Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais

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1 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao Capítulo - Cocetos udametas. - mportâca das estruturas o se costrur qualquer edfcação ou objeto, é precso garatr a establdade do produto durate o processo costrutvo e a fase de utlzação. Desta forma, tora-se ecessáro saber quas são os efetos do peso própro (uma pote ou edfíco deve ser capaz de suportar o peso dos materas utlzados a sua costrução sem rur), dos efetos ambetas (o veto pode ser ada mas crítco durate a costrução; as varações térmcas podem provocar rachaduras crítcas), das cargas a serem aplcadas (veículos, pessoas, móves) e prever as pores stuações possíves de solctação a estrutura. estrutura é o cojuto de elemetos de sustetação de uma obra ou objeto, que tem a faldade de garatr a establdade global em todas as solctações. O projeto de uma estrutura evolve sempre as segutes etapas: - Projeto geométrco da obra rqutetura - Defção geométrca da estrutura - Defção de materas - Idetfcação de vículos teros e exteros (apoos e lgações etre elemetos como vgas e plares) - Cálculo dos esforços seccoas a estrutura - Verfcação da establdade dos elemetos estruturas (fução do materal e dos esforços atuates) Um bom etedmeto dos prcpas cocetos estruturas ajuda os egeheros e arqutetos a ecotrar, desde o projeto geométrco, as soluções estruturas mas vatajosas do poto de vsta ecoômco e estétco. escolha sába etre os dferetes tpos de materas estruturas depede da compreesão adequada do fucoameto de cada elemeto estrutural e de como eles se lgam us aos outros. Somete um bom cohecmeto teórco permte projetos mas arrojados, de costrução rápda e de utlzação adequada de cada materal de acordo com suas propredades estruturas. s estruturas compõem-se de uma ou mas peças, lgadas etre s e ao meo exteror de modo a formar um cojuto estável, sto é, capaz de receber solctações exteras, absorvê-las teramete e trasmt-las até seus apoos.. - poos Os apoos são os vículos que lgam uma estrutura a elemetos exteros ao sstema estrutural cosderado. fução dos mecasmos de apoo é a de restrgr deslocametos ou rotações os potos ode se ecotram, despertado com sso reações as dreções dos movmetos mpeddos. São classfcados de acordo com o úmero de movmetos mpeddos, que é gual ao úmero de reações que fazem surgr sobre a estrutura,. Desta forma, cosderado-se os três exos trortogoas de referêca podem-se ter deslocametos em 3 dreções e rotações em toro dos 3 exos. Ultma atualzação em 9/6/007

2 postla de Isostátca Professora Elae Toscao z x Os apoos são capazes de restrgr de a 6 movmetos, permtdo assm 5 a zero graus de lberdade. Etede-se por Graus de Lberdade as 3 compoetes de traslação e as 3 compoetes de rotação que um elemeto estrutural pode sofrer em um espaço trdmesoal. Para que se estabeleça o equlíbro da estrutura quado sob o efeto de cargas solctates, esses ses graus de lberdades devem ser restrgdos, ou seja, devem-se adcoar ao sstema ovas forças que façam com que sejam ateddas as equações uversas da estátca, garatdo que o somatóro de forças e mometos em qualquer dreção seja ulo. Sabedo+ Quadro - Equlíbro e as equações uversas da estátca Para que um corpo submetdo à ação de um sstema de forças esteja em equlíbro, é ecessáro que essas forças ão provoquem ehuma tedêca de traslação ou rotação a este corpo, o que só ocorre se tato a resultate R das forças como o mometo resultate m dessas forças em relação a um poto qualquer forem ulas. s ses equações uversas da estátca mostradas abaxo, regem o equlíbro de um sstema de forças o espaço. X 0 Ode: Y 0 X, Y, Z são as projeções das forças que compõem o sstema, respectvamete, as Z 0 dreções dos exos x, y e z. Mx, My, Mz são as projeções dos mometos Mx 0 das forças em relação a um poto qualquer do espaço, respectvamete, as dreções dos exos My 0 x, y e z. é o úmero de forças que compõem o sstema Mz 0 cosderado y

3 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao.. - Tpos de apoos No caso de estruturas plaas carregadas exclusvamete o própro plao (sstema de forças coplaares), que é o mas freqüete em álse Estrutural, há apeas três graus de lberdade a restrgr: movmetos de traslação em duas dreções ortogoas o plao da estrutura e rotação em toro do exo ortogoal ao plao da estrutura. Os apoos para mpedr tas movmetos são: a) poo do o gêero ou charrot: y x Ry ou V Rx ou H Este apoo restrge apeas o movmeto em uma dreção (vertcal ou horzotal de acordo com a oretação do deseho do apoo). É precso ressaltar que a reação vertcal pode ser para cma ou para baxo e a reação horzotal o caso a pode ser para esquerda ou para a dreta. Pode-se cosderar este apoo como sedo uma roda em um trlho, pos é permtdo o deslocameto paralelo ao trlho e mpeddo o deslocameto perpedcular. rotação também e permtda e por sso ão há reação de mometo. b) poo do o gêero ou rótula: y x Rx ou H Ry ou V Este apoo restrge deslocametos vertcas ou horzotas. É precso ressaltar que a reação vertcal pode ser para cma ou para baxo e a reação horzotal pode ser para esquerda ou para a dreta. Pode-se cosderar este apoo como sedo uma rotula presa a um poto fxo. c) poo do 3 o gêero ou egaste y x H M V Este apoo restrge deslocametos e rotações. Desta forma possu reação horzotal, vertcal e de mometo. Ultma atualzação em 9/6/007 3

4 postla de Isostátca Professora Elae Toscao Quadro - Sstema de forças coplaares Sabedo+ y 3 o 4 x X 0 Y 0 Mz 0 Como, este caso, ão há compoetes de forças a dreção do exo ao qual elas são ortogoas (z, o caso da fgura) e os mometos de todas as forças em relação a qualquer poto stuado o mesmo plao que as cotem será sempre ortogoal a esse plao, as equações de equlíbro do sstema reduzem-se às três equações mostradas acma. Este tpo de sstema de forças é o que se observa as estruturas deomadas quadros plaos, que são defdos como estruturas plaas compostas por barras, sobre as quas atuam, exclusvamete, cargas stuadas o plao da estrutura..3 - Isostátca, aálse estrutural e resstêca dos materas Em algus currículos acadêmcos a omeclatura de cada dscpla pode cofudr o aluo quato ao campo de estudo de cada um destes tópcos. s Estruturas Isostátcas, objetos de estudo deste lvro, são aquelas ode os apoos são em úmero estrtamete ecessáro para mpedr todos os movmetos possíves da estruturas. álse Estrutural é a parte da Mecâca que estuda as estruturas, avalado a magtude dos esforços teros a que elas fcam submetdas quado solctadas por agetes exteros (cargas, varações térmcas, movmeto de seus apoos etc.) e egloba as estruturas sostátcas e hperestátcas. Resstêca dos Materas propramete dta permte a quatfcação das tesões atuates os dferetes potos e dreções da estrutura em fução desses esforços teros, bem como a verfcação da establdade da estrutura, que se faz comparado-se as tesões ela atuates à capacdade que o materal de que fo costruída apreseta de resstr a essas tesões, sem que ocorra ruptura ou deformação acetável as peças estruturas. 4

5 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao Quadro 3 Estatcdade e Establdade Sabedo+ Vmos que a fução dos apoos é lmtar os graus de lberdade de uma estrutura. Três casos poderão acotecer: - Os apoos são em úmero estrtamete ecessáro para mpedr todos os movmetos possíves da estrutura: este caso, o úmero de reações de apoo a determar (cógtas) é gual ao úmero de equações de equlíbro. Dz-se, etão que a estrutura é sostátca, ocorredo uma stuação de equlíbro estável. - Os apoos são em úmero feror ao ecessáro para mpedr todos os movmetos possíves da estrutura: este caso, havedo mas equações de equlíbro do que cógtas a determar, tem-se um sstema de equações mpossível. Isso sgfca que a estrutura será stável, sedo deomada hpostátca. Podem ocorrer, este caso, algumas stuações em que o própro sstema de cargas atuates cosga ateder às equações de equlíbro, estado mpeddos os movmetos que os apoos ão são capazes de restrgr. Quado sso ocorre, tem-se uma stuação de equlíbro stável, pos qualquer ova carga troduzda pode levar a estrutura à ruía, já que os apoos ão serão capazes de mpedr os movmetos que essa ova carga produz. Estruturas hpostátcas ão são admssíves em costruções. - Os apoos são em úmero superor ao ecessáro para mpedr todos os movmetos possíves da estrutura: este caso, há meos equações do que cógtas a determar, o que coduz a um sstema determado. s equações uversas da estátca ão serão sufcetes para que se determem as reações de apoo, havedo uma fdade de soluções possíves para o sstema de equações. Neste caso, são ecessáras equações adcoas baseadas a compatbldade das deformações, que permtam defr qual dessas soluções é a verdadera, levatado-se, assm, a determação do sstema. estrutura será dta hperestátca e seu equlíbro será estável..4 - Elemetos de uma Estrutura s peças que compõem uma estrutura são trdmesoas, podedo apresetar uma das característcas a segur: a) duas dmesões muto pequeas em relação à tercera. É o caso das barras ou hastes. Neste caso, que correspode ao da maora das estruturas da prátca, a maor dmesão é o comprmeto da peça, estado as duas outras o plao da chamada seção trasversal da peça. O estudo estátco das barras faz-se cosderado-as udmesoas, sto é, represetadas pelos seus respectvos exos logtudas (lugar geométrco dos cetros de gravdade de suas sucessvas seções trasversas). Uma barra será reta ou curva coforme seu exo seja reto ou curvo e uma estrutura composta por barras será dta plaa ou espacal se os exos das dversas barras que a compõem, respectvamete, estverem ou ão cotdos em um úco plao. Ultma atualzação em 9/6/007 5

6 postla de Isostátca Professora Elae Toscao b) Uma dmesão é pequea em relação às outras duas. Este é o caso das placas (superfíces plaas) e das cascas (superfíces curvas). c) s três dmesões são da mesma ordem de gradeza. Neste caso, o elemeto estrutural é deomado bloco O escopo deste curso está lmtado ao estudo de estruturas compostas por barras..5 - Exercícos resolvdos ) Calcular as reações de apoo para as estruturas abaxo: a) Mutas vezes, ao se deparar com uma stuação como essa, o estudate coclu que por ão haver forças aplcadas a horzotal ou a vertcal as reações de apoo vertcas e horzotas são ulas. Será? Egao comum por excesso de smplfcação. Segue-se a solução passo a passo: Há duas reações (vertcal e horzotal) o prmero apoo (apoo do º gêero) e uma reação vertcal o segudo apoo (apoo do º gêero). É precso descobrr as três cógtas do problema: H orça horzotal o prmero apoo, adotada calmete para dreta ( ) V orça vertcal o prmero apoo, adotada calmete para cma ( ) V B orça vertcal o segudo apoo, adotada calmete para cma ( ) Trabalhado com uma estrutura plaa com forças atuado o plao, pode-se usar apeas as 3 equações da estátca (3 equações para 3 cógtas estrutura sostátca): X Y Mz 0 : H 0 : V 0 : 0 + V B M V B 0 V B kn Deve-se ressaltar que o cálculo do somatóro dos mometos em toro do apoo, fo adotado como postvo o setdo at-horáro de rotação. O aluo pode defr que setdo rá adotar como postvo ou egatvo, desde que mateha a coerêca ao logo do exercíco. 6

7 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao Percebe-se que pelo sal egatvo de V B, a reação o segudo apoo é cotrára ao setdo adotado calmete, sso é. V B atua, a realdade, de cma para baxo. Portato, para o somatóro das forças vertcas ser ulo, V e V B têm módulos guas e setdos cotráros. V kn ( ) V B BkN ( ) Outra forma de resolver o mesmo problema é utlzar o coceto de báro. dotar um báro de setdo oposto ao mometo atuate resultate de 6kNm ode os módulos de V e V B podem ser defdos smplesmete por [V ] [V B ] 6/8 kn. Recordado - Coceto de báro Um sstema de duas forças paralelas de mesmo módulo e de setdos opostos, como o mostrado a fgura abaxo, tem a propredade de possur resultate ula e mometo costate em relação a qualquer poto do espaço. O M M O mometo das duas forças em relação ao poto geérco O será dado por: m OM ' Λ OMΛ MM ' Λ O mometo do sstema depede, portato, da posção do poto O. Dz-se, este caso, que as duas forças formam um báro, cujo efeto em relação a qualquer poto do espaço é varate. Ultma atualzação em 9/6/007 7

8 postla de Isostátca Professora Elae Toscao b) Há uma reação vertcal o prmero apoo (apoo do º gêero) e duas reações (vertcal e horzotal) o segudo apoo (apoo do º gêero). Deve-se descobrr as três cógtas do problema: V orça vertcal o prmero apoo, adotada calmete para cma ( ) V B orça vertcal o segudo apoo, adotada calmete para cma ( ) H B orça horzotal o segudo apoo, adotada calmete para esquerda ( ) Trabalhado com uma estrutura plaa com forças atuado o plao, pode-se usar apeas as 3 equações da estátca (3 equações para 3 cógtas estrutura sostátca): X 0 : H B kn Y 0 : V + VB 4kN Mz 0 : M B V 0 V kn Nota: Desta vez, o cálculo do somatóro dos mometos em toro do apoo B, fo adotado como postvo o setdo horáro de rotação. Isso é para que fque claro que ão exste uma coveção de sas durate a fase de cálculo de reações de apoo, para que ão se etedam estes setdos como postvos ou egatvos quado forem estudados os dagramas de esforços. Percebe-se que pelo sal egatvo de V, a reação o prmero apoo é cotrára ao setdo adotado calmete, sso é. V atua, a realdade, de cma para baxo. V kn ( ) V B 4-(-)5kN ( ) 8

9 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao c) Há três reações o egaste (força vertcal, força horzotal e mometo): V orça vertcal o apoo, adotada calmete para cma ( ) H orça horzotal o apoo, adotada calmete para esquerda ( ) M Mometo o apoo, adotado calmete como at-horáro ( ) kn M M M Mz kn V Y kn H X : 4 0 : : Ultma atualzação em 9/6/007 9

10 postla de Isostátca Professora Elae Toscao ) Calcular as reações de apoo para a estrutura trdmesoal abaxo, cujas barras formam etre s apeas agulos de 90º.: Trata-se de uma grelha plaa, sto é, um caso especal de sstema de forças paralelas o espaço. Desta forma, como o egaste pode coter os deslocametos e rotações, este caso ele rá ter duas reações de mometo (em toro de x e de y) e uma reação vertcal. Estas são as três cógtas do problema: M x Mometo de reação o egaste em toro do exo x. M y Mometo de reação o egaste em toro do exo y. V orça vertcal o egaste, adotada calmete para cma ( ) É fácl descobrr que a reação vertcal o egaste precsa ser de 0kN para que o somatóro das forças vertcas seja ulo, mas como calcular as reações de mometo? 0

11 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao Quadro 4 - Sstema de forças paralelas o espaço Sabedo+ x o z y Mx 0 My 0 Z 0 Como, este caso, ão há compoetes de forças as dreções dos exos aos quas elas são ortogoas (x e y, o caso da fgura) em compoetes de mometos a dreção do exo ao qual as forças são paralelas (z, o caso da fgura), as equações de equlíbro do sstema reduzem-se às três equações mostradas acma. Este tpo de sstema de forças é o que se observa as estruturas deomadas grelhas plaas, que são defdas como estruturas plaas compostas por barras, sobre as quas atuam, exclusvamete, cargas perpedculares ao plao da estrutura. V 0kN y x Para o cálculo das reações de mometo é precso recordar a regra da mão drera (ver quadro explcatvo a segur). dotado como referêca o exo x passado pelo egaste, temos as forças de kn e 4kN produzdo mometo postvo em toro de x e vamos precsar etão de uma reação de mometo egatva mo egaste. Mx M x 0 M x kN E adotado como referêca o exo y passado pelo egaste, temos duas forças de kn produzdo mometo postvo em toro de y e as forças de kn e 4kN produzdo mometo egatvo em toro de y. My M y 0 M y kN Ultma atualzação em 9/6/007

12 postla de Isostátca Professora Elae Toscao Recordado - orça, Mometo e a regra da mão dreta s forças são gradezas vetoras, caracterzadas, portato, por dreção, setdo e tesdade. Sua udade o sstema teracoal é o Newto (N). Em Egehara estrutural, ode as forças são deomadas cargas, é mportate também a defção do poto de aplcação da força sobre a estrutura. Mometo é uma gradeza assocada ao movmeto de rotação que uma força produz em toro de um poto. O exemplo da fgura abaxo pode lustrar esse coceto: B C 0 kn 4 m m Seja a barra da fgura suportada em B por um cutelo. É tutvo perceber que o peso (força) a ser colocado em para aular a tedêca à rotação da barra em toro do cutelo é feror a 0 kn, por estar o poto mas afastado do cutelo que o poto C. ssm, pode-se afrmar que a gradeza capaz de represetar a tedêca à rotação em toro de um poto provocada por uma força é proporcoal à tesdade da força e à sua dstâca ao poto cosderado. Tal gradeza é deomada mometo, que pode ser defdo como a segur: Chama-se mometo de uma força em relação a um poto O ao produto vetoral do vetor OM (sedo M um poto qualquer stuado sobre a lha de ação da força ) pela força, como mostrado a fgura abaxo. m O d M α P m OMΛ O vetor mometo é represetado por uma seta dupla, para que ão seja cofuddo com uma força. Sua dreção é perpedcular ao plao P, seu setdo é o do dedo polegar, quado se faz os demas dedos da mão dreta grarem o setdo da rotação de em toro do poto O (regra da mão dreta com rotação o setdo dos dedos se fechado); seu módulo é dado por m OM se α d, ou seja, pelo produto do módulo da força pela meor dstâca do poto O à sua lha de ação. udade de mometo o sstema teracoal é N.m (Newto.metro).

13 Cocetos fudametas Professora Elae Toscao V 0kN M x 5kN M y 6kN.6 - Exercícos propostos ) Calcular as reações de apoo para as estruturas abaxo: a) b) c) Ultma atualzação em 9/6/007 3

14 postla de Isostátca Professora Elae Toscao.7 - Respostas dos exercícos propostos a) b) c) 4