AULA 2 - Regressão: Fundamentos Conceituais

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1 AULA 2 - Regressão: Fundamentos Conceituais Susan Schommer Econometria I - IE/UFRJ

2 Em econometria, estamos em geral interessados em identificar (empiricamente) a relação funcional entre variáveis econômicas, poĺıticas, sociais... Considere um caso simples: queremos identificar a relação funcional entre duas variáveis, Y (variável dependente) e X (independente). Como já discutimos, por exemplo, queremos saber... Como a inflação se relaciona com a taxa de juros? Como o salário de um trabalhador se relaciona com sua escolaridade? Como crescimento econômico se relaciona com o sistema poĺıtico? Como a taxa de desmatamento responde a poĺıticas de fiscalização?

3 O primeiro passo é supor (e aqui começa a abstração) que existe um modelo populacional por trás da relação entre Y e X. Modelo populacional? Um mecanismo gerador de dados, não observado, e que determina a relação entre Y e X. Mais do que isso: vamos supor que a relação populacional entre Y e X é linear, e definida da seguinte forma: Y = α + βx + u onde: Os termos α e β são parâmetros populacionais: são 2 números, 2 constantes! Para um dado X: α + βx é um termo determinístico. E o termo u é um componente estocástico, um termo de erro ou perturbação: são outros fatores que influenciam Y que não X.

4 Fundamental ter muito claro até aqui: Sabemos (ou melhor, assumimos por hipótese) que o modelo que define a relação entre Y e X existe, e que essa relação é linear.... mas não observamos, e nunca observaremos, o modelo populacional. Dito de outra forma: nunca observaremos u, tampouco α e β. Qual é nosso problema então: Identificar o modelo populacional (descobrir quem são α e β populacionais), essa construção abstrata e não observável, e que é formada em parte por um termo de erro não observado u... a partir do comportamento de Y e X que observamos no mundo real... ou seja, a partir de uma amostra da população.

5 Vejamos um exemplo para fixar ideias: temos 4 indivíduos em que criaremos os dados Cada indivíduo tem um determinado nível educacional (X anos de escolaridade) e ganha um salário mensal (Y reais). Como fomos nós que criamos o mundo, sabemos que o criamos de forma tal que o salário e a renda seguem exatamente esta relação na população: Y = α + βx + u Não apenas isso, como fomos nós que criamos o mundo, sabemos também qual é o valor de α e β (digamos, e 160).

6 Por fim, ao criar o mundo, escolhemos aleatoriamente, para cada indivíduo, um valor para u (que sintetiza a influência de outras variáveis, que não X, sobre Y). Em particular, deverão valer: E(u) = 0 e E(u X) = 0 Assim, para um dado valor de X, a realização do sorteio de u determina Y. Logo, para uma distribuição inicial de X, uma determinada realização dos u s gera 4 pontos em um gráfico no R 2 : um par (X, Y) para cada indivíduo. Por exemplo, seja α = 1000, β = 160 e a realização de um sorteio descrita pelo vetor u = { 140, 620, 820, 340}. Logo temos:

7 Graficamente, o mundo criado por nós é este...

8 Antes de redefinir o nosso problema, neste contexto específico, um último exercício de abstração: Imaginem que somos capazes de sortear o vetor u uma infinidade de vezes. Mais do que isso: suponha que u está variando continuamente na população. Vamos pensar então em cada realização de u como sendo um retrato dessa população: tiramos o retrato, e a partir dele somos capazes de plotar 4 pontos no gráfico anterior. Logo, para cada retrato, teremos uma nuvem distinta de pontos no plano. Vamos chamar esse retrato de uma amostra da população.

9 Qual é então o problema do econometrista? Nosso objetivo consiste em identificar o modelo populacional não observado (ou seja, descobrir quem são os parâmetros α e β não observados) a partir de uma amostra da população ou seja, a partir de uma única nuvem de pontos, ou um único retrato da população. Logo, para cada ponto no gráfico, para um dado X, não somos capazes de decompor o Y em parte determinística e parte estocástica. Graficamente, a única coisa que observamos é...

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11 Qual é então o problema do econometrista? Na prática: traçar através de uma nuvem de pontos uma reta que seja uma boa aproximação da reta populacional onde traçar uma reta no plano significa encontrar um coeficiente de intercepto e um de inclinação.... e onde a cada amostra, pela natureza estocástica de u, teremos uma nuvem de pontos distinta.... e provavelmente traçaremos uma reta distinta. Quem são α e β populacionais? Nunca saberemos. O melhor que fazemos é buscar por uma boa aproximação destes parâmetros ao traçar uma reta através de uma nuvem de pontos.

12 Fundamentação: importância de E(u X) = 0 Antes de seguir adiante, vamos entender melhor a importância da validade da hipótese E(u X) = 0 Suponha que não vale E(u X) = 0; mais especificamente, suponha que u e X são positivamente correlacionados na população. Logo, Cov(X, u) > 0... por exemplo, ao aumentarmos escolaridade X, E(u X) tende a aumentar. Assim, valores mais altos para u tenderão a deslocar a nuvem de pontos (nossa amostra aleatória, ou o que observamos) para cima da reta populacional para valores mais altos de X... Consequência: como observamos apenas a nuvem de pontos, e não os erros u, tenderemos a traçar uma reta mais inclinada que a reta populacional.

13 Fundamentação: importância de E(u X) = 0

14 Estimação: Preliminares Já estamos quase prontos para começar o tópico de estimação: afinal, veremos que traçar uma reta é estimar um coeficiente de intercepto e um de inclinação, um exercício algébrico bastante simples. Antes, contudo, uma definição importante: Suponha que temos uma amostra aleatória (os quatro pontos do mundo hipotético) e que traçamos uma reta qualquer por esses pontos. Vamos chamar essa reta de reta estimada, e denotá-la por Ŷ = ˆα + ˆβX. Ou seja, estimamos os coeficientes ˆα e ˆβ. Logo, para um dado X, encontramos Ŷ, chamado de Y ajustado. Vamos definir então por resíduo, denotado û, a diferença û = Y Ŷ. Graficamente...

15 Estimação: Preliminares

16 Estimação: Preliminares Note, portanto, que ao traçar (estimar) uma reta, encontramos os resíduos: um para cada observação da amostra. No exemplo anterior encontramos um vetor û, de dimensão 4 1. Fundamental saber que: naturalmente, para cada reta estimada, encontramos um vetor distinto de resíduos. Mais do que fundamental é ter muito clara a distinção entre u e û... O termo u é uma definição teórica que sintetiza a influência de outros fatores sobre Y que não X... um componente não observável de erro estocástico do modelo populacional. O termo û é uma definição operacional (algébrica), portanto observável; ele é calculado a partir do momento em que estimamos uma reta qualquer com base em uma amostra da população.

17 Estimação: Preliminares Vamos então aprender a estimar o modelo populacional. Vamos antes reunir tudo o que supomos até aqui, e mais um pouco... Suponha que valem as seguintes hipóteses: Modelo populacional existe, com linearidade nos parâmetros: Y = α + βx + u E(u) = 0 e E(u X) = 0 Temos uma amostra aleatória da população para X e Y: {(X i, Y i ), i = 1, 2,..., n}, tamanho n. Temos que aprender então como usar esses dados (a amostra) para estimar os parâmetros populacionais α e β não observados.

18 Estimação: Preliminares Mas que dados são esses? No nosso exemplo com 4 observações, seriam os 4 pares (X, Y ). Isso é tudo o que observamos. Podemos então escrever um modelo de regressão baseado na amostra (X i, Y i ): Y i = α + βx i + u i Onde o par (X i, Y i ) é observado para todo i, subscrito para o indivíduo i = 1, 2,..., n; e onde, naturalmente, u i não é observado. Vamos agora usar esses dados para estimar uma reta.

19 Estimação: Preliminares Existem distintos métodos de estimação em econometria, por exemplo: Método de Momentos. Método dos Mínimos Quadados Ordinários, MQO. Método da Maximaverossimilhança (modelos não lineares, necessária hipótese sobre distribuição). Método de Momentos Generalizado (método geral, métodos acima são casos particulares).