Processos de Poisson

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1 Processos de Poisson Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Capitulo 5 Taylor & Karlin 1 / 37

2 Distribuição de Poisson Seja a variável aleatória X o número de ocorrências por intervalo fixo (de tempo ou espaço). Dizemos que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, com função de probabilidade, X Poisson(λ), λ > 0, P(X = k) = λk e λ, λ > 0, k! k = 0, 1,.... E(X ) = k λk e λ = λ k! k=0 Var(X ) = (k E(X )) 2 λk e λ = λ k! k=0 2 / 37

3 Teorema. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que X Poisson(λ) e X Poisson(ν). Então Portanto, X + Y Poisson(λ + ν). P(X + Y = n) = (λ + ν)n e (λ+ν), n = 0, 1,... n! 3 / 37

4 Teorema. Sejam as variáveis aleatórias N Poisson(λ) e M N Binomial(N, p). Então Portanto, M Poisson(λp). P(M = k) = (λp)k e λp, k = 0, 1,... k! 4 / 37

5 Processo de Poisson Definição. Um Processo de Poisson com taxa λ > 0 é um processo estocástico de valores inteiros, {X (t), t 0} tal que, os incrementos X (t 1 ) X (t 0 ), X (t 2 ) X (t 1 ),..., X (t n ) X (t n 1 ) são variáveis aleatórias independentes para quaisquer t 0 = 0 < t 1 < < t n, X (s + t) X (s) Poisson(λt), s 0 e t > 0, X (0) = 0. 5 / 37

6 Propriedades Em particular, X (t) Poisson(λt). E[X (t)] = Var[X (t)] = λt. Os incrementos são estacionários, i.e. a distribuição de X (s + t) X (s) só depende da amplitude t. 6 / 37

7 Processos de Poisson com taxas 2 e Contagens / 37

8 Processos de Poisson são em geral bons modelos para ocorrências aleatórias de um evento em tempo continuo. Alguns exemplos: chegadas de clientes em uma fila, emissão de particulas radiotivas, ocorrência de uma doença rara. 8 / 37

9 Exemplo. Clientes chegam a uma loja segundo um processo de Poisson com taxa λ = 4 clientes por hora. Sabendo que a loja abre as 9h, Qual a probabilidade de exatamente 1 cliente ter chegado até as 9:30? Qual a probabilidade de chegarem 5 clientes até as 11:30? 9 / 37

10 Exemplo. Defeitos ocorrem em um cabo submarino segundo um processo de Poisson com taxa λ = 0.1 por milha. Qual a probabilidade de nenhum defeito ocorrer nas primeiras 2 milhas? Seja X (t) o número de defeitos no tempo t. X (t) Poisson(λt) X (2) Poisson(0.2) P(X (2) = 0) = e / 37

11 Qual a probabilidade de nenhum defeito ocorrer entre 2 e 3 milhas dado que não ocorreu defeito nas primeiras 2 milhas? Pede-se P(X (3) X (2) = 0 X (2) = 0). Como X (3) X (2) e X (2) X (0) são independentes e X (3) X (2) Poisson(0.1), P(X (3) X (2) = 0 X (2) = 0) = P(X (3) X (2) = 0) = e / 37

12 Processos não homogêneos Definição. Um processo de Poisson é não homogêneo ou não estacionário se λ = λ(t). O incremento X (t) X (s) representa o número de eventos no intervalo (s, t] e tem distribuição de Poisson com taxa, t s λ(u)du. Os incrementos relativos a intervalos disjuntos são variáveis aleatórias independentes. 12 / 37

13 Exemplo. A demanda por atendimento em um posto de saúde occorre segundo um processo de Poisson com taxa, 2t, 0 t < 1 λ(t) = 2, 1 t < 2 4 t, 2 t < 4 sendo t medido em horas. 13 / 37

14 Qual a probabilidade de que 2 atendimentos ocorram nas primeiras 2 horas? Seja X (t) o número de atendimentos no tempo t. Pede-se P(X (2) = 2) sendo X (2) Poisson(µ), µ = 1 0 2tdt dt. Qual a probabilidade de que mais 2 atendimentos ocorram nas 2 horas seguintes? Pede-se P(X (4) X (2) = 2) sendo X (4) X (2) Poisson(µ), µ = 4 2 (4 t)dt. 14 / 37

15 Fazendo uma mudança deterministica na escala temporal e definindo um novo processo Y (s) = X (t) com, s = Λ(t) = t 0 λ(u)du pode-se mostrar que Y (s) é um processo de Poisson homogêneo com taxa igual a / 37

16 Processos de Cox Definição. Um processo de Cox é um processo de Poisson não homogêneo cuja taxa é também um processo estocástico {λ(t), t 0}. Sejam {X (t), t 0} um processo de Poisson com taxa constante λ = 1 e o processo X (t) = X (Θt) sendo Θ uma variável aleatória. X (t) é um processo de Cox chamado processo de Poisson misto. X (t) Θ é um processo de Poisson com taxa constante λ = Θ. 16 / 37

17 Em particular, se Θ for continua com densidade f (θ) a distribuição marginal de X (t) é, P(X (t) = k) = = 0 0 P(X (t) = k θ) f (θ)dθ (θt) k e θt k! f (θ)dθ. 17 / 37

18 Exemplo. Considere um processo de Poisson misto com parâmetro Θ Exponencial(1). Obtenha a distribuição marginal de X (t). P(X (t) = k) = = tk k! = tk k! 0 (θt) k e θt e θ dθ k! 0 θ k e (t+1)θ dθ Γ(k + 1) (t + 1) k+1 = ( ) t k ( ) 1. t + 1 t + 1 Repita para Θ Gama(r, λ). 18 / 37

19 Distribuições associadas ao processo de Poisson Em um processo de Poisson {X (t), t 0} seja W n o tempo de espera até a ocorrência do n-ésimo evento sendo W 0 = 0. Teorema. O tempo de espera W n tem distribuição Gama com densidade, f Wn (t) = λn Γ(n) tn 1 e λt, ou seja, W n Gama(n, λ). Portanto, W 1 Exponencial(λ). 19 / 37

20 Seja S n = W n+1 W n a duração do tempo que o processo permanece no estado n. Teorema. S 0, S 1,..., S n 1 são variáveis aleatórias independentes tais que S k Exponencial(λ), f Sk (s) = λe λs, s > / 37

21 Consequentemente, A probabilidade do processo permanecer no estado n por mais de t periodos é, e não depende de n. P(S n > t) = e λt, n = 1, 2,... O tempo de espera até ocorrer o evento n pode ser reescrito como, n 1 W n = S k Gama(n, λ). k=0 21 / 37

22 Exemplo. Pessoas imigram para um território segundo um processo de Poisson com taxa λ = 1 por dia. Qual o tempo esperado até que o 10o migrante chegue? Qual a probabilidade de que o tempo entre as chegadas do 10o e do 11o imigrante exceda 2 dias? Na nossa notação calcular E(W 10 ) e P(S 11 > 2). 22 / 37

23 Teorema. Seja {X (t), t 0} um processo de Poisson com taxa λ. Para 0 < u < t e k = 0, 1,..., n, ( ) n (u ) k ( P(X (u) = k X (t) = n) = 1 u ) n k, k t t ou seja X (u) X (t) = n Binomial ( n, u t ). 23 / 37

24 Processo de Poisson com taxa w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 Tempos de espera 24 / 37

25 Processos de Poisson compostos Suponha que {X (t), t 0} é um processo de Poisson com taxa λ e cada evento está associado a uma variável aleatória. Um processo estocástico {Z(t), t 0} é dito ser um processo de Poisson composto se puder ser representado como, X (t) Z(t) = Y i, t 0, i=1 sendo Y 1, Y 2,... variáveis aleatórias independentes e independentes de X (t). Note que se Y i = 1, i = 1, 2,..., X (t) então Z(t) = X (t). 25 / 37

26 Exemplo. Suponha que ônibus chegam a um evento de acordo com um processo de Poisson com taxa λ. Os números de pessoas em cada ônibus são independentes e identicamente distribuidos. Se Z(t) representa o número total de pessoas que chegam de ônibus ao evento e Y i representa o número de pessoas no ônibus i, então {Z(t), t 0} é um processo de Poisson composto, X (t) Z(t) = Y i, t 0, i=1 26 / 37

27 Exemplo. Suponha que clientes saiam de um supermercado de acordo com um processo de Poisson com taxa λ. Sejam {X (t), t 0} o número de clientes que saem no tempo t e Y i a quantia gasta pelo cliente i, independentes e independentes de X (t). Então, X (t) Z(t) = Y i, t 0, i=1 é um processo de Poisson composto que representa o total gasto no tempo t. 27 / 37

28 Denotando E(Y i ) = µ e Var(Y i ) = σ 2, i = 1, 2,..., X (t) E[Z(t)] = E i=1 Y i X (t) = E E Y i X (t) = n = = i=1 X (t) E Y i X (t) = n P(X (t) = n) n=1 i=1 E(Y Y n )P(X (t) = n) n=1 = µ np(x (t) = n) = µe[x (t)] = µλt n=1 28 / 37

29 Analogamente, Var[Z(t)] = (µ 2 + σ 2 )λt. 29 / 37

30 Exemplo. Suponha que famílias migram para uma certa região segundo um processo de Poisson com taxa igual a 2 famílias por semana. Cada família pode ter 1, 2, 3 ou 4 pessoas com probabilidades 1/6,1/3,1/3,1/6. Obtenha o valor esperado e a variância do número de pessoas que migram para esta região num período de 4 semanas e meia. Sejam Y i o número de pessoas na familia i e X (t) o número de familias que migram para esta região até o tempo t. Então, X (t) Z(t) = Y i, t 0, i=1 é um processo de Poisson composto que representa o número de migrantes no tempo t. 30 / 37

31 Temos então que, E(Y i ) = E(Y 2 i ) = 4 yp(y = y) = 5/2 = 2.5 i=1 4 y 2 P(Y = y) = 43/6 i=1 Var(Y i ) = 43/6 (5/2) 2 = 11/12 Portanto, como X (t) tem taxa λ = 2, E[Z(t)] = µλt = 2(5/2)t = 5t Var[Z(t)] = (µ 2 + σ 2 )λt = 2[(5/2) /12]t Para t = 4.5 semanas o número médio de migrantes é E[Z(t)] = 22.5 com variância Var[Z(t)] = / 37

32 Processos de Poisson marcados Sejam {X (t), t 0} um processo de Poisson com taxa λ, Y 1, Y 2,... variáveis aleatórias independentes e independentes de X (t) e W 1, W 2,... os tempos de espera até a ocorrência de cada evento. A sequência de pares (W 1, Y 1 ), (W 2, Y 2 ),... e denominada um processo de Poisson marcado. 32 / 37

33 Suponha que, Y i = { 1, com probabilidade p, 0, com probabilidade 1 p. Considere separadamente os processos marcados por 1 s e 0 s, ou seja, X 1 (t) = X (t) Y k k=1 X 0 (t) = X (t) X 1 (t) Note que, X 1 (t) tem incrementos independentes, X 1 (0) = 0, X 1 (t) Poisson(λpt), pois E(Y k ) = p. 33 / 37

34 Em resumo, X 1 (t) é um processo de Poisson com taxa λp e, por um argumento análogo X 0 (t) é um processo de Poisson com taxa λ(1 p). Finalmente, pode-se mostrar que, P(X 0 (t) = j, X 1 (t) = k) = P(X 0 (t) = j) P(X 1 (t) = k), Portanto, X 0 (t) e X 1 (t) são processos de Poisson compostos independentes. 34 / 37

35 Exemplo. Clientes entram em uma loja de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 10 por hora. De forma independente cada cliente compra alguma coisa com probabilidade 0.3 ou sai da loja sem comprar nada com probabilidade 0.7. Sejam, X 0 (t): o número de pessoas que não compram nada até o tempo t e, X 1 (t): o número de pessoas que compram algo até o tempo t, Então, X 0 (t) e X 1 (t) são processos de Poisson independentes com taxas (1 p)λ e pλ. 35 / 37

36 A probabilidade de que durante a primeira hora 9 pessoas entrem na loja, das quais 3 compram alguma coisa e 6 vão embora sem comprar é P(X 0 (1) = 6, X 1 (1) = 3) = P(X 0 (1) = 6) P(X 1 (1) = 3), sendo que X 0 (1) Poisson(7) e X 1 (1) Poisson(3). Portanto, P(X 0 (1) = 6, X 1 (1) = 3) = 76 e e 3 6! 3! = / 37

37 Considere agora variáveis aleatórias discretas Y 1, Y 2,... independentes e cada Y n pode assumir valores 0, 1, 2,... com probabilidades, P(Y n = k) = p k, k = 0, 1,..., sendo = 1. k=0 Cada um dos processos resultantes X k (t), k = 0, 1, 2,... é um processo de Poisson com taxa λp k, e X 0 (t), X 1 (t),..., são processos independentes. 37 / 37