Tabelas de Caracteres de Grupos Finitos

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1 Tabelas de Caracteres de Grupos Finitos Teresa Conde Encontro Nacional NTM 12 de Setembro de 2009

2 Objectivos:

3 Objectivos: Noções básicas da Teoria das Representações

4 Objectivos: Noções básicas da Teoria das Representações Construção de tabelas de caracteres

5 Objectivos: Noções básicas da Teoria das Representações Construção de tabelas de caracteres Aplicação: Teoria dos Grupos

6 Conhecemos bem grupos de matrizes

7 Conhecemos bem grupos de matrizes Será possível usá-los para estudar outros grupos?

8 Conhecemos bem grupos de matrizes Será possível usá-los para estudar outros grupos? Notação F corpo G grupo nito GL n (F ) grupo das matrizes invertíveis de ordem n sobre F

9 Conhecemos bem grupos de matrizes Será possível usá-los para estudar outros grupos? Notação F corpo G grupo nito GL n (F ) grupo das matrizes invertíveis de ordem n sobre F Denição Uma representação de G sobre F é um homomorsmo ρ : G GL n (F ) g ρ(g). Chamamos a n o grau de ρ.

10 Exemplos 1 det : GL n (F ) GL 1 (F ) = F A det(a)

11 Exemplos 1 det : GL n (F ) GL 1 (F ) = F A det(a) 2 sgn : S n GL 1 (F ) g sgn(g)

12 Exemplos 1 det : GL n (F ) GL 1 (F ) = F A det(a) 2 sgn : S n GL 1 (F ) g sgn(g) 3 σ : G GL 1 (F ) g σ(g) = 1 F

13 Exemplos 1 det : GL n (F ) GL 1 (F ) = F A det(a) 2 sgn : S n GL 1 (F ) g sgn(g) 3 σ : G GL 1 (F ) g σ(g) = 1 F 4 ρ : S 4 GL 4 (F ) g ρ(g) onde ρ(g) é a matriz obtida aplicando g às colunas de I 4.

14 Denição Seja FG o espaço vectorial livre sobre F com base G : FG = α g g : α g F. g G O espaço vectorial FG, com a multiplicação denida por λ g g µ g g = λ g µ h (gh) g G g G g,h G chama-se a álgebra de grupo de G sobre F.

15 Exemplo G = S 3, F = C

16 Exemplo G = S 3, F = C Os elementos de CS 3 são da forma: α 1 (1) + α 2 (1 2) + α 3 (1 3) + α 4 (2 3) + α 5 (1 2 3) + α 6 (1 3 2), com α i C.

17 Exemplo G = S 3, F = C Os elementos de CS 3 são da forma: α 1 (1) + α 2 (1 2) + α 3 (1 3) + α 4 (2 3) + α 5 (1 2 3) + α 6 (1 3 2), com α i C. (2 (1 2) + 1 (1 2 3)) (1 (1) 1 (1 3)) =

18 Exemplo G = S 3, F = C Os elementos de CS 3 são da forma: α 1 (1) + α 2 (1 2) + α 3 (1 3) + α 4 (2 3) + α 5 (1 2 3) + α 6 (1 3 2), com α i C. (2 (1 2) + 1 (1 2 3)) (1 (1) 1 (1 3)) = = 2 (1 2)(1) 2 (1 2)(1 3) + 1 (1 2 3)(1) 1 (1 2 3)(1 3) =

19 Exemplo G = S 3, F = C Os elementos de CS 3 são da forma: α 1 (1) + α 2 (1 2) + α 3 (1 3) + α 4 (2 3) + α 5 (1 2 3) + α 6 (1 3 2), com α i C. (2 (1 2) + 1 (1 2 3)) (1 (1) 1 (1 3)) = = 2 (1 2)(1) 2 (1 2)(1 3) + 1 (1 2 3)(1) 1 (1 2 3)(1 3) = = 2 (1 2) 2 (1 3 2) + 1 (1 2 3) 1 (2 3).

20 Um FG-módulo V é um espaço vectorial sobre F, de dimensão nita, que é módulo para o anel FG e verica: v V r FG α F α(rv) = (αr)v = r(αv)

21 Um FG-módulo V é um espaço vectorial sobre F, de dimensão nita, que é módulo para o anel FG e verica: v V r FG α F α(rv) = (αr)v = r(αv) Exemplos 1 Consideremos FG. FG é espaço vectorial sobre F de dimensão G.

22 Um FG-módulo V é um espaço vectorial sobre F, de dimensão nita, que é módulo para o anel FG e verica: v V r FG α F α(rv) = (αr)v = r(αv) Exemplos 1 Consideremos FG. FG é espaço vectorial sobre F de dimensão G. É módulo para o anel FG (considerando a multiplicação já denida).

23 Um FG-módulo V é um espaço vectorial sobre F, de dimensão nita, que é módulo para o anel FG e verica: v V r FG α F α(rv) = (αr)v = r(αv) Exemplos 1 Consideremos FG. FG é espaço vectorial sobre F de dimensão G. É módulo para o anel FG (considerando a multiplicação já denida). Verica a propriedade acima referida.

24 Um FG-módulo V é um espaço vectorial sobre F, de dimensão nita, que é módulo para o anel FG e verica: v V r FG α F α(rv) = (αr)v = r(αv) Exemplos 1 Consideremos FG. FG é espaço vectorial sobre F de dimensão G. É módulo para o anel FG (considerando a multiplicação já denida). Verica a propriedade acima referida. Logo FG é um FG -módulo, designado FG -módulo regular.

25 Exemplos (cont.) 2 Seja V um espaço vectorial de dimensão 4 sobre F, com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }.

26 Exemplos (cont.) 2 Seja V um espaço vectorial de dimensão 4 sobre F, com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Podemos denir um FS 4 -módulo, dito módulo de permutação, do seguinte modo: gv i = v g(i), g S 4, i = 1, 2, 3, 4 e estendendo por linearidade a FS 4 e a V.

27 Seja V um FG -módulo de dimensão n e B uma base de V.

28 Seja V um FG -módulo de dimensão n e B uma base de V. Para cada g G, u, v V, α F, tem-se: g(u + v) = gu + gv e g(αv) = αgv.

29 Seja V um FG -módulo de dimensão n e B uma base de V. Para cada g G, u, v V, α F, tem-se: g(u + v) = gu + gv e g(αv) = αgv. Logo, a função é linear. r g : V V v gv

30 Seja V um FG -módulo de dimensão n e B uma base de V. Para cada g G, u, v V, α F, tem-se: g(u + v) = gu + gv e g(αv) = αgv. Logo, a função r g : V V v gv é linear. De facto é um isomorsmo

31 Seja V um FG -módulo de dimensão n e B uma base de V. Para cada g G, u, v V, α F, tem-se: g(u + v) = gu + gv e g(αv) = αgv. Logo, a função r g : V V v gv é linear. De facto é um isomorsmo e é uma representação de G. G GL n (F ) g [r g ] B

32 Reciprocamente, seja uma representação de G. ρ : G GL n (F ) g ρ(g)

33 Reciprocamente, seja ρ : G GL n (F ) g ρ(g) uma representação de G. Para cada g G, seja r g : V V o isomorsmo denido por [r g ] B = ρ(g).

34 Reciprocamente, seja ρ : G GL n (F ) g ρ(g) uma representação de G. Para cada g G, seja r g : V V o isomorsmo denido por [r g ] B = ρ(g). Então, V torna-se um FG -módulo se denirmos gv = r g (v), g G, v V e estendermos esta acção por linearidade a FG.

35 Reciprocamente, seja ρ : G GL n (F ) g ρ(g) uma representação de G. Para cada g G, seja r g : V V o isomorsmo denido por [r g ] B = ρ(g). Então, V torna-se um FG -módulo se denirmos gv = r g (v), g G, v V e estendermos esta acção por linearidade a FG. Estudar Representações = Estudar FG-módulos

36 Denição Seja V um FG -módulo. Um subconjunto W de V diz-se um FG -submódulo de V se W for um subespaço vectorial de V vericando: g G w W gw W.

37 Denição Seja V um FG -módulo. Um subconjunto W de V diz-se um FG -submódulo de V se W for um subespaço vectorial de V vericando: g G w W gw W. Denição Um FG -módulo V é irredutível se: V {0} V não possui FG -submódulos além de {0} e de V

38 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }.

39 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Seja U o F -subespaço vectorial de V gerado por v 1 + v 2 + v 3 + v 4.

40 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Seja U o F -subespaço vectorial de V gerado por v 1 + v 2 + v 3 + v 4. Como, para qualquer g S 4 se tem g(v 1 +v 2 +v 3 +v 4 ) = v g(1) +v g(2) +v g(3) +v g(4) = v 1 +v 2 +v 3 +v 4,

41 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Seja U o F -subespaço vectorial de V gerado por v 1 + v 2 + v 3 + v 4. Como, para qualquer g S 4 se tem g(v 1 +v 2 +v 3 +v 4 ) = v g(1) +v g(2) +v g(3) +v g(4) = v 1 +v 2 +v 3 +v 4, conclui-se que U é um FS 4 -submódulo de V.

42 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Seja U o F -subespaço vectorial de V gerado por v 1 + v 2 + v 3 + v 4. Como, para qualquer g S 4 se tem g(v 1 +v 2 +v 3 +v 4 ) = v g(1) +v g(2) +v g(3) +v g(4) = v 1 +v 2 +v 3 +v 4, conclui-se que U é um FS 4 -submódulo de V. Logo V não é irredutível,

43 Exemplo Seja V o FS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Seja U o F -subespaço vectorial de V gerado por v 1 + v 2 + v 3 + v 4. Como, para qualquer g S 4 se tem g(v 1 +v 2 +v 3 +v 4 ) = v g(1) +v g(2) +v g(3) +v g(4) = v 1 +v 2 +v 3 +v 4, conclui-se que U é um FS 4 -submódulo de V. Logo V não é irredutível, mas U é irredutível (pois tem dimensão 1).

44 Teorema de Maschke Seja G um grupo e F um corpo tal que car(f ) G. Se U é um FG -submódulo de V, existe um FG -submódulo de V, W, tal que V = U W.

45 Teorema de Maschke Seja G um grupo e F um corpo tal que car(f ) G. Se U é um FG -submódulo de V, existe um FG -submódulo de V, W, tal que V = U W. Usando este teorema e indução sobre dimv, prova-se o seguinte:

46 Teorema de Maschke Seja G um grupo e F um corpo tal que car(f ) G. Se U é um FG -submódulo de V, existe um FG -submódulo de V, W, tal que V = U W. Usando este teorema e indução sobre dimv, prova-se o seguinte: Todo o FG -módulo não nulo V tem uma decomposição V = U 1... U s, com U i FG -submódulo irredutível de V, i = 1,..., s.

47 Teorema de Maschke Seja G um grupo e F um corpo tal que car(f ) G. Se U é um FG -submódulo de V, existe um FG -submódulo de V, W, tal que V = U W. Usando este teorema e indução sobre dimv, prova-se o seguinte: Todo o FG -módulo não nulo V tem uma decomposição V = U 1... U s, com U i FG -submódulo irredutível de V, i = 1,..., s. Basta classicar os irredutíveis

48 Teorema de Maschke Seja G um grupo e F um corpo tal que car(f ) G. Se U é um FG -submódulo de V, existe um FG -submódulo de V, W, tal que V = U W. Usando este teorema e indução sobre dimv, prova-se o seguinte: Todo o FG -módulo não nulo V tem uma decomposição V = U 1... U s, com U i FG -submódulo irredutível de V, i = 1,..., s. Basta classicar os irredutíveis Mas quantos serão os irredutíveis não isomorfos?

49 Decomponha-se o CG -módulo regular como soma directa de CG -submódulos irredutíveis: CG = U 1... U r.

50 Decomponha-se o CG -módulo regular como soma directa de CG -submódulos irredutíveis: CG = U 1... U r. Prova-se que qualquer CG-módulo irredutível é isomorfo a algum U i.

51 Decomponha-se o CG -módulo regular como soma directa de CG -submódulos irredutíveis: CG = U 1... U r. Prova-se que qualquer CG-módulo irredutível é isomorfo a algum U i. Conjunto dos CG-módulos irredutíveis não isomorfos é nito

52 Mais informações sobre do número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos: Teorema Suponhamos que V 1,..., V k formam um conjunto completo de CG -módulos irredutíveis não isomorfos. Então, k (dimv i ) 2 = G. i=1

53 Mas existem ainda questões por responder: Qual é exactamente o número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos?

54 Mas existem ainda questões por responder: Qual é exactamente o número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos? Dado um CG-módulo, como saber é irredutível?

55 Mas existem ainda questões por responder: Qual é exactamente o número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos? Dado um CG-módulo, como saber é irredutível? Dados dois CG-módulos, como saber se são isomorfos?

56 Caracteres Denição Seja V um CG -módulo com base B. Dene-se o carácter de V como sendo a função χ V : G C g χ V (g) = tr[g] B.

57 Exemplo Seja V o CS 4 -módulo de permutação com base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 }.

58 Exemplo Seja V o CS 4 -módulo de permutação com base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Para cada g S 4, gv i = v g(i).

59 Exemplo Seja V o CS 4 -módulo de permutação com base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Para cada g S 4, gv i = v g(i). Logo a entrada (i, i) da matriz [g] B g(i) i. é 1 se g(i) = i, e 0 se

60 Exemplo Seja V o CS 4 -módulo de permutação com base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Para cada g S 4, gv i = v g(i). Logo a entrada (i, i) da matriz [g] B g(i) i. é 1 se g(i) = i, e 0 se Seja x(g) = {i : g(i) = i }.

61 Exemplo Seja V o CS 4 -módulo de permutação com base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 }. Para cada g S 4, gv i = v g(i). Logo a entrada (i, i) da matriz [g] B g(i) i. é 1 se g(i) = i, e 0 se Seja Então, x(g) = {i : g(i) = i }. χ V (g) = tr[g] B = x(g).

62 Algumas propriedades simples de caracteres: Seja χ V o carácter de um CG -módulo V. Então tem-se: 1 χ V (1 G ) = dimv.

63 Algumas propriedades simples de caracteres: Seja χ V o carácter de um CG -módulo V. Então tem-se: 1 χ V (1 G ) = dimv. 2 Se x e y são conjugados em G, então χ V (x) = χ V (y).

64 Algumas propriedades simples de caracteres: Seja χ V o carácter de um CG -módulo V. Então tem-se: 1 χ V (1 G ) = dimv. 2 Se x e y são conjugados em G, então χ V (x) = χ V (y). 3 Se V = U 1... U s (soma directa de CG -submódulos irredutíveis de V ), então χ V = χ U1 + + χ Us.

65 Algumas propriedades simples de caracteres: Seja χ V o carácter de um CG -módulo V. Então tem-se: 1 χ V (1 G ) = dimv. 2 Se x e y são conjugados em G, então χ V (x) = χ V (y). 3 Se V = U 1... U s (soma directa de CG -submódulos irredutíveis de V ), então χ V = χ U1 + + χ Us. 4 CG -módulos isomorfos têm o mesmo carácter.

66 Denição Suponhamos que ϑ e φ são funções de G para C. Dena-se: ϑ, φ = 1 ϑ(g)φ(g) G g G

67 Denição Suponhamos que ϑ e φ são funções de G para C. Dena-se: ϑ, φ = 1 ϑ(g)φ(g) G g G É um produto interno no espaço das funções de G para C

68 Critério de irreducibilidade de um CG-módulo

69 Critério de irreducibilidade de um CG-módulo Teorema Sejam U e V CG -módulos não isomorfos. Então, 1 U é irredutível se e só se χ U, χ U = 1. 2 Se U e V forem irredutíveis, então χ U, χ V = 0.

70 Critério de irreducibilidade de um CG-módulo Teorema Sejam U e V CG -módulos não isomorfos. Então, 1 U é irredutível se e só se χ U, χ U = 1. 2 Se U e V forem irredutíveis, então χ U, χ V = 0. Os caracteres irredutíveis de G formam um conjunto ortonormado do espaço das funções de G para C.

71 Critério para vericar se dois CG-módulos são isomorfos

72 Critério para vericar se dois CG-módulos são isomorfos Teorema Sejam V e W CG -módulos. Então V = W se e só se χ V = χ W.

73 Critério para vericar se dois CG-módulos são isomorfos Teorema Sejam V e W CG -módulos. Então V = W se e só se χ V = χ W. O carácter determina os CG-módulos

74 Número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos

75 Número de CG-módulos irredutíveis não isomorfos Teorema O número de caracteres irredutíveis de G é igual ao número de classes de conjugação de G.

76 Tabelas de Caracteres Denição Sejam χ 1,..., χ k os caracteres irredutíveis de G e g 1,..., g k representantes das classes de conjugação de G, com g 1 = 1 G. A tabela k k cuja entrada na posição (i, j) é χ i (g j ): g 1... g k χ 1 χ 1 (g 1 )... χ 1 (g k ) χ k χ k (g 1 )... χ k (g k ) chama-se tabela de caracteres de G.

77 Resultados úteis para completar tabelas:

78 Resultados úteis para completar tabelas: A soma dos quadrados dos elementos da primeira coluna da tabela de caracteres é igual a G.

79 Resultados úteis para completar tabelas: A soma dos quadrados dos elementos da primeira coluna da tabela de caracteres é igual a G. As colunas da tabela de caracteres são vectores ortogonais de C k.

80 Resultados úteis para completar tabelas: A soma dos quadrados dos elementos da primeira coluna da tabela de caracteres é igual a G. As colunas da tabela de caracteres são vectores ortogonais de C k. Outros resultados:

81 Resultados úteis para completar tabelas: A soma dos quadrados dos elementos da primeira coluna da tabela de caracteres é igual a G. As colunas da tabela de caracteres são vectores ortogonais de C k. Outros resultados: Seja χ um carácter irredutível de G e λ um carácter de grau 1 de G. Então, A função χ denida por χ(g) = χ(g), g G, é um carácter irredutível de G.

82 Resultados úteis para completar tabelas: A soma dos quadrados dos elementos da primeira coluna da tabela de caracteres é igual a G. As colunas da tabela de caracteres são vectores ortogonais de C k. Outros resultados: Seja χ um carácter irredutível de G e λ um carácter de grau 1 de G. Então, A função χ denida por χ(g) = χ(g), g G, é um carácter irredutível de G. A função λχ denida por λχ(g) = λ(g)χ(g), g G, é um carácter irredutível de G.

83 Problema Um certo grupo de ordem 12 tem precisamente seis classes de conjugação, com representantes g 1,..., g 6 (onde g 1 = 1 G ). Sabe-se que G tem dois caracteres irredutíveis χ e φ tomando os seguintes valores: g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ 1 -i i φ Pretende-se completar a tabela de caracteres de G.

84 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ

85 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ ainda é carácter irredutível de G.

86 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χ ainda é carácter irredutível de G.

87 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χ ainda é carácter irredutível de G. irredutível de G. χφ também é carácter

88 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ ainda é carácter irredutível de G. irredutível de G. χφ também é carácter

89 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, x 2 1 = 12 x 1 = 1

90 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ 2 1 χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, x 2 1 = 12 x 1 = 1

91 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ 2 1 χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, o segundo, x 2, usando a ortogonalidade das colunas 1 e x 2 1 = 12 x 1 = i + 1 i + 1 x 2 = 0 x 2 = 1

92 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, o segundo, x 2, usando a ortogonalidade das colunas 1 e x 2 1 = 12 x 1 = i + 1 i + 1 x 2 = 0 x 2 = 1

93 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, o segundo, x 2, usando a ortogonalidade das colunas 1 e 2, x 2 1 = 12 x 1 = i + 1 i + 1 x 2 = 0 x 2 = 1

94 Resolução g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ χ ainda é carácter irredutível de G. χφ também é carácter irredutível de G. Na linha que falta, obtemos o primeiro elemento, x 1, sabendo que o quadrado da norma da primeira coluna é G, o segundo, x 2, usando a ortogonalidade das colunas 1 e 2, x 2 1 = 12 x 1 = i + 1 i + 1 x 2 = 0 x 2 = 1

95 Problema Consideremos S 4. Pretendemos construir a sua tabela de caracteres.

96 Problema Consideremos S 4. Pretendemos construir a sua tabela de caracteres. Sabemos que as classes de conjugação de S 4 correspondem às partições de 4: (1, 1, 1, 1) id (2, 1, 1) (12) (3, 1) (123) (2, 2) (12)(34) (4) (1234). Logo S 4 tem 5 caracteres irredutíveis.

97 Problema Consideremos S 4. Pretendemos construir a sua tabela de caracteres. Sabemos que as classes de conjugação de S 4 correspondem às partições de 4: (1, 1, 1, 1) id (2, 1, 1) (12) (3, 1) (123) (2, 2) (12)(34) (4) (1234). Logo S 4 tem 5 caracteres irredutíveis. Dois deles já conhecemos: o trivial e o sinal de uma permutação.

98 Teorema A função ν: ν : é um carácter de S 4. S 4 C g ν(g) = x(g) 1

99 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4.

100 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4. Seja U o C-subespaço vectorial de base {v 1 + v 2 + v 3 + v 4 }.

101 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4. Seja U o C-subespaço vectorial de base {v 1 + v 2 + v 3 + v 4 }. Já vimos que U é um CS 4 -submódulo de V.

102 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4. Seja U o C-subespaço vectorial de base {v 1 + v 2 + v 3 + v 4 }. Já vimos que U é um CS 4 -submódulo de V. Note-se que [g] {v v 4 } = 1, logo χ U (g) = 1, g S 4.

103 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4. Seja U o C-subespaço vectorial de base {v 1 + v 2 + v 3 + v 4 }. Já vimos que U é um CS 4 -submódulo de V. Note-se que [g] {v v 4 } = 1, logo χ U (g) = 1, g S 4. Pelo teorema de Maschke, existe um CS 4 -submódulo W de V tal que V = U W.

104 Demonstração. Sabemos que se V for o CS 4 -módulo de permutação com base {v 1, v 2, v 3, v 4 }, então χ V (g) = x(g), g S 4. Seja U o C-subespaço vectorial de base {v 1 + v 2 + v 3 + v 4 }. Já vimos que U é um CS 4 -submódulo de V. Note-se que [g] {v v 4 } = 1, logo χ U (g) = 1, g S 4. Pelo teorema de Maschke, existe um CS 4 -submódulo W de V tal que V = U W. Então χ V = χ U + χ W, ou seja: χ W (g) = χ V (g) χ U (g) = x(g) 1, g S 4

105 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ

106 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4.

107 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1.

108 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível.

109 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível.

110 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível. χ 2 χ 3 também é carácter irredutível de S 4.

111 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ χ χ 2 χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível. χ 2 χ 3 também é carácter irredutível de S 4.

112 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ χ χ 2 χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível. χ 2 χ 3 também é carácter irredutível de S 4. De modo análogo ao problema anterior completa-se a última linha usando as relações de ortogonalidade.

113 Resolução 1 G (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) ( ) χ χ χ χ 2 χ χ Seja χ 3 o carácter denido por χ 3 (g) = x(g) 1, g S 4. Ora χ 3, χ 3 = 1. Logo χ 3 é irredutível. χ 2 χ 3 também é carácter irredutível de S 4. De modo análogo ao problema anterior completa-se a última linha usando as relações de ortogonalidade.

114 Determinando subgrupos normais Dado um carácter χ de G, dena-se kerχ = {g G : χ(g) = χ(1 G )}.

115 Determinando subgrupos normais Dado um carácter χ de G, dena-se kerχ = {g G : χ(g) = χ(1 G )}. Teorema Um subgrupo N de G é normal se e só se existirem caracteres irredutíveis χ 1,..., χ t de G, tais que N = t i=1 kerχ i.

116 Determinando subgrupos normais Dado um carácter χ de G, dena-se kerχ = {g G : χ(g) = χ(1 G )}. Teorema Um subgrupo N de G é normal se e só se existirem caracteres irredutíveis χ 1,..., χ t de G, tais que N = t i=1 kerχ i. Teorema O grupo G é não simples se e só se χ(g) = χ(1 G ), para algum carácter irredutível de G não trivial e para algum g 1 G.

117 Tabela de caracteres de G: g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ

118 Tabela de caracteres de G: g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 χ χ 1 -i i φ χ 1 i -i χφ χ G não é simples