ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

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1 Departamento Matemática Disciplina Estatística Aplicada Curso Engenharia Mec. Gest. Industrial 4º Semestre 2º Folha Nº2: Probabilidades 1. Na inspecção final a uma componente electrónica esta é classificada como aceitável para o lançamento no mercado ou não. A componente rejeitada para venda é posteriormente classificada em um dos seguintes tipos de defeitos: funcionais, menores ou de cosmética. Uma componente é seleccionada aleatoriamente de um lote e é classificada. Escreva o espaço de resultados para essa experiência. 2. As possibilidades de escolha para um determinado automóvel contemplam: transmissão automática ou manual, com ou sem ar condicionado e uma das seguintes quatro cores: branco, preto, azul ou vermelho. Escreva o espaço amostral associado à experiência da escolha de um automóvel. 3. Ao dar ordem de pedido de um computador é necessário especificar, em relação ao seu sistema, a memória (4, 8 ou 12 megabytes) e capacidade do disco (200, 300 ou 400 megabytes). a) Escreva o conjunto de todas as ordens possíveis. b) Represente os seguintes acontecimentos: A = {ordem de um computador com pelo menos 8 megabytes de memória}; B = {ordem de um computador com 400 megabytes de disco}; C = {ordem de um computador com pelo menos 300 megabytes de disco e pelo menos 8 megabytes de memória}; 4. Uma máquina automática de controlo verifica, de 10 em 10 minutos, se as latas que saem da linha de enchimento têm o volume de bebida dentro das especificações pré- -estabelecidas. A operação é interrompida quando uma lata falha essas especificações. Escreva o espaço de resultados associado a esta experiência. Página 1 de 7

2 Disciplina Estatística Aplicada 4º Semestre 2º 5. Considere um sistema composto de duas componentes. É feita a inspecção a um desses sistemas e o estado das suas componentes é registado: bom ou com defeito. a) Escreva o espaço de resultados desta experiência. b) Suponha agora que na inspecção de um sistema é registado o número de componentes com defeito. Qual é o espaço de resultados desta experiência. 6. Lançam-se ao acaso 2 moedas e é registado a face voltada para cima. a) Escreva o espaço de resultados da experiência. b) Descreva os acontecimentos elementares. c) Represente os seguintes acontecimentos: A = {sair uma cara} B = {sair no máximo uma cara} C = {sair pelo menos uma cara} 7. Fazem-se lançamentos de uma moeda até sair face pela 1ª vez. Descreva o espaço amostral da experiência. 8. Sejam A, B e C três acontecimentos associados a uma dada experiência aleatória. Encontre expressões para os seguintes novos acontecimentos: a) só ocorre A; b) ocorre A e B mas não C; c) ocorrem os três; d) ocorre pelo menos um; e) ocorrem pelo menos dois; f) exactamente um dos acontecimentos ocorre; g) exactamente dois dos acontecimentos ocorrem; h) nenhum ocorre; i) não mais de dois acontecimentos ocorrem simultaneamente. Página 2 de 6

3 Disciplina Estatística Aplicada 4º Semestre 2º 9. Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10 sendo 3 vermelhas (2, 4 e 6), 5 azuis (1, 3, 7, 9 e 10) e duas brancas (5 e 8). Considere a experiência aleatória que consiste na extracção de uma bola da urna e o registo do seu número e cor. a) Construa o espaço de resultados associado a essa experiência aleatória. b) Calcule a probabilidade de ocorrência dos seguintes acontecimentos: i) sai bola vermelha; ii) sai bola ímpar; iii) sai bola vermelha e bola ímpar; iv) sai bola vermelha e bola par; v) sai bola ímpar ou bola branca; vi) não sai nem bola azul nem bola par; vii) não sai simultaneamente bola azul e bola par; viii) sai bola branca mas não sai bola ímpar; ix) sai bola branca ou bola par mas não ambas. 10. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Escolhe-se ao acaso um artigo. Calcule a probabilidade de: a) o artigo não ser defeituoso; b) o artigo não ter defeitos menores; c) o artigo ser perfeito ou possuir defeitos graves. 11. Considerem-se três acontecimentos A, B e C tais que A B C = Ω, P(A) = 0.3, P( B ) = 0.7, P(C) = 0.5 e A B = C B =. Calcule P(A C). 12. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P(A) = P(B) = P(C) = 1/4 P(A B) = P(C B) = 0 P(A C) = 1/8 a) Calcule a probabilidade de pelo menos um deles acorrer b) Calcule a probabilidade de nenhum ocorrer. Página 3 de 6

4 Disciplina Estatística Aplicada 4º Semestre 2º 13. Sendo P(A) = 0.5 e P(A B) = 0.7 determine: a) P(B) sendo A e B independentes; b) P(B) sendo A e B mutuamente exclusivos c) P(B) sendo P(A B) = Considere os acontecimentos A, B e C com probabilidades não nulas. Sabendo que: - C é mutuamente exclusivo quer com A quer com B; - Dois dos acontecimentos são independentes; - P(A) = 0.2, P(A B) = 0.06, P(C) = 0.15 Calcule P (A B C). 16. Uma urna contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 verdes. Fazem se duas extracções sucessivas sem reposição. a) Diga qual a probabilidade de sair bola verde na 2ª extracção sabendo que na 1ª extracção saiu bola branca. b) Diga qual a probabilidade de sair bola branca na 1ª extracção e bola verde na 2ª. c) Diga qual a probabilidade de sair bola verde na 2ª extracção. d) Diga qual a probabilidade de sair bola branca na 1ª extracção. e) Calcule as probabilidades referidas nas alíneas anteriores sabendo que as bolas foram sucessivamente extraídas com reposição. f) Que pode dizer relativamente à independência dos acontecimentos: extracção de bola branca na 1ª tiragem e extracção de bola verde na 2ª tiragem, nas situações de extracção com reposição e sem reposição? 17. Luís entrou agora para a Universidade e foi informado de que há 30% de possibilidades de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar em 5 anos é de 0.85, enquanto que no caso de a não obter essa probabilidade é apenas de a) Diga a Luís qual a probabilidade de que ele se licencie em 5 anos. Página 4 de 6

5 Disciplina Estatística Aplicada 4º Semestre 2º b) Se daqui a 5 anos encontrar Luís já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo? 18. Uma empresa fabrica aparelhos eléctricos em duas cadeias de produção A e B. Sabe-se que a probabilidade de um desses artigos ser exportado é 0.2 se produzido pela cadeia A, e de 0.5 se produzido pela cadeia B. Além disso, a proporção de artigos provenientes da cadeia A é de 52%. a) Escolhendo um artigo ao acaso da produção da empresa, qual a probabilidade de ser exportado? b) Sabendo que o artigo não foi exportado, qual a probabilidade dele ter sido produzido pela cadeia B? 19. Numa determinada localidade 60% dos utilizadores da Internet nos seus computadores pessoais fazem-no através da ligação à empresa A, enquanto que os restantes são clientes da empresa B. Após um estudo de opinião de mercado conclui-se que 70% dos utilizadores estão satisfeitos com o serviço. Dos clientes da empresa A, 80% afirmaram estarem satisfeitos com o seu serviço. a) Dos clientes da empresa B, qual a percentagem dos que estão satisfeitos com o serviço? b) Nos utilizadores satisfeitos com o serviço, calcule a percentagem dos que são clientes da empresa A. c) Determine a percentagem de utilizadores que são clientes da empresa A e que estão satisfeitos com o serviço. 20. A probabilidade de um atirados acertar no alvo é de 0.9. Em 3 disparos, calcule: a) a probabilidade de ele acertar as 3 vezes; b) a probabilidade de ele acertar pelo menos uma vez; c) a probabilidade de ele nunca acertar. 21. Uma fábrica de discos dispõe de 3 sectores de produção, A, B, e C. Sabe-se que 50% dos discos provêm de A, que em C não há discos defeituosos e que 10% dos discos da fábrica são Página 5 de 6

6 Disciplina Estatística Aplicada 4º Semestre 2º defeituosos. Sabe-se ainda que 2% dos discos da fábrica provêm de B e são defeituosos. Extraise ao acaso um disco da produção da fábrica. a) Determine a probabilidade do disco ser defeituoso, sabendo que provêm de A. b) Determine a probabilidade do disco não provir de B, sabendo que é defeituoso. c) Sabendo que dos discos não defeituosos 40% provêm de C, calcule a probabilidade do disco provir de C. 22. Num stand de venda de automóveis encontramos veículos de baixa, média e alta cilindrada, e em relação ao seu custo há os de preço inferior ou superior a 2500 contos. Sabe-se que 40% são de baixa cilindrada e, entre estes, 10% custam mais de 2500 contos. Sabe-se também que 20% são de média cilindrada e custam menos de 2500 contos. Verificou-se ainda que um automóvel que custe menos de 2500 tem probabilidade de ser de baixa cilindrada igual a 0.6. a) Calcule a probabilidade de um automóvel daquele stand custar menos de 2500 contos. b) Calcule a probabilidade de um automóvel daquele stand ser de alta cilindrada e custar menos de 2500 contos. 23. Um sistema de transmissão de mensagens dispõe de dois canais, C 1 e C 2. Cada mensagem é constituída por uma sucessão de zeros e uns, sendo 60% das mensagens encaminhadas pelo canal C 1. A probabilidade do sistema transmitir correctamente cada um dos sinais (0 ou 1) é de 0.95 para o canal C 1, e de 0.99 para o canal C 2. Se for emitida uma mensagem constituída pelo conjunto de sinais 011: a) qual a probabilidade de ser transmitida correctamente? b) sabendo que foi recebida como sendo 011, i.e., o terceiro sinal foi transmitido incorrectamente, qual é a probabilidade de ter sido transmitida pelo canal C 1? Página 6 de 6