Atividade Proporcionalidade (vídeo)

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1 Atividade Proporcionalidade (vídeo) Atividade CNI/EM Presencial 1. Introdução O objetivo dessa atividade é estudar as relações de proporcionalidade (direta e inversa) entre grandezas. O material-base será a vídeo-aula Proporcionalidade, produzida pelo Setor de Educação de Jovens e Adultos da Fundação Bradesco, disponível em: sino%20mdio.aspx O vídeo apresenta quatro situações-problema, seguidas de resolução, que envolvem o raciocínio com a ideia de proporcionalidade. São elas: - Determinação de uma distância a partir de um mapa e sua escala; - Determinação de um tempo de percurso a partir da distância; - Determinação do tempo necessário para uma pessoa realizar uma tarefa; - Determinação do tempo necessário para duas pessoas realizarem a mesma tarefa anterior; Em alguns momentos, no vídeo, a resolução (cálculos) está inevitavelmente corrida. Nesses casos, é interessante repetir os trechos pausadamente, quantas vezes forem necessárias. A seguir está apresentado um roteiro para o trabalho com o vídeo. Em seguida, são propostas algumas atividades complementares sobre o mesmo tema. 2. Roteiro para o trabalho com o vídeo - Exibição do trecho [00:00 a 00:42] Intervenção: Questionar se os alunos entenderam o exemplo da preparação do arroz. Perguntar a eles como eles fazem arroz quais as quantidades de água e de arroz que usam. Perguntar como fazem caso queiram preparar mais ou menos arroz do que o habitual. Por exemplo, suponhamos que um aluno normalmente prepare o arroz misturando um copo de arroz com dois copos de água. Perguntar que quantidade ele usaria caso recebesse a visita de parentes ou amigos, ou então caso ele fosse fazer uma porção menor, para menos pessoas ou menos dias. Reforçar que, independentemente da quantidade preparada, existe sempre uma relação (que chamamos de proporção ou proporcionalidade) entre as quantidades de água e arroz.

2 - Exibição do trecho [00:42 a 01:16] Intervenção: Perguntar aos alunos se o problema do Hélio está claro: estimar a distância para ter uma ideia do tempo que ele vai levar para chegar ao emprego. Mostrar que essa é uma situação bastante comum e perguntar como os alunos tentariam resolver esse problema. - Exibição do trecho [01:16 a 02:41] Intervenção: Retomar com os alunos o procedimento adotado pelo Hélio (medida do comprimento do caminho no mapa), verificando se ele está claro. Em seguida, perguntar se os alunos entenderam o significado da escala do mapa e as transformações apresentadas na tela: 1 cm no mapa equivale a cm na realidade, ou 500 m. Caso necessário, explicar com mais detalhes. - Exibição do trecho [02:41 a 03:20] Intervenção: Discutir novamente este ponto importantíssimo abordado no vídeo. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, uma variação em uma delas (uma multiplicação ou uma divisão por um número qualquer) produz a mesma variação na outra. Ilustrar isso com a preparação do arroz. Se, por exemplo, usarmos para 1 xícara de arroz 2 xícaras de água, então para 5 xícaras de arroz (variação=multiplicação por 5) usaremos 10 xícaras de água (variação=multiplicação por 5 também). Se, por outro lado, resolvermos fazer meia xícara de arroz (variação=divisão por 2), então usaremos 1 xícara de água (variação=divisão por 2 também). - Exibição do trecho [03:20 a 04:41] Intervenção: Perguntar se os alunos compreenderam o procedimento de cálculo de distâncias através do mapa. Provavelmente haverá alunos que não compreenderam, pois os cálculos foram feitos de forma relativamente rápida. Explicar ponto a ponto, desde o estabelecimento da igualdade entre as razões (montagem da regra de três) até o procedimento para calcular o valor desconhecido (multiplicação em cruz). Repassar o vídeo quantas vezes forem necessárias. - Exibição do trecho [04:41 a a 04:54] Intervenção: Perguntar aos alunos se eles acham que é possível relacionar a distância com o tempo de percurso. Eles devem pensar, intuitivamente, que quanto maior a distância, maior o tempo. - Exibição do trecho [04:54 a 05:23] Intervenção: Pedir que os alunos olhem a tabela com as distâncias e tempos de percurso e procurem alguma regularidade.

3 - Exibição do trecho [05:23 a 06:30] Intervenção: Novamente, perguntar aos alunos se compreenderam os argumentos dados na resolução dos problemas. Dar bastante atenção à explicação da proporcionalidade entre distância e tempo. Na prática, a proporcionalidade não é exata, mas sim aproximada. Entretanto, é uma aproximação que costuma funcionar muito bem! Repassar o vídeo, reexplicando, caso necessário, conta por conta, argumento por argumento. - Exibição do trecho [06:30 a 06:45] Intervenção: Perguntar se os alunos conseguem resolver o problema (isto é, determinar o tempo necessário para encadernar 40 apostilas, considerando que as 5 primeiras foram feitas em 10 minutos). - Exibição do trecho [06:45 a 07:24] Intervenção: Novamente, repassar o vídeo, reexplicando, caso necessário, conta por conta, argumento por argumento. Destacar que a hipótese fundamental para a proporcionalidade é que o Hélio faça as 40 apostilas no mesmo ritmo em que fez as 5 primeiras. - Exibição do trecho [07:24 a 08:09] Intervenção: Perguntar se os alunos compreenderam o problema e se perceberam que (1) existe uma relação entre o número de pessoas trabalhando e o tempo necessário para cumprir a tarefa e (2) que essa relação é bem diferente da proporcionalidade direta. - Exibição do trecho [08:09 a 08:37] Intervenção: Verificar com a classe se eles compreenderam o raciocínio e reexplicar, se for o caso. - Exibição do trecho [08:37 a 09:10] Intervenção: Destacar o conceito da variação inversa entre grandezas: quando uma grandeza aumenta/diminui certo número de vezes, a outra diminui/aumenta o mesmo número de vezes (note a inversão da ordem: aumenta/diminui diminui/aumenta. Tudo a ver com a proporcionalidade inversa!). Perguntar aos alunos se eles podem dar outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais. - Exibição do trecho [09:10 a 09:46]

4 Intervenção: Verificar se os alunos compreenderam o exemplo e reforçar novamente a ideia da variação inversa. - Exibição do trecho [09:46 final] Ao final da exibição do vídeo, fazer um fechamento destacando as ideias principais e as situaçõesproblema trabalhadas. Chamar a atenção dos alunos para a relação muito estreita entre a proporcionalidade e as operações de multiplicação e a divisão. Discutir com os alunos que a proporcionalidade direta é uma extensão natural dessas operações. Ilustrar isso com o seguinte exemplo: Uma pista de atletismo tem 400 m de comprimento. Quantos metros correrá um atleta que der 5 voltas nessa pista? Trata-se de um raciocínio multiplicativo simples: basta multiplicar 400 por 5. Entretanto, na base desse raciocínio encontra-se a noção de proporcionalidade direta entre o número de voltas e a distância total corrida: aumentando-se o número de voltas 5 vezes, a distância também é aumentada 5 vezes. Explicar que o ponto-chave do raciocínio com a proporcionalidade é reconhecer uma relação de paralelismo entre duas ou mais grandezas. Que relação de paralelismo é essa? A seguinte: quando uma grandeza é multiplicada ou dividida por um número, as grandezas diretamente proporcionais a ela são multiplicadas ou divididas pelo mesmo número. Ilustrar com mais um exemplo. Mostrar a tabela abaixo aos alunos e pedir que comparem os números da 1ª coluna com os da 5ª coluna. Mostrar que todos eles são multiplicados por 5 (1 5=5; 2 5=10; 0,8 5=4). Da mesma forma, comparar os números da 6ª coluna com os da 2ª. Nesse caso, todos os números são divididos por 3 (6 3=2; 12 3=4; 4,8 3=1,6). x 5 Número de caixas Massa ( peso ) 2 kg 4 kg 6 kg 8 kg 10 kg 12 kg 14 kg 20 kg Volume 0,8 L 1,6 L 2,4 L 3,2 L 4 L 4,8 L 5,6 L 8 L 3 Pedir aos alunos para levantar mais algumas situações cotidianas onde aparecem relações de proporcionalidade (direta e inversa).

5 Sugestões: - Preparação de uma receita: como fazer um bolo duas vezes maior? Como adoçar uma jarra de suco equivalente a 5 copos se, para 1 copo, costuma-se usar 2 colheres de chá de açúcar? Prop. direta Prop. inversa - Preço por quilo: no restaurante, um quilo de comida custa R$ 15,00. Quanto se paga por 400g? - Gasto de água: como estimar o volume de água gasto em um banho? Pode-se abrir o chuveiro durante 10 segundos, armazenar a água e medir o seu volume. Em seguida, mede-se o tempo em que o chuveiro fica aberto em um banho. A partir daí, basta usar a proporcionalidade direta entre tempo e volume d água. - Tempo de espera: se a companhia de ônibus de uma cidade aumentar 3 vezes a frota de veículos circulando, o tempo médio que os passageiros esperam no ponto tende a diminuir 3 vezes. 3. Atividades complementares 3.1 Discussão do significado matemático dos termos por, a cada e em cada. Discutir com os alunos que expressões com os termos por e a cada ou em cada são muito comuns. Exemplos: - Para receber o benefício, a família precisa ter renda mensal de até 140 reais por pessoa. - Um ônibus anda com velocidade média de 80 quilômetros por hora. - Um professor ganha R$ 1.200,00 por mês. Um médico ganha R$ 600,00 por plantão. - Em uma plantação de eucaliptos há cerca de 3 árvores por metro quadrado - A densidade da água é de 1 tonelada por metro cúbico. - Três em cada 10 mulheres deixa o emprego para cuidar dos filhos. - Em cada três assassinatos no Brasil, dois são de negros. - A cada cinco mortes registradas nas rodovias, uma é por atropelamento. Explicar que esses termos sempre indicam uma relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas. No caso da palavra por, colocada entre duas grandezas, a proporção refere-se sempre a uma unidade da segunda grandeza. Por exemplo, quando se diz que em uma plantação de eucaliptos há 3 árvores por metro quadrado, isso indica uma proporção entre as grandezas número de árvores e número de metros quadrados, tomando-se como referência uma unidade da segunda grandeza (isto é, 1 m 2 ): se o número de metros quadrados é igual a 1 (uma unidade), então o número de árvores é igual a 3. Essas duas grandezas são diretamente proporcionais: se considerarmos uma área

6 20 vezes maior (20 m 2 ), haverá 20 vezes mais árvores (60 árvores). Matematicamente, essas proporções são expressas por frações equivalentes: As expressões em cada ou a cada também indicam proporções. A única diferença em relação à palavra por é que a proporção não se refere necessariamente a uma unidade da segunda grandeza. Assim, quando se diz que 3 em cada 10 mulheres deixa o emprego para cuidar dos filhos, existe uma relação de proporcionalidade direta entre as grandezas número de mulheres que deixam o trabalho para cuidar dos filhos e número total de mulheres que trabalham. Isto é, se for feita uma pesquisa com 10 mulheres que trabalham, em média 3 responderão que tiveram que deixar o emprego para cuidar dos filhos. Se a pesquisa for feita com 20 mulheres, em média 6 darão essa resposta. Como qualquer relação de proporcionalidade direta, ela é representada por frações equivalentes: 3.2 Situações-problema Para finalizar, propor aos alunos os dois problemas a seguir, extraídos do Livro do Estudante do ENCCEJA (Matemática - Ensino Fundamental). 1º problema: Dar um tempo para que eles respondam da maneira que julgarem correta, sem fornecer pistas. Comentário: Este pode ser considerado um problema aberto, isto é, que não admite uma única resposta. Por exemplo, se Pedro não quiser comer 6 maçãs, mas apenas 3, a oferta de 6 não é vantajosa. Por outro lado, se ele quiser comer as 6 maçãs, a oferta é vantajosa, e a argumentação passa pela ideia de proporção. A oferta de 6 maçãs mostra que a proporção preço por maçã é de de real (R$ 0,17, aproximadamente). Já a oferta de 3 maçãs mostra que a proporção preço por

7 maçã é de R$ 0,20 ( Atividade CNI/EM Presencial ). Assim, escolhendo a oferta de 6, Pedro estará pagando proporcionalmente um preço mais baixo ( proporcionalmente significa que estamos falando do preço por maçã). 2º problema: Comentários: No item a, provavelmente a maior parte dos alunos dirá que as partes de cada sócia devem ser diferentes. O argumento provavelmente será o de que elas trabalharam quantidades de horas diferentes. Na base desse argumento está a ideia de proporcionalidade entre o número de horas trabalhadas e a participação nos lucros: quem trabalha mais deve receber mais, na mesma proporção. O item b pergunta, então, como determinar cada parte. Para isso, estabelecemos a proporcionalidade direta entre o número de horas trabalhadas e o rendimento: Considerando que o número total de horas diárias trabalhadas é 20 (12+8), temos: Luísa:

8 x = R$ 2.160,00 Ana: y = R$ 1.440,00