Nome: Número: Turma 39. Versão A

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1 Turma 39 Versão A 1. De acordo com a Direcção Geral de Impostos, o tempo médio que um indivíduo leva a completar a sua declaração de IRS é 10,53 horas. A distribuição é Normal e sabe-se que o desvio-padrão é 3 horas. Foi avaliada uma amostra aleatória de 36 contribuintes. a. Ficaria surpreendido se a média do tempo despendido pelos 36 contribuintes fosse superior a 12 horas? Explique detalhadamente. b. Ficaria surpreendido se um contribuinte demorasse mais de 12 a preencher a declaração? Explique detalhadamente. c. Se fossem avaliados 50 contribuintes, como se alterava a distribuição da média amostral? E a distribuição do tempo de preenchimento de um contribuinte? Represente ambos os casos graficamente.

2 Turma 39 Versão B 1. Uma lei governamental indica que o total de mercadoria transportado por um determinado tipo de avião não pode exceder os 330 kg. Num determinado dia o avião está carregado com 100 caixas de mercadoria. Assuma que o peso de cada caixa segue uma distribuição normal com média 3,2 kg e um desvio-padrão de 1 kg. a. Qual a probabilidade de, nesse dia, a lei não estar a ser cumprida? b. Qual a probabilidade do peso médio das 100 caixas exceder os 3,5 kg. c. Assuma que um determinado dia, o piloto tentou testar os limites do avião, tendo carregado o porão com 500 caixas. Sem efectuar cálculos, indique como se alteram as probabilidades calculada em a) e b). Suporte graficamente a sua resposta.

3 Turma 39 Versão C 1. Uma equipa de investigação médica está a investigar os benefícios de um novo tratamento cirúrgico. Os investigadores sabem que o tempo de recobro de cada doente pode variar de acordo com uma distribuição Normal com média 96 horas e variância 100 horas. a. Qual a probabilidade que um doente escolhido aleatoriamente tenho um tempo de recobro inferior a 86 horas? b. Assuma que foi recolhida uma amostra de 10 pacientes. Qual a probabilidade do tempo total de permanência no hospital após o tratamento ter excedido os 10 dias? c. Suponha que foi retirada uma amostra de 200 pacientes. Justifique como altera a sua resposta a a) e b). Suporte a sua resposta através de um gráfico.

4 Turma 31 Versão A 1. O tempo de concentração de uma criança com dois anos segue uma distribuição Normal com média de 8 minutos e desvio-padrão de 2 minutos. Foram avaliados 60 crianças com dois anos, escolhidas de forma aleatória. a. Caracterize a distribuição da média do tempo de concentração das 60 crianças. b. Antes de efectuar cálculos, explique detalhadamente qual a probabilidade que pensa ser mais elevada: i. A probabilidade do tempo de concentração de uma criança ser inferior a 7,5 minutos. ii. A probabilidade da média do tempo de concentração das 60 crianças ser inferior a 7,5 minutos. Justifique a sua resposta graficamente. c. Calcule as probabilidades indicadas na b).

5 Turma 31 Versão B 1. Os salários anuais dos professores de determinada escola primária são Normalmente distribuídos com uma média de e um desvio-padrão de Foi recolhida uma amostra aleatória de 10 professores. a. Calcule o percentil 90 do salário dos professores. Ou seja, calcule o valor tal que, apenas 10% dos professores recebam um salário superior. b. Calcule o percentil 90 do salário médio dos professores. c. Se cada um dos professores recebesse um aumento de 3000, como se alterava a distribuição da média amostral? Represente graficamente.

6 Turma 31 Versão C 1. Um laboratório farmacêutico está preocupado com a quantidade de determinada toxina num novo medicamento. Os investigadores sabem que a quantidade presente em cada comprimido segue uma dada distribuição com valor espero 0,02 gramas e desvio-padrão 0,005. De forma a garantir a qualidade do seu medicamento, o laboratório resolveu testar aleatoriamente 25 comprimidos, tendo prometido suspender o fabrico do medicamento caso a quantidade média da toxina superasse as 0,025 gramas. a. Calcule o valor esperado e a variância da quantidade média da toxina presente no lote de 25 comprimidos analisados, explicando todos os passos. b. Qual a probabilidade da produção do medicamento ser suspensa? c. Qual a probabilidade da média da amostra diferir da verdadeira média da quantidade de toxinas em 0,0025 gramas?

7 Turma 38 Versão A 1. Uma lata de salmão de conserva deve ter um peso líquido de 250g. No entanto, fruto da variação no processo de enlatar, o peso segue uma distribuição normal com média 255g e desvio-padrão 20g. Num determinado dia, um agente da DECO, recolheu aleatoriamente do Pingo Amargo, 75 latas. a. Qual a probabilidade de uma lata escolhida aleatoriamente pesar menos que 250g? b. Qual a probabilidade do peso médio das latas analisadas ser inferior a 250g? c. As probabilidades obtidas em a) e b) são iguais? Justifique cuidadosamente as razões da semelhança ou diferença das probabilidades. Suporte a sua resposta graficamente.

8 Turma 38 Versão B 1. De acordo com um relatório do Centro de Controlo e Prevenção de Doenças, o tempo que cada adolescente passa a ver televisão diariamente á uma variável aleatória com média 2 horas e desvio-padrão 30 minutos. Num determinado dia foi medido o tempo dedicado a ver televisão de 50 adolescentes. a. Descreva detalhadamente a distribuição amostral da média de horas dedicadas a ver televisão da amostra analisada. Não se esqueça de demonstrar o seu valor esperado e a sua variância. b. Qual a probabilidade da média de tempo dedicado a ver televisão da amostra analisada exceder em 15 minutos a média da população? c. Sem efectuar cálculos indique como alteraria a sua resposta a a) e b) se a verdadeira média fosse 3 horas? Suporte a sua resposta graficamente.

9 Turma 38 Versão C 1. Em engenharia estuda-se o peso das pessoas para que os aviões e elevadores não fiquem sobrecarregados. O peso dos homens é normalmente distribuído com média 75 kg e desvio-padrão 10 kg. Um determinado elevador num grande arranha-céus tem um limite de peso de 1500 kg. a. Qual a probabilidade de uma pessoa pesar mais de 90 kg? b. Suponha que estão 18 pessoas no elevador, podendo ser consideradas uma amostra aleatória. Qual a probabilidade do peso total exceder o peso limite permitido. c. Um determinado avião pode levar no seu porão uma capacidade máxima de 3500 kg de bagagem. Num determinado dia o avião tem 100 pessoas a bordo. Assuma que o peso total da bagagem de cada individuo é uma variável aleatória com valor esperado 20 kg e desvio-padrão 2 kg. Recorrendo à distribuição da média amostral, calcule a probabilidade do peso das malas dos 100 passageiros exceder o limite permitido.

10 Turma 37 Versão A 1. Uma empresa produz pratos de vidro com uma espessura média de 4mm e um desvio-padrão de 1,1 mm. Uma amostra aleatória de 100 pratos é retirada e medida de forma a ser calculada a sua espessura média X a. Caracterize a distribuição da média da espessura de cada prato de vidro. Não se esqueça de demonstrar como obteve o valor esperado e a variância da variável aleatória em questão. b. Qual a probabilidade da espessura média dos 100 pratos recolhidos aleatoriamente exceder os 4,1 mm? c. Se fossem analisados 200 pratos, como se alterava a distribuição do peso médio amostral? E a distribuição da espessura de um prato? Represente ambos os casos graficamente.

11 Turma 37 Versão B 1. Foram testados dois tipos de madeira (Carvalho e Pinho) relativamente à sua força de ruptura. O carvalho tem uma força média de ruptura de 56 e um desvio-padrão de 4, ao passo que o pinho tem uma força média de ruptura de 72 e um desvio-padrão de 8. Seja a média amostral da força de ruptura do carvalho para uma amostra de 30 árvores, e a média amostral da força de ruptura de pinho para uma amostra de 40. a. Qual a distribuição e? b. Qual a probabilidade da média amostral ser superior a 45? c. Qual a probabilidade da média amostral ser inferior à media amostral em pelo menos 10 unidades?

12 Turma 37 Versão C 1. Um laboratório farmacêutico está preocupado com a quantidade de determinada toxina (X) num novo medicamento. Os investigadores sabem que a quantidade presente em cada comprimido segue uma distribuição normal com valor espero 0,01 gramas e desvio-padrão 0,0025. De forma a garantir a qualidade do seu medicamento, o laboratório resolveu testar aleatoriamente 10 comprimidos, tendo prometido suspender o fabrico do medicamento caso a quantidade média da toxina superasse as 0,015 gramas. a. Calcule o valor esperado e a variância da quantidade média da toxina presente no lote de 10 comprimidos analisados, explicando todos os passos. b. Qual a probabilidade da produção do medicamento não ser suspensa? c. Esta equipa de investigação está a estudar uma substância Y para contrariar os efeitos secundários da toxina X. A presença da substância em cada comprimido segue uma distribuição normal com média 0,002 e desvio-padrão 0,0004. Qual a probabilidade da média da quantidade da toxina X ser superior à média da quantidade da substância Y, na amostra de 10 comprimidos?

13 Turma 35 Versão A 1. O tempo de concentração de uma criança com dois anos segue uma distribuição Normal com média de 10 minutos e desvio-padrão de 2,5 minutos. Foram avaliados 50 crianças com dois anos, escolhidas de forma aleatória. a. Antes de efectuar cálculos, explique detalhadamente qual a probabilidade que pensa ser mais elevada: i. A probabilidade do tempo de concentração de uma criança ser inferior a 9,5 minutos. ii. A probabilidade da média do tempo de concentração das 50 crianças ser inferior a 9,5 minutos. b. Calcule as probabilidades da a). c. Como alteraria a sua resposta a b) se o tempo de concentração de uma criança de dois anos não seguisse uma distribuição Normal? Explique detalhadamente.

14 Turma 35 Versão B 1. Uma agência de crédito local reportou ao governo que a média de dívidas incobráveis pelos seus clientes é 5500 com um desvio-padrão de 500. Assuma que as dívidas de cada cliente seguem uma distribuição Normal. a. Qual o mínimo em dívida de 80% dos clientes da agência do crédito? b. Num determinado dia foram analisados, aleatoriamente, 15 clientes da agência de crédito. Qual a probabilidade da dívida total dos 15 clientes analisados exceder os 90000? c. O que aconteceria à probabilidade calculada na b) se em vez de terem sido analisados os processos de 15 clientes, tivessem sido analisados 5 clientes? Suporte a sua resposta graficamente.

15 Turma 35 Versão C 1. Uma equipa de investigação médica está a investigar os benefícios de um novo tratamento cirúrgico. Os investigadores sabem que o tempo de recobro de cada doente pode variar de acordo com uma distribuição Normal com média 50 horas e variância 81 horas. a. Qual a probabilidade que um doente escolhido aleatoriamente tenho um tempo de recobro inferior a 45 horas? b. Assuma que foi recolhida uma amostra de 10 pacientes. Qual a probabilidade do tempo total de permanência no hospital após o tratamento ter excedido os 18 dias? c. Suponha que foi desenvolvido um tratamento alternativo, cujo tempo de permanência no hospital, tem o mesmo valor esperado de tempo de permanência no hospital mas um desvio-padrão de 6 horas. A probabilidade do tempo total de permanência no hospital de 10 pacientes exceder os 18 dias com este tratamento será maior, menor ou igual à probabilidade calculada em b)? Suporte a sua resposta através de um gráfico.

16 Turma 33 Versão A 1. De acordo com a Direcção Geral de Impostos, o tempo que cada contribuinte demora a preencher a declaração de IRS é uma variável aleatória cuja distribuição é desconhecida sabendo-se apenas que o desvio-padrão é 120 minutos. Foi avaliada uma amostra aleatória de 45 contribuintes. a. Sabendo que a probabilidade do tempo médio dispendido pelos 45 contribuintes ser superior a 10 horas é 0,9, calcule o tempo médio que cada contribuinte leva a preencher a sua declaração de IRS. b. Ficaria surpreendido se a média do tempo despendido pelos 45 contribuintes fosse superior a 12 horas? Explique detalhadamente. c. Se fossem avaliados 100 contribuintes, como se alterava a distribuição da média amostral? E a distribuição do tempo de preenchimento de um contribuinte? Represente ambos os casos graficamente.

17 Turma 33 Versão B 1. O peso médio duma certa espécie de moluscos é 31g e o respectivo desvio padrão é 2.4g. Recolhe-se uma amostra aleatória de 36 indivíduos desta espécie. a. Caracterize a distribuição do peso médio dos moluscos para os 36 exemplares recolhidos. Demonstre como obteve o valor esperado e a variância da média amostral. b. Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra estar compreendida entre 30 e 32g? c. Sem efectuar cálculos, indique o que aconteceria à probabilidade calculada na alínea b) se fosse recolhida uma amostra de 50 exemplares. Suporte a sua resposta graficamente.

18 Turma 33 Versão C 1. De acordo com um relatório do Centro de Controlo e Prevenção de Doenças, o tempo que cada adolescente passa a ver televisão diariamente á uma variável aleatória com média 2 horas e desvio-padrão 30 minutos. Num determinado dia foi medido o tempo dedicado a ver televisão de 50 adolescentes. a. Descreva detalhadamente a distribuição amostral do tempo total dedicado a ver televisão pelos 50 adolescentes. Não se esqueça de demonstrar o seu valor esperado e a sua variância. b. Qual a probabilidade do tempo total dedicado a ver televisão pelos 50 jovens não exceder as 110 horas? c. Sem efectuar cálculos indique como alteraria a sua resposta a a) e b) se o desvio-padrão do tempo dedicado a ver televisão por um adolescente fosse 20 minutos? Suporte a sua resposta graficamente.

19 Turma 40 Versão A 1. Foram testados dois tipos de madeira (Carvalho e Pinho) relativamente à sua força de ruptura. O carvalho tem uma força média de ruptura de 56 e um desvio-padrão de 4, ao passo que o pinho tem uma força média de ruptura de 72 e um desvio-padrão de 8. Seja a média amostral da força de ruptura do carvalho para uma amostra de 30 árvores, e a média amostral da força de ruptura de pinho para uma amostra de 40. a. Qual a distribuição e? b. Qual a probabilidade da média amostral ser superior a 45? c. Qual a probabilidade da média amostral ser inferior à media amostral em pelo menos 10 unidades?

20 Turma 40 Versão B 1. Uma lei governamental indica que o total de mercadoria transportado por um determinado tipo de avião não pode exceder os 500 kg. Num determinado dia o avião está carregado com 100 caixas de mercadoria. Assuma que o peso de cada caixa segue uma distribuição normal com média 4,5 kg e um desvio-padrão de 1kg. a. Qual a probabilidade de, nesse dia, a lei estar a ser cumprida? b. Qual a probabilidade do peso médio das 100 caixas exceder 4 kg. Identifique detalhadamente a distribuição amostral que utilizar, explicando como encontrou cada um dos parâmetros. c. Assuma agora que este avião foi fretado para transportar outro tipo de caixas com o mesmo peso médio mas com um desvio-padrão de 2. Sem efectuar cálculos, indique como se altera a resposta de b. para um carregamento de 100 caixas. Justifique graficamente.

21 Turma 40 Versão C 1. De acordo com a Direcção Geral de Impostos, o tempo médio que um indivíduo leva a completar a sua declaração de IRS 500 minutos. A distribuição é Normal e sabe-se que o desvio-padrão é 120 minutos. a. Qual a probabilidade de um individuo demorar mais de 550 minutos a preencher a declaração, sabendo que demorou mais de 500 minutos? b. Suponha que foram avaliados os tempos de preenchimento de 100 contribuintes. Qual a probabilidade do tempo médio gasto pelos 100 contribuintes exceder 600 minutos? Descreva detalhadamente a distribuição amostral que utilizar. c. Sem efectuar cálculos diga como alteraria a sua resposta a b) se fossem avaliados 500 contribuintes? Suporte a sua resposta graficamente.

22 Turma 41 Versão A 1. O tempo de permanência na maternidade após o parto é uma variável aleatória Normal com média 2,4 dias e com um desvio-padrão de 0,9 dias. Num determinado mês foram entrevistadas 80 mulheres com crianças recém-nascidas. a. Caracterize a distribuição da média do tempo de permanência na maternidade para as 80 mulheres entrevistadas. b. É provável que uma mulher fique mais de 5 dias no hospital? Justifique quantitativamente. c. Se somarmos o tempo de permanência das 80 mulheres, qual é a probabilidade de, no total, terem ultrapassar 1 ano no hospital?

23 Turma 41 Versão B 1. Os salários anuais dos professores de determinada escola primária são Normalmente distribuídos com uma média de 4000 e um desvio-padrão de 600. Foi recolhida uma amostra aleatória de 10 professores. a. Caracterize a distribuição da média dos salários dos 10 professores da amostra. Descreva detalhadamente como obteve os valores do valor esperado e da variância da variável aleatória relevante. b. Calcula o valor salarial, tal que a probabilidade do salário médio dos 10 professores ser superior a esse valor, seja de 10%. c. Se cada um dos professores recebesse um aumento de 3000, como se alterava a distribuição da média amostral? Represente graficamente.

24 Turma 41 Versão C 1. Um laboratório farmacêutico está preocupado com a quantidade de determinada toxina (X) num novo medicamento. Os investigadores sabem que a quantidade presente em cada comprimido segue uma distribuição desconhecida com valor espero 0,01 gramas e desvio-padrão 0,0025. De forma a garantir a qualidade do seu medicamento, o laboratório resolveu testar aleatoriamente 50 comprimidos, tendo prometido suspender o fabrico do medicamento caso a quantidade média da toxina superasse as 0,0175 gramas. a. Descreva detalhadamente a distribuição amostral da quantidade média da toxina na amostra de 50 comprimidos. b. Qual a probabilidade da produção do medicamento não ser suspensa? Como alterava a sua resposta se fosse dito que a quantidade de toxina presente em cada comprimido seguia uma distribuição normal? c. Suponha que o desvio-padrão da quantidade da toxina presente em cada comprimido é 0,005. Sem efectuar cálculos indique, justificando, como se altera a sua resposta a b). Não se esqueça de recorrer ao conceito de dispersão e justificar a sua resposta graficamente.

25 Turma 34 Versão A 1. Uma equipa de investigação médica está a investigar os benefícios de um novo tratamento cirúrgico. Os investigadores sabem que o tempo de recobro de cada doente pode variar de acordo com uma distribuição Normal com média 50 horas e variância 81 horas. a. Qual a probabilidade que um doente escolhido aleatoriamente tenho um tempo de recobro superior a 60 horas, sabendo que teve um tempo de recobro superior a 50 horas? b. Assuma que foi recolhida uma amostra de 10 pacientes. Qual a probabilidade do tempo médio de recobro não ter excedido as 60 horas? Não se esqueça de indicar detalhadamente a distribuição amostral que considerar adequada. c. Suponha que foi desenvolvido um tratamento alternativo, cujo tempo de permanência no hospital, tem o mesmo valor esperado de tempo de permanência no hospital mas um desvio-padrão de 6 horas. Se este tratamento for aplicado a uma amostra de 10 pacientes, indique sem efectuar cálculos, se a probabilidade do tempo médio de recobro não ter excedido as 60 horas, aumenta, mantém-se ou diminui, relativamente a b)? Suporte a sua resposta graficamente.

26 Turma 34 Versão B 1. Uma equipa de investigação médica está a investigar os benefícios de um novo tratamento cirúrgico. Os investigadores sabem que o tempo de recobro de cada doente pode variar de acordo com uma distribuição normal com média 96 horas e variância 100 horas. a. Suponha que foram analisados 100 pacientes. Qual a probabilidade do tempo médio de recobro dos 100 pacientes ser superior a 97 horas? b. Qual devia ser a dimensão da amostra para obtermos um desvio-padrão da média amostral de 0,5 hora? c. Existe 99 % de probabilidade da média amostral estar entre que dois valores?

27 Turma 34 Versão C 1. O peso duma certa espécie de moluscos é uma variável aleatória com média 50g e desvio padrão é 2.4g. Recolhe-se uma amostra aleatória de 36 indivíduos desta espécie. a. Caracterize a distribuição do peso médio dos moluscos para os 36 exemplares recolhidos. Demonstre detalhadamente o cálculo do valor esperado e da variância. b. Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra estar compreendida entre 45 e 55g? Como alteraria a sua resposta se fosse indicado que o peso dos moluscos seguia uma distribuição normal? c. Sem efectuar cálculos, indique o que aconteceria à probabilidade calculada na b) se fosse recolhida uma amostra de 50 exemplares. Suporte a sua resposta graficamente.

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