INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

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1 Área Cientifica Curso Matemática Engenharia Electrotécnica Folha Nº5 1. Usando a tabela da normal standard, calcule: a) P(Z<3.0), P(Z>1.45), P(Z>-2.15), P(-2.34<Z<1.76), e P(-2<Z<8), onde Z N(0, 1); b) P(X<13), P(X>9), P(6<X<14) e P(-2<X<8), onde X N(10, 2 2 ). 2. Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio 5 e desvio padrão 4. Determine valores x e y que verificam as seguintes probabilidades: a) P(X>x)=0.5; b) P(X>x)=0.95; c) P(x<X<9)=0.2007; d) P(-3<X<x)=0.95; e) P(y<X<x)=0.99 e P(y<X<5)=P(5<X<x) 3. Assuma que a corrente eléctrica medida num fio de cobre tem distribuição normal de valor médio 10 ma e variância 4 ma 2. a) Calcule a probabilidade da corrente eléctrica medida exceder os 13 ma. b) Qual é a probabilidade de a corrente eléctrica medida estar entre os 9 e os 11 ma? c) Determine o valor para o qual a probabilidade de a corrente estar a baixo desse valor é de Suponha que a duração de vida (em horas) de dois dispositivos electrónicos, X 1 e X 2, têm distribuições N(40, 6 2 ) e N(45, 3 2 ), respectivamente. a) Calcule a probabilidade de cada um dos dispositivos falhar antes das 45 horas. Qual dos dois dispositivos deve ser preferido? b) Se necessitar de um dos dispositivos durante um período de 48 horas, qual escolhe? Página 1 de 6

2 5. Em determinada empresa a utilização semanal de uma matéria-prima, é uma v. a. com distribuição normal de média 600 Kg e desvio padrão 40 Kg. No início de determinada semana a empresa tem em stock 634 Kg dessa matéria prima, não sendo viável no decurso dessa semana mais aprovisionamento. a) Determine a probabilidade de rotura do stock da matéria-prima. b) Qual deveria ser o stock de modo que a probabilidade de rotura fosse, no máximo, de 0.01? 6. O tempo, em minutos, que um operário demora a executar certa tarefa é uma v. a. com distribuição normal. Sabe-se que a probabilidade de um operário demorar mais de 13 minutos é de 0,0668 e a de demorar menos de 8 minutos é de 0,1587. Calcule: a) o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrão; b) a probabilidade do operário demorar entre 9 e 12 minutos a executá-la. 7. Numa fábrica clandestina é empacotado um pó branco, sendo o peso (em gramas) de cada pacote, D, normalmente distribuído com média 100gr e desvio padrão σ, com σ>0. a) Sabendo que a probabilidade do peso de um pacote de pó exceder a média em pelo menos 9.8 gr é de 0.025, mostre que σ=5. b) Um comerciante pretende adquirir um lote de 100 pacotes, mas só efectuará a compra se o peso total desse lote for superior a 10.15Kg. Admitindo que os pesos dos vários pacotes são independentes, acha provável que o comerciante efectue o negócio? c) Sabe-se que os pacotes são vendidos ao preço unitário de 1000 euros e que o custo de produção (em euros) de um pacote é dado por C= D. Calcule o lucro médio da fábrica por pacote vendido. Página 2 de 6

3 8. O serviço de expedição e entrega de determinada unidade fabril verificou que o volume de vendas, em m 3, entregues semanalmente aos clientes, é uma variável aleatória X com distribuição normal de média µ>0 e desvio padrão σ>0. a) Sabendo que a probabilidade do volume de entregas semanais ser superior a 13m 3 é de , e que a probabilidade do volume de entregas semanais exceder a média em pelo menos 2m 3 é de , mostre que σ=2 e µ=10. b) Determine a probabilidade do volume das entregas mensais ser superior a 48m O conteúdo de certo tipo de garrafa é aleatório, com distribuição normal de média 1 litro e desvio padrão 0.02 litros. Se 3 garrafas desse tipo forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um volume de liquido superior a 3.1 litros? 10. A largura de determinado tipo de portas tem distribuição normal de média 23.25mm e desvio padrão mm. Além disso, a largura dos caixotes de papelão que servem para empacotar essas portas também é normalmente distribuída com média 24mm e desvio padrão 0.185mm. Assuma que as larguras das portas e dos caixotes são independentes. a) Determine a média e o desvio padrão da diferença entre as larguras de um caixote e de uma porta. b) Qual é a probabilidade de a largura do caixote menos a largura da porta exceder 0.25mm? c) Calcule a probabilidade de uma porta não caber num caixote. 11. Suponha que dispõe de 2 processos para chegar a um determinado local: - usando o transporte A, em relação ao qual o tempo de deslocação em minutos é uma v. a. X A N(37.2, ); - usando o meio de transporte B, numa parte do percurso, e mudando para o meio de transporte C para completar o percurso. Os tempos de deslocação (em minutos) são também variáveis aleatórias, X B e X C respectivamente, com distribuições X B N(25, 80) e X C N(10, 20). Suponha que não há tempo de espera na mudança de transporte. a) Qual o processo a escolher se considerar importante não demorar mais de 40 minutos? b) E se não se quiser demorar mais de 35 minutos? Página 3 de 6

4 12. Uma caixa de bombons leva 50 bombons de dois tipos: A e B, sendo 30 do tipo A e 20 do tipo B. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média 500 gramas com desvio padrão de 25 gramas. No quadro abaixo estão indicados os valores para a média e desvio padrão do peso (em gramas) de cada tipo de bombons. Média Desvio Padrão A 10 g 2 g B 15 g 3 g Considere que as variáveis aleatórias X C, X A1,..., X A30, X B1,..., X B20 são independentes e têm distribuição normal, onde X C representa o peso da caixa, X Ai o peso do i-ésimo bombom tipo A e X Bi o peso do i-ésimo bombom tipo B. Determine: a) A probabilidade de uma caixa cheia pesar entre 1050 e 1120 g. b) A probabilidade de uma caixa cheia pesar exactamente 1000 g. 13. Um camião que efectua carregamentos para determinada empresa pesa, vazio, 2500 kg. Em cada viagem que efectua, o camião transporta dois contentores que são escolhidos aleatoriamente num armazém. Os pesos desses contentores são independentes e identicamente distribuídos com distribuição normal de média 1000 kg e desvio padrão 120 kg. Além disso, o camião é carregado com uma carga adicional que também tem distribuição normal de desvio padrão 80 kg. Sabe-se que 20% destas cargas pesam mais de 560 kg. a) Calcule a probabilidade de um dos contentores pesar menos de 900kg. b) No armazém encontram-se 20 contentores. Qual a probabilidade do seu peso total se situar entre os e kg? c) Durante uma viagem um camião, carregado do modo indicado, é sujeito a ser pesado pelas autoridades, havendo lugar a uma multa se o seu peso total exceder os 5400 kg. Acha provável que o camião seja multado? Justifique convenientemente a sua resposta. Página 4 de 6

5 14. O tempo de vida de um semicondutor a laser é normalmente distribuído com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas. a) Qual é a probabilidade de um laser falhar antes das 5000 horas? b) Qual é o tempo de vida, em horas, que 95% dos laser excede? c) Se três laser forem usados num produto, e assumindo que estes falham independentemente uns dos outros, qual é a probabilidade de os 3 ainda estarem operacionais ao fim de 7000 horas? 15. Se 12% dos tubos de imagem de uma certa marca de televisões se queima antes de terminar a garantia, calcule a probabilidade de que um comerciante que vendeu 150 dessas televisões seja forçado a substituir: a) pelo menos 20 desses tubos de imagem de tais televisões; b) pelo menos 5 e não mais de 13 de tais tubos. 16. Um avião pode acomodar 300 passageiros, 30 dos quais em 1ª classe e 270 em classe turismo. A companhia aérea reservou 30 lugares em 1ª classe e 300 em turismo. Sabendo que a probabilidade de não comparecimento de quem faz reserva for de 0.15, qual é a probabilidade de que todos os passageiros que comparecem sejam acomodados, se os lugares em 1ª classe puderem ser utilizados pelos passageiros de turismo? 17. O diâmetro, em cm, de um cabo eléctrico é normalmente distribuído com média 0.8cm e variância cm 2. a) Qual é a probabilidade de que o diâmetro exceda 0.81cm? b) Um cabo é considerado defeituoso se o diâmetro diferir (em valor absoluto) da sua média em mais de 0.025cm. Mostre que a probabilidade de um cabo ser defeituoso é de c) Calcule a probabilidade de em 50 cabos, seleccionados aleatoriamente, haver no máximo 11 defeituosos. Página 5 de 6

6 SOLUÇÕES 1. a) ; ; ; ; b) ; ; ; a) 5; b) -1.58; c) 6.44; d) 12.68; e) x=15.3 e y= a) ; b) ; c) a) Dispositivo 1: ; Dispositivo 2: 0.5; é preferível o dispositivo 2 b) Dispositivo 2 5. a) ; b) Kg 6. a)µ=10 e σ=2; b) b) a probabilidade do comerciante efectuar o negócio é muito baixa: c) b) a) µ=0.75; σ=0.195; b) ; c) a) o 1º processo; b) o 2º processo 12. a) ; b) a) ; b) 0.642; c) a probabilidade do camião exceder o peso é muito baixa: 0.015, logo é muito pouco provável que haja lugar a multa. 14. a) ; b) 6013 horas; c) a) 0.352; b) a) ; c) Página 6 de 6