Faturamento de Restaurantes
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1 Faturamento de Restaurantes Gilberto A. Paula Departamento de Estatística IME-USP, Brasil 2 o Semestre 2015 G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
2 Faturamento de Restaurantes Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
3 Faturamento de Restaurantes Faturamento de Restaurantes Descrição dos Dados Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar uma amostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cada um as seguintes variáveis aleatórias: G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
4 Faturamento de Restaurantes Faturamento de Restaurantes Descrição dos Dados Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar uma amostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cada um as seguintes variáveis aleatórias: faturamento anual (em mil USD) G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
5 Faturamento de Restaurantes Faturamento de Restaurantes Descrição dos Dados Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar uma amostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cada um as seguintes variáveis aleatórias: faturamento anual (em mil USD) gasto anual com publicidade (em mil USD). G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
6 Faturamento de Restaurantes Faturamento de Restaurantes Descrição dos Dados Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar uma amostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cada um as seguintes variáveis aleatórias: faturamento anual (em mil USD) gasto anual com publicidade (em mil USD). O objetivo principal do estudo é tentar relacionar o faturamento médio anual com o gasto anual com publicidade (Montgomery, Peck e Vining, 2001, Seção 5.5). G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
7 Análise de Dados Preliminar Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
8 Análise de Dados Preliminar Medidas Resumo Descrição Medida Faturamento G. Publicidade n Média 147,10 12,13 D.Padrão 42,13 5,12 CV 28,6% 42,2% Mínimo 72,34 3,00 1 o Quartil 117,70 8,93 Mediana 147,00 12,46 3 o Quartil 180,30 15,19 Máximo 218,70 19,50 G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
9 Análise de Dados Preliminar Boxplot Faturamento Anual Faturamento G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
10 Análise de Dados Preliminar Boxplot Gastos com Publicidade Gastos Publicidade G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
11 Análise de Dados Preliminar Dispersão Faturamento versus Publicidade Faturamento Gastos Publicidade G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
12 Ajuste Modelo Linear Normal Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
13 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Linear Normal Descrição Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gasto com publicidade. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
14 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Linear Normal Descrição Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gasto com publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo de regressão linear: G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
15 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Linear Normal Descrição Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gasto com publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo de regressão linear: y i = β 1 +β 2 publicidade i +ǫ i, G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
16 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Linear Normal Descrição Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gasto com publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo de regressão linear: y i = β 1 +β 2 publicidade i +ǫ i, para i = 1,...,30, em que y i denota o faturamento anual do i-ésimo restaurante com ǫ i iid N(0,σ 2 ). G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
17 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Ajustado Descrição das Estimativas Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 49,443 4,289 11,53 0,00 Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00 R 2 0,955 R 2 -ajustado 0,954 s 9,0 F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00 G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
18 Ajuste Modelo Linear Normal Modelo Ajustado Descrição das Estimativas Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 49,443 4,289 11,53 0,00 Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00 R 2 0,955 R 2 -ajustado 0,954 s 9,0 F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00 Os coeficientes são marginalmente significativos. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
19 Ajuste Modelo Linear Normal Análise de Diagnóstico Medida h Distância de Cook Índice Índice Resíduo Padronizado Resíduo Padronizado Índice Valor Ajustado G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
20 Ajuste Modelo Linear Normal Análise de Resíduos Residuo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
21 Ajuste Modelo Linear Normal Análise do Ajuste Comentários Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos, nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não é constante. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
22 Ajuste Modelo Linear Normal Análise do Ajuste Comentários Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos, nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não é constante. Há um aumento no valor do resíduo com o aumento no valor ajustado. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
23 Ajuste Modelo Duplo Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
24 Ajuste Modelo Duplo Modelo Normal Duplo Descrição A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguinte modelo alternativo: G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
25 Ajuste Modelo Duplo Modelo Normal Duplo Descrição A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguinte modelo alternativo: y i = β 1 +β 2 publicidade i +ǫ i, G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
26 Ajuste Modelo Duplo Modelo Normal Duplo Descrição A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguinte modelo alternativo: y i = β 1 +β 2 publicidade i +ǫ i, para i = 1,...,30, em que y i denota o faturamento anual do i-ésimo ind restaurante e ǫ i N(0,σi 2 ) com G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
27 Ajuste Modelo Duplo Modelo Normal Duplo Descrição A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguinte modelo alternativo: y i = β 1 +β 2 publicidade i +ǫ i, para i = 1,...,30, em que y i denota o faturamento anual do i-ésimo ind restaurante e ǫ i N(0,σi 2 ) com logσ 2 i = γ 1 +γ 2 publicidade i, sendo β 1, β 2, γ 1 e γ 2 os parâmetros a serem estimados. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
28 Ajuste Modelo Duplo Estimativas Modelo Ajustado Estimativas para a Média Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 51,020 2,709 18,83 0,00 Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00 G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
29 Ajuste Modelo Duplo Estimativas Modelo Ajustado Estimativas para a Média Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 51,020 2,709 18,83 0,00 Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00 Os coeficientes são marginalmente significativos. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
30 Ajuste Modelo Duplo Estimativas Modelo Ajustado Estimativas para a Média Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 51,020 2,709 18,83 0,00 Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00 Os coeficientes são marginalmente significativos. Estimativas para a Variância Efeito Estimativa E. Padrão valor-z valor-p Constante 2,516 0,674 3,73 0,00 Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00 G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
31 Ajuste Modelo Duplo Estimativas Modelo Ajustado Estimativas para a Média Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-p Constante 51,020 2,709 18,83 0,00 Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00 Os coeficientes são marginalmente significativos. Estimativas para a Variância Efeito Estimativa E. Padrão valor-z valor-p Constante 2,516 0,674 3,73 0,00 Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00 Os coeficientes são marginalmente significativos. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
32 Ajuste Modelo Duplo Análise de Diagnóstico Média Distância de Cook Resíduo Studentizado Índice Valor Ajustado G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
33 Ajuste Modelo Duplo Análise de Resíduos Média Resíduo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
34 Ajuste Modelo Duplo Análise de Diagnóstico Variância Distância de Cook Índice G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
35 Ajuste Modelo Duplo Análise de Resíduos Variância Resíduo Componente do Desvio Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
36 Ajuste Modelo Duplo Observações Influentes Comentários G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
37 Ajuste Modelo Duplo Observações Influentes Comentários A observação #1 aparece como possivelmente influente nas estimativas do modelo para a média. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
38 Ajuste Modelo Duplo Observações Influentes Comentários A observação #1 aparece como possivelmente influente nas estimativas do modelo para a média. As observações #1 e #15 aparecem como possivelmente influentes nas estimativas do modelo para a variância. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
39 Ajuste Modelo Duplo Observações Influentes Comentários A observação #1 aparece como possivelmente influente nas estimativas do modelo para a média. As observações #1 e #15 aparecem como possivelmente influentes nas estimativas do modelo para a variância. A eliminação individual das observações não muda a inferência, todos os coeficientes continuam significativos. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
40 Ajuste Modelo Duplo Modelo Ajustado Ajuste para a Média ˆµ(publicidade) = 51, , 898 publicidade, G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
41 Ajuste Modelo Duplo Modelo Ajustado Ajuste para a Média ˆµ(publicidade) = 51, , 898 publicidade, em que ˆµ(publicidade) denota o valor predito de faturamento para o gasto com publicidade. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
42 Ajuste Modelo Duplo Modelo Ajustado Ajuste para a Média ˆµ(publicidade) = 51, , 898 publicidade, em que ˆµ(publicidade) denota o valor predito de faturamento para o gasto com publicidade. Ajuste para a Variância ˆσ 2 (publicidade) = exp(2, 516+0, 135 publicidade), G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
43 Ajuste Modelo Duplo Modelo Ajustado Ajuste para a Média ˆµ(publicidade) = 51, , 898 publicidade, em que ˆµ(publicidade) denota o valor predito de faturamento para o gasto com publicidade. Ajuste para a Variância ˆσ 2 (publicidade) = exp(2, 516+0, 135 publicidade), em que ˆσ 2 (publicidade) denota o valor predito para a variância do fatumento para o gasto com publicidade. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
44 Ajuste Modelo Duplo Interpretação das Estimativas Estimativas para a Média Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidade espera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual do restaurante. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
45 Ajuste Modelo Duplo Interpretação das Estimativas Estimativas para a Média Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidade espera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual do restaurante. Estimativas para a Variância Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidade espera-se aumento de 14,5% (exp(0,135) 100%) na variância do faturamento anual. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
46 Conclusões Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
47 Conclusões Conclusões Considerações Finais G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
48 Conclusões Conclusões Considerações Finais Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidade através do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustado do modelo homocedástico. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
49 Conclusões Conclusões Considerações Finais Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidade através do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustado do modelo homocedástico. O ajuste do modelo duplo, em que a média e a variância são ajustados conjuntamente, mostra-se mais adequado confirmando a dependência do faturamento médio anual bem como da variância do faturamento anual com o gasto anual com publicidade. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
50 Referências Sumário 1 Faturamento de Restaurantes 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Modelo Linear Normal 4 Ajuste Modelo Duplo 5 Conclusões 6 Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
51 Referências Referências Referências G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
52 Referências Referências Referências Montgomery, D. C.; Peck, E. A. e Vining, G. G. (2001). Introduction to Linear Regression Analysis, Third Edition. Hoboken: Wiley. G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2 o Semestre / 28
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