Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao

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1 Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial Autor: Bruno Pinho Meneses Orientadores: Janailson Rodrigues Lima Prof. Dr. Ricardo Silva Thé Pontes Tutor: José Carlos Teles Campos Maio/2010

2 Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao Método dos Elementos Finitos Método de Garlekin Aplicações em Eletromagnetismo Transformadores Conclusão

3 L[ u] = s L : Operador Seja uma Equação Diferencial Ordinária ou Parcial. u : Função s : Fonte Exemplo: 2 V ρ = ε (Equação de Poisson)

4 Em alguns casos, uma solução analítica para certas equações diferenciais seria muito difícil, ou até impossível de se determinar. Para que seja obtida uma solução para o problema, vários métodos de resolução numérica são utilizados. Para problemas de Eletromagnetismo, alguns métodos aplicados são: Método das Diferenças Finitas, Método das Linhas de Transmissão, Método dos Elementos Finitos.

5 O MEF foi desenvolvido para resolução de problemas relacionados à estruturas. Possui um alto custo computacional. Possui a capacidade de modelar problemas que envolvem geometrias complexas.

6 O Método dos Elementos Finitos (MEF) é executado da seguinte forma: É feita uma aproximação para a solução da EDO ou EDP O domínio é discretizado por elementos, chamados de Elementos Finitos Funções de base são obtidas a partir de parâmetros dos elementos u Os valores da função em vários pontos do domínio são encontrados com a minimização de resíduos a partir do Método dos Resíduos Ponderados ou a partir da minimização de um funcional, utilizando princípios do Cálculo Variacional.

7 u o Seja a solução de um problema de valor de contorno, a mesma poderá ser aproximada por: α i = 1,2,..., n Onde, são valores da função em pontos do i domínio. φi i = 1,2,..., n n u n o uo E, são funções de base. Quando,. n n o = o i. i i= 1 u u α φ

8 Tendo definido uma aproximação para a função, o domínio Ω deverá ser divido em várias sub-domínios chamados elementos. u o

9 Divisão do domínio para o caso UNIDIMENSIONAL Ω [ a, b] R Seja o domínio definido pelo intervalo, o mesmo deve ser divido em vários subintervalos. Após a divisão do domínio temos: α i Ω i valor da função no ponto i-ésimo elemento i

10 Funções de Base para o caso UNIDIMENSIONAL x xi 1, x [ xi 1, xi ] xi xi 1 x + xi+ 1 φi =, x [ xi, xi+ 1] xi+ 1 xi 0, x R [ xi 1, xi+ 1]

11 Divisão do domínio para o caso BIDIMENSIONAL Dado um domínio bidimensional, este Ω deve ser dividido por formas geométricas. Temos ao lado a divisão com elementos triângulares:

12 Análise de um elemento e suas funções de base A figura ao lado mostra um dos tipos de elemento que pode ser utilizado para a subdivisão do domínio. Elemento Triângular i

13 Ω P1 P2 P i 3 Em relação ao elemento, os pontos, e são i i i chamados de nós locais do elemento, ao mesmo tempo que para todo o domínio eles são 3 dos nós globais. Cada um dos nós locais terá as seguintes propriedades. Possuirá uma função do tipo: j = 1,2,3 φ ij = a j + bjx + c j y j Para. Onde cada valor de está relacionado à um nó local do elemento.

14 Funções de base para o caso φ φ φ BIDIMENSIONAL i1 i2 i3 = = = xi 2 yi3 xi3 yi2 + yi2 yi3 x + xi 3 xi 2 y 2D ( ) ( ) ( ) xi 3yi1 xi1yi 3 + yi3 yi1 x + xi1 xi 3 y 2D ( ) ( ) ( ) xi1yi 2 xi 2 yi1 + yi1 yi 2 x + xi 2 xi1 y 2D ( ) ( ) ( )

15 1 x y 1 D = 1 x y 2 1 x y i1 i1 i2 i2 i3 i3

16 Considerações Iniciais: Considerando os espaços e normados e completos, definimos uma transformação: Satisfazendo: S : U U V V R S( λ. u1 + µ. u2, v) = λ. S( u1, v) + µ. S( u2, v) S( u, λ. v1 + µ. v2) = λ. S( u, v1 ) + µ. S( u, v2) * * * S( u, v ) = 0 para u V fixo e v U u = * * * S( u, v ) = 0 para v V fixo e v = u U 0 0

17 O Método dos Resíduos Ponderados Considerando agora o operador em definido sobre o espaço U, tal que: L u = s, s U [ ] Considerando a transformação previamente definida, oé solução do problema se: ( [ ] ) S L u o S L Ω s, v = 0, v V u

18 u n o Seja uma solução aproximada de, então: r n Onde é um resíduo, devido ao fato da solução ser aproximada. Lembrando que: n L u o s = r u n n = o i i i= 1 O processo de minimização do resíduo fornecerá um sistema de equações lineares onde as incógnitas serão os coeficientes α i α φ n u o

19 S : U V R Lembrando da operação definida anteriormente, sabemos que: S ( u*, v ) = 0 u * = 0 v V n Como queremos r = 0, temos: ( n S r, w ) i = 0 w { } i w i i = 1, se e. denso em V

20 Devemos agora encontrar uma transformação que satisfaça as condições anteriores. Essa transformação é: ( ) n n n S r, wi = r, wi = wir dω = 0 Percebe-se que quando, Esse método nos leva a um sistema de equações lineares que ao ser resolvido nos fornece a solução [ ] α = α α L α 1 2 n, concluindo a solução do problema. Ω n r n, w 0 i

21 Tendo definido as propriedades e o que é o Método dos Resíduos Ponderados, podemos entrar em um caso particular do Método dos Resíduos Ponderados, o Método de Garlekin. O Método de Garlekin consiste em fazer com que seja o espaço. φ i { } Desse modo, a equação a ser resolvida se torna: w i { } φ n i r d Ω Ω

22 O Método dos Elementos Finitos é muito empregado na resolução de problemas voltados à Eletromagnetismo Aplicado, sendo muito utilizado para o estudo de Transformadores, Máquinas Elétricas e propagação e interferência de ondas. A forma de resolver problemas de Magnetostática será mostrada para casos bidimensionais. Casos mais complexos envolvendo geometrias tridimensionais serão mostrados também, porém, os resultados foram obtidos por meio da utilização de Softwares especializados.

23 Equações de Maxwell ur ρ E = ε o ur B = 0 ur ur B E = t ur ur B = µ J + µ ε o o o ur E t

24 Trabalhando matematicamente com as Equações de Maxwell, e fazendo uso do Calibre de Coulumb ( A = 0) obtemos: 2 ρ 2 V = V = 0 ε o ur ur ur r A = µ J A = o Que são as Equações de Poisson para a eletrostática e magnetostática. Em regiões livres de fontes, as equações reduzem-se as Equações de Laplace ur

25 Encontrar a distribuição da densidade de campo magnético:

26 No plano, tem-se a seguinte equação a ser resolvida: A A µ µ x x y y Tem-se ainda que: 1 z + 1 z = B B x y A = y z A = x z J z

27 Condições de contorno: Condição de Dirichlet: A Γ = k (constante) Condição de Neumman: A nˆ = 0 z

28 Pelo método de Garlekin: Para i S = 1,2,..., n φ A dω φ J = 2 i z i z S 0 Levando à um sistema de equações lineares: K A = b 1 A = K b

29 Resultado:

30 Um transformador é um dispostivo utilizado para transformar energia elétrica em energia elétrica, modificando, porém, valores de tensão e corrente. Baseia-se na Lei de Faraday. Para que o transformador opere é necessário que exista um acoplamento magnético entre dois enrolamentos. Usa-se núcleos ferromagnéticos. Porquê utilizar transformadores?

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33 A relação entre as tensões do lado de alta tensão e do lado de baixa tensão de um transformador monofásico são dadas pela seguinte relação: V Nd φ V N dt 1 1 = φ V2 = 1 N2 V 1 2 N2 dt Enquanto a relação entre as correntes é dada por: I I = N N

34 Existem algumas classificações para a operação do transformador. o Operação em vazio. o Operação em curto-circuito. o Operação em plena carga.

35 Operação em vazio: o Corrente de excitação: Corrente de magnetização. Corrente de perdas.

36 Deve ser considerado em um transformador, também, as resistências do enrolamento, e o fato de que nem todo o fluxo magnético gerado pelo enrolamento vai para o núcleo, gerando, portanto um fluxo de dispersão. O transformador monofásico pode ser esquematizado por um circuito equivalente, levando-se em consideração todas a grandezas expostas até o momento. O circuito equivalente possuirá impedâncias que representam os fenômenos que ocorrem no transformador.

37 Circuitos equivalentes para transformadores monofásicos:

38 Transformador: Dimensões:

39 Transformador:

40 Discretização

41 Núcleo de Aço 1008 Curva B-H:

42 Relação de espiras: Enrolamento de baixa tensão: 144 Enrolamento de alta tensão: 4128 Relação de Transformação: 28,67 Condutividade Elétrica: 6 6,25.10 S / m

43 Resultados: Simulação 1 (Tensão senoidal, 60Hz, 0,495A) Campo Magnético

44 Campo Magnético

45 Perdas no núcleo

46 Energia no núcleo

47 Correntes Parasitas (Jencore não fatiado)

48 Correntes Parasitas (Jencore fatiado)

49 Perdas Jencore não fatiado: 54,02073 W (rms) Jencore fatiado: 32,59149 W (rms) Redução Percentual: 39,67%

50 Relação de Tensões V α = 28,58 1 V 2

51 Resultados: Simulação 2 (Pulso retangular, Ts=0.01s, Td=0.01s, Ta=0.4s, 0.495A)

52 Campo Magnético:

53 Perdas no núcleo:

54 Tensões nos enrolamentos:

55 Apesar do grande esforço computacional exigido pelo método dos elementos finitos, este possui uma grande aplicabilidade prática, se mostrando eficaz em diversas aplicações na engenharia. E, com o auxilio dos método dos resíduos ponderados, somos capazes de encontrar soluções precisas para diversas equações diferenciais.

56 FITZGERAL, A. E.; KINGSLEY Jr., Charles; UMANS, Stephen D.. Electric Machinery, 6th Edition. New York: McGraw Hill, 2003; BASTOS, João Pedro A.; SADOWSKI, Nelson. Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods.; MACHADO, Kleber Daum; Teoria do Eletromagnetismo Vol 1. Ponta Grossa: UEPG, 2000.

57 À Deus À Família Aos Petianos Ao Prof. Dr. Ricardo Thé

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