INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA E À ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA INTERVALAR

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1 Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte Cetro de Ciêcias Exatas e da Terra Departameto de Iformática e Matemática Aplicada Curso de Ciêcias da Computação INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA E À ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA INTERVALAR Gabriella do Carmo Patoja Duarte Natal - RN 007

2 GABRIELLA DO CARMO PANTOJA DUARTE INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA E À ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA INTERVALAR Moografia apresetada à disciplia Relatório de Graduação, miistrada pela professora Aamaria Martis Moreira para fis de avaliação da disciplia e como requisito para a coclusão do curso de Ciêcias da Computação do Departameto de Iformática e Matemática Aplicada da Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte. Orietador: Prof. Dr. Bejami Reé Callejas Bedregal Natal - RN 007

3 GABRIELLA DO CARMO PANTOJA DUARTE INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA E À ADMNISTRAÇÃO FINANCEIRA INTERVALAR Moografia apresetada à disciplia Relatório de Graduação, miistrada pela professora Aamaria Martis Moreira para fis de avaliação da disciplia e como requisito para a coclusão do curso de Ciêcias da Computação do Departameto de Iformática e Matemática Aplicada da Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte. MONOGRAFIA APROVADA EM 8//007 BANCA EXAMINADORA Professor: Bejami Reé Callejas Bedregal UFRN Admiistradora: Ivaosca Adrade da Silva UFRN Mestrado: Roque Medes Prado Tridade UFRN

4 Aos meus pais e aos meus amigos.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, por ter me cocedido a beção de ascer do amor dos meus pais e por ter me proporcioado a coclusão dessa etapa de miha vida. Aos meus pais pelo amor, cariho, compreesão, respeito e cofiaça em mim creditados. Ao meu orietador Prof. Bejami Reé Callejas Bedregal pela paciêcia e icetivo, sempre trasmitido cohecimetos valiosos e dado apoio e motivação que toraram possível a coclusão desta moografia. A todos os professores com os quais tive a oportuidade e o prazer de apreder e que cotribuíram, decisivamete, para a miha formação acadêmica, profissioal e pessoal. Aos colegas de graduação por terem me aturado todos os dias, iclusive domigos e feriados (dia e oite) passados o DIMAP para a coclusão de ossos trabalhos. Pelas risadas, discussões, coselhos, efim, pelos diversos mometos vividos e pelo importatíssimo elo de amizade formado. Aos meus amigos Allysso e Rubim por me ajudarem a esclarecer dúvidas surgidas durate a cocretização do presete trabalho. A todos que, de alguma forma, cotribuíram para a realização desta moografia.

6 RESUMO O seguite trabalho apreseta um estudo de como aplicar os coceitos da matemática itervalar, uma teoria cujo foco é o tratameto de imprecisões, a algus coceitos itrodutórios de fudametal importâcia da matemática fiaceira, ferrameta imprescidível a aálise de gestão empresarial. Aborda as razões pelas quais a matemática itervalar é cosiderada tão importate, bem como suas características e defiições, além de mostrar como sua aderêcia aos coceitos fiaceiros pode servir para o aprimorameto de resultados empresariais. Estabelece os objetivos da matemática fiaceira e explicita algus de seus pricipais coceitos. Fializa com as coclusões sobre o trabalho e sugestões para trabalhos futuros. Palavras-chave: matemática fiaceira itervalar, matemática itervalar, matemática fiaceira, admiistração fiaceira.

7 ABSTRACT This work presets a study of how to apply the cocepts of iterval mathematics, a theory whose focus is the treatmet of iaccuracies, to some itroductory ad importat cocepts of the fiacial mathematics, essetial tool i the aalysis of busiess maagemet. It explais why iterval mathematics is so importat, as well as its characteristics ad its defiitios. Also, it makes emphasis to the importace of iterval mathematics applicatio i the fiacial mathematics ad shows how it ca serve for the improvemet of busiess results. It establishes the objectives of the fiacial mathematics ad shows its mai cocepts. It fiishes with the coclusios about this subject ad suggestios for researches i future. Keywords: iterval mathematics, fiacial mathematics, fiacial admiistratio.

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura. A reta real... 6 Figura. Itervalo [a; b] a reta real R... 6 Figura.3 Exemplos de itervalos... 9 Figura 3. Poto de Equilíbrio etre custos e receitas... 78

9 LISTA DE TABELAS Tabela 3. Notações mais utilizadas os relacioametos fiaceiros... 4 Tabela 3. Dedução da fórmula evolvedo valores futuro e presete Tabela 3.3 Fluxo de caixa empréstimo bacário Tabela 3.4 Exemplo de fluxo de caixa Tabela 3.5 Exemplo TIR desvatagem Tabela 3.6 Exemplo Payback Simples Tabela 3.7 Payback Descotado Projeto A Tabela 3.8 Payback Descotado Projeto B... 7 Tabela 4. Estimativa de gastos da viagem... 9 Tabela 4. Exemplo de Fluxo de Caixa Itervalar Tabela 4.3 Cesta de cosumo hipotética... 0 Tabela 4.4 Preço dos produtos o primeiro dia do mês... 0 Tabela 4.5 Preço dos produtos o último dia do mês... 0 Tabela 4.6 Iflação para o período (mês) Tabela 4.7 Itervalos de taxa de iflação Tabela 4.8 VPL Itervalar (exemplo )... Tabela 4.9 VPL Itervalar (exemplo )... 5 Tabela 4.0 Exemplo TIR Itervalar... 8 Tabela 4. Exemplo Payback Simples Itervalar Tabela 4. Iformações - Projeto A Tabela 4.3 Payback Descotado Itervalar Projeto A Tabela 4.4 Limite iferior do Payback Descotado Itervalar Projeto A Tabela 4.5 Limite superior do Payback Descotado Itervalar Projeto A... 4 Tabela 4.6 Iformações Projeto B... 4 Tabela 4.7 Payback Descotado Itervalar Projeto B Tabela 4.8 Limite iferior do Payback Descotado Itervalar Projeto B... 45

10 Tabela 4.9 Limite superior do Payback Descotado Itervalar Projeto B Tabela 4.0 Ivestimeto iicial Serralheria Tabela 4. Cálculo dos custos fixos mesais Serralheria Tabela 4. Custos admiistrativos da Serralheria Tabela 4.3 Quadro de salários dos fucioários da Serralheria Tabela 4.4 Cálculo do peso do material ecessário para produzir m² de grade simples Tabela 4.5 Tempo ecessário para a produção de m² de grade simples Tabela 4.6 Cálculo do custo variável para a produção de m² de grade simples... 5

11 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS max Máximo em relação a um cojuto de úmeros reais mi Míimo em relação a um cojuto de úmeros reais amp Amplitude de um itervalo med Poto médio de um itervalo dist Distâcia etre dois itervalos Dom Domíio da fução CD Cotra-domíio da fução IR Cojuto dos itervalos de úmeros reais R Cojuto dos úmeros reais f Fução F Extesão itervalar CIR Represetação caôica itervalar Implica Pertece Não Pertece Existe Para todo E Está cotido ou igual a Se, e somete se Meor ou igual Maior ou igual ± Mais ou meos Somatório C Capital Número de períodos i Taxa uitária de juros j Juros simples

12 J Juros compostos r Taxa percetual de juros q Número de períodos de capitalização PV Valor presete FV Valor futuro M Motate E Etrada de caixa S Saída de caixa i f i q I P D r V r N D c FC VPL TIR Taxa efetiva Taxa equivalete Taxa de Iflação Ídice de preço do produto Descoto racioal Valor descotado Valor omial Descoto comercial ou bacário Fluxo de caixa Valor presete líquido Taxa itera de retoro CVL Aálise custo/volume/lucro TMA Taxa míima de atratividade PBs Payback simples PBd Payback descotado MC Margem de cotribuição PE Poto de equilíbrio MS Margem de seguraça RT Receita total CV Custos variáveis DV Despesas variáveis CF Custos fixos MCu Margem de cotribuição uitária

13 VPI Valor presete itervalar VPLI Valor presete líquido itervalar PBIs Payback simples itervalar PBId Payback descotado itervalar MCIu Margem de cotribuição uitária itervalar PEI Poto de equilíbrio itervalar

14 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 6. MOTIVAÇÃO BREVE INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA INTERVALAR OBJETIVOS ABORDAGEM DOS CAPÍTULOS... 9 MATEMÁTICA INTERVALAR. RAZÕES DE SUA IMPORTÂNCIA..... Itervalo X Poto Flutuate.... DEFINIÇÕES BÁSICAS A Reta Real Itervalo de Números Reais O Cojuto IR Igualdade etre Itervalos Ordem da Iformação Ordem de Iclusão Ordem de Kulisch-Miraker OPERAÇÕES ARITMÉTICAS EM IR Soma Itervalar Propriedades Algébricas da Soma Pseudo-Iverso Aditivo Subtração Itervalar Multiplicação Itervalar Propriedades Algébricas da Multiplicação Pseudo-Iverso Multiplicativo Divisão Itervalar DEFINIÇÕES EM IR Itervalo Simétrico Amplitude de um Itervalo... 33

15 .4.3 Poto Médio de um Itervalo Distâcia etre Itervalos Módulo de um Itervalo FUNÇÃO INTERVALAR Fução Imagem de Fução Fução Itervalar Extesão Itervalar Iclusão Mootôica Represetação Itervalar Represetação Caôica Itervalar Fuções Itervalares Básicas Fução Quadrado Itervalar Fução Potêcia Itervalar Fução L Itervalar Fução Raiz Quadrada Itervalar EXTENSÕES INTERVALARES MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 3. ELEMENTOS BÁSICOS COMPATIBILIDADE DE DADOS JUROS SIMPLES Juro Exato e Comercial MONTANTE SIMPLES JUROS COMPOSTOS FLUXO DE CAIXA TAXAS DE JUROS Taxa Nomial Taxa Efetiva Taxa Equivalete Taxa de Iflação Taxa Real... 5

16 3.8 DESCONTOS Descoto Simples Descoto Racioal Simples Descoto Bacário ou Comercial Simples Descoto Composto Descoto Racioal Composto Descoto Bacário ou Comercial Composto ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Valor Presete Líquido (VPL) Vatages e Desvatages do VPL Taxa Itera de Retoro (TIR) Vatages e Desvatages da TIR Período Payback: Simples e Descotado Payback Simples Payback Descotado Vatages e Desvatages do Período Payback Simples e Descotado Aálise Custo/Volume/Lucro (CVL) Margem de Cotribuição (MC) Poto de Equilíbrio (PE) Vatages e Desvatages da Aálise CVL Dificuldades a Aálise de Ivestimetos MATEMÁTICA FINANCEIRA INTERVALAR 8 4. METODOLOGIA INTERVALIZAÇÃO DE ALGUNS CONCEITOS FINANCEIROS Juros e Motates Itervalares Juros e Motates Simples Itervalares 84

17 4... Juros e Motates Compostos Itervalares Fluxo de Caixa Itervalar Taxas Itervalares de Juros Taxa Efetiva Itervalar Taxa Itervalar de Iflação Taxa Real Itervalar Descotos Itervalares Descoto Simples Itervalar Descoto Racioal Simples Itervalar Descoto Bacário ou Comercial Simples Itervalar Descoto Composto Itervalar Descoto Racioal Composto Itervalar Descoto Bacário ou Comercial Composto Itervalar Aálise Itervalar de Ivestimetos Valor Presete Líquido Itervalar Taxa Itera de Retoro Itervalar Período Payback Itervalar Payback Simples Itervalar Payback Descotado Itervalar Aálise Custo/Volume/Lucro Itervalar CONSIDERAÇÕES FINAIS 54 REFERÊNCIAS 55

18 6 INTRODUÇÃO. MOTIVAÇÃO O sucesso de um processo de tomada de decisão cosiste a capacidade de atecipar os acotecimetos futuros. Tal processo reflete a essêcia da diâmica empresarial, a qual o êxito de qualquer egócio depede da qualidade das decisões tomadas por seus admiistradores os vários íveis orgaizacioais. As decisões esses processos são tomadas a partir de dados e iformações levatados a partir do comportameto do mercado e do desempeho itero da empresa. Etretato, esse processo decisório assume certas complexidades e riscos, uma vez que vigora em um ambiete de icertezas. Desequilíbrios as taxas de juros, competitividade acirrada, desajustes de mercado, detre outros fatores exigem uma maior capacidade aalítica das uidades decisórias com relação aos riscos que corre uma empresa. Tem-se a matemática fiaceira como uma forte aliada o auxílio da maximização e qualificação de resultados empresariais. No etato, apurar de modo exato e, coseqüetemete, seguro os custos de uma empresa tora-se uma tarefa difícil, devido à imprecisão e variabilidade dos fatores ecessários para tal. Tradicioalmete, a icerteza a ecoomia e as fiaças é descrita por modelos estatísticos. Essa descrição é a base da matemática fiaceira atual. Etretato, em muitos casos seria mais viável obter uma solução cotida em um itervalo, uma vez que em sempre é possível se ter cohecimeto do valor exato com o qual se deve trabalhar. Assim, uma solução seria aplicar os coceitos da matemática itervalar, uma teoria cujo foco é o tratameto de imprecisões, aos coceitos da matemática fiaceira, ferrameta imprescidível a aálise de gestão empresarial.

19 7. BREVE INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA INTERVALAR A matemática itervalar surgiu o fial da década de 50 com Ramo E. Moore [38] visado dar suporte a problemas que lidam com a icerteza. Os úmeros represetados como itervalos servem como cotroladores da propagação do erro, uma vez que garatem que a resposta correta de determiado problema pertece ao itervalo obtido. Muitos objetos imprescidíveis a resolução de problemas do dia-a-dia ão são fiitamete represetáveis em máquias, fazedo com que a solução para esses tipos de problemas se embase em aproximações que iduzem a erros. Existem três fotes de erros em computação umérica, sedo essas [34]: a propagação de erros de dados e parâmetros iiciais, erro de arredodameto e erro de trucameto. Na primeira fote de erro, a represetação de um feômeo do mudo físico através de um modelo matemático raramete é descrita de forma correta, sedo ecessárias várias simplificações do mudo físico a fim de se ter um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Algumas gradezas como temperatura, tempo, distâcia, etc. são obtidas de istrumetos com precisão limitada, fazedo com que a icerteza de tais parâmetros acarrete, posteriormete, a icerteza dos resultados. Logo, pode-se afirmar que a modelagem computacioal de evetos físicos apreseta limitações em termos de cofiabilidade dos parâmetros e dados utilizados, os quais são obtidos através de medições. A represetação desses valores o sistema de poto flutuate dos computadores digitais gera erros adicioais, uma vez que em sempre os úmeros são armazeados com exatidão. Surgem, assim, os erros de arredodameto e/ou trucameto, os quais estão presetes também a execução dos cálculos uméricos. Tais erros são tratados pela aritmética itervalar e pelos arredodametos direcioados, que serão vistos mais adiate e garatem o cotrole rigoroso dos erros os resultados de computações uméricas.

20 8 O Míssil Patriot em fevereiro de 99, o acidete a plataforma Sleiper em agosto de 99 e a explosão do foguete Ariae5 em juho de 996 são exemplos marcates de problemas de represetação. Tais catástrofes são resultado da limitação da máquia em ão coseguir tratar os úmeros em toda a sua extesão, posto que a represetação do úmero real ão pode ser feita de forma fiita. As pricipais idéias da matemática itervalar surgiram os EUA com a dissertação de PhD de Ramo E. Moore, defedida em Staford. Mais tarde, o cetro das computações itervalares moveu-se para a Europa, pricipalmete para a Alemaha, lugar em que surgiu o primeiro joral especializado em computação itervalar [4]. Atualmete, o iteresse pela matemática itervalar é vasto e vigora em todo o mudo. Várias áreas de iteresse cietífico, tais como física, estatística, sistemas Fuzzy, bioiformática, computação gráfica, egeharia mecâica, egeharia química, mecâica quâtica, detre outras, depedem de cálculos mais precisos e são, dessa forma, grades icetivadoras da teoria itervalar. No Brasil, o uso de computações itervalares é cada vez mais freqüete, já tedo cosistido, por exemplo, a aálise de declive de regiões geográficas [], a aálise de calcificações em mamografias [3], a estimativa de carga de fluxo de potêcia em redes elétricas [6], aálise de circuitos elétricos [9], detre outros. Nas áreas de ecoomia e fiaças, etretato, a aplicação da matemática itervalar aida é muito restrita, tedo poucos estudos relacioados ao assuto e se reduzido a apeas algumas aplicações descritas em [7] e em [30]. Cotudo, os resultados são bastate satisfatórios, o que leva à motivação de se explorar a aplicação da matemática itervalar os cálculos empresariais.

21 9.3 OBJETIVOS Com o ituito de obter melhores resultados os cálculos empresariais, o presete trabalho tem como objetivo estudar de que modo podem-se aplicar os coceitos da matemática itervalar a algus coceitos itrodutórios da matemática fiaceira. Para as empresas, a garatia de obter resultados cada vez mais seguros é imprescidível, uma vez que o almejo é sempre o maior lucro possível. Etretato, como já foi mecioado, apurar de modo preciso os custos de uma empresa é, muitas vezes, iviável, devido à imprecisão de fatores ecessários para tal apuração. Dessa forma, a matemática itervalar tora-se um auxílio fudametal para a obteção de cálculos mais seguros, visto que é permitido ao gestor empresarial cohecer o tamaho da icerteza com a qual ele se depara..4 ABORDAGEM DOS CAPÍTULOS A orgaização deste trabalho é feita de forma a coduzir o leitor a compreeder a idéia da matemática itervalar e a importâcia de coectá-la aos coceitos da matemática fiaceira atual. No capítulo, foi apresetada a motivação para se uir a matemática itervalar à matemática fiaceira, seguida de uma breve itrodução à matemática itervalar, efocado, sucitamete, sua idéia pricipal e a importâcia de seu estudo. No capítulo, serão apresetadas as razões de sua importâcia, fazedose uma comparação com o sistema de poto flutuate existete os computadores atuais. Aida esse capítulo, serão abordadas as defiições

22 0 básicas da matemática itervalar, como se dão as operações aritméticas para itervalos e algumas defiições do cojuto dos itervalos de reais. Além disso, é apresetada a defiição de extesões itervalares. O capítulo 3, por sua vez, visa estabelecer a importâcia da matemática fiaceira e seus coceitos básicos mais utilizados. No capítulo 4, serão aplicados os coceitos da matemática itervalar a algus coceitos itrodutórios de máxima importâcia da matemática fiaceira tradicioal. Fialmete, o capítulo 5 são apresetadas as coclusões obtidas durate a realização do trabalho e a proposta para trabalhos futuros a área.

23 MATEMÁTICA INTERVALAR. RAZÕES DE SUA IMPORTÂNCIA Detre os fatores de maior importâcia a computação de cálculos uméricos ecotra-se a precisão dos resultados. Ou seja, o objetivo é a obteção de valores cada vez mais precisos e com o meor erro possível. Pode-se afirmar que a represetação dos úmeros reais o sistema de poto flutuate dos computadores ão é exata, visto que a represetação do úmero real ão pode ser feita de modo fiito. A exatidão dos resultados pode ser comprometida quado se projeta o espaço cotíuo do mudo real para o espaço discreto da otação de poto flutuate [5]. A matemática itervalar tem por objetivo respoder à questão da exatidão e da eficiêcia que aparece a prática da computação de cálculos uméricos. Sua utilização cosiste o cotrole rigoroso da propagação dos erros dos dados e parâmetros iiciais ao logo do processo computacioal provocada por sucessivos erros de arredodametos e/ou trucametos... Itervalo x Poto Flutuate O sistema de poto flutuate dos computadores atuais ão é capaz de represetar exatamete os úmeros reais, tampouco os resultados de operações com esses úmeros. Além disso, como um sistema algébrico, suas características e propriedades algébricas são extremamete pobres quado comparadas com as do sistema de úmeros reais. [8]. A represetação de um úmero em poto flutuate apreseta diversas desvatages, detre elas [6]:

24 Ausêcia de cotrole de erros as computações uméricas, fato que, muitas vezes, proporcioa resultados errôeos com a aparêcia de serem corretos. Isto é, o procedimeto é realizado corretamete, etretato o resultado perde o sigificado em virtude da iexatidão da represetação umérica e de arredodametos e/ou trucametos aplicados as operações. Ausêcia de métodos resposáveis por julgar ou estabelecer a qualidade dos resultados gerados por operações em poto flutuate. Ou seja, ausêcia de validação dos resultados. A variedade de sistemas existete em poto flutuate dispoíveis o mercado, o que acarreta o fato de que cálculos efetuados em máquias distitas proporcioam resultados distitos. Dessa forma, como o computador é uma máquia fiita, ele é capaz de represetar somete uma aproximação fiita do úmero real. Caso ão são sejam tomados cuidados especiais, um algoritmo umérico implemetado em um computador pode produzir aproximações da solução com pouca ou ehuma exatidão [6]. Atualmete, os computadores moderos desempeham as operações básicas em poto flutuate com um alto grau de exatidão, o etato, os resultados de algumas computações podem se apresetar de maeira demasiadamete errôea. Um exemplo disso é apresetado a seguir [6]: = 33 () Ao somar esses úmeros da direita para a esquerda, a maioria dos computadores irá retorar zero como resultado. Tal erro ocorre devido ao fato de o

25 3 formato do poto flutuate desses computadores ão ser apto a operar com um grade itervalo de dígitos requeridos para esse cálculo. Outro exemplo é a expressão [5]: 68xy 4 + 3x³ + 9xy² x () Em que x = 990 e y = Quado calculado em um ambiete de programação comum, o resultado da expressão, ao substituir os valores de x e y, é o valor No etato, o valor correto seria 783. Um outro exemplo mais famoso é o seguite [5], em que: y a = b + a²(a ² b² b b ) + 5.5b + (3) b Sedo a = e b = Rump [5] computou essa fução em um IBM S/370 e usou precisões aritméticas simples, dupla e estedida, cujos resultados foram os seguites: a. Precisão simples : y = ; b. Precisão dupla : y = ; c. Precisão estedida : y = ; Esses resultados levam à falsa coclusão de que o IBM S/370 fez os cálculos corretamete. Na verdade, esses resultados estão demasiadamete icorretos, uma vez que o resultado ideal está o itervalo:

26 ± (4) Todos esses exemplos os levam a crer que a computação em poto flutuate pode ser extremamete perigosa, pricipalmete se for levado em cosideração que vidas podem depeder de aplicações computacioais que levam a resultados icorretos, como o que ocorreu, por exemplo, com o Míssil Patriot, com a plataforma Sleiper e com o foguete Ariae5. Com isso, o uso da matemática itervalar tora-se uma forte alterativa a resolução de problemas caracterizados pela falta de exatidão. São listadas, a seguir, algumas fucioalidades em que o itervalo se sobressai em relação ao poto flutuate [0]: Na garatia de que os resultados computados estão corretos: os itervalos apresetam a garatia de que a resposta matematicamete correta está cotida o itervalo obtido. No sistema de poto flutuate ão há iformação a respeito de sua exatidão. Na resolução de problemas de otimização global: o sistema de poto flutuate ão se pode provar, geralmete, que o míimo ou o máximo ecotrado é o míimo ou máximo global. Para isso, seriam ecessárias computações exaustivas do valor da fução para cada etrada. Os itervalos, por sua vez, excluem subespaços os quais ão cotêm o míimo ou máximo local. Além disso, ão há ecessidade de iúmeros refiametos. No fato de suportar corretamete a re-ordeação de computações: o sistema de poto flutuate, (a + b) + c ão é,

27 5 ecessariamete, igual a: a + (b + c). Por exemplo, tomado-se a = 00, b = e c = -00 em algum sistema com padrão IEEE 754 de aritmética do poto flutuate. A primeira expressão resulta em exatamete zero (0), equato que a seguda resulta em exatamete um (). Em coseqüêcia disso, os compiladores são iibidos a realizarem muitas trasformações algébricas, as quais melhorariam o desempeho (ou a exatidão), em virtude da difereça os resultados. Em cotraste, o itervalo pode ter diferetes extremos, mas ele sempre estará cotido o resultado correto. Na distição etre falhas o fluxo de cotrole do programa e falhas uméricas do programa: o sistema de poto flutuate, mudaças o sistema de um computador podem alterar os resultados de certas operações. Um algoritmo diferete, um compilador diferete, um processador diferete, ou até um sistema operacioal diferete pode acarretar essa alteração. Quado os resultados uméricos diferem, ão há maeira de saber se isso ocorreu devido a uma falha existete a lógica ou simplesmete devido à variação ormal ierete ao sistema de poto flutuate. Com itervalos, fucioametos diferetes que exigem computar a mesma coisa, devem sempre gerar itervalos sobrepostos. Se ão ocorrer a sobreposição, etão há um erro a lógica, ou até mesmo um erro de hardware.. DEFINIÇÕES BÁSICAS.. A Reta Real A reta real R é a represetação geométrica do cojuto de todos os úmeros reais, providos de suas operações aritméticas: soma, subtração, produto, iverso e quociete. A represetação dos potos da reta real é dada através de

28 6 letras latias miúsculas, como a, b, c, etc. A figura a seguir mostra tal represetação. Figura.: A reta Real.. Itervalo de Números Reais Um itervalo de reais é uma represetação da forma A = [a; b], em que a e b pertecem ao cojuto dos úmeros reais R, e tal que a b. Logo, o cojuto {x R / a x b} é um itervalo de úmeros reais ou simplesmete um itervalo. A = [a; b] = {x R / a x b} (5) Com essa defiição, tem-se que um itervalo possui atureza dual: ora é visto como um cojuto de úmeros reais, ora como um par de úmeros reais. Os potos do cojuto dos itervalos de reais serão deotados por letras latias maiúsculas, tais como A, B, C, etc. Figura.: Um itervalo [a; b] a Reta Real R Algus exemplos de itervalos são A = [4; 9], B = [-; 7], C = [0; ].

29 7 É importate observar que um itervalo A = [a; b] represeta todos os úmeros reais cotidos ele. Sabedo-se que um itervalo é represetado por um par de elemetos em que o primeiro elemeto do par represeta o limite iferior e o segudo, o limite superior, quado esses dois extremos são iguais, o itervalo é dito degeerado. Dessa forma, o itervalo [; ] apeas represeta o úmero real, uma vez que o úico elemeto desse itervalo é o próprio úmero...3 O Cojuto IR Defie-se o cojuto IR como sedo o cojuto de todos os itervalos reais, ou seja: IR = {[a; b] / a, b R, a b} (6) Assim, vale a seguite cadeia de iclusões: N Z Q R IR...4 Igualdade etre Itervalos A igualdade etre itervalos dá-se da seguite maeira: Sejam A = [a; b] e B = [c; d] dois itervalos de IR. Etão A = B se, e somete se, a = c e b = d. (7)..5 Ordem da Iformação Sejam dois itervalos A = [a; b] e B = [c; d], a ordem da iformação defie que [a; b] [c; d] [a; b] [c; d] a c e d b [36]. Dessa maeira, um itervalo passa a represetar, ão apeas um cojuto que cotém um úmero real x, mas também um cojuto que iforma sobre x.

30 8 Exemplo: A relação [3; 4] [π; π] determia que o itervalo [3; 4] iforma sobre π...6 Ordem de Iclusão Sejam dois itervalos A = [a; b] e B = [c; d], a ordem de iclusão defie que [a; b] [c; d] c a e b d [36]...7 Ordem de Kulisch-Miraker Sejam dois itervalos A = [a; b] e B = [c; d], a ordem de Kulisch-Miraker defie que [a; b] k [c; d] x [a; b] y [c; d], x y y [c; d] x [a; b], x y a c e b d [36]..3 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS EM IR Sejam A = [a; b] e B = [c; d] IR, as operações aritméticas com itervalos são executadas sobre os extremos de seus itervalos..3. Soma Itervalar Sejam dois itervalos reais A e B IR, em que A = [a; b] e B = [c; d]. Defie-se a soma de A com B como sedo: A + B = [a; b] + [c; d] = {x + y / x [a; b] y [c; d]} (8) E a soma de A com B é dada por: A + B = [(a + c); (b + d)] (9)

31 9 Exemplo: Sejam os itervalos A = [; ] e B = [3; 4]. Tem-se que A + B = [( + 3); ( + 4)] = [4; 6]. A figura a seguir demostra graficamete a disposição dos itervalos A e B e sua soma itervalar. Figura.3: (a) Itervalo A = [; ]; (b) Itervalo B = [3; 4]; (c) Itervalo A + B = [4; 6]..3.. Propriedades Algébricas da Soma Sejam A, B e C itervalos reais IR. As seguites propriedades algébricas se aplicam à soma de itervalos em IR: Fechameto: Se A IR e B IR, etão A + B IR; Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; Comutatividade: A + B = B + A; Elemeto Neutro: 0 = [0; 0] IR, tal que A + 0 = 0 + A = A..3. Pseudo-Iverso Aditivo Seja A IR um itervalo de úmeros reais, em que A = [a; b]. Defie-se o pseudo-iverso aditivo de A como sedo: - A = {- x / x A} (0) E o pseudo-iverso aditivo de A é dado por: - A = [-b; -a] ()

32 30 O pseudo-iverso aditivo é assim chamado devido ao fato de em sempre a igualdade A A = 0 ser verdadeira. Por exemplo, seja um itervalo A = [0; ], coseqüetemete A = [-; 0]. Assim, A A = [-; ] [0; 0], porém [0; 0] A A. É importate ressaltar que A A = [0; 0] se, e somete se, A é um itervalo degeerado..3.3 Subtração Itervalar Sejam dois itervalos de úmeros reais A, B IR, em que A = [a; b] e B = [c; d]. Defie-se a subtração de A com B como sedo: A B = [a; b] - [c; d] = {x y / x [a; b] y [c; d]} () E a subtração de A com B é dada por: A B = A + (-B) = [(a d); (b c)] (3) Exemplo: Sejam A = [3; 9] e B = [-; 4]. Tem-se A B = [(3 4); 9 + (-)] = [-; 8]..3.4 Multiplicação Itervalar Sejam dois itervalos de úmeros reais A, B IR, em que A = [a; b] e B = [c; d]. Defie-se a multiplicação de A com B como sedo: A * B = [a; b] * [c; d] = {x * y / x [a; b] y [c; d]} (4) E a multiplicação de A com B é dada por: A * B = [mi(a*c, a*d, b*c, b*d); max(a*c, a*d, b*c, b*d)] (5)

33 3 Exemplo: Sejam os itervalos A = [-; 3] e B = [; 4]. Tem-se que A * B = [mi((- )*, (-)*4, 3*, 3*4); max((-)*, (-)*4, 3*, 3*4)] = [mi( -, -4, 6, ); max( -, - 4, 6, )] = [-4; ] Propriedades Algébricas da Multiplicação Sejam A, B e C itervalos reais IR. As seguites propriedades algébricas se aplicam à multiplicação de itervalos em IR: Fechameto: Se A IR e B IR, etão A * B IR; Associatividade: A * (B * C) = (A * B) * C; Comutatividade: A * B = B * A; Elemeto Neutro: = [; ] IR, tal que A * = * A = A; Subdistributividade: A * (B + C) (A * B) + (A * C)..3.5 Pseudo-Iverso Multiplicativo Seja um itervalo de úmero reais A IR, em que A = [a; b] e 0 A. Defie-se o pseudo-iverso multiplicativo de A como sedo : A - = x x A (6) E o pseudo-iverso multiplicativo de A é dado por: A - = = A [ a; b] = ; b a (7) Se b < 0 e a > 0, ou seja, o úmero zero ão deve pertecer ao itervalo A.

34 3 É importate ressaltar que A * A - itervalo degeerado. = [; ] se, e somete se, A é um.3.6 Divisão Itervalar Sejam dois itervalos de úmeros reais A, B IR, em que A = [a; b] e B = [c; d] com 0 B. Defie-se a divisão de A por B como sedo: A [ a; b] x = = : x [ a; b] y [ c; d] B [ c; d] y (8) E a divisão de A por B é dada por: A = A * B - B a a b b a a b b mi,,, ; max,,, (9) d c d c d c d c Sedo c > 0 ou d < 0. Exemplo: Sejam A = [-4; 8] e B = [; 4]. Tem-se que: A = (-4) (-4) 8 8 (-4) (-4) 8 8,,, ;,,, [ ; 4] B mi max = DEFINIÇÕES EM IR.4. Itervalo Simétrico Seja A um itervalo de úmeros reais IR. A é dito simétrico se A = A. Exemplos: [-; ], [0; 0], [-3; 3].

35 33.4. Amplitude de um Itervalo A amplitude de um itervalo A IR, em que A = [a; b] é dada pela difereça dos seus limites iferior e superior, ou seja: amp([a; b]) = b a 0. (0) Exemplo: Seja A = [-3; 4]. Etão amp(a) = 4 (-3) = Poto Médio de um Itervalo Seja A = [a; b] IR um itervalo de úmeros reais. Defie-se o poto médio do itervalo A como sedo o úmero real Ou seja, med(a) = med([a; b]) = Exemplo: Seja A = [; 8]. Etão med(a) = a + b. a + b. () + 8 = Distâcia etre Itervalos Sejam A = [a; b] e B = [c; d] dois itervalos de úmeros reais IR. Defiese a distâcia de A e B como sedo o úmero real ão egativo max( a c, b d ). Ou seja, dist(a,b) = dist([a; b], [c; d]) = max( a c, b d ). () Exemplo: Seja A = [4; 6] e B = [-; 3]. Etão dist(a, B) = max( 4 (-), 6 3 ) = max(5, 3) = 5.

36 Módulo de um Itervalo Seja A = [a; b] um itervalo de úmeros reais IR. Defie-se o módulo do itervalo A como sedo o úmero real ão egativo dist(a, 0), o qual correspode à distâcia de A ao zero. Ou seja, A = [a; b] = dist(a, 0) = max( a, b ) 0. (3) Exemplo: Seja A = [-; ]. Etão A = max( (-), ) =..5 FUNÇÃO INTERVALAR.5. Fução Sejam X e Y cojutos ão vazios. Uma fução f de X em Y é um subcojuto do produto cartesiao X Y defiido por: {(x, f(x)) / x X, f(x) Y} de modo que para cada elemeto x de X existe um úico elemeto y de Y tal que y = f(x). Notação: f : X Y X f(x) = y Toda fução f : X Y é costituída de três partes: domíio (cojuto X = Dom(f)) em que a variável livre x pode assumir qualquer valor, o cotra-domíio (cojuto Y = CD(f)), em que a variável depedete y ou f(x) pode ecotrar seus valores e a lei de formação, represetada por y ou f(x), a qual equivale à fórmula que processa valores de X e ecotra valores de Y.

37 35.5. Imagem de Fução Seja uma fução f : X Y. Diz-se que a imagem de f é o cojuto I(f) = f(x) formado pelos valores de y = f(x) que f assume em todos os potos de x X. Dessa forma : I(f) = f(x) = {y = f(x) Y/ x X} (4).5.3 Fução Itervalar Seja f : X Y uma fução. X F(X) Se X = Dom(f) IR e Y = CD(f) IR, etão diz-se que f é uma fução itervalar de uma variável itervalar. Exemplo: f : IR IR X F(X) = [-; 4] * X + [5; 8] é uma fução itervalar. É importate mecioar que em IR ão vale a distribuidade da soma em relação à multiplicação, acarretado em uma depedêcia das fuções itervalares em relação a sua expressão. Por exemplo, sejam duas fuções itervalares F(X) e G(X), em que: F(X) = [; 3] * X² [; 3] * X + [-; ] G(X) = X * ([; 3] * X [; 3]) + [-; ] Para X = [; ], tem-se: F(X) = ([; 3] * [; ]²) ([; 3] * [; ]) + [-; ] F(X) = ([; 3] * [; 4]) [; 6] + [-; ]

38 36 F(X) = [; ] [; 6] + [-; ] F(X) = [-5; 0] + [-; ] F(X) = [-7; ] G(X) = [; ] * ([; 3] * [; ] [; 3]) + [-; ] G(X) = [; ] * ([; 6] [; 3]) + [-; ] G(X) = ([; ] * [-; 4]) + [-; ] G(X) = [-4; 8] + [-; ] G(X) = [-6; 9] Logo, para X = [; ], F(X) G(X). Assim, pode-se dizer que expressões diferetes, em algus casos, represetam fuções diferetes..5.4 Extesão Itervalar A extesão itervalar é defiida da seguite forma [53]: uma fução F : IR IR é uma extesão itervalar de uma fução f : R R se para todo x R, F([x;x]) = [f(x); f(x)]. Exemplo: Seja f(x) = 3x + x e um itervalo degeerado X = [; ] Dom(f) = R. Substituido x real por X itervalo, tem-se : F(X) = [3; 3] * [; ] + [; ] = [6; 6] + [; ] = [8; 8]. Sabedo-se que f() = 6 + = 8, etão tem-se que F([; ]) = [f(); f()]. Logo, F é uma extesão itervalar da fução real f..5.5 Iclusão Mootôica A iclusão mootôica é defiida da seguite forma [53]: sejam A e B dois itervalos de úmeros reais IR, se A B, etão F(A) F(B). Tal propriedade é importate, uma vez que admite que quato meor for o erro os dados de etrada, meor será o erro do itervalo resultate.

39 Represetação Itervalar A represetação itervalar (ou corretude) é defiida da seguite maeira [53]: uma fução itervalar F é correta com respeito a uma fução real f se satisfaz a seguite propriedade: x [a; b] f(x) F([a; b]) (5).5.6. Represetação Caôica Itervalar De acordo com Hickey [4], um sistema de aritmética itervalar ideal deve apresetar as seguites propriedades: () Corretude; () Totalidade; (3) Fechameto; (4) Otimalidade; e (5) Eficiêcia. Equato que a represetação itervalar diz respeito à propriedade da corretude, a represetação caôica itervalar (CIR), além da corretude, diz respeito à otimalidade, uma vez que sempre retora o melhor itervalo cotedo a imagem de f. Teorema [53]: Seja f : R R uma fução real. Se f é uma fução real ão-assitótica, etão a fução itervalar: CIR(f)([a; b]) = [mi f([a; b]); max f([a; b])]) (6) é bem defiida e é uma represetação itervalar chamada represetação caôica itervalar para f. obs.: Uma fução é dita assitótica se para qualquer itervalo [a; b], o cojuto {f(x) / a x b} ou ão tem supremum ou ão tem ifimum.

40 Fuções Itervalares Básicas.5.7. Fução Quadrado Itervalar Seja um itervalo de úmeros reais A IR, em que A = [a; b]. Defie-se o quadrado de A como sedo: A² = {x² / x A} (7) E o quadrado do itervalo A é dado por [54]: F : IR IR A F(A) Em que F(A) = A² = [a; b]² = [ a² ; b² ], se 0 a [ b² ; a² ], se b < 0 [ 0; max ( a², b² )], seão. (8) É importate observar que A² A * A. Exemplo: Seja A = [-; ]. Etão A² = [-; ]² = [0; 4], etretato A * A = [-; ] * [- ; ] = [mi((-)*(-), (-)*, *(-), *); max(((-)*(-), (-)*, *(-), *)] = [-; 4] [0; 4]. Cotudo, [0; 4] [-; 4] Fução Potêcia Itervalar Seja um itervalo de úmeros reais A IR, em que A = [a; b]. Defie-se a fução potêcia itervalar de A como sedo: A = {x / x A} (9)

41 39 E é dada por [40]: F : IR IR A F(A) Em que F(A) = A = [ 0; max( a, b ) ], se é par e 0 A [ b ; a ], se é par e b < 0 [ a ; b ], seão. (30) Exemplo: Seja A = [-; ]. Etão A³ = [-8; 8] Fução L Itervalar Seja um itervalo de úmeros reais A IR, em que A = [a; b]. A fução L Itervalar de A é dada por [40]: L : IR IR A l(ir) Em que L(A) = L([a; b]) = [l(a); l(b)], com IR = {[a; b] IR/ b > 0}. (3) Exemplo: Seja A = [; e]. Etão L(A) = L([; e]) = [l(); l(e)] = [0; ] Fução Raiz Quadrada Itervalar Seja um itervalo de úmeros reais A IR, em que A = [a; b] e 0 a. Defie-se a fução raiz quadrada itervalar de A como sedo: A = { x / x A} (3) E é dada por [40]:

42 40 A = [ a; b] = [ a; b] (33) Exemplo: Seja A = [6; 5]. Etão A = [6; 5] = [4; 5]..6 EXTENSÕES INTERVALARES Na aritmética itervalar, algumas computações produzem itervalos cujos limites podem ser estreitos equato que outras podem produzir limites demasiadamete largos. Uma solução para a produção de limites melhores é rearrajar a expressão de modo que cada parâmetro do itervalo apareça somete uma úica vez. Por exemplo, supoha a seguite expressão: A B =, em que B e A são itervalos de úmeros reais IR. (A ) A expressão pode ser reorgaizada de modo que a ocorrêcia de A seja dimiuída: B = + (34) (A ) Dessa forma, a expressão reorgaizada origia um resultado mais estreito do itervalo de saída B. Isso ocorre devido ao fato de A ão represetar um úico úmero real apeas, mas sim o cojuto de todos os úmeros reais cotidos ele. Em relação aos cálculos, a computação do itervalo B a expressão ão rearrajada equivale a ecotrar a escala dos valores de uma fução de duas variáveis idepedetes. A Ou seja, essa equação poderia ser reescrita como B = = (A ) ([ a [ a ; b ] ; b ] - [;]). Nesse caso, o itervalo A pode estar em seu valor máximo equato que A pode estar em seu valor míimo [57].

43 4 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA Detre as várias defiições, a matemática fiaceira, segudo [7], "é a ciêcia que estuda o diheiro o tempo". Avalia-se a maeira como esse diheiro está sedo ou será empregado a fim de maximizar um resultado, o qual se espera que seja positivo. Com as ferrametas adequadas pode-se também comparar etre duas ou mais alterativas, aquela que mais beefícios trará, ou meos prejuízo acarretará. Na ecoomia atual, dita globalizada, ão se cocebe qualquer projeto, seja de que área, em que o aspecto fiaceiro ão seja um dos mais relevates para sua execução. Um exemplo do cotidiao é a decisão de comprar uma televisão em 0 vezes "sem juros" ou poupar o diheiro para que o mesmo produto seja comprado à vista. O dilema é como avaliar moetariamete tal decisão. Dessa forma, a matemática fiaceira ocupa-se em estudar e forecer as ferrametas adequadas para que a tomada de decisão seja feita com a maior seguraça possível. Se a vida pessoal as decisões fiaceiras que tomamos são passíveis de os afetar durate um logo período de tempo, a vida de uma empresa, por sua vez, qualquer decisão tomada erroeamete pode ser fatal, posto que seu faturameto, a maioria das vezes, é bastate superior à reda de uma família. É importate observar que essas decisões são, basicamete, as mesmas. Cotudo, os fatores distitivos são os efeitos e o grau de precisão com os quais os cálculos são efetivados. Assim, istituições fiaceiras, tais como bacos, seguradoras, fudos de ivestimetos, detre outras, vêm demostrado cada vez mais iteresse em aprofudar os estudos sobre como se obter o maior lucro possível usado como ferrameta a matemática fiaceira.

44 4 3. ELEMENTOS BÁSICOS A seguir serão apresetados os elemetos básicos da matemática fiaceira a fim de se elucidar um melhor etedimeto sobre o assuto, sedo os termos mais comumete usados os relacioametos fiaceiros: Capital: o capital é o valor aplicado através de alguma trasação fiaceira. Também cohecido como Pricipal, Valor Atual, Valor Presete ou Valor Aplicado. Etretato sua maior importâcia ão é a maeira como é chamado, mas sim o fato de que é sobre ele que icidirão os ecargos fiaceiros, também cohecidos como juros. Juros: juros represetam a remueração do capital empregado em alguma atividade produtiva. Receber uma quatia hoje ou o futuro ão é, evidetemete, a mesma coisa. Postergar uma etrada de caixa (recebimeto) por certo período de tempo evolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediate uma recompesa, defiida pelos juros [59]. Os juros podem ser capitalizados segudo os regimes de juros simples ou juros compostos. Motate: motate é a soma do capital com os juros. Pode também ser chamado de Valor Futuro (capital empregado mais à soma dos juros o tempo correspodete). As otações mais utilizadas os relacioametos fiaceiros são: C J r i capital úmero de períodos (dias, meses, aos, º de parcelas) juros decorridos períodos taxa percetual de juros taxa uitária de juros (i = r/00)

45 43 PV M FV pricipal ou valor atual motate de capitalização simples motate de capitalização composta Tabela 3.: otações mais utilizadas os relacioametos fiaceiros. 3. COMPATIBILIDADE DE DADOS Nas fórmulas de matemática fiaceira, tato o prazo da operação como a taxa de juros devem, ecessariamete, estar expressos a mesma uidade de tempo. É imprescidível para o uso de fórmulas fiaceiras que se trasforme a taxa de juro para o itervalo de tempo defiido pelo prazo da operação, ou viceversa, o que for cosiderado mais apropriado para os cálculos. Somete após a defiição do prazo e da taxa de juro a mesma uidade de tempo é que as formulações da matemática fiaceira podem ser operadas [5]. 3.3 JUROS SIMPLES Os juros simples são proporcioais ao tempo decorrido e icidem apeas sobre o capital iicial. O valor dos juros simples é calculado a partir da seguite expressão: J = C * i * (35) Em que: J = valor dos juros expresso em uidades moetárias; C = capital; i = taxa de juros, expressa em sua forma uitária; = prazo.

46 44 Exemplo: Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de,5% ao mês durate um trimestre. Para determiar o valor dos juros acumulado esse período: C = R$80.000,00 i =,5% ao mês (0,05) J =? = 3 meses J = C * i * J = * 0,05 * 3 J = R$6.000, Juro Exato e Juro Comercial Nas operações com juros simples, é comum que os bacos comerciais adotem uma coveção diferete para a cotagem do prazo. Assim, o úmero de dias pode ser defiido de duas maeiras: a. Tempo exato: é utilizado o caledário do ao civil com 365 dias, gerado juros exatos; b. Tempo comercial: o mês é admitido com 30 dias e o ao com 360 dias, gerado juros comerciais ou ordiários. Por exemplo, % ao ao equivale à taxa diária de: a. Juro Exato: 0,/365 = 0,03877% ao dia; b. Juro Comercial: 0,/360 = 0,033333% ao dia. Logo, o juro comercial é ligeiramete superior ao exato.

47 MONTANTE SIMPLES Um determiado capital, quado aplicado a uma taxa periódica de juros por determiado tempo produz um valor acumulado deomiado motate, e idetificado em juros simples por M. Logo, o motate M é a soma do capital aplicado com os juros gerados: M = C + J (36) No etato, sabe-se que: J = C * i * Assim, fazedo-se M = C + C * i * = C * ( + i * ), tem-se que: M = C * ( + i * ) (37) Exemplo: Um capital de R$.000,00 é aplicado à taxa de % ao mês durate um trimestre. Para determiar o valor do motate ao fial desse período: C = R$.000,00 i = % ao mês (0,0) = 3 meses J = C * i * =.000 * 0,0 * 3 = R$60,00 M =? M = C + J = = R$.060, JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos cosidera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital, formado o motate do período. Esse motate, por sua vez, passará a reder juros o período seguite formado um

48 46 ovo motate (costituído do capital iicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos ateriores), e assim por diate [5]. Assim, temos que: Istate Capital iicial Motate 0 C C C C = C + J = C + Ci = C( + i) C C = C ( + i) = C( + i) ( + i) = C( + i)² 3 C 3 C 3 = C ( + i) = C( + i)² ( + i) = C( + i)³ C = M C = M = C( + i) Tabela 3.: dedução da fórmula evolvedo valores futuro e presete. Dessa forma, podemos deduzir: FV = PV * ( + i) ou PV FV = (38) (+ i) Em que: FV = valor futuro (motate); PV = valor presete (capital); i = taxa de juros, expressa em sua forma uitária; = prazo. Sabe-se que o valor moetário dos juros é apurado pela difereça etre o motate (FV) e o capital (PV), podedo-se obter a seguite expressão: J = FV PV (39)

49 47 Mas como FV = PV * ( + i), tem-se que: J = PV * [( + i) ] (40) Exemplo: Para determiar qual o motate (FV) e o juro (J) obtido o fial de 4 meses por uma aplicação de R$.000,00 em um baco que paga juros compostos à taxa de 5% ao mês: FV = PV * ( + i) PV = R$.000,00 = 4 i = 5% ao mês (0,05) FV =? J =? FV =.000 * ( + 0,05) 4 = R$.5,5 J = FV PV =.5,5.000,00 = R$5,5 3.6 FLUXO DE CAIXA Sabe-se que a matemática fiaceira se preocupa com o estudo das relações dos movimetos moetários que se estabelecem ao logo do tempo. Tais movimetos são idetificados temporalmete através de um cojuto de etradas e saídas de caixa defiido como fluxo de caixa. Logo, o fluxo de caixa é um gráfico cotedo iformações sobre etradas e saídas de capital realizadas em determiados períodos. Normalmete, um fluxo de caixa cotém as etradas e as saídas de capital marcadas a liha de tempo com iício o istate t=0. Um típico exemplo é o gráfico do fluxo de caixa de uma pessoa:

50 48 E k E o t S k S S S 3... S - S Tabela 3.3: fluxo de caixa empréstimo bacário Essa tabela represeta um empréstimo bacário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá tal empréstimo em parcelas iguais os meses seguites, represetados a liha do tempo t. E k é o valor que etrou o caixa da pessoa (recebimeto) e S k serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (aplicação). Exemplo: Uma pessoa pediu um empréstimo de R$0.000,00 hoje e pagará R$5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias Tabela 3.4: exemplo de fluxo de caixa 3.7 TAXAS DE JUROS Etede-se por taxa como sedo um ídice umérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação fiaceira [59]. A seguir serão apresetadas as diversas formas de tratar as taxas de juros e serão

51 49 defiidas as seguites taxas: omial, efetiva, equivalete, taxa de iflação e taxa real Taxa Nomial A taxa omial é a que aparece os cotratos fiaceiros e ocorre quado o período de formação e icorporação dos juros ao capital ão coicide com aquela ao qual a taxa está referida [37]. Exemplos: a. 000% ao ao com capitalização mesal; b. 300% ao semestre com capitalização mesal; c. 50% ao ao com capitalização trimestral. A taxa omial de juros relativa a uma operação fiaceira pode ser calculada através da seguite fórmula [37]: Taxa Nomial (i) = valor J omial do empréstimo (4) Exemplo: Um empréstimo de R$00.000,00 deve ser quitado ao fial de um ao pelo valor moetário de R$50,000,00. A taxa omial de juros é dada da seguite forma: Sabedo-se que J = FV PV, tem-se que J = R$50.000,00 R$00.000,00 = R$50.000,00. E o valor omial do empréstimo é de R$00.000, Logo, i = = 0,50 = 50%

52 Taxa Efetiva A taxa efetiva é aquela que é apurada durate todo o prazo, sedo formada expoecialmete através dos períodos de capitalização, ou seja, através dos itervalos de tempo em que os juros são agregados ao capital [5]. Em outras palavras, taxa efetiva é o processo de formação de juros pelo regime de juros compostos ao logo dos períodos de capitalização. Exemplos: a. % ao mês com capitalização mesal; b. 300% ao ao com capitalização aual. Nos exemplos, a uidade de tempo coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa efetiva de juros pode ser obtida através da seguite expressão [5]: Taxa Efetiva (i f ) = ( + i) q (4) Em que q represeta o úmero de períodos de capitalização dos juros. Exemplo: Uma taxa de 3,8% ao mês determia um motate efetivo de juros de 56,44% ao ao, ou seja : i f = ( + 0,038) = 56,44% ao ao Taxa Equivalete Duas taxas são ditas equivaletes quado aplicadas a um mesmo capital e em um mesmo itervalo de tempo produzem o mesmo motate.

53 5 Exemplo: Em juros simples, um capital de R$ ,00, se aplicado a,5% ao mês ou 5% ao semestre pelo prazo de um ao ( meses), produz o mesmo motate. Ou seja: R$ ,00 * 0,05 * = R$50.000,00 R$ ,00 * 0,5 * = R$50.000,00 A taxa equivalete pode ser calculada através da seguite expressão [5]: Taxa Equivalete (i q ) = (+ i ) q (43) Em que q é o úmero de períodos de capitalização. Exemplo: Taxa mesal equivalete à taxa omial de % ao ao : q = meses i q = (+ 0,) = 0,948879% ao mês Taxa de Iflação Iflação é o aumeto geeralizado de preços da ecoomia, ou seja, em um determiado período de tempo, a iflação represeta o aumeto médio de preços. A taxa de iflação é medida através da seguite expressão [5]: P P P0 Taxa de Iflação ( I) = * 00% * 00% P = 0 P (44) 0 Em que P é o ídice de preço do produto.

54 5 Exemplo: Se em º de jaeiro o preço de um produto é de R$500,00 e em 3 de dezembro do mesmo ao o preço do mesmo produto é R$700,00, de quato foi a iflação o período? O acréscimo o preço foi de R$00,00 e esse resultado correspode à iflação. Logo: R$500, % R$ 00, I % I = 500 * 00% = 500 * 00% = 40% A taxa de iflação é de 40% Taxa Real A taxa real é a taxa efetiva corrigida pela taxa iflacioária do período da operação, ou seja, deota um resultado apurado livre dos efeitos iflacioários [5]. Em outras palavras, represeta o que se gahou ou perdeu verdadeiramete, sem a iterferêcia das variações verificadas os preços. A relação da taxa real com a taxa omial e com a taxa de iflação dá-se através da seguite expressão [5]: + taxa omial ( i) Taxa Real ( r ) = + taxa de iflação I (45) É importate observar que se a taxa de iflação for ula o período, isto é, I = 0, temos que as taxas omial e real são coicidetes. Exemplo: Numa operação fiaceira com taxas pré-fixadas, um baco empresta R$0.000,00 para ser pago em um ao com R$50.000,00. Sedo a iflação,