COMENTÁRIO AFRM/RS 2012 ESTATÍSTICA Prof. Sérgio Altenfelder

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1 Comentário Geral: Prova muito difícil, muito fora dos padrões das provas do TCE administração e Economia, praticamente só caiu teoria. Existem três questões (4, 45 e 47) que devem ser anuladas, por tratarem de assuntos não abordados no edital, Espero que o Bom senso prevalece por parte da banca e que estas questões sejam anuladas. As questões 44, 48 e 50 são de assuntos não abordados em nosso curso. Amostragem, Séries temporais integradas e Teste de Significância do coeficiente angular. Ainda bem que não caiu outros assuntos não abordados em nosso curso. A tragédia poderia ser maior. Espero que com as três questões fora do edital sejam anuladas para ajudar aqueles que não conseguiram fazer o mínimo exigido na prova. 41 Considere as afirmações abaixo: I. O coeficiente de variação é a razão entre o variância (absoluta) e o quadrado da média aritmética. II. A variância é um número maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1. III. A mediana é maior que o segundo quartil e menor que o terceiro quartil. É correto afirmar que (A) apenas a afirmativa I está correta. (B) apenas a afirmativa II está correta. (C) apenas a afirmativa III está correta. (D) apenas as afirmativas I e II estão corretas. (E) as afirmativas I, II e III estão incorretas. Comentário: Questão Fácil. Assunto MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE. I. O coeficiente de variação é a razão entre o variância (absoluta) e o quadrado da média aritmética. Errado. O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média aritmética. II. A variância é um número maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1. Errado. A variância nunca poderá ser negativa e também não possui limites. III. A mediana é maior que o segundo quartil e menor que o terceiro quartil. Errado. A mediana é igual ao segundo quartil e menor que o terceiro quartil. LETRA E 1

2 4 - Considere X uma variável com distribuição uniforme no intervalo (,4). A função densidade de probabilidade da variável Y = X + 5 é: (A) 1/, no intervalo (,4). (B) 1/4, no intervalo (,4). (C) 1/, no intervalo (9,13). (D) 1/4, no intervalo (9,13). (E) 1/3, no intervalo (9,13). Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Fácil. Assunto DISTRIBUIÇÃO UNIFORME. A probabilidade de uma distribuição uniforme é dado pela fórmula valor do intervalo em estudo e a é o menor valor deste intervalo. 1, onde b é o maior b a Encontrando o maior e o menor valor para Y Y =.X + 5 Y =. + 5 = 9 Y = = 13 Intervalo em estudo de Y é (9,13) 1 b a LETRA D Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 009 RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do anexo da disciplina estatística): 4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório; variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.. Estatística descritiva: apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência (amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral; evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes; dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade: variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de Poisson Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e nãoprobabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado ( ), distribuição t e distribuição F Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal) Análise de variância (ANOVA) Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis

3 binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F); utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade; multicolinearidade Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base Números relativos Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base Análise de séries temporais. Não existe a matéria DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE sendo cobrada no concurso. Portanto, solicito a anulação desta questão, uma vez que tal tópico não é contemplado no edital.. O edital menciona Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição exponencial;.... Distribuição uniforme é um tipo de distribuição contínua, e este tipo não foi mencionado na ementa da matéria estatística, reforçando a hipótese de que a questão deve ser anulada. 3

4 43 - Dois empregados são escolhidos aleatoriamente em uma empresa. A probabilidade de pelo menos um apresentar altura inferior à mediana é: (A) 0,15. (B) 0,50. (C) 0,750. (D) 0,500. (E) 0,875. Comentário: Questão Fácil. Assunto PROBABILIDADE: REGRA DO PELO MENOS UM. A probabilidade de algum empregado ter altura inferior à mediana é 0,5 e a probabilidade de algum empregado ter altura maior ou igual à mediana também é 0,5 Basta usar a regra do Pelo menos um: 1 P(não quero) P(não quero) = P(altura maior ou igual à mediana) * P(altura maior ou igual à mediana) P(não quero) = 0,5 * 0,5 = 0,5 Usando a regra do Pelo menos um, temos: 1 P(não quero) 1 0,5 0,75 LETRA C 4

5 44 - Considere X 1, X, X 3, X 4, elementos de uma amostra aleatória simples de tamanho 4 retirada de uma população de média e desvio padrão diferentes de zero. Sejam os estimadores A = (X 1 +X +X 3 +X 4 )/4 e B = (X 1 +X +X 3 )/3. Analise as afirmações abaixo. I. A é um estimador não tendencioso de µ. II. B é um estimador não tendencioso de µ. III. A variância de A é maior que a variância de B. É correto afirmar que: (A) apenas I está correto. (B) apenas II está correto. (C) apenas III está correto. (D) apenas I e II estão corretos. (E) apenas II e III estão corretos. Comentário: Questão Fácil. Assunto ESTIMATIVA PONTUAL. Apesar da questão ser classificada como fácil, não abordamos esse assunto em sala de aula. Meus alunos erraram. Para resolver esta questão o aluno precisava lembrar: A media de uma amostra é igual a média da população. A variância de uma amostra é n Quando o primeiro item acontecer, chamamos os valores da média de estimador não tendencioso. Sendo assim temos: X 1 = X = X 3 = X 4 = Logo A = B = Variância de X 1 = Variância de X = Variância de X 3 = Variância de X 4 = Sendo assim A e 4 B 3 I. A é um estimador não tendencioso de µ. II. B é um estimador não tendencioso de µ. III. A variância de A é maior que a variância de B. ERRADO. A variância de A é menor que a variância de B. LETRA D 5

6 45 - Considere o modelo de regressão linear clássico, Y i = β X i + i estimado pelo método de mínimos quadrados (ordinário) com base em uma amostra de n pares de valores (X i,y i ) e as afirmações abaixo: I. se existir autocorrelação nos resíduos, os estimadores continuarão sendo não viesados (não tendenciosos) e consistentes. II. quanto maior for a variância da variável explicativa X, menor será o erro padrão do coeficiente angular 1. III. se 1 = 1, a correlação linear entre as variáveis é perfeita (ρ XY = 1). É correto afirmar que: (A) apenas I está correto. (B) apenas II está correto. (C) apenas III está correto. (D) apenas II e III estão corretos. (E) apenas I e II estão corretos. Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Difícil. Assunto ANÁLISE DE REGRESSÃO. I. se existir autocorrelação nos resíduos, os estimadores continuarão sendo não viesados (não tendenciosos) e consistentes. II. quanto maior for a variância da variável explicativa X, menor será o erro padrão do coeficiente angular 1. III. se 1 = 1, a correlação linear entre as variáveis é perfeita (ρ XY = 1). ERRADO. O coeficiente angular não representa o valor do coeficiente de correlação, ele apenas indica se o coeficiente de correlação é positivo ou negativo. Neste item, apenas podemos afirmar que o valor do coeficiente de correlação é um número entre zero e um, isto é, um valor positivo. LETRA E Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 009 RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do anexo da disciplina estatística): 4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório; variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.. Estatística descritiva: apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência (amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral; evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes; dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade: variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de Poisson Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição 6

7 exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e nãoprobabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado ( ), distribuição t e distribuição F Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal) Análise de variância (ANOVA) Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F); utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade; multicolinearidade Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base Números relativos Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base Análise de séries temporais. Não existe a matéria autocorrelação, nem mesmo análise de regressão (tópico onde se usa a autocorrelação), sendo cobrada no concurso. Portanto, solicito a anulação desta questão, uma vez que tal tópico não é contemplado no edital Se, em determinado período de tempo, o salário aumenta 0% e a inflação 5%, a perda, em percentual, de poder aquisitivo do salário foi de: (A) 4%. (B) -5%. (C) 5% (D) 4,167%. (E) 1,5%. Comentário: Questão Mediana. Assunto NÚMERO ÍNDICE. Para calcular o ganho ou perda do poder aquisitivo, devemos considerar que para um indivíduo, manter seu poder aquisitivo, ele deve ganhar um aumento igual ao da inflação. Como este indivíduo não ganhou este aumento e sim um aumento menor, ele terá perda do poder aquisitivo. Assim, supondo 100 como seu salário antes da existência de inflação, teremos que considerar seu salário igual a 15 para que ele continue comprando 100% do que ele precisa, como seu salário aumentou 0%, temos o valor de 10 para verificar o quanto ele consegue comprar. Veja abaixo a resolução da questão: % X Fazendo a regra de três, encontraremos com o valor de 96%. Assim seu poder aquisitivo reduziu 4%. LETRA A 7

8 47 - Considere as afirmações sobre Números Índices: COMENTÁRIO AFRM/RS 01 I. o índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do valor dos bens no período base. II. o índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do valor dos bens no período atual. III. o índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Laspeyres e de Paasche. É correto afirmar que: (A) apenas I está correto. (B) apenas II está correto. (C) apenas III está correto. (D) apenas I e II estão corretos. (E) apenas II e III estão corretos. Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Mediana. Assunto NÚMERO INDICE. I. o índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do valor dos bens no período base. II. o índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do valor dos bens no período atual. ERRADO. O índice de preços de Paasche é uma média harmônica de relativos de preços ponderados pela participação do valor dos bens no período atual. III. o índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Laspeyres e de Paasche. ERRADO. O índice de Fisher é uma média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche. LETRA A Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 009 RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do anexo da disciplina estatística): 4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório; variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.. Estatística descritiva: apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência (amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral; evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes; dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade: variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de Poisson Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e não- 8

9 probabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado ( ), distribuição t e distribuição F Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal) Análise de variância (ANOVA) Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F); utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade; multicolinearidade Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base Números relativos Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base Análise de séries temporais. Não existe a matéria INDICE DE FISHER sendo cobrada no concurso. Portanto, solicito a anulação desta questão, uma vez que tal tópico não é contemplado no edital.. O edital menciona Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base.;.... Repare que o INDICE DE FISHER não foi mencionado na ementa da matéria estatística, reforçando a hipótese de que a questão deve ser anulada. 9

10 48 - Testando-se a significância do coeficiente angular de um modelo clássico de regressão linear simples verificou-se um valor-p = 0,004. Considere as afirmações: I. O erro tipo II é 0,004. II. O coeficiente é significante a um nível de 99%. III. A potência do teste é (1 0,004). É correto afirmar que (A) apenas I está correto. (B) apenas II está correto. (C) apenas III está correto. (D) apenas I e II estão corretos. (E) apenas II e III estão corretos. Comentário: Questão Difícil. Assunto TESTE DE SIGNIFICÂNCIA DO COEFICIENTE ANGULAR. Não abordamos esse assunto em sala de aula. Meus alunos erraram. I. O erro tipo II é 0,004. ERRADO. O erro tipo I que é 0,004 II. O coeficiente é significante a um nível de 99%. III. A potência do teste é (1 0,004). ERRADO. Falta explicar LETRA B 10

11 49 - Considere um teste de hipótese bilateral, em que a hipótese nula (ou hipótese básica) é H o : = 0, a hipótese alternativa é H a : 0, e o nível de significância é α e as afirmações abaixo: I. há α de probabilidade de aceitar H o, sendo H o falsa. II. há α de probabilidade de rejeitar H o, sendo H o verdadeira. III. há α de probabilidade de rejeitar H o, sendo H o falsa. É correto afirmar que (A) apenas I está correto. (B) apenas II está correto. (C) apenas III está correto. (D) apenas I e II estão corretos. (E) apenas II e III estão corretos. Comentário: Questão Mediana. Assunto TESTE DE HIPÓTESE. Para acertar essa questão basta lembrar a definição de nível de significância, existente em nossa apostila. Nível de significância : É definida como a probabilidade de cometer o erro de tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula (Ho), quando ela é verdadeira. Logo apenas o item II esta correto. LETRA B 11

12 50 - Considere as afirmações abaixo sobre regressão e modelos de séries temporais. I. O processo Y t = Φ 1 Y t-1 + t, onde t ruído branco, é estacionário para qualquer Φ 1. II. Se uma série temporal Y t necessitar ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, então Y t é integrada de ordem n-1. III. Na regressão linear de séries temporais, Y t = β 1 + β.x t + µ t, com Y t e X t integradas de ordem 1, e µ t, resíduo da regressão, integrada de ordem zero, então Y t e X t são séries co-integradas. É correto afirmar que (A) apenas I está correta. (B) apenas I e II estão corretas. (C) apenas III está correta. (D) apenas II e III estão corretas. (E) apenas I e III estão corretas. Comentário: Questão Difícil. Assunto Séries Temporais e Regressão. Não abordamos esse assunto em sala de aula. Meus alunos erraram. I. O processo Yt = Φ 1 Y t-1 + t, onde t ruído branco, é estacionário para qualquer Φ 1. ERRADO. Falta explicar II. Se uma série temporal Y t necessitar ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, então Y t é integrada de ordem n-1. ERRADO. Falta explicar III. Na regressão linear de séries temporais, Yt = β 1 + β.x t + µ t, com Y t e X t integradas de ordem 1, e µ t, resíduo da regressão, integrada de ordem zero, então Y t e X t são séries co-integradas. LETRA C 1