Testes de Hipóteses II

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1 Testes de Hipóteses II Capítulo 12, Estatística Básica (Bussab&Morettin, 8a Edição) 6a AULA 06/04/2015 MAE229 - Ano letivo 2015 Lígia Henriques-Rodrigues 5a aula (06/04/2015) MAE229 1 / 23

2 1. Teste para a média de uma população com variância conhecida Passo 1: H 0 : µ = µ 0 contra (i) H 1 : µ µ 0 ; (ii) H 1 : µ > µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 > µ 0 ); (iii) H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 < µ 0 ). Passo 2: A estatística a ser usada é que sob a validade de H 0 é X H0 N ) (µ 0, σ2 n X N ) (µ, σ2, n Z = X µ 0 σ/ n H 0 N(0, 1). 5a aula (06/04/2015) MAE229 2 / 23

3 Passo 3: Dado α σ (i) RC = {x : x c x d}, com c = µ 0 z(1 α/2) 2 n e σ (ii) RC = {x : x d}, com d = µ 0 + z(1 α) 2 n ; σ (iii) RC = {x : x c}, com c = µ 0 z(1 α) 2 n, d = µ 0 + z(1 α/2) σ 2 n ; com z(p) o p-quantil da normal padrão. 5a aula (06/04/2015) MAE229 3 / 23

4 2. Teste para a média de uma população com variância desconhecida e n pequeno Passo 1: H 0 : µ = µ 0 contra (i) H 1 : µ µ 0 ; (ii) H 1 : µ > µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 > µ 0 ); (iii) H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 < µ 0 ). Passo 2: A estatística a ser usada é que sob a validade de H 0 é X µ S/ t(n 1), n T = X µ 0 S/ n H 0 t(n 1). 5a aula (06/04/2015) MAE229 4 / 23

5 Passo 3: Dado α (i) RC = {x : x c x d}, com c = µ 0 t(1 α/2) S n e d = µ 0 + t(1 α/2) S n ; (ii) RC = {x : x d}, com d = µ 0 + t(1 α) S n ; (iii) RC = {x : x c}, com c = µ 0 t(1 α) S n, com t(p) o p-quantil da distribuição t-student com (n 1)-graus de liberdade. 5a aula (06/04/2015) MAE229 5 / 23

6 3. Teste para a média de uma população com variância desconhecida e n grande Passo 1: H 0 : µ = µ 0 contra (i) H 1 : µ µ 0 ; (ii) H 1 : µ > µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 > µ 0 ); (iii) H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ = µ 1 (µ 1 < µ 0 ). Passo 2: Neste caso, a estatística a ser usada é que sob a validade de H 0 é X µ S/ N(0, 1), n Z = X µ 0 S/ n H 0 N(0, 1). 5a aula (06/04/2015) MAE229 6 / 23

7 Passo 3: Dado α (i) RC = {x : x c x d}, com c = µ 0 z(1 α/2) S n e d = µ 0 + z(1 α/2) S n ; (ii) RC = {x : x d}, com d = µ 0 + z(1 α) S n ; (iii) RC = {x : x c}, com c = µ 0 z(1 α) S n, com z(p) o p-quantil da distribuição normal padrão. 5a aula (06/04/2015) MAE229 7 / 23

8 Exemplo 1: Um fabricante afirma que seus cigarros contêm 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. No nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante? Admita que a quantidade de nicotina por cigarro segue uma distribuição normal. 5a aula (06/04/2015) MAE229 8 / 23

9 4. Teste para a variância de uma população normal Neste caso, o parâmetro de interesse é σ 2 ( ou σ) e vimos que S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 é um estimador não enviesado e consistente de σ 2. Para realizarmos inferências sobre σ 2 ( ou σ), precisamos obter uma v.a. que seja função de S 2 e de σ 2, mas cuja distribuição (amostral) não dependa de σ 2. Teorema Seja (Z 1,..., Z n ) uma AAS retirada de uma população N(0, 1). Então: 1 Z tem distribuição N(0, 1/n); 2 As variáveis Z e n i=1 (Z i Z ) 2 são independentes; 3 n i=1 (Z i Z ) 2 tem distribuição χ 2 (n 1). 5a aula (06/04/2015) MAE229 9 / 23

10 Corolário A v.a. (n 1)S2 σ 2 tem distribuição χ 2 (n 1). De fato, (n 1)S 2 σ 2 = n 1 1 σ 2 n 1 = ( n (Xi ) µ σ i=1 ( n (X i X) 2 = i=1 X µ σ )) 2 = ( ) 2 n X i X σ i=1 n (Z i Z ) 2. i=1 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

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12 Passo 1: H 0 : σ 2 = σ0 2 contra (i) H 1 : σ 2 σ0 2; (ii) H 1 : σ 2 > σ0 2 ou H 1 : σ 2 = σ1 2 (σ2 1 > σ2 0 ); (iii) H 1 : σ 2 < σ0 2 ou H 1 : σ 2 = σ1 2 (σ2 1 < σ2 0 ). Passo 2: A estatística a ser usada é que sob a validade de H 0 é χ 2 = (n 1)S 2 σ 2 χ 2 (n 1), (n 1)S2 σ 2 0 H 0 χ 2 (n 1). 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

13 Passo 3: Dado α (i) RC = {χ 2 : 0 < χ 2 c χ 2 d}, com c = χ 2 (1 α/2) e d = χ 2 (α/2); (ii) RC = {χ 2 : χ 2 d}, com d = χ 2 (α); (iii) RC = {χ 2 : 0 < χ 2 c}, com c = χ 2 (1 α), com χ 2 (p) o p-quantil da distribuição Qui-quadrado. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

14 Intervalo de confiança para σ 2 A construção do IC(σ 2 ; γ) é feita a partir da expressão ) P (χ 21 (n 1)S2 < σ 2 < χ 2 2 = γ, que permite obter a desigualdade: (n 1)S 2 χ 2 2 σ 2 (n 1)S2 χ 2, 1 com χ 2 1 = χ2 (1 α/2) = χ 2 ((1 + γ)/2) e χ 2 2 = χ2 (α/2) = χ 2 ((1 γ)/2). NOTA: O IC(σ 2 ; γ) corresponde à região de aceitação do teste bilateral. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

15 Exemplo 2: Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchê-los com média 500g e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma distribuição N(µ, σ 2 ). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variância de s 2 = 169g 2. Com esse resultado, você diria que a máquina está desregulada com relação à variância? (considere α = 5%) 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

16 Valor-p ou nível descritivo O valor-p ou nível descritivo ou probabilidade de significância representa uma forma alternativa de decisão que não exige a fixação do nível de significância α nem a determinação da região crítica. O que se faz é calcular a probabilidade de ocorrer valores da estatística mais extremos do que o observado, sob a hipótese de H 0 ser verdadeira. Valor-p = P(obter dados ainda mais desfavoráveis a H 0 H 0 é verdadeira) Assim, Valor-p muito pequeno = dados incoerentes com H 0 ; Valor-p muito grande = dados coerentes com H 0. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

17 Pelo que, se indicarmos por ˆα o valor-p, a decisão num teste de hipóteses será a de: rejeitaremos H 0 para n.s. α > ˆα se o nível descritivo for muito pequeno, há evidências de que a hipótese não seja válida; não rejeitaremos H 0 para n.s. α ˆα se o nível descritivo for muito grande, há evidências de que a hipótese seja válida. O Valor-p é o menor nível de significância que nos conduz à rejeição de H 0 com a amostra observada. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

18 Cálculo do Valor-p Exemplo: Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados no programa especial de domingo. Uma rede concorrente deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Destas, 104, confirmaram ter assistido a programa. Teste a veracidade da afirmação da estação, considerando α = 5%. H 0 : p = 0, 6 versus H 1 : p < 0, 6. Neste caso, a RC é uma cauda à esquerda, logo valor-p=p(ˆp < 0, 52 p = 0, 6) = P(Z < 2, 30) = 0, 01 > os dados sugerem que a hipótese deve ser rejeitada 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

19 Exemplo: Suponha que queiramos testar H 0 : µ = 50 contra H 1 : µ > 50, em que µ é a média de uma normal N(µ, 900). Extraída uma amostra de n = 36 elementos, obtemos x = 52. Calcule o valor-p do teste. Neste caso, a RC é uma cauda à direita, logo valor-p=p(x > 52 µ = 50) = P(Z > 0, 40) = 0, 345. > os dados sugerem que a hipótese não deve ser rejeitada 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

20 Exemplo: Uma companhia de ônibus intermunicipais planejou uma nova rota para servir vários locais situados entre duas cidades importantes. Um estudo preliminar afirma que a duração das viagens pode ser considerada uma v.a. normal com média igual a 300 minutos e desvio padrão 30 minutos. As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram média igual a 314 minutos. Esse resultado comprova ou não o tempo médio determinado nos estudos preliminares. 3. Caso: H 0 : µ = 300 versus H 1 : µ 300. Neste caso, a RC é uma reunião de caudas, e como x obs = 314 > 300, então valor-p=2p(x > 314 µ = 300) = 2P(Z > 1.48) = 2 0, 07 = 0, 14 > não existe muita evidência para rejeitar H 0 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

21 Cálculo do Valor-p Depende do que significa obter dados ainda mais desfavoráveis a H 0 que os já obtidos, isto á, da forma da região crítica, RC. Cauda à esquerda (H 1 : θ < θ 0 ) Valor-p = P(X < x obs H 0 ) = p Dados piores estar à esquerda de x obs, isto é, mais próximo da RC. Cauda à direita (H 1 : θ > θ 0 ) Valor-p = P(X > x obs H 0 ) = p + Dados piores estar à direita de x obs, isto é, mais próximo da RC. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

22 Reunião de caudas (H 1 : θ θ 0 ) Se a f.d.p. é simétrica então pois cada cauda tem peso α/2. Valor-p = 2min(p, p + ) Valor-p = 2P(X > x obs H 0 ), se x obs > θ 0 Valor-p = 2P(X < x obs H 0 ), se x obs < θ 0 Dados piores estar à esquerda de x obs, se x obs está mais perto da cauda esquerda e estar à direita de x obs se x obs está mais perto da cauda direita. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23

23 Exemplo 3: Calcule o valor-p associado aos testes de hipóteses realizados e com base nele, conclua ao nível de significância de 1%. 5a aula (06/04/2015) MAE / 23