Formulário para Transferência de Calor e Massa I

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1 Formulário para Transferência de Calor e Massa I Profs. Vicente/Santiago FEB/UNESP-Bauru Balanço de energia Ė Ac = Ėe Ės +ĖG para um corpo a temperatura uniforme: Ė Ac = ρ V c p T t ei de Fourier para a condução na direção x: q cond = k A S T x geração de energia uniforme: Ė G = q V Equação iferencial e Condições de Contorno α T t = T x + T y + T + q k Tipo Condição padrão Expressão para posição x = x 0 a espécie Temperatura especificada T(x 0 ) = T i a espécie Fluxo de calor determinado q (x 0 ) = k dt = q dt i = = q i dx dx k x0 x0 k dt = h (T(x 0 ) T ) ou h (T T(x 0 )) dx x0 3 a espécie Troca de calor por convecção Observações: Temperaturas na convecção devem considerar o sentido de q positivo. Coeficiente global ou relação de resistência térmica podem modificar a implementação desta condição. (h U) Condução Unidimensional e Sistemas com Geração de Energia Plana Cilíndrica Esférica ( ln(r /r ) Condução R t ) KA πk 4πk r r d T Ger. Energia dx + q ( k = 0 d r dt ) + q ( r dr dr k = 0 d r r dt ) + q dr dr k = 0 - Geral T = qx k +C x+c T = qr 4k +C q r ln(r)+c T(r) = 6 k C r +C [ T pdada T = ( )+ q x k T = ( qr r q ( ] R r )+T 4 k R sup T(r) = 6 k +T s R) T s+ T s x + T s+ +T s

2 Resistência Térmica de Convecção: R c = /(h A) Fluxo de Calor por Radiação: q = ǫ σ A (T 4 s T4 vi ) = h ra(t s T vi ) sendo: h r = ǫ σ (T s + vi ) (T s +T vi ) e T s,t vi em escala absoluta. Area Superficial (A c ) e volume(v): Cilindro: A c = π / V = π 4 Esfera: A c = 4 π R / V = 4 3 π R3 Superfícies Estendidas Soluções usuais d T dx hp hp h ka (T T ) = 0 sendo que m = ka k t se W >> t e θ = T T, Solução Geral: θ = C exp(mx)+c exp( mx) = C senh[m( x)]+c cosh[m( x)] Ponta da aleta Perfil de Temperatura Calor isssipado com convecção θ b cosh[m( x)]+(h/mk)sinh[m( x)] sinh(m )+(h/mk)cosh(m ) h P k A θb cosh(m )+(h/mk)sinh(m ) cosh(m )+(h/mk)sinh(m ) com isolamento θ b cosh[m( x)]] h P k A θb tanh(m ) cosh(m ) θ sinh(m x)+θ b sinh[m( x)] θ b cosh(m ) θ temperatura dada h P k A sinh(m ) sinh(m ) infinita (m >,65) θ b exp( m x) h P k A θb Comprimento corrigido c = + c sendo c = A P t se W >> t efinição do rendimento de uma aleta: η = q real q Ideal = q diss e a resistência térmica de uma aleta: R al = θ b = h A conv θ b q }{{} tabela η h A conv Para uma aleta de ponta adiabática ( c = ) ou usando o comprimento corrigido, o rendimento pode ser calculado pela expressão: η = tanh(m c) m c

3 Gráfico do η de Aletas Triângulares, Parabólicas e Cônicas A p = / A p = /3 Rendimento(η) t00 A p = t/3 A conv = [C + ( ) ] ln(t/ +C ) t onde C = +(t/) t A conv = π A p = t/ ( ) A conv = +(t/) A conv = π3 8 [C 3C 4 ( )] ln C4 +C 3 onde C 3 = +(/) e C 4 = +(/) h k A p 3/ Gráfico do η de Aletas circunferenciais Rendimento (η) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 r c /r =,5 3 7,5 54 r c /r = 0 0,3 0, r c = r +t/ c = r c r 0, 0 0,5 c 3/ h k c t,5,5 3

4 Tabela de Fatores de Forma na condução Cálculo de Fluxo de Calor: q = k S (T T) ou ainda R term = k S Geometria Figura Condições Fator de Forma na Condução Esfera enterrada em um meio T > / S = π /(4 ) T isco sobre uma superfície semi-infinita - S = Cilindro de cumprimento num meio semi-infinito T >> S = π cosh ( /) ois cilindros espaçados em um meio T >> (, ) >> π S = ( 4 cosh ) Cilindro Vertical em meio semi-infinito T >> S = π ln(4 /) T T Cilindro de cumprimento no interior de quadrado sólido > >> S = π ln(,08/) Cilindro entre dois planos T >> / >> S = π ln[8 /(π )] 4

5 Geometria Figura Condições Fator de Forma na Condução T Cilindro em um cilindro maior > >> S = ( π cosh + 4 ) Aresta de uma caixa ou duto quadrado no interior de quadrado sólido e e T e < /5 S = 0,54 e e Vértice de uma caixa T e << aresta S = 0,5 e Análise Transiente Formulação concentrada (Bi = h (V/A)/k < 0,) Bi Fo = h A sup t ρ V c = t τ e a solução: θ θ i = T T T i T = exp( Bi Fo) e ainda Q(t) Q 0 = θ (t) Formulação distribuída (Fo 0, o termo da série é suficiente) Plana Cilíndrica Esférica Temperaturas θ = C exp( ζ Fo)cos(ζ x ) θ = C exp( ζ Fo)Jo(ζ r ) θ = C exp( ζ Fo)sen(ζ r ) ζ r Equação de ζ ζ tan(ζ) = Bi ζ J (ζ) ζ = Bi J 0 (ζ) tan(ζ) = Bi Constante C C = Energia Transferida 4sen(ζ ) ζ +sen(ζ ) Q = sen(ζ ) θr=0 Q 0 ζ C = ζ sendo: θ = T T,Fo = αt αt h ou T i T R,Bi = k J (ζ ) J 0 (ζ )+J (ζ ) Q Q 0 = θ r=0 ζ J (ζ ) C = 4[sen(ζ ) ζ cos(ζ )] ζ sen(ζ ) Q = 3 θ r=0 Q 0 ζ 3 [sen(ζ ) ζ cos(ζ )] ou h R k,α = k ρ c,x = x e ainda r = r R, 5

6 Tabela com o primeiro valor de ζ e a constante C, em geometrias: Número de Plana Cilíndrica Esférica Biot ζ C ζ C ζ C 0, 0,09983,07 0,4,005 0,73,003 0,05 0,8,008 0,343,4 0,3854,5 0, 0,3,6 0,447,046 0,543,098 0, 0,438,03 0,67,0483 0,7593,059 0,5 0,6533,07 0,9408,43,66,44 0,8603,9,56,07,57,73,077,785,599,3384,09,4793 5,34,40,99,509,57,787 0,49,6,79,5677,836,949 0,496,699,88,599,986,978 00,555,73,38,65 3,,999,569,73,40,60 3,38 Tabela com os valores de função de Bessel de primeira espécie x J 0 (x) J (x) x J 0 (x) J (x) x J 0 (x) J (x) 0 0 0,8 0, ,36884,6 0, , , 0, , ,9 0, ,40595,7 0, , , 0, , , ,44005,8 0, ,5857 0,3 0, ,4839, 0,796 0,47090,9 0,889 0,5857 0,4 0, ,9607, 0,6733 0, ,389 0, ,5 0, ,468,3 0, ,503, 0, ,5689 0,6 0,9005 0,867,4 0, ,54948, 0,036 0, ,7 0,88 0,38996,5 0,588 0,557937,3 0, , Perfil de Temperaturas - Meio Semi-Infinito 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 h αt k = 3,0,5,0 0,8 0,5 0,3 0,5 0, θ 0, 0,5 0, 0,075 0,05 0 0, 0,4 0,6 0,8 η = x αt,,4 6

7 Trocas de Calor por Radiação Emissão de um corpo negro: E CN = σ T 4 sendo σ = 5, W/m.K 4 e T em K. Propriedades dos Fatores de forma: Reciprocidade Fechamento Somatória A i F i,j = A j F j,i n F i,j = A i = l l A k A i F i,j = A k F k,j j= k= k= Resistências térmicas para corpos cinas: Energia total: q i = J i E CN,i R i sendo R i = ǫ i ǫ i A i Troca entre corpos: q i,j = J i J j R i,j sendo R i,j = A i F i,j Cálculos e gráficos do Fator de Forma 7

8 i α j (W i +W j ) +4 (W j W i ) +4 F i,j = W i W i = i / e W j = j / ( α F i,j = sin ) i. j i + j i + j F i,j = i i j F i,j = i + j k i k r j r j r i s R j =r j /r i S =s/r i C =+R+S F i,j = [ π + C (R +) π C (R ) + ( R (R )ArcCos C ) C (R + )ArcCos ( R C + )] C r i R i =r i / R j =r j / S =+ +R j R i F i,j = ( ) Rj S S 4 R i 8