Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Onda Plana Uniforme no espaço livre (Capítulo 11 Páginas 375 a 384) Onda Plana Uniforme em dielétricos com perdas Onda Plana Uniforme em condutores Eletromagnetismo I 4 Prof. Daniel Orquiza

3 Na aula passada consideramos uma onda plana se propagando no espaço livre. Uma onda se propagando em um meio dielétrico ou magnético sem perdas se comportará de forma similar, porém a velocidade de fase será dada por: v= 1 c = c µε µrεr A onda se comportará de forma diferentes se o meio seja condutor σ 0 ou apresente absorção. Neste último caso: ε = ε ' jε '' Onde ε é a parte imaginária da permissividade do dielétrico e está associada a absorção de radiação EM pelo material. 1

4 Para levar em conta a absorção, temos que incluir a corrente de condução e a parte imaginária de ε nas Eqs. de Maxwell. E = jωµ H (L. F.) H = σ + jω (ε ' jε '') E Ou: H = (σ + ωε '') + jωε ' E (L. A.) Aplicando o rotacional na L. de Faraday, e usando uma identidade vetorial: E = jωµ H E E = jωµ (σ + ωε '') + jωε ' E ( )

5 Para meios sem cargas, podemos ignorar o primeiro termo da eq. anterior. A Eq. resultante é a Eq. vetorial de Helmholtz. E jωµ (σ + ωε '') + jωε ' E = 0 A constante de propagação complexa γ é então definida como: γ = jωµ (σ + ωε '') + jωε ' Na verdade, é possível especificar as perdas do meio através da condutividade (somente) OU da parte imaginária de ε ( ε ): γ = jωµ (σ + jωε ') Onde γ possui parte real e imaginária. γ = α + jβ ou ωε '' Onde α é a constante de atenuação e β é a constante de propagação (real) ou constante de fase. 3

6 Da definição de γ, podemos escrever que a parte real de γ é: ℜe {γ } = α β = ω µε ' (1) Por outro lado, o valor absoluto de γ é: γ = α + β = ωµ σ + (ωε ') Somando as duas expressões anteriores, temos: () ou ωε '' ω µε ' σ α= +1 1 ωε ' Subtraindo (1) de (), temos: ω µε ' σ β= ωε ' 4

7 Além disso, é possível mostrar que para um meio com condutividade não nula a impedância intrínseca é: η= jωµ σ + jωε ' ou ωε '' Que para σ = 0 se torna (µ/ε)1/ Para uma onda Plana Uniforme se propagando em z e polarizada ao longo de x: E(z, t) = E0 e α z cos (ω t β z ) aˆ x e E 0 α z H (z, t) = ℜe e cos (ω t β z ) aˆ y η 5

8 Atenuação de ondas 7

9 As expressões anteriores para α, β e η são válidas tanto para meios dielétricos quanto condutores. Para um condutor, podemos ignorar o termo ωε. Para um dielétrico com perdas, podemos ignorar a condutividades σ nas equações. Na realidade um dielétrico que absorve radiação EM possui uma condutividade associada com a parte imaginária de ε por: σ = ωε '' ε '' = σ ω 6

10 No caso de condutores perfeitos (σ = ), ou de bons condutores (σ 107), temos: σ >> 1 ωε ' De forma que as constantes α e β podem ser simplificadas. α=β= ωµσ = π f µσ A impedância intrínseca, para bons condutores, fica: η= jωµ σ O que implica que o campo elétrico está adiantado com relação ao magnético em 45º, num bom condutor. 7

11 O comprimento de onda da radiação EM está relacionado com a constante de propagação (parte real da constante de propagação complexa). O comprimento de onda dentro de um material é diferente do comprimento de onda no vácuo. vp π π c λ0 λ= = π = = β ω εr' µr ω εr' µr A razão entre a corrente de condução e o coeficiente da parte imaginária da corrente de deslocamento é definida como a tangente de perdas. σ ωε '' ε '' tan δ = = = ωε ' ωε ' ε ' A tangente de perdas é um parâmetro tabelado para materiais comumente usados em RF e microondas. 8

12 A corrente de deslocamento está 90º adiantada (no tempo) com relação à corrente de deslocamento. O ângulo δ é a diferença de fase entre a corrente de deslocamento e a corrente total (JD está adiantada). δ 9

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