em duas vezes? 0% 5% c) 40% d) 50% e) 70% 7. (FGV) A rede Corcovado de hipermercados promove a veda de uma máquia fotográfica digital pela seguite oferta: Leve agora e pague daqui a três meses. Caso o pagameto seja feito à vista, Corcovado oferece ao cosumidor um descoto de 0%. Caso um cosumidor prefira aproveitar a oferta, pagado o fial do 3.º mês após a compra, a taxa aual de juros simples que estará sedo aplicada o fiaciameto é de: 0% 50% c) 00% d) 80% Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

15 e) 0% 8. (UFJF) As promoções do tipo Leve 5 e Pague 4, quado feitas de modo que o cliete gahe de fato um produto, dão um descoto, sobre cada uidade vedida, de: 6,5% 0% c) 0% d) 5% e) 30% 9. (FGV) O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos. Cada par é comprado por um certo valor e é vedido com uma margem de cotribuição (difereça etre o preço de veda e de compr igual a 30% do preço de veda. Se cada par for vedido por R$60,00, qual o preço de compra? Se o preço de compra for de R$40,00, qual a mar- gem de cotribuição, expressa como porcetagem do preço de compra? 0. (FGV) Um vidro de perfume é vedido à vista por R$ 48,00 ou a prazo, em dois pagametos de R$5,00 cada um, o primeiro o ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mesal de juros do fiaciameto é aproximadamete igual a: 6,7% 7,7% c) 8,7% d) 9,7% e) 0,7%. (PUC-Rio) Uma iflação mesal de % acumula durate quatro meses uma iflação de, aproximadamete: 7% 9% c) 8,5% d) 0% e) %. (UFF) A loja Goiás paga, pela aquisição de certo produto, o correspodete ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos calculados sobre o preço x. Vede esse produto ao cosumidor por R$54,00 com lucro de 5%. Determie o valor de x. 3. (UFJF) Uma loja de eletrodomésticos aucia a seguite promoção: Televisor 9, à vista, por apeas R$70,00, ou a prazo, em duas prestações mesais iguais de R$390,00, sedo a primeira paga o ato da compra... Nestas codições, a taxa mesal de juros embutida a veda a prazo é igual a: 0% 5% c) 0% d) 5% e) 30% (UERJ) Cosidere a seguite soma ifiita: No gráfico I, abaixo, cada parcela dessa soma é represetada pela área de um retâgulo, e a soma ifiita é determiada pela soma das áreas desses retâgulos. No gráfico II, embora a cofiguração dos retâgulos teha sido alterada, as áreas se matêm iguais. I A A Com base essas iformações, podemos afirmar que a soma ifiita tem o seguite valor: c) d) (UENF) Observe a sequêcia umérica a seguir: (0, 3, 8, 5, 4,...) Determie, em relação a essa sequêcia: seu 6.º termo. a expressão do termo de ordem. 3. Calcule S = +ε + 3ε ε -, ode ε é uma raiz -ésima da uidade. 4. Calcular a soma dos primeiros termos da sequêcia:,, 84,, 430, 76, (Uicamp) Dada uma sequêcia qualquer a, a, a,..., 0 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações II. A 3

16 a, tem-se: ( aj a ) = ( a a ) ( a a ) = a0 a j= j No caso em que a j = j 3, essa idetidade assume a forma: 3 3 [( j ) j ] = 0 = j= Use esta idetidade para mostrar que: 3 j = = + + j= (IME) Determie o poliômio em, com o máximo 4 termos, que represeta o somatório dos quadrados dos primeiros úmeros aturais k. k = 7. Se é múltiplo de 4, a soma: S= + i+ 3i ( + ). i, i = é igual: i [( + ).( + i) +]/ c) ( + )/ d) ( + i. i)/ e) ( +. i)/ Obteha o termo geral da sequêcia defiida por a = a + 3a, com a 0 = 0 e a =. (Uesp) Os coelhos se reproduzem mais rapidamete que a maioria dos mamíferos. Cosidere uma colôia de coelhos que se iicia com um úico casal de coelhos adultos e deote por a o úmero de casais adultos desta colôia ao fial de meses. Se a =, a = e, para, a+ = a + a, o úmero de casais de coelhos adultos a colôia ao fial do quito mês será: 3 8 c) 6 d) 5 e) 4 0. Uma escada tem dez degraus. De quatos modos uma pessoa que pode subir um ou dois degraus por vez (mas uca três ou mais degraus por vez) pode chegar ao topo da escada, se obrigatoriamete ela deve passar pelo 6.º degrau?. (FGV) O Magazie Lúcia e a rede Corcovado de hipermercados vedem uma determiada marca de aparelho de som do tipo Home Ciema, pelo mesmo preço à vista. Na veda a prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 0% ao mês, com plaos de pagametos distitos. Comprado a prazo o Magazie Lúcia, um cosumidor deve pagar R$.000,00 o ato da compra e R$3.05,00 depois de dois meses, equato que a rede Corcovado ele pode levar o aparelho sem desembolsar diheiro algum, pagado uma parcela de R$.980,00 um mês após a compra e o saldo em dois meses após a compra. Qual o valor à vista do aparelho de som? Se um cosumidor comprar o aparelho de som a prazo a rede Corcovado, qual o valor da parcela fial, com vecimeto dois meses após a compra?. (FGV) Para produzir um objeto, uma empresa gasta R$,00 por uidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$4.000,00, idepedetemete da quatidade produzida. Vededo os objetos produzidos a R$0,00 a uidade, o lucro atual da empresa é de R$6.000,00. Com o ituito de efretar a cocorrêcia, a empresa decide reduzir em 5% o preço uitário de veda dos objetos. Para cotiuar auferido o mesmo lucro, o aumeto percetual a quatidade vedida deverá ser de: 00% 5% c) 60% d) 40% e) 70% 3. (FGV) Um capital C foi aplicado a juros simples durate 0 meses, gerado um motate de R$0.000,00; esse motate, por sua vez, foi também aplicado a juros simples, durate 5 meses, à mesma taxa da aplicação aterior, gerado um motate de R$3.750,00. Qual o valor de C? Um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de % ao mês. Três meses depois, um outro capital igual a C é aplicado também a juros compostos, porém à taxa de 3% ao mês. Durate quato tempo o.º capital deve ficar aplicado para dar um motate igual ao do.º capital? Você pode deixar idicado o resultado. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

17 4. (UFJF) Um ivestidor aplica, por um ao, metade do seu capital, a juros de 8% ao ao; a quita parte a 9% ao ao; e o restate a 0%. Se ele decidisse aplicar o mesmo capital durate o mesmo tempo, em um úico ivestimeto, visado obter igual redimeto, a taxa aual do ivestimeto seria de: 9% 9,5% c) 8,5% d) 9,% e) 8,8% 5. (FGV) Um fabricate vede determiado produto pelo preço p, para pagameto meses após a compra. Se o pagameto for feito à vista, há um descoto igual a 5% de A. A taxa mesal de juros simples do fiaciameto é: 6. c) d) 00 9 % 00 0 % 00 % 00 % e) 00 3 % (Uesp) O preço de tabela de um determiado produto é R$.000,00. O produto tem um descoto de 0% para pagameto à vista e um descoto de 7,% para pagameto em 30 dias. Admitido que o valor a ser desembolsado o pagameto à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um redimeto de 3%, determie: quato o comprador teria ao fial da aplicação. qual é a opção mais vatajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o diheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamete sua respost? 7. (Uesp) Mário tomou um empréstimo de R$8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagameto, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagameto foi de: c) d) e) R$3.05,00 R$3.80,00 R$4.0,00 R$5.0,00 R$5.50,00 8. (FGV) O salário líquido do Sr. Eresto é R$3.000,00 por mês. Todo mês ele poupa 0% de seu salário líquido e aplica essa poupaça um fudo que rede juros compostos à taxa de % ao mês. Qual seu saldo o fudo, o dia que fez o.º de- pósito? Quatos depósitos deverá fazer para ter um saldo de R$7.89,00, o dia do último depósito? (Idique apeas o resultado; ão é preciso fazer os cálculos.) 9. (UFRJ) O Sr. Feliciao cotraiu, em um baco, um empréstimo de R$0.000,00, com juros de 3% ao mês; ou seja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescetado-se 3% ao atigo. Começou a pagar a dívida exatamete um mês após tê-la cotraído. Pagou, religiosamete, R$50,00 por mês, durate 0 aos. Calcule o saldo devedor após o primeiro pagameto. Idique, das opções a seguir, a que represeta a situação do Sr. Feliciao decorridos os 0 aos. I. A dívida foi quitada. II. O Sr. Feliciao deve ao baco meos de R$0.000,00. III. O Sr. Feliciao deve ao baco algo etre R$0.000,00 e R$6.000,00. IV. O Sr. Feliciao deve ao baco mais de R$6.000,00. V. O baco deve diheiro ao Sr. Feliciao. 0. (UFMG) Um empresário tomou emprestada uma certa quatia, a juros de 5% ao mês. Esse empréstimo deveria ser liquidado em duas parcelas mesais fixas de R$.05,00, a primeira a ser paga um mês após a tomada do empréstimo. Etretato, o dia do vecimeto da primeira parcela, o empresário fez o seguite acordo com o credor: aquele dia, ele pagaria apeas R$8.000,00 e, daí a um mês, liquidaria o empréstimo. Os juros cobrados seriam, aida, de 5% ao mês. Assim sedo, calcule o valor da quatia a ser paga ao fial do segudo mês.. (UFMG) Um capital de R$30.000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros auais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de % de juros auais. Ao térmio de um ao, observouse que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. A difereça dos capitais aplicados foi de: c) R$8.000,00 R$4.000,00 R$6.000,00 R$0.000,00 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações d) 3

18 . (Uicamp) Um capital de R$.000,00 é aplicado a uma taxa aual de 8%, com juros capitalizados aualmete. Cosiderado que ão foram feitas ovas aplicações ou retiradas, ecotre: O capital acumulado após aos. O úmero iteiro míimo de aos ecessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital iicial. [Se ecessário, use log 0 = 0,30 e log 0 3 = 0,477]. 3. (Ibemec) Publicado a revista Isto É, de 8 out. 95: Efeito Papaia Notícia da terça-feira, 0: em setembro, o Ídice Geral de Preços (IGP), da Fudação Getúlio Vargas, registrou deflação de,08% (a maior desde 95). Motivo: queda de 4,% o preço do mamão papaia o mesmo mamão que, de jaeiro de 994 até agosto de 995, subiu 7.87,58%. A explicação dos técicos: justamete por ter aumetado tato de preço, o mamão passou a ter um peso maior a composição do IGP. Agora, despecado de preço, joga para baixo esse ídice. Se a deflação permaecer esse percetual até dezembro do mesmo ao, os últimos quatro meses de 995, a deflação acumulada será de: 4 (,08%) 98,9% c) 4,3% 4 d) (98,9%) 4. Um carro ovo é vedido à vista por R$8.05,00. Ele pode ser adquirido por fiaciameto com uma etrada de 0% e 48 parcelas fixas mesais e iguais, a uma taxa de juros de,3% ao mês. Calcule o valor das prestações mesais, usado,03 48,88 e cosiderado que ão há outras taxas. 4 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

19 6. d 7. c a b e ( + ) S = B a c c c 40 d R$4,00 4,86% S = D A D a À vista. e a.. b 35 a = Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5

20 3. S = ε 4. S Demostração e 4 ( 3 ( )) a = d 65 R$4.500,00 R$3.67,00 c e a R$8.000,00 3log 03, log 03, log 0, R$97,00 Pagar à vista, pois o preço após 30 dias é R$98,00 ão sedo o diheiro aplicado suficiete para o pagameto. c R$606,00 89 log 0, R$0.050,00 IV R$4.0,5 C R$3.996,80 0 aos. d R$ 765,90 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações