4 Teoria da Localização 4.1 Introdução à Localização

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1 4 Teoria da Localização 4.1 Itrodução à Localização A localização de equipametos públicos pertece a uma relevate liha da pesquisa operacioal. O objetivo dos problemas de localização cosiste em determiar ode deve ser istalada uma facilidade, de modo a otimizar uma variável de decisão. Em muitos problemas, as iformações sobre demada e capacidade do serviço prestado devem ser combiadas. Segudo Daski (1995), os problemas de localização de facilidades tratam de decisões sobre ode devem ser localizadas facilidades, cosiderado os clietes que podem ser servidos de forma a otimizar um certo critério. Para Ballou (2006), a localização de istalações é quase sempre determiada por um fator fudametal. A força direcioadora da localização de fábricas e armazés, em geral, são os fatores ecoômicos evolvidos. No varejo, a localização é direcioada pelo potecial de receitas que a região pode gerar, ao ivés de custos como acotece o caso de fábricas e armazés. Pizzolato (2000) defie o problema de localização de um posto de serviço como a escolha de uma posição geográfica para sua operação de forma que seja maximizada uma medida de utilidade, satisfazedo diversas restrições, em particular restrições de demada. No caso de serviços (escolas, caixas automáticos, cetros de reciclagem, hospital e etc.) o fator crucial é a acessibilidade do local. Para um serviço de emergêcia, o tempo de chegada da ambulâcia ao local do acidete é o fator determiate. Segudo Brow (1994), existe uma associação positiva etre a demora da chegada da ambulâcia ao local do acidete e a proporção de casos fatais e graves. De acordo com Revelle et al. (1970), há distições de objetivos etre os setores público e privado. No setor privado, o objetivo é maximizar lucros ou miimizar custos. No setor público a preocupação é a maximização do beefício

2 45 oferecido à sociedade, ou miimização dos custos dos serviços oferecidos. Os problemas de localização o setor público podem ser classificados em duas categorias : Localização de serviços ão-emergeciais (Escolas, Aterros Saitários, Agêcias de Correio, etre outras); Localização de serviços emergeciais (Hospitais, Serviços de atedimeto de emergêcias por ambulâcias, estações do corpo de bombeiros). Como medida de eficiêcia para a otimização, utiliza-se o primeiro caso a distâcia média percorrida ou o tempo médio despedido pelo usuário o trajeto. No segudo caso, a variável de decisão comumete utilizada é a abragêcia máxima do equipameto coletivo. De acordo com Ballou (2006), graças à dissemiação da matemática aplicada e dos computadores, as abordages de avaliação da localização de istalações são de atureza mais matemática que coceitual. Os modelos matemáticos de localização podem ser classificados em modelos exatos, modelos heurísticos e modelos de simulação. Os métodos exatos são procedimetos com codições de garatir uma solução matemática ótima do problema de localização, ou o míimo uma solução de aceitável precisão. Os modelos de programação matemática são exemplos deste tipo de abordagem. Detre os métodos, destaca-se a programação liear iteira combiada. Segudo Ballou (2006), ela é a metodologia usada preferecialmete os modelos de localizações comerciais. Uma de suas vatages é a capacidade de modelar os custos fixos de maeira ótima. Esses métodos icorrem em algumas desvatages, como o logo tempo de processameto de computador, uma grade ecessidade de memória e uma defiição comprometida quado aplicados a problemas práticos. Atualmete, essas desvatages estão sedo superadas com os avaços dos recursos computacioais, fazedo com que esses modelos sejam processados mais rapidamete. Um problema clássico de otimização combiatória é a localização de p- Mediaas. A abordagem cosiste em localizar uma rede qualquer p istalações (mediaas), de tal forma que a soma das distâcias de cada ó de demada até sua

3 46 mediaa mais próxima seja miimizada. Já os métodos heurísticos ão garatem o retoro da solução ótima como os métodos exatos, porém permitem serem alcaçadas boas soluções, com rapidez, a partir de umerosas alterativas. Existem a literatura algus métodos heurísticos cohecidos para resolver o problema da p-mediaa. Em seu trabalho, Hakimi (1964) utiliza o método de busca em árvore para ecotrar as 3-mediaas de um grafo com 10 vértices. Há também os métodos aproximados adotados por autores como Marazaa (l964), Teitz e Bart(1968), os quais se aplicam a problemas de maior porte. Uma técica heurística usada para resolver de forma aproximada problemas combiatórios é cohecida como relaxação lagrageaa/surrogate. O método já foi aplicado a outros problemas de otimização combiatória [Lorea e Lopes, 1994], [Lorea e Narciso, 1996], [Lorea e See, 1996], [See e Lorea, 1997], [Lorea e See, 1999], [Narciso e Lorea, 1999], [See e Lorea, 2000]. Por fim, os métodos de simulação ão resultam em soluções ótimas como o caso dos métodos exatos, porém facilitam a tomada de decisão, pois os geretes ão precisam de qualificações técicas, e, além disso, em muitos casos a compreesão dos modelos matemáticos tora-se extremamete complexa. Para Ballou (2006), um modelo de simulação de localização de istalação refere-se a uma represetação matemática de um sistema logístico por demostrações algébricas e lógicas maipuláveis em computador. 4.2 Formulação Matemática Modelo p-mediaa Capacitado (PMC) O modelo da p-mediaa é cosiderado a literatura como um problema clássico de localização de facilidades e é provavelmete um dos modelos mais adotados. A mediaa ou cetróide de um grafo G(V, A), sedo V o cojuto dos vértices do grafo e A o cojuto de arestas, é um vértice para o qual a soma das distacias aos demais vértices é míima. Neste estudo serão abordados problemas

4 47 com mais de uma mediaa como solução, portato são deomiados problemas de p-mediaas ou p-facilities. O método cosiste em localizar um subcojuto de vértices V p V, com p vértices, em um dado grafo G= (V, A), de tal forma a miimizar a distâcia de cada vértice restate até seu vértice mais próximo em V p. Etão, pode ser defiida a distâcia etre um vértice v j V e um cojuto de vértices. Sedo mais preciso, a distâcia etre v j e o subcojuto V p é defiida por: d(v j,v p ) = mi. {d(v j,v i )}, v i V p E a distâcia etre o subcojuto V p e o vértice v j é dada por: d(v p,v j ) = mi. {d(v i,v j )}, v i V p Se v i V p produz o míimo as equações acima, dizemos que v j é alocado a v i. A matriz de alocação [ij] é biária, sedo ij=1 se o vértice v j é alocado a v i, e 0 caso cotrário. Segudo Miieka (1977), é possível que a facilidade esteja localizada em um vértice e/ou sobre uma aresta; assim, dois coceitos são itroduzidos. Os primeiros são as chamada mediaas, ode as facilidades devem ser localizadas somete os vértices. O segudo coceito se refere às mediaas absolutas, ode as facilidades podem ser localizadas sobre as arestas e os vértices. Sedo p a deotação do úmero de facilidades a serem localizadas, tem-se assim, respectivamete, o problema da determiação das p-mediaas e o problema da determiação das p-mediaas absolutas. Esse problema, que foi iicialmete cosiderado por Hakimi (1964), apreseta diversas aplicações práticas, como a localização de diversas facilidades. O modelo da p-mediaa pode ser cosiderado como um problema de alocação-localização (locatio-allocatio problem), pois seu objetivo é localizar p-facilidades os vértices de uma rede e alocar demadas dessas facilidades de forma a miimizar o total do produto peso (esse estudo, população escolar) vezes a distâcia etre as facilidades e os potos de demada do cosumidor. (Hakimi, 1964). Assume-se que a facilidade pode ser localizada em qualquer local a rede, a localização ótima deve ocorrer os ós. (Drezer e Drezer, 2006).

5 48 Segudo Drezer e Drezer (2006), algumas cosiderações são cruciais para o problema da p-mediaa. Deve-se cosiderar que os cosumidores ou usuários escolherão a facilidade mais próxima a eles. Isso acotece quado eles dispõem da completa iformação sobre as distâcias e fazem suas escolhas de forma racioal. Outra cosideração implícita o problema é que todas as facilidades são igualmete atrativas, porém, a realidade esse ão é o caso para todos os clietes. Etretato, para justificar essa premissa, assume-se que a maioria dos cosumidores respeita as regras citadas acima. O problema da p-mediaa Capacitado (PMC) correspode aos casos em que a capacidade de uma istalação possui uma limitação em ateder a demada existete. O PMC é formulado a partir do problema da p-mediaa clássico. Para Barcelos (2002), uma aplicação importate do modelo é os casos em que a admiistração pública costrói escolas com capacidade padroizada. Segue abaixo a formulação matemática do modelo que se ecotra em Barcelos (2002). v(pmc) = Mi i= 1 j= 1 dijxij sujeito a xij = 1 para todo i N (2) j= 1 j= 1 j= 1 xjj = p qixij Qjxjj (3) para todo j N (4) xij {0, 1}; i, j N (5) Ode, q i = demada associada ao vértice i Q j = capacidade da escola j [d ij ]x = Matriz simétrica de distâcias com d ii = 0, para todo i. [x ij ]x = Matriz de alocação, x ij =1 se toda a demada do ó i é suprido a partir de uma istalação em j, e x ij =0 caso cotrário. x jj = 1 caso o ó i seja uma mediaa e x ii =0 caso cotrário. A restrição (2) garate que a população escolar do cetróide i deverá ser atedida por uma úica escola.

6 49 A restrição (3) garate o úmero de mediaas (escolas) a ser localizada igual ao valor p. O úmero ótimo de p Mediaas é um objetivo a ser alcaçado o problema. A restrição (4) correspode a restrição de capacidade, ode a população escolar i será atedida apeas por locais ode existe uma istalação escolar estabelecida, respeitado a capacidade física das mesmas. A restrição (5) correspode às codições de itegridade Modelo de Máxima Cobertura Segudo Arakaki (2002), o Problema de Localização de Máxima Cobertura (PLMC) cosiste em escolher locais para istalar facilidades de forma que o maior úmero de clietes (potos de demada) seja coberto, e determiar em qual facilidade cada cliete deverá ser atedido. O Problema de Máxima Cobertura tem como objetivo maximizar a cobertura de uma determiada população em relação a um dado equipameto coletivo, de modo a estabelecer um raio de cobertura fora do qual o usuário deixa de ser coberto por esse equipameto. Portato, o modelo tede a assegurar que o maior úmero de usuários seja atedido. A variável de decisão é basicamete a distâcia ou o tempo de serviço, que são cosiderados críticos ao atedimeto da demada. Ou seja, o usuário é cosiderado coberto se estiver localizado detro do raio de cobertura. O PLMC tem como restrição da FO (fução objetivo) a distâcia ou o tempo total a ser gasto pelo usuário de um determiado equipameto coletivo. Logo, é defiida uma distâcia crítica de serviço (S). De modo geral, o PLMC ão faz restrições de capacidade e ão exige que todas as áreas de demada estejam cobertas; este problema tem como objetivo localizar p facilidades de modo que haja a máxima cobertura possível detro da distâcia pré-defiida S. Segue abaixo a formulação do problema descrita em Arakaki (2002).

7 50 v(plmc) = Max Diyi (1) i N sujeito a xj yi para todo i N (2) Ode: j Ni j M xj = p (3) xj {0, 1}, para todo j M (4) yi {0, 1}, para todo i N (5) N = {1, 2,..., } : cojuto de potos de demada; M = {1, 2,..., } : cojuto de possíveis facilidades; Di: a demada de população da área i; p: úmero de facilidades a serem localizadas; dij= a meor distâcia do ó i ao ó j; Ni = {j J dij S}; S: distâcia de serviço - a área de demada é coberta se está detro desta distâcia; yi = 1 se a área de demada i é coberta, 0 caso cotrário; xj = 1 se a facilidade deve ser localizada em j, 0 caso cotrário; A restrição (2) garate que a população escolar será coberta por uma istalação escolar detro do raio de abragêcia S. No presete estudo, cosiderou-se S=1500 metros. A restrição (3) garate o úmero de mediaas (escolas) a ser localizada igual ao valor p Software AIMMS - Advaced Itegrated Multidimesioal Modelig Software Os problemas de programação liear iteira combiada evolvem a otimização de uma fução objetivo liear, sujeita a restrições que evolvam equações e iequações lieares. Algumas ou todas as variáveis são solucioadas para serem iteiras. Eles são em geral mais difícil de serem resolvidos comparados aos problemas de

8 51 programação liear. Estes problemas são do tipo NP-Hard (Garey e Johso, 1979), e assim o tempo para se obter uma solução ótima cresce expoecialmete à medida que aumetam os dados de etrada. O software AIMMS apreseta fucioalidades específicas para modelar problemas de programação liear iteira combiatória, dispoibilizado diversos solvers e permitido o cotrole da performace de cada um. O software suporta os seguites solvers: XA, CPLEX, GUROBI, MOSEK e XPRESS. O XA é usado tato em programação liear quato em programação liear iteira combiada. Na Programação Iteira combiada, o solver utiliza o algoritimo simplex. O XPRESS é cosiderado um solver de alta performace para resolução de modelos de programação liear e programação iteira. O solver comporta o otimizador simplex, que iclui o método primal e dual, solucioa os problemas de programação liear, e também é usado o método brach ad boud para a solução dos problemas de programação liear iteira combiatória. Assim como o XPRESS, O CPLEX é um solver de alta performace para resolução de problemas e oferece vários algoritmos. Além dos otimizadores utilizados XPRESS, o solver utiliza métodos heurísticos para ecotrar a solução do problema. Algumas particularidades fazem com que o CPLEX seja mais eficiete que os demais solvers, como por exemplo a capacidade de lidar com matrizes de grade ordem; é, portato, bastate robusto e capaz de otimizar problemas complexos do mudo real. Além disso, o CPLEX apreseta um tempo de solução bastate rápido comparado aos demais. No presete estudo, foi utilizado o solver CPLEX para a resolução dos modelos da p-mediaa Capacitado e Máxima Cobertura, pois este possui um tempo de processameto mais rápido que os demais, além de cotar com algoritmos específicos para solução de problemas de Programação Liear Iteira Combiatória. De acordo com Igácio e Filho (2004), o sistema AIMMS oferece uma otação de ídice que possibilita capturar a complexidade de problemas reais, permitido expressar muitos cálculos complexos de uma maeira compacta, sem a

9 52 preocupação com o gereciameto da memória ou cosiderações de estocagem de dados. O software apreseta algumas vatages como: Um ambiete adequado para modelar problemas de otimização; Iterface de boa usabilidade pelo usuário fial para suporte a decisão; Itegração com a liguagem C, C++, Fortra e ferrametas de iterface com as bases de dados através de ODBC/OLE DB; Utilização automática de um solver apropriado para ecotrar uma solução ótima; Na passagem de um problema real um modelo de otimização válido o AIMMS, algus passos coceituais são ecessários, como: Descrever os dados de etrada e de saída através de sets e idicadores idexados (Idex); Especificar o modelo matemático; Especificar os procedimetos para o pré- e o pós-processameto dos dados; Iicializar os dados de etrada através de arquivos e baco de dados; Exibir os resultados ou trasportá-los para um baco de dados. Em Igácio e Filho (2004) são descritos a forma de declaração do problema e os atributos o ambiete AIMMS. Seguem abaixo algus atributos e suas atribuições: Directios: Permite escolher etre maximizar e miimizar a fução objetivo. Variable: Defie o cojuto ou um subcojuto de variáveis que fazem parte do modelo a ser executado. Objective: Defie a variável como a fução objetivo do Modelo. Costraits: Especifica quais restrições fazem parte do programa matemático. No Aexo I ecotra-se a implemetação dos modelos p-mediaa Capacitado e Máxima Cobertura o software AIMMS.