Exemplo Regressão Linear Simples

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1 Exemplo Regressão Linear Simples Gilberto A. Paula Departamento de Estatística IME-USP, Brasil 1 o Semestre 2013 G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

2 Área e Preço de Imóveis Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

3 Área e Preço de Imóveis Área e Preço de Imóveis Descrição dos Dados Vamos considerar neste exemplo uma amostra aleatória de 50 imóveis em que foi observado para cada um o preço de venda (em mil USD) e a área total (em mil pés quadrados) a numa região de Eugene, EUA (Gray, 1989). O objetivo principal do estudo é tentar explicar (ou prever) o preço de venda do imóvel dada a área total. a 1ft 2 = 0, m 2 G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

4 Análise de Dados Preliminar Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

5 Análise de Dados Preliminar Medidas Resumo Descrição Medida Área Total Preço Venda n Média 1,900 74,30 D.Padrão 0,627 26,48 CV 33% 36% Mínimo 0,800 30,60 1 o Quartil 1,500 57,00 Mediana 1,945 68,40 3 o Quartil 2,240 85,57 Máximo 4, ,00 G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

6 Análise de Dados Preliminar Boxplot Área Total do Imóvel Área do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

7 Análise de Dados Preliminar Boxplot Preço de Venda do Imóvel Preço de Venda do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

8 Análise de Dados Preliminar Dispersão Área Total e Preço de Venda Preço de Venda Área do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

9 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

10 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples Regressão Linear Simples Descrição Nota-se indícios de aumento do preço de venda do imóvel com o aumento da área total do imóvel, sugerindo inicialmente o seguinte modelo de regressão linear simples: y i = β 1 +β 2 area i +ǫ i, para i = 1,...,50, em que y i denota o preço de venda do i-ésimo iid imóvel e ǫ i N(0,σ 2 ). G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

11 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples Resíduos Modelo Ajustado Residuo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

12 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples Distribuição Empírica Resíduos Densidade Resíduo Studentizado G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

13 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

14 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Regressão Linear Simples Descrição Nota-se pelos gráficos de resíduos indícios de afastamentos da distribuição dos erros com indicação para assimetria à direita. Assim, sugerimos como alternativa, o seguinte modelo de regressão linear simples: logy i = β 1 +β 2 area i +ǫ i, para i = 1,...,50, em que y i denota o preço de venda do i-ésimo iid imóvel e ǫ i N(0,σ 2 ). G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

15 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Resíduos Modelo Ajustado Residuo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

16 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Diagnóstico Modelo Ajustado Medida h Distância de Cook Indice Índice Resíduo Padronizado Resíduo Padronizado Índice Valor Ajustado G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

17 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Diagnóstico Modelo Ajustado Identificação Pontos Discrepantes Pelos gráficos de diagnóstico temos que a observação #50 é identificada como ponto de alavanca e ponto influente, enquanto a observação #49 é identificada como ponto aberrante. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

18 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Identificação pontos Discrepantes Preço de Venda Área do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

19 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Resíduos Modelo Ajustado sem Ponto Aberrante Residuo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

20 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros são descritas na tabela abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-p Constante 3,280 0,064 50,91 0,00 Área 0,510 0,032 15,82 0,00 R 2 0,84 R 2 -ajustado 0,84 s 0,14 F 250,30 (1 e 48 g.l.) 0,00 Todos os efeitos são significativos ao nível de 1%. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

21 Interpretações Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

22 Interpretações Interpretações Valor Predito Pelo modelo ajustado o preço predito para um imóvel com área total x fica aproximadamente dado por ˆµ(x) = e 3,28+0,51x. Por exemplo, para um imóvel com x = 2, 0 mil pés quadrados o valor predito de venda é dado por ˆµ(x) = e 3,28+0,51x2,0 = 73, 70 mil USD. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

23 Interpretações Interpretações Variação Valor Predito Quanto varia o valor predito de venda de um imóvel se há um aumento de x = 1, 0 mil pés quadrados na área total? Essa variação fica aproximadamente dada por ˆµ(x + 1) ˆµ(x) = e 0,51 = 1, 665 (66, 5%). Portanto, para um aumento de mil pés quadrados na área total do imóvel, espera-se aumento no preço de venda do imóvel de aproximadamente 66,5 %. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

24 Interpretações Interpretações Estimativa Intervalar Estimativa intervalar de 95% para a variação no valor predito de venda do imóvel quando há aumento de mil pés quadrados na área total e 0,51±2,01 0,032 = e 0,51±0,0643 = [1, 561; 1, 776][56, 1%; 77, 6%]. Portanto, para um aumento de mil pés quadrados na área total, espera-se aumento no preço de venda entre 56,1% e 77,6%. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

25 Curvas Ajustadas Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

26 Curvas Ajustadas Comparação Curvas Ajustadas Preço de Venda todos ptos sem #49 sem # Área Total G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

27 Bandas de Confiança Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

28 Bandas de Confiança Banda de Confiança para a Média Preço de Venda Área do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

29 Bandas de Confiança Banda de Confiança para Nova Observação Preço de Venda Área do Imóvel G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

30 Conclusões Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

31 Conclusões Conclusões Considerações Finais Este é um exemplo em que através de análise de resíduos verifica-se fortes indícios de afastamentos das suposições feitas para o modelo inicial. Através de uma transformação logarítmica na resposta chega-se a um modelo linear simples que apresenta um ajuste superior ao apresentado inicialmente. Duas observações aparecem como discrepantes, contudo a eliminação das mesmas não leva a mudanças inferenciais importantes. G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

32 Referências Sumário 1 Área e Preço de Imóveis 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples 4 Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples 5 Interpretações 6 Curvas Ajustadas 7 Bandas de Confiança 8 Conclusões 9 Referências G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33

33 Referências Referências Referência Gray, J. B. (1989). On the use of regression diagnostics. The Statistician 38, G. A. Paula (IME-USP) Área e Preço de Imóveis 1 o Semestre / 33