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2 AULA 001 MATEMÁTICA PROFESSOR VICTOR ROCHA (VITINHO) 2

3 AULA 06 SISTEMAS LINEARES SISTEMA Um sistema de equações com duas incógnitas é formado por duas equações com duas incógnitas diferentes em cada equação. Ex.: x + y = 30 x y = 10 Para resolver o sistema é preciso encontrar o par ordenado (x,y) que satisfaça as duas equações do sistema. Isso pode ser feito utilizando dois métodos distintos: o Método da Substituição e o Método da Adição. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Esse método consiste em isolar uma das duas incógnitas em uma das equações e a substituir na outra equação, de modo que se obtenha uma equação do 1º grau com apenas uma incógnita. Em seguida resolve-se a equação do 1º grau encontrada e, por fim, substitui-se o valor obtido em qualquer uma das equações que formam o sistema. Ex.: x + y = 3 (I) x y = 1 (II) 1º passo: Isolar uma das incógnitas em qualquer das equações do sistema Isolando x na equação (II): x = 1 + y 2º passo: Substituir a incógnita isolada na outra equação do sistema e resolver a equação do 1º grau obtida. Substituindo x na equação (I): (1 + y) + y = y = 3 2y = 3 1 2y = 2 y = 1 3º passo: Aplicar o valor encontrado em qualquer uma das equações que formam o sistema. Aplicando o valor y = 1 na equação (I): x + 1 = 3 x = 3 1 x = 2 Logo, para o sistema dado, x = 2 e y = 1. Portanto, o par ordenado (x,y) que satisfaz o sistema apresentado é (2,1). COMMENT: Lembre-se que o nome PAR ORDENADO não é à toa!!! Se é ORDENADO é porque existe uma ordem a ser seguida: o primeiro valor é referente a x e o segundo valor é referente a y. 3

4 MÉTODO DA ADIÇÃO Esse método consiste em alterar as equações originais do sistema de tal forma que, ao se somar as equações, a soma de uma das incógnitas seja ZERO! Para isso é necessário deixar as incógnitas que se deseja ZERAR com sinais opostos e com o mesmo coeficiente. Ex.: x + y = 4 (I) x + 3y = 8 (II) 1º passo: Escolher a incógnita que se deseja zerar. Para esse sistema o mais sensato é multiplicar a primeira equação por ( 1), pois assim, após efetuarmos a soma das equações, eliminaremos a incógnita x. Porém, nada impede que se elimine a incógnita y. Se esse fosse o caso, bastaria multiplicar a primeira equação por ( 3) e realizar a soma das equações. Multiplicando a equação (I) por ( 1) temos: 2º passo: Realizar a soma das equações. Somando as equações (I) e (II) temos: x x + 3y y = y = 4 2y = 4 y = 2 x y = 4 (I) x + 3y = 8 (II) 3º passo: Substituir o valor encontrado em qualquer uma das equações que formam o sistema. Substituindo y = 1 na equação (II) temos: x + 3 (2) = 8 x + 6 = 8 x = 8 6 x = 2 Logo, para o sistema dado, x = 2 e y = 2. Portanto, o par ordenado (x,y) que satisfaz o sistema em questão é (2,2). 01) Verifique se: a) (3, -1) é uma solução do sistema 4

5 2x 5y = 11 3x + 6y = 3 b) (4, 1, 3) é uma solução do sistema 2x + y z = 6 x + 3y + 2z = 13 02) Resolva cada sistema linear pelo método da adição: x + y = 20 a) 3x + 4y = 72 x y = 17 b) 6x + 8y = 46 03) Anderson Brasil gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia Marcio Tadeu perguntou-lhe quantos poodles e quantos gatinhos ele tinha. Prontamente Brasil respondeu com o seguinte enigma: A soma do dobro do número de poodles e do triplo do número de gatinhos é igual a 17. E a diferença entre o número de poodles e de gatinhos é apenas 1. Quantos poodles e quantos gatinhos Anderson Brasil possui? 04) Em sua rua, Sieffermann observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua do professor Sieffermann? 05) (Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) ) (Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é: a) 8 b) 4 c) 0 d) - 4 e) ) Em uma sorveteria, o preço de 3 sorvetes e 1 garrafa de água é de R$ 12,00. Ângelo comprou dois desses sorvetes e três garrafas dessa água e pagou R$ 15,00. O valor de uma garrafa de água é: a) R$ 1,00 b) R$ 1,50 c) R$ 2,00 d) R$ 2,50 e) R$ 3,00 08) (TJSP) Numa fazenda há ovelhas e avestruzes, totalizando 90 cabeças e 260 patas. Comparando-se o número de avestruzes com o das ovelhas, pode-se afirmar que há: a) igual número de ovelhas e de avestruzes b) dez cabeças a mais de ovelhas c) dez cabeças a mais de avestruzes d) oito cabeças a mais de ovelhas e) oito cabeças a mais de avestruzes 5

6 09) (SEAP) Um determinado presídio abriga um total de 376 detentos em 72 celas. Sabe-se que uma parte dessas celas abriga 4 detentos por cela, e que a outra parte abriga 6 detentos por cela. O número de celas com 4 detentos é igual a: a) 46 b) 42 c) 30 d) 28 e) 24 10) (PMES Soldado 2ª Classe) Uma pessoa comprou vários sabonetes, todos da mesma marca, alguns com 50 g e outros com 90 g, num total de 40 unidades. O preço de um sabonete de 50 g era R$ 0,70 e o de 90 g era R$ 1,20. Sabendo-se que no total dessa compra foram gastos R$ 35,50, então o número comprado de sabonetes de 50 g foi: a) 27 b) 25 c) 23 d) 20 e) 18 GABARITO QUESTÃO 01 a) é solução; b) é solução QUESTÃO 02 a) (8, 12); b) (13, -4) QUESTÃO 03 4 poodles e 3 gatinhos QUESTÃO motocas e 7 carros QUESTÃO 05 LETRA C QUESTÃO 06 LETRA D QUESTÃO 07 LETRA E QUESTÃO 08 LETRA C QUESTÃO 09 LETRA D QUESTÃO 09 LETRA B 6