Distribuições Amostrais

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Vítor Rodrigues Fialho
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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise denise@ita.br 13/10/2011 Distribuições Amostrais

2 Algumas Definições Sejam: X f X (x), v.a. X 1, X 2,..., X n i.i.d. f X (x), i.e., a.a. de tamanho n. W uma estatística qualquer, i.e., função de X 1, X 2,..., X n. Define-se: Distribuição Amostral de W Corresponde à distribuição de probabilidade de W. Erro Padrão de W Corresponde ao desvio-padrão da distribuição amostral de W. Nota: A distribuição amostral de uma estatística W depende do: tamanho da amostra; tamanho da população; método de amostragem (coleta). Determinando Distribuições Amostrais Distribuições Amostrais, i.e., distribuições de probabilidades de funções de v.a. s podem ser determinadas das seguintes maneiras: 1. Matematicamente (apenas em casos muito simples): Método da função geratriz de momentos Método da transformação Método da F.D.A. 2. Numericamente: Métodos de Monte Carlo 3. Fornecem apenas uma descrição aproximada: Regra Empírica (68%, 95%, 99,7%) distr. simétrica, unimodal Regra de Chebyshev (poucas, 3/4, 8/9): P[µ kσ < X < µ + kσ] 1 1 k 2

3 Determinando Distribuições Amostrais Exemplo Sejam X 1, X 2 i.i.d. U(0,1) e W = X 1 + X 2. Determine a f.d.p. de W através dos seguintes métodos: 1. Método da F.D.A. 2. Simulação de Monte Carlo Determinando Distribuições Amostrais Exemplo (cont.) 1. Método da F.D.A. f.d.p. de W F.D.A. de W g(w) G(w) w w

4 Determinando Distribuições Amostrais Exemplo (cont.) 2. Simulação de Monte Carlo s = (número de amostras aleatórias) Histogram of W Histogram of W W W Distribuições Amostrais (Pré-TLC) Seja a a.a. X 1, X 2,..., X n i.i.d. f X (x), t.q. E[X ] = µ X e Var[X ] = σ 2 X. Para as estatísticas: Média amostral: X n = X 1 + X X n n Temos: Total amostral: T n = X 1 + X X n E[X n ] = µ X n = µ X E[T n ] = µ Tn = nµ X Var[X n ] = σ 2 X n = σ2 X n Var[T n ] = σ 2 T n = nσ 2 X (Demonstração e Simulação de Monte Carlo)

5 Distribuições Amostrais (Pré-TLC) Exemplos: Simular a distribuição amostral de X n para as seguintes amostras aleatórias: 1. X 1, X 2,..., X n i.i.d. U(0,1). 2. X 1, X 2,..., X n i.i.d. Exp(2). 3. X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(0,1). Considerar os seguintes tamanhos de amostras: n = 5, 25, 30, 100. (Simulação de Monte Carlo) Distribuições Amostrais (Pré-TLC) Exemplos: (Simulação de Monte Carlo) U(0,1) : n = 5 n = 25 n = 30 n = Exp(2) : n = 5 n = 25 n = 30 n = N(0,1) : n = 5 n = 25 n = 30 n =

6 Teoremas do Limite Central Teoremas do Limite Central (TLC) TLC para a média amostral Seja X n a média amostral de uma a.a. de tamanho n colhida a partir de uma população f X (x), qualquer, com média µ X e variância σx 2, ambas finitas. Então: N(µ X, σx 2 /n) X n Z = X n E[X n ] Var[X n ] = X n µ X σ X / n N(0,1) n

7 Teoremas do Limite Central (TLC) TLC para o total amostral Seja T n o total amostral de uma a.a. de tamanho n colhida a partir de uma população f X (x), qualquer, com média µ X e variância σ 2 X, ambas finitas. Então: T n N(nµ X, nσ 2 X ) Z = T n E[T n ] Var[Tn ] = T n nµ X nσx N(0,1) n Teoremas do Limite Central (TLC) Lâmpadas incandescentes produzidas por uma determinada companhia tem vida útil aproximadamente normalmente distribuída com média 800h e desvio-padrão 40h. Qual a probabilidade de que uma a.a. contendo 16 lâmpadas tenha vida útil média inferior a 775h?

8 Teoremas do Limite Central (TLC) Um determinado processo de fabricação produz peças cilíndricas para uso na indústria aeronáutica. O engenheiro responsável acredita que o diâmetro médio de todas as peças produzidas por tal processo esteja de acordo com a especificação e seja de 5mm. Sabe-se ainda que o desvio-padrão do processo vale 0,1. Um experimento é conduzido em que 100 peças produzidas por tal processo são escolhidas aleatoriamente. O diâmetro de cada uma das peças da amostra é medido. O experimento resulta em um valor médio para o diâmetro das peças de 5,027mm. A informação obtida através da análise da amostra valida ou refuta a conjectura do engenheiro responsável? Teoremas do Limite Central (TLC) TLC geral Sejam X 1, X 2,..., X n v.a. s com distribuições quaisquer t.q. E[X i ] = µ i, Var[X i ] = σi 2, Cov[X i, X j ] = σ ij, i = 1, 2,..., n. Então, para a i = constante, i = 1, 2,..., n, em que W n = n a i X i N(µ Wn, σw 2 n ), i=1 n µ Wn = E[W n ] = a i µ i σ 2 W n = Var[W n ] = i=1 n ai 2 σi i=1 i<j,i=1 n a i a j σ ij

9 Teoremas do Limite Central (TLC) Suponha que duas a.a. s independentes, de tamanhos n 1 e n 2, sejam selecionadas a partir de duas populações com médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ 2 1 e σ2 2. Se X 1 e X 2 são as médias amostrais correspondentes, qual a distribuição amostral da diferença (X 1 X 2 )? Teoremas do Limite Central (TLC) Dois experimentos são conduzidos nos quais dois diferentes tipos de tintas, A e B, são comparados. A tinta A é aplicada em 18 amostras e o tempo de secagem (em horas) é registrado. O mesmo procedimento é realizado para a tinta B. Sabe-se que o desvio-padrão populacional de ambas as tintas vale 1,0. Assumindo que o tempo de secagem seja o mesmo para ambas as tintas, calcule P[X A X B > 1,0], em que X A e X B correspondem aos tempos médios de secagem das tintas A e B nas amostras.

10 Teoremas do Limite Central (TLC) No exemplo anterior, assumimos que µ A = µ B. No entanto, o experimento poderia ter sido conduzido justamente no intuito de tirar conclusões a respeito da diferença nos tempos de secagem das duas tintas. Se a diferença no tempos médios de secagem for superior a 1h, parece ser evidente que os tempos médios de secagem populacionais para as duas tintas não são iguais. Suponha, então, que a diferença nos tempos médios de secagem das duas amostras seja de apenas 15 minutos. O que se pode concluir a respeito do tempo de secagem das tintas? Outras Distribuições Amostrais

11 Distribuição Amostral de S 2 n X 1, X 2,..., X n f X (x): a.a. Variância amostral: S 2 n = 1 n 1 n? (X i X n ) 2 i=1 Atenção Não existe um teorema análogo ao TLC que garanta uma aproximação para a distribuição amostral de S 2 n (mesmo quando n ), para uma distribuição f X (x) arbitrária... Distribuição Amostral de S 2 n A distribuição exata para Sn 2 pode ser obtida para o caso normal: Teorema X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(µ, σ 2 ) Variância amostral: S 2 n = 1 n 1 n (X i X n ) 2 i=1 Então: Q 2 = (n 1)S 2 n σ 2 = n i=1 (X i X n ) 2 σ 2 χ 2 ν ν = n 1 graus de liberdade (Simulação)

12 Distribuição Amostral de S 2 n Relembrando... Distribuição Chi-quadrado χ 2 ν = Gamma(ν/2, 2), em que: ν Z + = graus de liberdade (ver Tabela χ 2 ) Distribuição Amostral de S 2 n Uma companhia produz medicamentos que contém 8g de um determinado composto em um frasco do medicamento. Engenheiros da qualidade determinaram que o processo estará operando em conformidade com o especificado se a variabilidade real σ 2 do composto por frasco for menos que 0,0025. Uma a.a. de 10 frascos é selecionada e a quantidade do composto em cada frasco é medida. Estamos interessados na variância amostral, Sn 2. Se, de fato, σ 2 = 0,001, qual a probabilidade de que S 2 n exceda 0,0025? Assuma que a quantidade do composto seja normalmente distribuída.

13 Distribuição Amostral de S 2 n Um fabricante de baterias de carro garante que seus produtos duram, em média, 3 anos com desvio-padrão de 1 ano. Se 5 destas baterias têm vida útil de 1,9, 2,4, 3,0, 3,5 e 4,2, deve-se acreditar que o dessvio-padrão é de, realmente, 1 ano? Assuma que a vida útil da bateria segue a distribuição normal. Distribuição t Student Teorema Sejam: X N(µ, σ 2 ), com σ desconhecido: X 1, X 2,..., X n a.a. Então: T = X n µ S n / n T ν (ν = n 1 graus de liberdade) (Simulação)

14 Distribuição t Student Distribuição t Student Z V /ν T ν, em que: Z N(0,1) e V χ 2 ν ν Z + = graus de liberdade (ver Tabela t Student) Teorema t 1 α (ν) = t α Distribuição t Student Determine o valor de k de forma que P[k < T < 1,761] = 0,045 para uma a.a. x 1,..., X n de tamanho n = 15 selecionada a partir de uma distribuição normal e T = X n µ S n / n.

15 Distribuição t Student Um engenheiro afirma que a média populacional da concentração de um determinado produto químico é de 500mg/ml de solução. A fim de verificar esta hipótese, ele toma amostras de 25 lotes de produto todo mês. Se o valor t calculado estiver entre t 0,05 e t 0,05, a hipótese é mantida. A que conclusão pode-se chegar a partir de uma amostra cuja média vale x = 518mg/ml e desvio padrão vale s = 40mg/ml? Considere que a distribuição da concentração deste produto é aproximadamente normal. Distribuição F Snedecor Teorema Sejam: X (1) 1, X (2) 1,..., X (n 1) 1 N(µ 1, σ 2 1 ): a.a. de tamanho n 1 X (1) 2, X (2) 2,..., X (n 2) 2 N(µ 2, σ 2 2 ): a.a. de tamanho n 2 Então: F = S 2 1 /σ2 1 S 2 2 /σ2 2 F ν1,ν 2 (ν 1 = n 1 1, ν 2 = n 2 1 graus de liberdade)

16 Distribuição F Snedecor Distribuição F Snedecor U/ν 1 F ν1,ν V /ν 2, 2 em que: U χ 2 ν 1 e V χ 2 ν 2 ν 1, ν 2 Z + = graus de liberdade (ver Tabela F Snedecor) Teorema f 1 α (ν 1, ν 2 ) = 1 f α (ν 2, ν 1 ) Distribuição F Snedecor Os valores a seguir correspondem ao poder calorífico (capacidade de geração de calor) do carvão (kcal/kg) produzido em duas minas: Mina 1: Mina 2: Pode-se concluir que as variâncias das duas populações são iguais? Considere populações normais.

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