Probabilidades e Estatística

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1 Departamento de Matemática - IST(TP) Secção de Estatística e Aplicações Probabilidades e Estatística 1 o Exame/1 o Teste/2 o Teste 2 o Semestre/1 a Época 2008/09 Duração: 3 horas/1 hora e 30 minutos 16/01/09 15 horas Nome: Número: Curso: Assinale a prova que vai entregar: 1 o Teste 2 o Teste Exame DOCENTE: SALA: Se pretender fazer apenas o 1 o Teste, deverá responder aos grupos I e II. Nesse caso terá 1 hora e 30 minutos, e as cotações são o dobro das indicadas. Se pretender fazer apenas o 2 o Teste, deverá responder aos grupos III e IV. Nesse caso terá 1 hora e 30 minutos, e as cotações são o dobro das indicadas. Se pretender fazer o Exame deverá responder a todos os grupos. Justifique convenientemente todas as respostas! O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV NOTA FINAL 7.0 Val 3.0 Val 6.0 Val 4.0 Val Página 1 de 10

2 Grupo I val. 1. Foi desenvolvido um novo antivírus e, de forma a testar a sua eficiência, foi instalado num servidor de uma universidade. De acordo com as observações concluíu-se que: - 97% das mensagens infectadas por vírus são eliminadas; - 3% de mensagens serão eliminadas e não têm virus. Sabendo que nesse conjunto de mensagens 15% estão infectadas, determine: a) A probabilidade de uma mensagem ser eliminada. (1.0) b) A probabilidade de uma mensagem estar realmente infectada pelo vírus quando esta (1.0) é eliminada. Página 2 de 10

3 2. O agente imobiliário Sr. António vende em média 1 apartamento por semana de acordo com um Processo de Poisson. O Sr. António é muito generoso e quando vende 3 ou mais apartamentos numa semana dá bónus à sua secretária. Calcule: a) A probabilidade da secretária ganhar bónus numa semana. (1.0) Nota: Se não resolveu a alinea a) considere que a probabilidade da secretária ganhar bónus numa semana é 0.1. b) A probabilidade da secretária ganhar 2 ou mais bónus num mês (4 semanas). (1.5) c) A probabilidade de ser necessário esperar pelo menos 3 semanas até que a secretária (1.5) ganhe bónus. Página 3 de 10

4 d) Qual o número mais provável de andares vendidos pelo Sr. António em duas sema- (1.0) nas? Página 4 de 10

5 Grupo II val. Suponha que num dia o tempo, T, de espera na estação (em minutos) até à chegada de um comboio, é modelado por uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade: f(t) = c e t 15, t > 0. a) Mostre que a constante c = (0.5) b) Qual a probabilidade de se ter que esperar entre 15 e 30 minutos pelo comboio? (1.0) Página 5 de 10

6 c) Qual é a probabilidade (aproximada) de em 60 dias o tempo total de espera até à (1.5) chegada do comboio ser, no máximo, 16 horas? Página 6 de 10

7 Grupo III val. 1. Durante a época de saldos, um lote de camisolas de mulher foi posto à venda. Sabese, no entanto, que algumas destas camisolas têm defeitos mas o fabricante garante ter o processo de fabrico controlado e afirma que só 10% de camisolas têm defeitos. Foi recolhida numa amostra de 100 destas camisolas e constactou-se que 15 apresentavam defeitos. a) Deduza a estimativa de máxima verosimilhança da proporção populacional de camiso- (1.5) las com defeitos e concretize-a para a amostra anterior. b) Construa um intervalo de confiança a aproximadamente 95% para a proporção popu- (1.5) lacional de camisolas defeituosas. Página 7 de 10

8 c) Acha que se pode afirmar que o processo de fabrico está controlado? Responda (1.5) usando um teste de hipóteses e calcule o valor-p. d) Mostre que a variância amostral não corrigida é dada por S 2 n = n i=1 (X i X) 2 /n = (1.5) X(1 X), onde X i denota o i-ésimo valor da amostra aleatória e X a respectiva média amostral. Página 8 de 10

9 Grupo IV val. Os dados do quadro seguinte representam os quocientes de inteligência, QI, (x) e os respectivos resultados num dado teste (Y ) para 19 indivíduos: i x i y i e 19 i=1 x i = 2065, 19 i=1 y i = 1345, 19 i=1 x2 i = , 19 i=1 y2 i = e 19 i=1 x iy i = Com base nestes valores foi ajustado um modelo de regressão linear simples usando x como variável explicativa. a) Obtenha as estimativas dos minímos quadrados de todos os parâmetros do modelo, in- (1.0) cluindo a variância da nota do teste. b) Calcule uma estimativa da diferença das notas esperadas dos testes de dois indivíduos (1.0) cujos QI s diferem de 20 unidades. Como interpreta este resultado? Página 9 de 10

10 d) Calcule o valor do resíduo para a 10 a observação. (0.5) c) Acha que é útil usar o coeficiente de inteligência para predizer a nota esperada do teste (1.5) com base no modelo adoptado (responda usando um nível de significância de 5%)? Página 10 de 10