Bioestatística 5ª Período Biologia

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1 Boestatístca 5ª Período Bologa Março 009 Campus do Potal Prof. MSc. Qutlao Squera Schrode Nomel

2 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA. - A NATUREZA DA ESTATÍSTICA COMO SURGIU A ESTATÍSTICA????? A Matemátca surge do covívo socal, da cotagem, das trocas. Como a Estatístca é um ramo da Matemátca Aplcada, ela também surge da experêca com o homem. Na Atgüdade: regstros do º de habtates, ascmetos, óbtos, mpostos, etc. Idade Méda: regstros bélcos e trbutáros as prcpas mapulações quattatvas. Sec. XVI: começa a surgr aálses de casametos, batzados, gerado as prmeras tábuas e tabelas. No sec. XVIII: o estudo desses regstros umércos assume um caráter mas cetífco. A Estatístca fo batzada por Godofredo Archewall essa época. Atoo A. Crespo defe Estatístca como: Estatístca é uma parte da matemátca aplcada que forece métodos para a coleta, a orgazação, a descrção, a aálse e a terpretação de dados quattatvos e qualtatvos, e a utlzação desses dados para a tomada de decsão. Cocetos de Estatístca e porque estudar Estatístca

3 A Estatístca estuda etão os feômeos com um cojuto muto umeroso de dvíduos, com pelo meos uma característca comum. A partr da aálse quattatva de uma determada experêca ou de um determado grupo de dvíduos, se for observado certa regulardade essa característca, provavelmete exstrá a mesma regulardade uma classe maor de experêcas ou dvíduos. Esse é um processo de geeralzação. Por que estudar Estatístca: O racocío estatístco é muto utlzado o govero e a admstração: emprego. O cohecmeto estatístco serve para bem tomar decsões e ão ser luddo. Os próxmos cursos usam a Estatístca. As revstas profssoas e artgos cetífcos se referem a estudos estatístcos. Usar a terpretação estatístca os artgos da mpresa e o cotdao. Os ramos da Estatístca A Estatístca pode ser dvdda em duas partes: Estatístca Descrtva: tem como objetvo a observação de feômeos de mesma atureza, a coleta de dados umércos relatvos a esses feômeos, a orgazação e a classfcação desses dados observados e a sua apresetação através de gráfcos e tabelas, além da descrção desses dados através do cálculo de coefcetes. Exemplos: taxa de desemprego, custo de vda, ídce pluvométrco, qulometragem méda por ltro de combustível, volume de vedas mesas de um produto, etc. Estatístca Iferecal ou Dedutva: tem como objetvo a aálse e terpretação dos dados amostras. Refere-se a um processo de geeralzação a partr de resultados partculares. Esse processo de geeralzação está assocado a uma margem de certeza, 3

4 pos a coclusão a respeto da característca comum de uma população é obtda aalsado-se uma parcela dessa população. Para medr essa certeza, usa-se téccas e métodos da Teora da Probabldade. Exemplos: Para calcular a voltagem ecessára para que um dspostvo elétrco chegue a falhar, submete-se uma amostra de tas dspostvos a voltages cada vez mas elevadas, até falhar cada dspostvo da amostra. Com base os resultados, pode-se estmar a probabldade de falha os dspostvos, a cada voltagem. O método Estatístco e suas fases Na Atgüdade, os cohecmetos eram adqurdos ao acaso ou por ecessdades prátcas. Atualmete, pode-se adqur-los através de processos cetífcos de observação e estudo. O método estatístco, date da mpossbldade de mater as causas costates, admte todas as causas presetes varado-as, regstrado essas varações e procurado determar, o resultado fal, que fluêcas cabem a cada uma delas. Dados são úmeros que exprmem a observação de elemetos com uma característca comum. Exemplo: os homes de uma comudade. Para se fazer um estudo estatístco, deve-se dvd-lo em fases: As fases são: Coletas de dados: é a obteção, reuão e regstro sstemátco de dados, com um objetvo determado. 4

5 Dreta: quado é obtda dretamete da fote e pode ser : - Cotíua : Obtda terruptamete Regstro de ascmetos, etc. - Peródca : em períodos curtos: Cesos - Ocasoal : esporadcamete : Surto epdêmco Idreta: Quado é ferda ( deduzda ) a partr dos elemetos cosegudos pela coleta dreta - Mortaldade fatl Crítca dos dados: devem ser crtcados à procura de erros grosseros ou de certos vultos, que possam flur sesvelmete os resultados como: - Extera: Iformate - Itera: dados da coleta Apuração dos dados: é a soma e o processameto dos dados obtdos e a dsposção medate crtéros de classfcação. Exposção dos dados: devem ser apresetados sob forma de tabelas ou gráfcos torado mas fácl e compreesão do objeto de tratameto estatístco Aálse dos resultados: É o estudo dos resultados com o objetvo de trar coclusões sobre o todo (população), a partr de formações forecdas por parte represetatva do todo ( amostra). a) A FIGURA A SEGUIR ILUSTRA O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA ESTATÍSTICA 5

6 Ode: População: é o cojuto de etes portadores de, pelo meos, uma característca comum; Amostra :é um subcojuto fto de uma população.. FERRAMENTAS NECESSÁRIAS AO CÁLCULO ESTATÍSTICO Talvez algus assutos tratados este capítulo sejam apeas uma revsão para a grade maora de vocês. Todava seu cohecmeto será de extrema valdade, ão só para o acompahameto do curso como também para o apredzado de város tópcos. Frações par de úmeros aturas em que o segudo represeta um certo úmero de partes em que p tero está dvddo, e o prmero represeta uma ou mas dessas partes guas.assm, /5 é uma fração ode é o umerador e 5 o deomador. Smplfcação Para smplfcar frações devemos dvdr o umerador e o deomador pelo mesmo úmero, obtedo uma fração equvalete à fração dada. Assm: 6 =, 5 5 que é cohecda como fração rredutível. Somatóro. 6

7 REVISÃO: Desevolva cada uma das segutes expressões, colocado-as a sua forma mas smples possível: a) 5 x ; = d) 4 x x ; = b) c) 5 zx ; = 6 xy ; = 6 e) ( ) x x. =. Escreva em otação sgma (somatóro): a) x+ x x ; c) x x... x ; x + x + + x ; b) ( )... d) x + x + + x Calcule para os dados abraxo: Z X a) 3 X ; = c) 6 X ; = b) 6 X ; = 3 d) 6 X ; = 7

8 e) 6 Z ; = g) 6 ZX. = f) 6 ZX ; = 4. Sejam os cojutos de dados: X = { 4,3, 0,}, Y = { 3, 0,,3 } segutes somatóros:. Obteha os a) b) c) d) 4 X ; = 4 X ; = 4 YX ; = 4 X. = 8

9 .3 SÉRIES ESTATÍSTICAS Defção: Uma vez coletados os dados, o cojuto de valores é exteso e desorgazado e, o seu exame, há o pergo de se perder a vsão global do feômeo aalsado. Por sso, reumos os valores em tabelas compactas, que permtem uma vsão mas stétca do feômeo, sem trar-lhe a precsão prmtva. Essa codesação dos valores permte ada a represetação gráfca, uma forma mas sutl e elegate de apresetação da característca estudada. Uma tabela é um quadro que resume as observações de alguma varável. Título Corpo Cabeçalho Colua Idcadora Cabeçalho Colua Numérca Casa ou Célula Lhas Rodapé Uma sére estatístca é toda tabela que apreseta a dstrbução de um cojuto de dados estatístcos em fução da época, do local ou da espéce. Classfcação das Séres Estatístcas Podemos classfcar uma sére estatístca de acordo com os seus três fatores: tempo, espaço e espéce..séres hstórcas (ou temporas, croológcas, marchas): descrevem os valores da varável em determado local segudo tervalos de tempo varáves. Exemplo: O dretor de marketg de uma empresa, fabrcate de compoetes eletrôcos, deseja examar a evolução de suas vedas em 000, mês a mês. 9

10 GLT S.A. Idústra de Compoetes Eletrôcos, Vedas Mercado Itero 000 Meses Vedas ($.000) Jaero.300 Feverero.800 Março.00 Abrl.0 Mao.360 Juho.600 Julho.690 Agosto Setembro Outubro Novembro 3.00 Dezembro.760 TOTAL ANUAL 3.50 Fote: Departameto de Aálse de Mercado.. Séres geográfcas (ou espacas, terrtoras, de localzação): descrevem os valores da varável em determado state segudo regões. Exemplo: Se agora o dretor deseja saber o comportameto das vedas dessa empresa os estados do Brasl, o ao 000. GLT S.A. Idústra de Compoetes Eletrôcos, Vedas por Udade de Federação 000 Udades de Federação Vedas ($.000) Mas Geras Paraá.30 Ro Grade do Sul Ro de Jaero São Paulo Outros 40 TOTAL BRASIL 3.50 Fote: Departameto de Aálse de Mercado. 3. Séres específcas (ou categórcas): descrevem os valores da varável, em determado tempo e local, segudo especfcações ou categoras. Exemplo: Supoha que o dretor esteja teressado em cohecer o comportameto das vedas de cada um dos produtos, que foram agrupados em três categoras ou lhas. A tabela revela que aproxmadamete 50% do faturameto da empresa são represetados pelos produtos da lha C. 0

11 GLT S.A. Idústra de Compoetes Eletrôcos, Vedas por Lha de Produto 000 Lha do Produto Vedas ($.000) Lha A Lha B 9.30 Lha C TODOS OS PRODUTOS 3.50 Fote: Departameto de Aálse de Mercado. 4. Dstrbução de freqüêcas: este caso, todos os elemetos estão fxos, estado os dados agrupados de acordo com a tesdade ou varação quattatva do feômeo. O processo de costrução das tabelas de dstrbução de freqüêca será feto mas adate. Exemplo: Agrupar as vedas da empresa em classes de faturameto e aalsar o úmero de meses em que se verfcaram os város faturametos. GLT S.A. Idústra de Compoetes Eletrôcos, Nº de Meses Segudo o Faturameto Vedas ($.000) Meses De.800 a a a a a TOTAL DE MESES Fote: Departameto de Aálse de Mercado. Nº de Empregados das Váras Classes de Saláros o Estado de São Paulo 000 Classes de Saláros (R$) Nº de Empregados Até De 80 a De 0 a De 60 a De 00 a De 400 a De 600 a De 800 a ou mas TOTAL Fote: Servço de Estatístca da Prevdêca e Trabalho. Séres cojugadas tabelas de dupla etrada Mutas vezes há ecessdade de apresetar, em uma úca tabela, a varação de valores de mas de uma varável, obtedo assm uma tabela de dupla etrada. Nesse tpo de tabela fcam cradas duas ordes de classfcação: horzotal e vertcal.

12 Exemplos: Sére específco-temporal: População Ecoomcamete Atva por Setor de Atvdade Brasl Setor População (000 habtates) Prmáro Secudáro Tercáro Fote: IPEA. Sére geográfco-temporal: Produção Braslera de Borracha Udade de Produção Produção Acre Amazoas Pará Mato Grosso Outros Estados Fote: Auáro Estatístco do Brasl - IBGE. É mportate ressaltar que em toda tabela represeta uma sére estatístca. Algumas vezes, os dados ão são uformes, sedo meramete um aglomerado de formações geras sobre determado assuto. Exemplo: Stuação dos Espetáculos Cematográfcos o Brasl 970 Especfcação Dados Numércos Número de cemas.488 Lotação dos cemas Sessões por da Flmes de loga metragem Mea etrada Fote: Auáro Estatístco do Brasl - IBGE. Dados absolutos e dados relatvos Dados absolutos são os dados estatístcos resultates da coleta dreta da fote, sem mapulação a ão ser cotagem ou medda. Sua letura é expressva. Dados relatvos é o resultado de comparações por razões que se estabelecem etre dados absolutos e têm por faldade facltar as comparações etre quatdades. São as porcetages, ídces, coefcetes e taxas.. Porcetages

13 Destaca a partcpação da parte o todo. São razões que cosstem em cosderar um total qualquer gual a 00% e através de uma regra de três smples, estabelecermos qualquer relação com as parcelas que compõe o total. Assm: Total % Exemplo : Parcela ---- x% b) MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A Categoras Nº de aluos % º grau 9.86 º grau.68 3ºgrau 34 Total.0 Exemplo : Quado qusermos aalsar a estrutura de um fato, deveremos ratear as porcetages etre os tes que compõem este fato. Custo mesal dos vetladores A e B (0 udades) Despesas Vetlador A Vetlador B Valores (R$) % Valores (R$) % Mão-de-obra 0,00 44,8 80,00 Matéras prmas 70,00 8,8 600,00 Despesas geras 30,00,8 360,00 Propagada 340,00 3,6 760,00 TOTAL 500, , Ídces população Desdade demográfca = superfíce São razões etre duas gradezas tas que uma ão clu a outra. Exemplo: Ídces ecoômcos: Produção per capta = valor total da produção população Reda per capta = Cosumo per capta = QI = reda população cosumo população dade metal dade croológca 3

14 3. Coefcetes São razões etre o º de ocorrêcas e o º total. Exemplos: Coefcet e de mortaldade = º de óbtos população total º de ascmetos Coefcet e de ataldade = população total º de aluos evaddos Coefcet e de evasão escolar = º cal de matrículas Coefcet e de aprovetameto escolar = 4. Taxas º de aluos aprovados º fal de matrículas São os coefcetes multplcados por uma potêca de 0 (0, 00, 000) para torar o resultado mas telgível. Exemplos: Taxa de mortaldade = coefcete de mortaldade. 0 Taxa de evasão escolar = coefcete de evasão escolar. 0 Ex.: úmero de óbtos=80080; população total = Coefcete mortaldade = = 0, Etão o coef. de mortaldade é de 0,54 óbto por habtate. Porém se multplcarmos por 000 teremos: taxa de mortaldade=0,54*000=54, ou seja, 54 óbtos por ml habtates. Lsta de exercícos sobre Séres e Dados Estatístcos ) Cosdere a sére estatístca. Complete-a, determado as porcetages com uma casa decmal e fazedo o arredodameto. Séres Aluos Matrculados ª 546 ª 38 3ª 80 4ª 0 Total.74 % 4

15 )Aalsar a estrutura do fato abaxo, utlzado porcetages. Especfcação Despesa famíla X Despesa famíla Y Almetação Vestuáro Habltação Outras despesas TOTAL )Em um magaze, as vedas de certos produtos se processam da segute maera: Das Udades Seguda 47 Terça 3 quarta-fera 58 quta-fera 66 sexta-fera 30 Sábado 47 Pode-se dcar por meo de porcetagem: a)como se dstrbuem as vedas dáras com relação ao total da semaa? b) Qual o desevolvmeto das vedas com relação a 50 udades (veda cosderada base para a empresa). c) Qual o desevolvmeto das vedas de um da para o outro? 4) Cosderado que Mas Geras, em 99, apresetou (dados forecdos pelo IBGE): População: 5.957,6 ml habtates Superfíce: km Nascmetos: Óbtos: 99.8 Calcule: a) o ídce da desdade demográfca b) a taxa de ataldade c) a taxa de mortaldade 5) Um professor preecheu um quadro, evado pela secretara da escola, com os segutes dados: Sére E Turm a Nº de Aluo s Nº de Aluo s 30. Promovdos sem Recuperaçã o Retdos sem Recupe ração Em Recupe ração Recupe rados Não- Recupe rados Total Geral Promo -vdos Retdo s º B º C º E º F Total

16 Calcule: a) a taxa de evasão, por turma b) a taxa de evasão total c) a taxa de aprovação, por turma d) a taxa de aprovação geral e) a taxa de recuperação, por turma f) a taxa de recuperação geral g) a taxa de reprovação a recuperação geral h) a taxa de aprovação, sem a recuperação h) a taxa de retdos, sem a recuperação. 6)Classfque as séres abaxo: a)produção de fertlzates Fosfatados Brasl Aos Quatdade (toeladas) b) Despesas com vages dos departametos das 3 flas da Empresa SETOR FILIAIS RJ MG SP Logístca R$3000 R$3500 R$4000 Marketg R$000 R$300 R$800 RH R$300 R$700 R$00 7- Uma pessoa comprou dos automóves por R$5500,00. Vedeu o prmero com 8% de lucro e o segudo com 3% de prejuízo. O lucro líqudo total fo de R$000,00. Calcular o preço de compra de cada automóvel. 8 Em uma speção de qualdade verfcou-se que tham peças estragadas, represetado 5% do total de peças examadas. Queremos saber quatas peças foram examadas. 9 Um objeto é oferecdo por R$600; este preço sofre um descoto de 0% e depos de 5%. O ovo preço correspode a que porcetagem de R$600? 6

17 .4 - ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DOS DADOS As observações é o materal básco com que o pesqusador trabalha. Estas observações podem ser, por exemplo, a produtvdade de uma plata, a velocdade de processameto de um computador, a resstêca à ruptura de determado cabo, suscetbldade ou ão de dvíduo a determada doeça, cor de uma flor, sexo do prmero flho de um casal, opão dos aluos quato a ddátca de um professor, etc. Estas observações apresetam uma característca em comum que é a varação ou varabldade, ou seja assumem dferetes valores de dvíduo para dvíduo. Uma característca que pode assumr dferetes valores de dvíduo para dvíduo é deomada varável. Caso cotráro é deomado costate. As varáves são classfcadas em: VARIÁVEIS QUALITATIVAS (atrbutos) QUANTITATIVAS (umércas) Exemplos: Sexo; Relgão; Naturaldade; Cor dos olhos; Altura de uma plata (baxa, méda, alta); Cor de flor; Sabor; NOMINAL Ex: regão; ORDINAL Ex: classe socal; DISCRETAS Exemplos: Quatdades de estudates em uma dscpla; Quatdades de cômodos em uma resdêca; Número de flhos; CONTÍNUAS Exemplos: Tempo de vôo etre cdades; Duração da batera do celular; Peso corporal; Exercíco: Classfque as varáves apresetadas a tabela abaxo: 7

18 Os dados coletados o campo e trazdos para o laboratóro (escrtóro), a forma em que se ecotram, como apresetados a Tabela., são deomados dados brutos. Normalmete este tpo de dados trás pouca ou ehuma formação ao letor, sedo ecessáro uma elaboração (orgazação) destes dados, a fm de aumetar sua capacdade de formação. Tabela.: Dados dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Idvíduo Altura Sexo Número de Irmãos,87 M 5,67 F 3,75 F 0 4,80 M 5,7 M 4 6,64 F 7,73 F 8,78 M 9,83 M 0 0,78 M,67 F 3,70 F 3,65 F 4,53 F 5,6 M 6,56 F 0 7,5 F 8,68 F 9,7 F 0,73 F,75 F 5,67 F 3,88 M 4,87 M 5,75 M 3 6,63 F 6 7,70 M 6 8,88 M 6 9,76 F 3 30,78 M A mas smples orgazação umérca é a ordeação dos dados em ordem crescete ou decrescete, chamada de ROL. Como pode-se observar a Tabela., a smples orgazação dos dados em um Rol, aumeta muto a capacdade de formação destes. Pos equato a Tabela. os formava apeas que tíhamos 30 aluos, e algumas alturas, sexo e úmero de rmãos, a Tabela., verfcamos que a meor altura observada fo,5 m e a maor,88 m, o que os forece uma ampltude total de varação da ordem de 0,37 m. 8

19 A = maor valor observado - meor valor observado A=,88m,5m= 0,37m Pode-se observar ada que algumas alturas como,67m,,75m e,78m são mas comus. Tabela.: Rol das alturas dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00.,5,53,56,6,63,64,65,67,67,67,68,70,70,7,7,73,73,75,75,75,76,78,78,78,80,83,87,87,88,88 Tabela.3: Rol do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/ APRESENTAÇÃO TABULAR.4..3 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Após esta prmera orgazação dos dados, podemos ada agrupá-los em classes de meor tamaho, a fm de aumetar sua capacdade de formação. Dstrbudo-se os dados observados em classes e cotado-se o úmero de dvíduos cotdos em cada classe, obtém-se a freqüêca de classe. A dsposção tabular dos dados agrupados em classes, jutamete com as freqüêcas correspodetes deoma-se dstrbução de freqüêca. Para detfcar uma classe, deve-se cohecer os valores dos lmtes feror e superor da classe, que delmtam o tervalo de classe. Por exemplo, para o caso das alturas dos aluos, podese desejar clur em uma úca classe todos os dvíduos que possuam altura etre,70 e,75 m assm, o tervalo de classe sera de,70 m a,75 m. Neste poto surge uma dúvda fudametal. Idvíduos que apresetem alturas exatamete guas a,70 m ou a,75 m pertecem ou ão a esta classe? Deste modo surge a ecessdade de 9

20 defr a atureza do tervalo de classe, se é aberto ou fechado. Quado o tervalo de classe é aberto, os lmtes da classe ão pertecem a ela, e quado o tervalo é fechado, os lmtes de classe pertecem a classe em questão. Notação: Itervalos abertos: ],70,75[ ou somete,,70,75; Itervalos fechados: [,70,75] ou,70,75; Itervalos mstos: [,70,75[ ou,70,75; CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA: Para motar uma dstrbução de freqüêca é ecessáro que prmeramete se determe o úmero de classes (k) em que os dados serão agrupados. Por questões de ordem prátca e estétca sugere-se utlzar de 5 a 0 classes. Na bblografa pode-se ecotrar város crtéros para dcação do úmero de classes a ser utlzado, em fução do úmero de dados (), os mas utlzados são: k =, 00 ) Crtéro de Olvera (994): k = 5.log( ), > 00 (remos adotar este crtéro); 3 A ) Crtéro de Scott(979): k = S, 3, 49 em que A é ampltude e S o desvo padrão. As estatístcas A e S são defdas as equações abaxo da segute forma: A= X( ) X() e S = X = ; = X ) Crtéro de Sturges: k = + 3,3.log( ). Após determar o úmero de classes (k) em que os dados serão agrupados, deve-se etão determar o tervalo de classe (c), que é dado pela segute expressão: A c = ; k 0

21 em que: c é ampltude de classe; A é a ampltude total; k é o úmero de classes. Cohecda a ampltude de classe, determa-se etão os tervalos de classe. Os lmtes feror e superor das classes devem ser escolhdos de modo que o meor valor observado esteja localzado o poto médo da prmera classe, que é dado por: PM L + L f sup =, em que: L f é o lmte feror da classe; L sup é o lmte superor da classe. Assm, o lmte feror da prmera classe será: c LI f ª = meor valor observado. E os demas lmtes são obtdos somado-se c ao lmte ateror. A título de lustração agruparemos dos dados referetes às alturas dos aluos em classes. Temos que a ampltude total observado a Tabela. é: A = maor valor observado - meor valor observado =,88,5 = 0,37 º Passo) Determar o úmero de classe (k): = 30 < 00 k = 30 5,5, como o úmero de classe é tero usaremos k = 6 ; º Passo) Determar a ampltude de classe (c): A 0,37 c = = = 0,074; k 6 3º Passo) Determar o lmte feror da prmera classe: c 0,074 LI f ª = meor valor observado =,5 =, 473 4º Passo) Determar o lmte superor da prmera classe: Lsupª = Lf ª + c=, , 074 =,547 ;

22 5º Passo) Motar a dstrbução de freqüêca: Tabela.4: Dstrbução de freqüêca das alturas de30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Alturas (m) f a f r f r % PM,473,547 0,066 6,6,5,547,6 0,066 6,6,584,6, ,34 3,4,658,695, ,334 33,4,73,769, ,66 6,6,806,843,97 4 0,34 3,4,88 TOTAL 30,00 00 em que: f a é a freqüêca absoluta e dca o úmero de observações pertecetes a cada classe; f r é a freqüêca relatva que é dada por: f r f a = ; é o úmero de observações e PM é o poto médo da classe. Iterpretação: Apresetado os dados a forma de dstrbução de freqüêca, stetza-se a formação cotda os mesmos, além de facltar sua vsualzação. Pos pode-se verfcar claramete a Tabela.4 que as alturas dos 30 aluos apresetam uma ampltude total de 0,37 m. Não fo observada ehuma altura feror a,473 m e em superor a,97 m. Alturas localzadas o extremo feror da dstrbução (,473 a,547 m) são meos freqüetes do que as do extremo superor (maores que,843 m). Observa-se uma tedêca de cocetração das alturas a regão cetral a superor da dstrbução. A apresetação dos dados em forma de dstrbução de freqüêca faclta ada o cálculo de váras meddas estatístcas de teresse, além de permtr a apresetação gráfca dos mesmos. APRESENTAÇÃO GRÁFICA As mesmas formações forecdas pelas dstrbuções de freqüêcas podem ser obtdas, e mas faclmete vsualzada através de gráfcos, tas como hstograma, polígoo de freqüêca e outros. HISTOGRAMAS: são costtuídos por um cojuto de retâgulos, com as bases assetadas sobre um exo horzotal, tedo o cetro da mesma o poto médo da classe que represeta, e cuja altura

23 é proporcoal à freqüêca da classe. Se as ampltudes de classes forem todas guas, as alturas serão umercamete guas as freqüêcas das classes. Porem, se os tervalos de classe ão tverem todos a mesma ampltude de classe, as alturas dos retâgulos deverão ser coveetemete ajustadas, afm de que as áreas dos mesmos sejam proporcoas às freqüêcas das classes e assm suas áreas permaeçam fes à sua freqüêca. Esse ajuste pode ser feto através da desdade de freqüêca, dada por: df r f c r = Fgura : Hstograma da dstrbução de freqüêca das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: é um gráfco de aálse o quas as freqüêcas das classes são localzadas sobre perpedculares levatadas os potos médos das classes. E pode ser obtdo pela smples uão dos potos médos dos topos dos retâgulos de um hstograma. Completa-se o polígoo udo-se as extremdades da lha que ue os potos represetatvos das freqüêcas de classe aos potos médos das classes medatamete ateror e posteror as classes extremas, que têm freqüêca ula Fgura : Polígoo de freqüêca das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. 3

24 Além das aplcações já cometadas, os hstogramas e polígoos de freqüêcas podem dcar ada qual é o tpo de dstrbução que os dados seguem como pode ser vsto a segur: Fgura 7: Dstrbução smétrca. Fgura : Dstrbução jota vertdo. Fgura 8: Dstrbução assmétrca à esquerda. Fgura : Dstrbução bmodal. Fgura 9: Dstrbução assmétrca à dreta. Fgura 3: Dstrbução multmodal. Fgura 0: Dstrbução jota. 4

25 DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS Mutas vezes pode-se estar teressado ão em saber a quatdade de observações que exste uma determada classe, mas sm a quatdade de observações acma ou abaxo de um determado poto a dstrbução. Deste modo, a soma das freqüêcas de todos os valores abaxo do lmte superor de uma determada classe é defda como freqüêca acumulada para baxo deste poto, assm como a soma das freqüêcas de todos os valores acma do lmte feror de uma classe é deomada freqüêca acumulada para cma. A título de lustração, estão apresetadas as Tabelas.5 e.6, respectvamete, as freqüêcas acumuladas para cma e para baxo das alturas dos 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Tabela.5: Dstrbução de freqüêca acumulada para baxo das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Freqüêca Acumulada Alturas (m) Absoluta ( f a ) Relatva % ( f r %) Abaxo de, ,0 Abaxo de,547 6,6 Abaxo de,6 4 3,3 Abaxo de,695 36,6 Abaxo de,769 70,0 Abaxo de, ,6 Abaxo de, ,0 Tabela.6: Dstrbução de freqüêca acumulada para cma das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Freqüêca Acumulada Alturas (m) Absoluta ( f a ) Relatva % ( f r %) acma de, ,0 acma de, ,3 acma de,6 6 86,6 acma de, ,3 acma de, ,0 acma de, ,3 acma de,97 0 0,0 5

26 Para verfcar qual a porcetagem de aluos que possuem altura feror a,6 m basta cosultar dretamete a Tabela.5 e verfcar a freqüêca acumulada abaxo deste valor (3,3%), pos o valor,6 m é um dos lmtes de classe apresetados esta tabela. Mas como proceder para obter as freqüêcas acumuladas para valores termedáros aos apresetados a tabela? Como por exemplo a freqüêca acumulada acma de,70 m? Para este tpo de cálculo, pressupõe-se que as alturas estejam uformemete dstrbuídos detro das classes, e procede-se do segute modo: Freqüêca acumulada acma, da classe medatamete feror a,70 (acma de,695) é de 9 aluos. Freqüêca acumulada acma, da classe medatamete superor a,70 (acma de,769) é de 9 aluos. Assm, temos que: Freq. etre,695 e,769 = 9 9 = 0 aluos; temos ada que de,695 m a,769 m são 0,074 m; e de,695 m a,70 m são 0,005 m; etão, 0,074m 0aluos 0,005m x 0,005 0 x = = 0,67aluos 0,074 Como acma de,695 m exste 9 aluos, e etre,695 e,70 m exstem 0,67, coclu-se que acma de,70 m exstem 9 0,67 = 8,33 aluos com alturas acma de,70 m. APRESENTAÇÃO GRÁFICA OGIVAS: é o ome dado a um polígoo de freqüêcas acumuladas, as quas as freqüêcas acumuladas são localzadas sobre perpedculares levatadas os lmtes ferores ou superores das classes, depededo se a ogva represetar as freqüêcas acumuladas abaxo ou acma, respectvamete. 6

27 Freqüêcas Abaxo de Acma de Alturas Fgura 3: Ogvas, acma e abaxo de, da dstrbução de freqüêcas acumuladas das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/ VARIÁVEIS QUANTITATIVAS DISCRETAS Para varáves quattatvas dscretas ão se faz ecessáro a dstrbução dos dados em classes tervalares, pos cada valor da varável já apreseta uma classe dstta como pode ser observado a Tabela.7. A título de lustração, remos costrur a dstrbução de freqüêca do úmero de rmãos dos aluos da Tabela., para sso, devemos prmero dspor os dados em uma tabela de Rol, como segue a Tabela.3 abaxo. Logo depos costruímos a dstrbução de freqüêca com as classes sedo os própros valores observados e completar a tabela com as freqüêcas observadas. Tabela.3: Rol do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/ Tabela.7: Dstrbução de freqüêca do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Nº de Irmãos f a f r (%) F a F r (%) , ,33 5 6, TOTAL

28 APRESNTAÇÃO GRÁFICA GRÁFICO DE BARRAS: é um gráfco formado por barras vertcas, cujas alturas são proporcoas às freqüêcas das classes. Freqüêcas Número de rmãos Fgura 4: Gráfco de Barras da dstrbução de freqüêca do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. GRÁFICO DE BARRAS PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS: é um gráfco formado por barras horzotas, cujas alturas são proporcoas às freqüêcas acumuladas das classes. 6 Número de rmãos Freqüêcas Fgura 5: Gráfco de Barras da dstrbução de freqüêca acumulada do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/ VARIÁVEIS QUALITATIVAS Do mesmo modo que as varáves quattatvas dscretas as qualtatvas também ão se faz ecessáro a dstrbução dos dados em classes tervalares. A título de lustração, remos 8

29 costrur a tabela de dstrbução de freqüêca para a varável sexo dos aluos observados a Tabela.. Etão, da mesma forma que fzemos para a varável dscreta faremos aqu também. Tabela.8: Dstrbução de freqüêca da varável sexo dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Sexo f a f r f r (%) Femo 7 0, ,67 Masculo 3 0, ,33 TOTAL 30,0 00 APRESNTAÇÃO GRÁFICA GRÁFICO DE SETORES (PIZZA): é um gráfco em formato de crculo dvddo em setores cujas áreas são proporcoas à freqüêcas da classe. O processo de costrução é smples, pos sabe-se que setor de crcuferêca é formado por um âgulo de 360º e equvale a 00% da área da crcuferêca, assm para obter-se o setor cuja área represeta uma determada freqüêca, basta resolver uma regra de três smples, como a apresetada a segur: % 360º 00 x α º fr Para o exemplo da Tabela.8 para o sexo femo e masculo, respectvamete, temos: α % α % 360º º 00 xf º 56,67 xm º 43,33 ; , ,33 xf = = 04,0º xm = = 55,99º ou poderíamos achar o âgulo do sexo masculo pela dfereça: x M = 360º 04,0º = 55,99º. Daí temos os âgulos que formarão as áreas do gráfco de setor, como pode ser vsto a Fgura % Femo Masculo 56.67% Fgura 6: Gráfco de Setor da dstrbução de freqüêca da varável sexo dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. 9

30 .5 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO.5. - MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL As meddas de posção ou de tedêca cetral costtuem uma forma mas stétca de apresetar os resultados cotdos os dados observados, pos represetam um valor cetral, em toro dos quas os dados se cocetram. As meddas de posção mas empregadas são a méda, a medaa e a moda..5.. MÉDIA ARITMÉTICA È a mas usada das três meddas de posção mecoadas, por ser a mas comum e compreesível delas, bem como pela relatva smplcdade do seu cálculo, além de prestar-se bem ao tratameto algébrco. A méda artmétca ou smplesmete méda de um cojuto de observações, x, x,..., x é defda como: x = ode é úmero de valores observados e x = x+ x x (soma dos valores observados). = = Notação: x para amostras e µ para populações. Exemplo: Dados os pesos de cco recém-ascdos (kg) de certo hosptal:,750; 3,00;,850; 3,330;,40. Temos que o peso médo dos recém-ascdos é: x, 5 x x = =, ,00 +, ,330 +, 40 4, 70 x = = = = =,854 kg Iterpretação: o peso médo dos cco recém-ascdos fo de,854kg, sto quer dzer que algus recém-ascdos pesaram meos de,854kg, outros pesaram mas, mas em méda, o peso dos recém-ascdos fo de,854kg. Ou seja,,854kg é um valor em toro do qual os pesos dos cco recém-ascdos se cocetra. Para os dados da Tabela. podemos calcular a méda das varáves alturas e úmero de rmãos, respectvamete: 30

31 30 x x = =, , 78 x = = = =, 7 m ; x x = = x = = = rmãos Propredades da Méda: Seja o segute cojuto de observações:,0,5,3. A méda desses valores é dada por x =,5. O desvo (d) deles em relação à méda é dado por: d = x x=,5= 0,5 d = x x= 0,5=,5 d = x x= 5,5=,5 3 3 d = x x= 3,5= 0, Soma dos desvos de um cojuto de dados em relação a méda é ula, ou seja, Exemplo : 4 d = d+ d + d3+ d4 = 0,5,5 +,5 + 0,5 = 0 ; = d = 0 ; = Prova: ( ) d = x x = x x= = = = = = x x x / = = x = = / = x x = 0 = = Logo, d 0 =. Somado-se ou subtrado-se uma costate (k) a todas as observações, a méda também fca somada ou subtraída deste valor, ou seja, x = x ± k etão * * x = x± k. = = de x =,5. Se Exemplo 3: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,0,5,3] somarmos uma costate ( 3 * x = 5,5 =,5 + 3 = x+ k. Prova: 3 4 * k = ) tem-se a ova varável [ 5,3,8, 6] x = com méda 3

32 x = * x= fazedo x = x ± k ( ) * x ( x ± k) = = = = x k / = ± = ± = ± / = x k x k = * Logo, x = x± k tem-se: * x = = = x ± k =.Multplcado ou dvddo todas as observações por uma costate (k) a méda também fca * * x multplcada ou dvdda por essa costate, ou seja, x = x k ou x = etão k * * x x = x k ou x =. k = = de x =,5. Se Exemplo 4: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,0,5,3] multplcarmos por costate ( 3 x * = 7,5 =,5 3 = x k. Prova: x 3 4 * k = ) tem-se a ova varável [ 6, 0,5,9] = * x= fazedo x = x k Logo, x ( ) * ( ) * tem-se: x x k k x x * = = = = x = = = = k = kx = kx x = com méda Para o caso de dvdr por k, dem ao caso acma. Característcas e mportâca da Méda:. É muto fluecada pelos valores extremos da dstrbução;. Localza-se, em geral, a classe de maor freqüêca;. Na sua determação são cosderados todos os dados da dstrbução; v. A sua precsão está a razão dreta do úmero de observações com que é calculada; v. É úca para um cojuto de dados; 3

33 v. Não pode ser calculada para dados agrupados que apresetem lmtes determados. Cálculo de Médas para Dados Agrupados: ) Varável Dscreta: e k fa =. = x = k = k = x f f a a, ode Exemplo 5: Sejam os dados agrupados abaxo, calcule a méda. fa é a freqüêca absoluta da classe, x é a classe Tabela.7: Dstrbução de freqüêca do º de rmãos dos aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Nº de Irmãos f a TOTAL 30 k ) Varável Cotíua: xf a = x = = = rmãos x k = k PM f = f a a, ode PM é o poto médo da -ésma classe. Exemplo 6: Sejam os dados agrupados abaxo, calcule a méda. Tabela.4: Dstrbução de freqüêca das alturas de 30 aluos da dscpla MLI54 do curso de Matemátca (UFU) em 0/00. Alturas (m) f a PM,473,547,5,547,6,584,6,695 7,658,695,769 0,73,769,843 5,806,843,97 4,88 TOTAL 30 33

34 k PM fa =,5 +,584 +, ,73 0 +, ,88 4 x,7 m MEDIANA Para um cojuto de dados ordeados (Rol) a medaa é o valor que é preceddo e segudo pelo mesmo úmero de dados (observações). Isto é, 50% dos dados são superores à medaa e 50% são ferores. Cálculo da medaa:. Quado o úmero de dados () for ímpar, a medaa é dada por: Md = x +, ode + é o ídce da varável (x). Exemplo : Seja a varável X = [ 0,,,3, 4], calcule a medaa. Sabe-se que = 5, ou seja, é ímpar logo a medaa é dada por: Md = x = x = x3 =.. Quado o úmero de dados () for par, a medaa é dada por: + 5+ x + x + Md =, ode e + são ídces da varável (x). Exemplo : Seja a varável X = [ 0,,,3], calcule a medaa. Sabe-se que = 4, ou seja, é par logo a medaa é dada por: x + x x + x x ( ) + x ( 3) + Md = = = = =, 5 Cálculo da Medaa para Dados Agrupados: ) Varável Dscreta: usa-se o mesmo procedmeto feto aterormete para cálculos de medaa. Exemplo 3: Seja a Tabela.7, dos dados agrupados dos º de rmãos, calcule a medaa. Sabe-se que = 30, ou seja, é par logo a medaa é dada por: x + x x + x x ( 5) + x ( 6) + Md = = = = =, 5, 34

35 ou seja, 50% do úmero de rmãos estão abaxo,5 e 50% estão acma. ) Varável Cotíua: Fa atmd Md L f + c Md famd Md, ode: L f Md é o lmte feror da classe medaa; F a atmd é a freqüêca acumulada da classe ateror à classe medaa; f a Md é a freqüêca absoluta da classe medaa; c Md é a ampltude da classe medaa; é o úmero de observações ou dados. Exemplo 4: Seja a Tabela.4, dos dados agrupados das alturas, calcule a medaa. Temos que a classe medaa é aquela classe que cotém o 5º valor, ou seja, a quarta classe é a medaa. Logo a medaa é dada por: Alturas (m),473,547,547,6 4,6,695 7,695,769 0 Classe Medaa,769, ,843, TOTAL Fa atmd Md L f + c,695 0,074,75 Md Md + m fa 0 Md f a Iterpretação: A medaa gual a,75m dca que 50% das alturas estão abaxo de,75m e 50% estão acma de,75m. Propredades da Medaa: F a 35

36 . Somado-se ou subtrado-se uma costate (k) a todos as observações, a medaa também fca somada ou subtraída deste valor, ou seja, x = x ± k etão * * Md = Md ± k. = = de Md =,5. Se Exemplo 5: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,0,5,3] somarmos uma costate ( * k = ) tem-se a ova varável [ 5,3,8, 6] x = com medaa * Md 5,5,5 3 Md k = = + = +.. Multplcado ou dvddo todas as observações por uma costate (k) a medaa também x fca multplcada ou dvdda por essa costate, ou seja, * ou * x = x k x = etão k * * Md Md = Md k ou Md =. k = = de Md =,5. Se Exemplo 6: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,0,5,3] multplcarmos por costate ( * k = ) tem-se a ova varável [ 6, 0,5,9] x = com medaa Md * = 7,5 =,5 3 = Md k. Característcas e Importâca da Medaa:. Pode ser obtda em dstrbuções de freqüêcas que apresetem classes com lmtes defdos;. É muto empregada em pesqusas as quas os valores extremos têm pouca mportâca;. Não é fluecada por valores extremos e sm pelo úmero de observações; v. É mas realsta do que a méda para represetar certas varáves com dstrbuções assmétrcas, como a reda dos brasleros (exstem valores dscrepates). v. Não cosdera todas as observações o seu cálculo MODA A moda de um cojuto de dados é o valor que ocorre com maor freqüêca, sto é, o valor mas comum. Para um cojuto de dados a moda pode ão ser úca, bem como pode ão exstr. Exemplo :,3,4,5,7,7,7,8,9 a moda é Mo = 7 ;,,3,4,7,9,0,3,0 ão possu moda; 36

37 ,,3, 4, 4,8,0,0,3 as modas são Mo = 4 e Mo = 0, dzemos que esta sére e b modal. Cálculo da Moda para Dados Agrupados: ) Varável Dscreta: usa-se o mesmo procedmeto feto aterormete para cálculos da moda, ou seja, a classe que aparece com a maor freqüêca absoluta. Exemplo : Seja a Tabela.7, dos dados agrupados dos º de rmãos, calcule a moda. Observado a colua da freqüêca absoluta, vemos que a de maor freqüêca é a seguda classe com f a =, logo a moda é dada por: Mo =. ) Varável Cotíua: quado os dados estão agrupados, a forma de uma dstrbução de freqüêcas de uma varável cotíua, a moda é o poto do exo das abscssas, correspodete à ordeada máxma da dstrbução. O processo para cálculo da moda em dados agrupados é o geométrco, a partr do hstograma de freqüêcas, cohecdo como Método de Czuber. Este método é baseado a flueca que as classes adjacetes exercem sobre a moda, deslocado-se o setdo da classe de maor freqüêca. Algebrcamete obtém-se a moda da segute forma: = f f ; ode amo aatesmo Mo Lf + c Mo Mo +, = f f ; amo adeposmo L f Mo é o lmte feror da classe modal; c Mo é a ampltude da classe modal. Exemplo 3: Seja a Tabela.4, dos dados agrupados das alturas, calcule a moda. Temos que a classe modal é aquela classe que cotém a maor freqüêca, ou seja, a quarta classe é a modal. Logo a moda é dada por: 37

38 Alturas (m) f a,473,547,547,6,6,695 7,695,769 0,769,843 5,843,97 4 TOTAL 30 = fa fa = 0 7 = 3 = fa fa = 0 5 = 5 Mo atesmo Mo deposmo 3,695 0,074,73 Mo Lf + c Mo Mo + m Propredades da Moda: Classe Modal. Somado-se ou subtrado-se uma costate (k) a todos as observações, a moda também fca somada ou subtraída deste valor, ou seja, x = x ± k etão * * Mo = Mo± k. = = de Mo =. Se Exemplo 4: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,,0,5,3] somarmos uma costate ( * k = ) tem-se a ova varável [ 5,5,3,8, 6] x = com moda * Mo 5 3 Mo k = = + = +.. Multplcado ou dvddo todas as observações por uma costate (k) a moda também fca multplcada ou dvdda por essa costate, ou seja, * * x x = x k ou x = etão k * * Mo Mo = Mo k ou Mo =. k = = de Mo =. Se Exemplo 5: Dados os valores observados gual a x [ x, x, x, x ] [,,0,5,3] multplcarmos por costate ( * k = ) tem-se a ova varável [ 6,6,0,5,9] x = com moda Mo * = 6= 3= Mo k. Característcas e Importâca da Moda:. Não é afetada por valores extremos, a ão ser que estes costtuam a classe modal;. É uma medda bastate utlzada em Estatístca Ecoômca; 38

39 Posção relatva da méda, medaa e moda: Crespo (999) cta que quado uma dstrbução é smétrca, as três meddas cocdem. Porém, a assmetra as tora dferetes de modo que quato maor a assmetra maor será essa dfereça etre as três meddas. Assm, em uma dstrbução em forma de so, temos: a) X = Md = Mo, o caso de curva smétrca; b) X > Md > Mo, o caso de curva assmétrca postva (assmétrca à dreta); c) X < Md < Mo, o caso de curva assmétrca egatva (assmétrca à esquerda); (a) (b) (c) Fgura 7: Formas de dstrbuções em stuações reas: (a) dstrbução em forma de so smétrca; (b) dstrbução assmétrca à dreta; e (c) dstrbução assmétrca à esquerda MEDIDAS DE DISPERSÃO A utlzação de uma medda de posção para substtur um cojuto de dados é sufcete para stetzar a formação ele cotda, como pode ser observado a segur: A = B = C = { 0,0,0,0,0,0,0} {,8,0,0,,,8} {,,0,0,0,3, 4} Calculado a méda, medaa e moda desses três cojutos tem-se: x Md Mo A B C

40 Assm, verfca-se que os três cojutos (A,B,C) apresetam médas, medaas e modas guas a 0 udades, porém observado-os, percebe-se que eles são bem dferetes etre s, pos equato o cojuto A os dados são todos guas, os demas apresetam uma certa varação, sedo que esta varação é maor o cojuto C. Deste modo, para stetzarmos efcetemete a formação de um cojuto de dados temos que assocar à medda de posção utlzada, uma medda de dspersão, que va formar como estes dados se comportam em toro da medda de posção em questão..5.. AMPLITUDE TOTAL (A) em que: A ampltude total é a dfereça etre o maor e o meor valor observado, A = MVO mvo MVO é o maor valor observado, e mvo é o meor valor observado. Para os cojutos A, B e C tem-se: A A A A B C = 0 0 = 0 udades = 8 = 7 udades = 4 = 3 udades Nota-se, etão, que a ampltude do cojuto C é bem maor que os demas. A ampltude é uma medda fácl de ser calculada e é certamete a maera mas atural e comumete utlzada para descrever a varabldade de um cojuto de dados. Porém sua terpretação depede do úmero de observações, mas, o seu calculo ão são cosderadas todas as observações, pos só utlza os valores extremos..5.. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO.5... VARIÂNCIA Uma boa medda de dspersão deve basear-se em todos os dados, ser faclmete calculável e compreesível, além de prestar-se bem ao tratameto algébrco. Uma medda com todas estas característcas é obtda cosderado-se os desvos de cada observação em relação a méda, chamados erros: eï = x x. 40

41 Para obter um úco úmero que represete a dspersão dos dados, pesou-se calmete em obter-se a méda destes desvos, mas deve-se lembrar que a soma dos desvos de um cojuto de dados em relação a sua méda é ula. Etão, optou-se por utlzar a soma dos quadrados dos desvos, pos elevado-se cada desvo ao quadrado elma-se o sal egatvo, que estava trazedo complcações, e dvddo-se a soma dos quadrados dos desvos pelo úmero de observações obtém-se a varâca populacoal que é uma medda quattatva da dspersão de um cojuto de dados etoro da sua méda, além do fato, de esta soma de quadrados de desvos ser míma. SQD V( x) = = = N Para os exemplos aterores tem-se: σ σ σ N = σ ( x ) x ( x x) ( 0 0) + ( 0 0 ) ( 0 0) N = A = = = 0 udades N ( 0) + ( 8 0 ) ( 8 0) B = = udades 7 ( 0) + ( 0 ) ( 4 0) C = = 50 udades 7 7 Observação: Quado estver trabalhado com amostras, a varâca é dada pela soma dos quadrados dos desvos dvdda por (úmero de observações meos um) que é deomado graus de lberdade. Assm, a varâca amostral é dada por: s = N ( x ) x SQD = = Fórmulas computacoas (método prátco) para o cálculo da varâca são dadas por: σ N = = x N e = N N x s = x = = x Prova: 4

42 ( x x) ( ) = s = = x x x+ x = = = x x x x + = = = x x = = = x x + = = = x x = = = x + = = x = = x. = Cálculo da varâca para dados agrupados: ) Varável Dscreta: s k a = = X fa, = k X f ode X é a classe e f a é a freqüêca absoluta a classe. Exemplo (FERREIRA, 005): Na Tabela, abaxo, estão apresetados os dados referetes ao úmero de ovos dafcados da speção feta em uma amostra de 30 embalages de uma dúza cada, de um carregameto para o mercado mucpal de Lavras. Determe a varâca. Tabela : Número de ovos dafcados em uma speção feta em 30 embalages, de uma dúza cada, em um carregameto para o mercado mucpal de Lavras proveete de uma cdade dstate. 4

43 Número de ovos quebrados ( X ) f a Σ 30 Para calcular a varâca temos: s k k X f ( * * * ) = X f = = ( * + * + + * ) = ( ) 33 s = 89 = [ 89 36, 3] =, 87 ( ovos dafcados) ) Varável Cotíua: s k a = = PM fa, = k PM f ode PM é o poto médo da classe e f a é a freqüêca absoluta a classe. Exemplo : Em uma fábrca de peus automotvos a matéra prma para a fabrcação cosste em materas dervados do petróleo, materas stétcos e borracha. As característcas dos dversos tpos de peus fabrcados são determadas pela qualdade do materal empregado em sua fabrcação, e, este setdo dversos testes são aplcados a estes produtos para a medção e verfcação de sua qualdade. Em uma sessão de testes foram realzadas 40 medções e o coefcete de atrto meddo fo dvddo em quatro classes cujos resultados estão mostrados a Tabela, abaxo. Determe a varâca. 43

44 Tabela : Dstrbução de freqüêcas do coefcete de atrto meddo. Classes de Coefcete de Atrto f X Cétco 0,5 0,35 5 0,5 0,35 0,55 0 0,45 0,55 0,75 8 0,65 0,75 0,95 7 0,85 TOTAL 40 - s s s s k PM f = s = ( 5, 4) k = PM f ( 05, * , * 7) = ( 05, * , * 7) = = [ 8 6, 9 ] 40 = 0, 0480 Propredades da varâca:. A varâca de uma costate é ula. V( k ) = 0, k=costate. A varâca de uma soma ou dfereça etre varáves é a soma das varâcas das varáves se estas forem depedetes. V( X ± Y) = V( X) + V( Y) se X e Y forem depedetes. Somado-se ou subtrado-se uma costate (k) a todos dos dados a varâca ão se altera. * * x = x± k V x = V x ( ) ( ) v. Multplcado-se todos os dados por uma costate (k), a varâca fca multplcada por k. * * x = x k V x = k V x ( ) ( ) 44

45 .5... DESVIO PADRÃO Um coveete da varâca é que ela é expressa em udades ao quadrado, ou seja, caso esteja-se trabalhado com o peso corporal de dvíduos, tomados em kg, a varâca destes pesos é expresso em kg, o que causa algumas dfculdades de terpretação. No tuto de resolver este problema trabalha-se com o desvo padrão que é defdo como a raz quadrada postva da varâca, o qual é expresso a mesma udade em que os dados foram coletados. N N X = Desvo Padrão Populacoal: σ = σ = X N. = N Desvo Padrão Amostral: s= s = X =. = X Para dados agrupados em classe o estmador do desvo padrão é: s= k a fapm =. = k f PM O estmador acma pode ser usado substtudo PM, poto médo da classe, por X, valor da categora ou atrbuto da classe, quado os dados são quattatvos dscretos, sto é: s= k a X f = a. = k X f A varâca e o desvo padrão são meddas que só podem assumr valores ão egatvos (postvo e gual a zero) e quato maor for, maor será a dspersão dos dados, ou seja, maor será a varabldade dos dados. Em outras palavras o desvo padrão e a varâca medem a dspersão dos dados em toro da méda. 45

46 Exemplo 3: Para lustrar cálculos de desvo padrão utlzou-se os dados dos exemplos e fetos aterormete. Tem-se que o desvo padrão dos coefcetes de atrto cétco do peu automotvo e o desvo padrão de ovos dafcados são respectvamete: s= s = 0, 0480 = 0, 90 e s= s =, 87 =, 3480 ovos dafcados. Propredades do desvo padrão:. Somado-se ou subtrado-se uma costate (k) a todos dos dados o desvo padrão ão se altera. * * x = x± k s x = s x ( ) ( ). Multplcado-se todos os dados por uma costate (k), o desvo padrão fca multplcado por k. * * x = x k s x = k s x ( ) ( ) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O desvo padrão e a varâca são meddas da varabldade absoluta dos dados. Essas meddas são depedetes da gradeza, escala ou udade de medda empregada para mesurar os dados. Cojutos de dados com dferetes udades de meddas ão podem ter suas dspersões comparadas pela varâca ou pelo desvo padrão. Mesmo para uma úca udade, se os cojutos possuem médas de dferetes magtudes, suas varabldades ão podem ser comparadas por essas meddas de dspersão apresetadas aterormete. Para esta stuação utlza-se o coefcete de varação (CV), pos ele ão depede da gradeza, da escala ou udade de medda empregada para mesurar os dados, ou seja, ão possu udade de medda (medda admesoal). Portato, fca evdete que se deve usar o CV quado se tem dferetes udades de medda e/ou médas de dferetes magtudes. O coefcete de varação populacoal é: CV = σ 00%. µ S O coefcete de varação amostral é: CV = 00%. X Exemplo 4: A méda e o desvo padrão do tempo de vda das lâmpadas de marca A e B são respectvamete: X A = 40, meses, S A = 0,8 meses, X B = 8,0 meses es B =, meses. Qual das 46

47 lâmpadas possu maor uformdade de tempo de vda? Se, ao specoar as estatístcas, apresetadas você fosse duzdo a respoder que a lâmpada (A) sera a que possu maor uformdade e que a razão sera o meor desvo padrão apresetado por ela (0,8 meses), você tera cometdo um erro. O fudameto usado aqu para comparar a varabldade das lâmpadas ão fo correto, uma vez que o desvo padrão é uma medda de varabldade absoluta. Embora as udades ão sejam dferetes, as médas das amostras o são. O procedmeto adequado sera o de estmar o CV para ambas as lâmpadas e compará-los. Logo o coefcetes de varação são : CV A S A 08, = x00 = x00 = 0% X 40, A e CV B SB, = x00 = x00 = 5%. X 80, B lâmpada (A). É fácl verfcar que a lâmpada (B) é a mas uforme, pos possu um meor CV que a ERRO PADRÃO DA MÉDIA É uma medda da dspersão das médas amostras em toro da meda da população, ou seja, é uma medda que forece uma déa da precsão com que a méda fo estmada. O erro padrão da méda é: s X s =, em que s é o desvo padrão amostral e é o tamaho da amostra. 47

48 - PROBABILIDADES. INTRODUÇÃO As orges da probabldade remotam ao século XVI e suas aplcações se lmtavam a jogos de azar. Hoje, a utlzação das probabldades ultrapassou o âmbto dos jogos. O govero e as empresas corporaram a teora das probabldades em seus processos dáros de delberações. O estudo das probabldades dca que exste um elemeto de acaso, ou de certeza, quato à ocorrêca ou ão de um eveto futuro. Assm, em mutos casos é mpossível afrmar por atecpação o que rá ocorrer, mas através de dados hstórcos e da experêca, é possível dzer o quão provável é a ocorrêca de um determado eveto. Exemplos dessa stuação os egócos e o govero: a prevsão da procura de um ovo produto, o cálculo dos custos de produção, a compra de apólces de seguro, o preparo de um orçameto, a avalação do mpacto da redução de mpostos sobre a flação. Tudo sso cotém algum elemeto de acaso. As probabldades são útes o desevolvmeto de estratégas. Por exemplo: se as chaces de lucro são boas, os vestdores setem-se mas clados a aplcar seu dhero; uma empresa pode egocar seramete com um sdcato, quado há forte ameaça de greve; ou pode vestr em ovo equpameto, se há boa chace de recuperar o dhero. As probabldades são utlzadas para exprmr a chace de ocorrêca de determado eveto.. - PROBABILIDADES E ESPAÇO AMOSTRAL Ates de etrarmos o cotexto de probabldade é ecessáro etedermos algus cocetos como: expermeto, espaço amostral e evetos. Deomamos de expermeto aleatóro a todo feômeo ou ação que geralmete pode ser repetdo defdamete sob mesmas codções e cujo resultado é aleatóro. Exemplo: Quado laçamos uma moeda, uma úca vez, estamos fazedo um expermeto cujo resultado será cara ou coroa. 48

49 Deomamos de espaço amostral (Ω) ao cojuto de todos os possíves resultados de um determado expermeto. Exemplos: No laçameto de um dado, o espaço amostral é: Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. No laçameto de uma moeda, o espaço amostral é: Ω = {cara, coroa}. Na speção de uma fábrca, cotado o úmero de acdetes: Ω = {0,,, 3,...}. Deomamos de eveto a todo subcojuto do espaço amostral. Exemplos: Obter um úmero par a face superor do dado: A = {, 4, 6}. Obter um úmero meor que 7 o dado: B = {,, 3, 4, 5, 6} = Ω (eveto certo). Obter um úmero egatvo o dado: C = { }= Φ (eveto mpossível) Outras defções mportates: ) Eveto certo Ω (caracterzado pelo espaço amostral) ) Eveto mpossível Φ. ) Processo aleatóro: Qualquer feômeo que gere um resultado certo ou casual. Exemplo: laçameto de moeda, laçameto de dado, sexo do prmero flho de um casal, peso de pessoas, etc. Característcas ) Pode ser repetdo defdamete sob as mesmas codções. ) Não se cohece a pror (calmete) o resultado, mas todos os resultados possíves podem ser descrtos. Detro deste cotexto, Probabldade pode ser defda como o úmero de evetos (potos ou elemetos) favoráves dvddos pelo úmero de elemetos do espaço amostral: X P =. Em que X é o úmero de evetos favoráves, e úmero de evetos do espaço amostral. 49

50 OPERAÇÕES A segur apresetaremos o Dagrama de Ve para lustrarmos algumas propredades: ) Uão ( ): A B= B A Fgura: Dagrama de Ve. ) Itersecção ( ): A B= B A 3) Complemetar: C A =Ω A (lê-se: complemetar de A ou ão A). Observação Importate: Se A e B são cojutos mutuamete exclusvos (dsjutos) etão, A B=Φ. 50