Departamento de Matemática - IST(TP)

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1 Departamento de Matemática - IST(TP) Secção de Estatística e Aplicações Probabilidades e Estatística LEIC+LERC+LEE 2 o Exame/2 o Teste 2 o Semestre/2 a Época 2007/08 Duração: 3 horas/1 hora e 30 minutos 10/07/08 9 horas Nome: Número: Curso: Assinale a prova que vai entregar: 2 o Teste Exame Se pretender fazer apenas o 2 o Teste, deverá responder aos grupos III e IV. Nesse caso terá 1 hora e 30 minutos, e as cotações são o dobro das indicadas. Se pretender fazer o exame deverá responder a todos os grupos. Justifique convenientemente todas as respostas! O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV NOTA FINAL 6.5 Val 3.5 Val 6.0 Val 4.0 Val Página 1 de 14

2 Grupo I val. 1. Um aluno do ensino secundário pretende concorrer ao curso de medicina na Universidade de Coimbra e na Universidade do Porto. Atendendo às suas classificações e ao que sabe sobre a procura destes cursos e as disponibilidades existentes naquelas universidades, o aluno admite que a probabilidade de ser admitido em Coimbra é de 0.3, de ser admitido no Porto é de 0.4 e de ser admitido simultaneamente nas duas universidades é de 0.2. Nestas condições calcule a probabilidade de o aluno ser admitido em Coimbra sabendo que: (i) foi admitido no Porto, (ii) não foi admitido no Porto, Página 2 de 14

3 (iii) não foi admitido em nenhuma das duas universidades, (iv) foi admitido apenas em uma das universidades. (2.0) 2. A organização financeira de um casal inclui despesas comuns e despesas feitas individualmente por cada membro do casal. As despesas diárias (em euros) da mulher e do homem são independentes e são descritas por distribuições normais N(10, 16) e N(12, 4), respectivamente. (a) Indique o 3 o quartil das despesas de cada um dos membros do casal. Como interpreta os valores obtidos? (1.0) Página 3 de 14

4 (b) Determine a probabilidade do total das despesas individuais do casal durante um mês (30 dias) não ultrapassar os 615 euros. Em média, em quantos meses durante o ano é que isso acontece? (2.5) Página 4 de 14

5 (c) Considere a média amostral das despesas de cada um dos membros do casal referente a um mês (30 dias) e calcule, em cada um dos casos, a probabilidade dessa média ser maior do que 12 euros. (1.0) Página 5 de 14

6 Grupo II val. Como se sabe, conhecida a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias é possível deduzir a partir dela as distribuições marginais de cada uma das variáveis. (a) Acha que a situação contrária, isto é construir a conjunta a partir das marginais, também é verdadeira? Para fundamentar a sua resposta, analise as seguintes tabelas respeitantes a dois pares de variáveis: X 1 \Y X 2 \Y (1.0) (b) Considere que na primeira tabela X 1 representa o número de chamadas telefónicas que uma pessoa faz do seu telefone fixo e Y 1 o número de chamadas que essa mesma pessoa recebe nesse telefone, no período de um dia. Determine a função de probabilidade do módulo da diferença do número de chamadas realizadas e recebidas, isto é de W = X 1 Y 1. Identifique a nova variável e indique o seu valor esperado e a sua variância. (2.0) Página 6 de 14

7 (c) Qual a distribuição de W 2? (0.5) Página 7 de 14

8 Grupo III val. 1. Considere uma variável aleatória X com distribuição de P oisson de valor médio igual a λ e uma amostra aleatória X 1,..., X n. (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhança do valor médio de X. (1.0) n (b) Considere X i=1 = X n i e S 2 i=1 = (X i X) 2 dois estimadores de λ. Sabendo n n 1 que S 2 é um estimador centrado e que V AR(S 2 ) = 2λn + n 1, diga qual dos dois n(n 1) estimadores recomendaria para estimar λ. (1.0) Página 8 de 14

9 2. Um funcionário de um supermercado procede diariamente à embalagem de rebuçados em pequenos sacos que devem conter 55 gramas. A pesagem rigorosa de 10 sacos mostrou os seguintes valores: Peso (gramas) pelo que x = e s 2 = Sabe-se ainda que a distribuição do peso dos sacos é normal N(µ, σ 2 ). (a) Acha que os dados são consistentes com a hipótese do valor médio ser de facto 55 gramas? Responda recorrendo ao valor p (basta indicar um intervalo que contenha esse valor p). (1.5) Página 9 de 14

10 (b) (i) Construa um intervalo de confiança a 95% para o valor médio do peso dos sacos. No contexto do intervalo de confiança mostra-se que o erro máximo cometido, ao usar x como estimativa da média µ, é igual a metade da amplitude do intervalo de confiança. Diga então qual é o valor desse erro máximo cometido? (1.5) Página 10 de 14

11 (ii) Admita agora que, em vez da amostra concreta, se tem uma amostra de dimensão n e que a variância do peso dos sacos é conhecida, σ 2 = 4. Apresente o novo intervalo de confiança a 95%, relativo a esta amostra, e escreva a expressão do erro máximo em função de n. Qual é a dimensão mínima da amostra para que aquele erro seja menor do que 0.2? (1.0) Página 11 de 14

12 Página 12 de 14

13 Grupo IV val. Sabe-se de longa data que o valor do colesterol tende a aumentar com a idade. Considere os seguintes dados observados em 12 pessoas examinadas ao acaso: Idade (anos) x Colesterol (mg/100 ml) Y (a) Admitindo que a tendência é linear, considere a regressão linear simples e use os dados disponíveis (ou os valores das expressões que se encontram a seguir) para determinar a estimativa da recta de regressão dos mínimos quadrados. 12 x i = y i = x 2 i = y 2 i = x i y i = i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 (1.5) (b) Acha que os dados contêm evidência suficiente que favorece a ideia da existência de uma relação linear? Responda usando um nível de significância de 1%. (1.5) Página 13 de 14

14 (c) Calcule uma estimativa do acréscimo do valor esperado do colesterol correspondente a um acréscimo de 1 ano da idade das pessoas. (0.5) (d) O que pode dizer sobre a qualidade do ajustamento do modelo aos dados fornecidos? (0.5) Página 14 de 14