Introdução às representações de grupos nitos III o Colóquio de Matemática da Região Sul

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1 Fábio Xavier Penna Introdução às representações de grupos nitos III o Colóquio de Matemática da Região Sul Florianópolis, SC 2014

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3 Fábio Xavier Penna Introdução às representações de grupos nitos III o Colóquio de Matemática da Região Sul Minicurso apresentado no III o Colóquio de Matemática da Região Sul, realizado na Universidade Federal de Santa Catarina, em maio de Florianópolis, SC 2014

4 Resumo Este minicurso objetiva apresentar ao aluno de graduação uma introdução acessível ao estudo da Teoria de Representações. Para isto, o primeiro capítulo traz deniçoes básicas, o segundo e o terceiro capítulos apresentam a teoria de caracteres desenvolvida por Frobenius no início do século XX e no último capítulo encontramos os caracteres das ações de grupos de permutações em sólidos de Platão. Palavras-chaves: representações, caracteres, sólidos de Platão.

5 Lista de ilustrações Figura 1 Ação dos elementos (12) e (123), respectivamente, nos vértices do triângulo equilátero.. 15 Figura 2 Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34), respectivamente, nos vértices do tetraedro.. 53 Figura 3 Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34), respectivamente, nas diagonais principais do cubo

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7 Lista de tabelas Tabela 1 Caracteres irredutíveis de Z Tabela 2 Caracteres irredutíveis de S Tabela 3 Caracteres irredutíveis de A Tabela 4 Caracteres irredutíveis de S Tabela 5 Caracteres irredutíveis de A Tabela 6 Caracter da ação de A 4 no tetraedro Tabela 7 Caracter da ação de S 4 no cubo Tabela 8 Caracter da ação de A 5 em {1, 2, 3, 4, 5}... 57

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9 Sumário Introdução REPRESENTAÇÕES DE GRUPOS Representações Subrepresentações Representações irredutíveis Homomorsmo de representações Exercícios CARACTERES E ORTOGONALIDADE Caracter de uma representação Lema de Schur Representações unitárias Ortogonalidade de Caracteres Decomposição da representação regular Exercícios OS CARACTERES IRREDUTÍVEIS DE UM GRUPO Funções de classe O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis Tabelas de caracteres irredutíveis Z S A S

10 3.3.5 A REPRESENTAÇÕES E SÓLIDOS DE PLA- TÃO Representações por permutações e pontos xos Simetrias em sólidos de Platão Tetraedro Cubo e octaedro Icosaedro e dodecaedro Referências

11 9 Introdução Considerando os propósitos deste minicurso, a Teoria de Representações pode ser denida como o estudo das ações de um grupo em um espaço vetorial, ou seja, a caracterização das formas como um grupo pode agir num espaço vetorial e dos efeitos dessas ações. Apesar da denição simples, a teoria é rica em resultados e tanto estes como as técnicas empregadas em suas demonstrações são muito usados em várias áreas da matemática, sendo a mais conhecida Álgebras de Lie, e mesmo na química e na física atuais. Este minicurso pretende ser uma breve introdução à teoria e por esta razão restringe-se a abordar representações de grupos nitos em espaços vetoriais de dimensão nita. Contudo, como dito por Fulton e Harris em [4], muitas ideias, conceitos e construções que apresentaremos [para grupos nitos], são aplicados no estudo de grupos de Lie e álgebras de Lie. Outrossim, este minicurso não tem apenas caráter didático e como exemplo de aplicação da teoria de representações para grupos nitos descrevemos as ações de grupos de simetria em sólidos de Platão. Portanto este texto introdutório à Teoria de Representações também exemplica como a teoria pode ser aplicada em outras áreas da matemática. O minicurso é voltado para alunos de graduação e suas notas seguem a estrutura proposta por Serre em [?], com prérequisitos modestos: álgebra linear e teoria básica de grupos. O primeiro capítulo apresenta denições básicas da teoria de representações. O segundo descreve, de forma sucinta, a teoria de

12 10 Introdução caracteres desenvolvida por Frobenius no início do século XX e contém, dentre os resultados apresentados, o importante Lema de Schur. O terceiro capítulo usa a teoria de caracteres para determinar o número de representações irredutíveis de uma representação. No último capítulo estudamos ações de grupos de permutações em sólidos de Platão e encontramos os caracteres destas ações. O texto é permeado de exemplos e exercícios que convidam o leitor a participar da construção da teoria e também o auxiliam na compreensão da mesma. Além de apresentar a teoria de representações de grupos nitos de forma simples e acessível ao aluno de graduação, o minicurso visa despertar no estudante o gosto pela teoria e o desejo de continuar o seu estudo. Tendo em vista sua utilidade em áreas diversas da matemática como Teoria dos Números, Geometria Algébrica, Probabilidade e Análise Harmônica, além da já citada Álgebras de Lie, um curso de introdução à Teoria de Representações faz-se importante mesmo para estudantes que não sigam nesta linha de pesquisa matemática. Gostaria de agradecer ao comitê organizador do 3 o Colóquio de Matemática da Região Sul a oportunidade de ministrar este minicurso e aos diversos orgãos nanciadores que viabilizaram este colóquio. Parabenizo também a Sociedade Brasileira de Matemática pela realização dos colóquios regionais, promovendo o ensino e a pesquisa em matemática por todo o Brasil. Estas notas estão em fase de correção e aperfeiçoamento. Elas podem conter desde falhas tipográcas a erros básicos de conteúdo. Desta forma, correções e sugestões são muito bem vindas e devem ser enviadas para fabioxp@uniriotec.br ou fabioxp@impa.br.

13 11 1 Representações de grupos 1.1 Representações A teoria de representações busca caracterizar as formas como um grupo pode agir em um espaço vetorial e os efeitos dessas ações. Neste texto, V denotará um espaço vetorial de dimensão nita sobre o corpo dos números complexos C e a dimensão de V será escrita dim(v ). Chamaremos de GL(V ) o conjunto formado pelos isomorsmos de V em V. Um elemento a de GL(V ) é um operador linear de V que possui inversa a 1. Recorde que um grupo é um conjunto não vazio G munido de duas funções G G G (s, t) st e G G s s 1 que satisfazem os seguintes axiomas: 1. (rs)t = r(st), para todo r, s e t em G; 2. existe e G chamado identidade tal que es = se = s para todo s G; 3. ss 1 = s 1 s = e para todo s G. O conjunto GL(V ) com as operações de composição e inversão de operadores é um grupo. A identidade de GL(V ) é a transformação linear identidade Id V. No que se segue, G é um grupo nito com ordem G.

14 12 Capítulo 1. Representações de grupos Denição 1.1 Seja G um grupo nito. Uma representação de G em V é um homomorsmo ρ : G GL(V ). Em outras palavras, associamos a cada elemento s G um elemento ρ s GL(V ) que é um operador linear invertível ρ s : V V. Além disso, se s e t são elementos quaisquer de G, então ρ s ρ t = ρ st. (1.1) Dado o homomorsmo ρ, o espaço vetorial V é chamado uma representação do grupo G. A dimensão de V é chamada de grau da representação. Exemplo 1.1 Faça V = C. Neste caso temos que GL(V ) = GL(C) = C. Dado um grupo G, dena ρ : G C por ρ s = 1 para todo s G. Esta representação é chamada representação unitária de G. Todo grupo possui uma representação unitária. Exemplo 1.2 Faça G := S n o grupo das permutações em um conjunto com n elementos. Dena σ : S n C por { 1, se s é permutação par; σ s = 1, se s é permutação ímpar. Este homomorsmo é uma representação, chamada a representação sinal de S n. Exemplo 1.3 Faça G := Z 3 = {0, 1, 2}. Dena ρ : Z 3 C por ρ(k) := ω k, onde ω = e 2πi/3. Este homomorsmo é uma representação de grau 1 de Z 3.

15 1.1. Representações 13 Exemplo 1.4 Dado um grupo G, seja g := G a ordem de G e V um espaço vetorial de dimensão g. Tome {e s } s G uma base de V indexada pelos elementos de G. Para cada t G, seja ϱ t : V V o operador linear denido por ϱ t (e s ) = e ts. O homomorsmo ϱ : G GL(V ) denido desta forma é uma representação chamada representação regular de G. O grau da representação regular é a ordem de G. Seja V espaço vetorial complexo e faça n := dim(v ). Denote por GL(n) o grupo das matrizes invertíveis de ordem n com coecientes complexos: GL(n) := {(a ij ) n n det(a ij ) 0}. Se V é um espaço vetorial de dimensão n, existe um isomorsmo natural de GL(V ) em GL(n). De fato, xada uma base β de V, seja [T ] β a representação do operador T : V V na forma matricial com respeito à base β. O mapa GL(V ) GL(n) T [T ] β é um isomorsmo de grupos. Neste caso, uma representação de G é o mesmo que um homomorsmo de grupos ρ : G GL(n) onde, para cada s G, a 11 (s) a 12 (s) a 1n (s) a 21 (s) a 22 (s) a 2n (s) ρ s = a n1 (s) a n2 (s) a nn (s)

16 14 Capítulo 1. Representações de grupos onde a ij : G C, para cada 1 i, j n. Exercício 1.1 Mostre que, neste caso, a condição (1.1) da De- nição 1.1 torna-se n a ij (st) = a ik (s)a kj (t). k=1 Como este texto trata apenas de representações de grupos nitos em espaços vetoriais de dimensão nita, usaremos ambas as denições de representação apresentadas, de acordo com a conveniência. Exemplo 1.5 Seja S 3 o grupo das permutações em um conjunto com três elementos. Sabemos que S 3 é gerado pelas permutações (12) e (123). Portanto, a m de denir um homomorsmo de grupos ρ : S 3 GL(2), basta denir ρ nos elementos (12) e (123). Dena ( ) ( ) 1 0 ω 0 ρ (12) = e ρ (123) =, ω 1 onde ω = e 2πi/3. Desta forma, ρ : S 3 GL(2) é uma representação de S 3 de grau 2. A Figura 1 mostra a interpretação geométrica desta ação. Ela é a permutação dos vértices de um triângulo equilátero. Observação 1.2 Como já foi dito, representações de grupos estão relacionadas a ações de grupos em espaços vetoriais. De fato,

17 1.1. Representações 15 Figura 1 Ação dos elementos (12) e (123), respectivamente, nos vértices do triângulo equilátero. dada a representação ρ : G GL(V ) podemos denir a seguinte ação de G em V : µ : G V V (s, v) ρ s (v). Por outro lado, dada uma ação ϕ : G V V de um grupo G no espaço vetorial V, podemos denir uma representação de G em V. Observe que xado s G o mapa ϕ(s, ) : V V é um operador linear. Então basta denir ψ : G GL(V ) s ϕ(s, ) e teremos uma representação de G em V.

18 16 Capítulo 1. Representações de grupos 1.2 Subrepresentações Seja ρ : G GL(V ) uma representação de G e W um subespaço vetorial de V. Suponha que ρ s (W ) W para todo s em G. Então a restrição de ρ s a W ρ s W : W W é um isomorsmo de W e podemos denir a representação ρ W : G GL(W ) s ρ s W. Desta forma, W é chamada uma subrepresentação de V. A Observação 1.2 mostra que uma representação ρ : G GL(V ) está associada a uma ação de G em V e vice-versa. Se W é uma subrepresentação de V, então W é um subespaço de V estável (ou invariante) pela ação de G. De fato, vimos que a ação de G em V é denida por µ : G V V (s, v) ρ s (v). Se W é uma subrepresentação de V, então µ(s, W ) W para todo s G, o que mostra que W é estável por G.

19 1.2. Subrepresentações 17 Exemplo 1.6 Recorde ϱ : G GL(V ) a representação regular de um grupo G apresentada no Exemplo 1.4. Considere o elementos w V denido por w = e s. Observe que ϱ s (w) = w s G para todo s G. Tome W V o subespaço vetorial gerado por w. Então ρ W : G GL(W ) é uma subrepresentação da representação regular de G. Veremos agora como obter uma representação de G a partir da soma direta de duas representações de G. Sejam ρ : G GL(V ) e ϕ : G GL(W ) representações de G nos espaços vetoriais complexos V e W. Para cada s G, a função ρ s ϕ s : V W V W (v, w) (ρ s (v), ϕ s (w)) é uma transformação linear invertível de V W em V W. Portanto podemos denir o mapa ρ ϕ : G GL(V W ) s ρ s ϕ s e V W é uma representação de G. Se dim(v ) = m, dim(w ) = n e as representações acima são dadas na forma matricial ρ : G GL(m) e ϕ : G GL(n), então ρ ϕ : G GL(m + n) é dada na forma matricial por ( ) ρ s 0 (ρ ϕ) s =. 0 ϕ s

20 18 Capítulo 1. Representações de grupos Exercício 1.2 Sejam V 1,..., V n representações de G. Dena a representação V 1 V n de forma similar ao que foi feito acima. Mostre que a representação denida pela soma direta, na forma matricial, será uma matriz diagonal em blocos. Exercício 1.3 Sejam V e W representações do grupo G. Mostre que χ V W = χ V + χ W. 1.3 Representações irredutíveis Sejam ρ : G GL(V ) uma representação de G, W V uma subrepresentação e P : V W uma projeção. Para cada s G, a composição ρ s P ρ 1 s : V V é um operador linear em V. Escreveremos ρ s P ρ 1 s para simpli- car a notação. Como G é grupo nito, podemos considerar a soma s G ρ s P ρ 1 s e continuamos com uma transformação linear de V em V. Lema 1.3 Sejam V uma representação de G, W V uma subrepresentação e P : V W uma projeção de V em W. Então o mapa P 0 : V V denido por é uma projeção em W. P 0 := 1 G s G ρ s P ρ 1 s. (1.2)

21 1.3. Representações irredutíveis 19 Demonstração: Como P é uma projeção, temos que P W = Id W e a imagem de P é W. Além disso, W é invariante pela ação de G. Logo a imagem de P 0 é W e P 0 W = Id W. Resta mostrar que P0 2 = P 0. Para isto, observe que P 2 0 = 1 G = 1 G = 1 G 2 = 1 G 2 s G s G s,t G s,t G r=st = 1 G 2 r G ρ s P 0 ρ 1 s ( 1 ρ s G t G ρ st P ρ 1 st ρ r P ρ 1 r ρ t P ρ 1 t G ρ r P ρ 1 r = P 0 Isto conclui a demonstração do Lema. ) ρ 1 s Proposição 1.4 Sejam V uma representação de G e W uma subrepresentação de V. Então existe uma subrepresentação W de V complementar de W, isto é, V = W W. Demonstração: Tome uma projeção P : V W. Pelo Lema 1.3, o mapa P 0 : V W, denido por (1.2), é uma projeção. Faça W := Núcleo(P 0 ). Temos que V = W W. Além disso, observe que ρ s P 0 ρ 1 s = P 0 para todo s G. Logo, se v W, temos que P 0 (v) = 0 e segue que P 0 ρ s (v) = ρ s P 0 (v) = 0

22 20 Capítulo 1. Representações de grupos para todo s G. Isto mostra que se v W, então ρ s (v) W para todo s G. Concluímos que W é subrepresentação de V. Segue do Teorema 1.4 que, se V é uma representação e W V é uma subrepresentação, então V = W W. Se as únicas subrepresentações de V são 0 e o próprio V, então a decomposição obtida é a trivial V = 0 V e dizemos que V é irredutível. Denição 1.5 Seja V uma representação de G. Dizemos que V é irredutível se V não é o espaço vetorial nulo e se as únicas subrepresentações de V são 0 e V. Uma representação que não é irredutível é dita redutível. O seguinte teorema mostra que podemos encontrar qualquer representação de G a partir das representações irredutíveis de G. Teorema 1.6 Seja V uma representação de um grupo nito G. Então V é a soma direta de representações irredutíveis de G. Demonstração: Faremos indução na dimensão de V. Se dim(v ) = 1, então V é claramente irredutível. Suponha dim(v ) 2. Se V é irredutível, então o Teorema está provado. Se V é redutível, então existe W V com W e W subrepresentações de V, dim(w ) < dim(v ) e dim(w ) < dim(v ). Segue da Proposição 1.4 que V = W W. Pela hipótese de indução, W e W são somas diretas de representações irredutíveis. Concluímos V é soma direta de representações irredutíveis.

23 1.4. Homomorsmo de representações 21 Observação 1.7 Uma pergunta natural é se a decomposição dada pelo Teorema 1.6 é ùnica. Como resposta a esta questão, considere a representação ρ : G GL(V ), com dim(v ) > 1, onde ρ s = Id V para todo s G. Então V = W 1 W dim(v ), onde cada W i é um subespaço de dimensão 1, é uma decomposição de V em subespaços invariantes. Existem innitas maneiras de representar V como soma direta de subespaços unidimensionais, portanto a decomposição não é única. No entanto, neste exemplo, o número de representações irredutíveis que W i 's é invariante. De fato, veremos que esta propriedade vale em geral, ou seja, o número de representações irredutíveis de uma representação V não depende da decomposição. O Teorema 1.6 arma que a m de se conhecer as representações de determinado grupo, basta conhecer suas representações irredutíveis. Desta forma, um dos problemas centrais na teoria de representações é classicar as representações irredutíveis de um determinado grupo. 1.4 Homomorsmo de representações Agora que já conhecemos o objeto de estudo deste minicurso, a saber, as representações de grupos nitos, é natural denir os morsmos entre estes objetos. Denição 1.8 Sejam ρ : G GL(V )e φ : G GL(W ) duas representações de G. Um homomorsmo de representações é uma transformação linear ψ : V W tal que ψ ρ s = φ s ψ

24 22 Capítulo 1. Representações de grupos para todo s G. Isto é equivalente a φ 1 s ψ ρ s = ψ ou a dizer que o diagrama V ψ W comuta para todo s em G. ρ s φ s ψ V W Se ψ satisfaz a Denição 1.8 e é um isomorsmo de espaços vetoriais, dizemos que ψ é um isomorsmo de representações e que ρ e φ são representações isomorfas. 1.5 Exercícios 1. Seja X um conjunto nito e G um grupo agindo em X. Seja V um espaço vetorial com uma base {e x } x X indexada pelos elementos de X. Para cada s G dena ρ s : V V por ρ s (e x ) = e sx. a) Mostre que, xado s G, o mapa ρ s está em GL(V ). b) Mostre que a função ρ : G GL(V ) denida por s ρ s é uma representação de G. Esta representação é chamada representação por permutações associada a X. 2. Sejam φ : G H um homomorsmo de grupos e ρ : H GL(V ) uma representação de H. a) Mostre que a função composta ρ φ : G GL(V ) é uma representação de G.

25 1.5. Exercícios 23 b) Suponha que φ seja sobrejetivo. Mostre que, se V é uma representação irredutível de H, então ρ φ : G GL(V ) será uma representação irredutível de G. 3. Mostre que se V e W são representações de G, então ambas são subrepresentações da representação V W. 4. Sejam V e W representações de G e T : V W um homomorsmo de representações. a) Mostre que o núcleo de T é uma subrepresentação de V. b) Mostre que a imagem de T é uma subrepresentação de W.

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27 25 2 Caracteres e ortogonalidade 2.1 Caracter de uma representação Seja V um espaço vetorial de dimensão n e β uma base de V. Dado um operador linear T : V V, suponha que a matriz que representa T na base β é [T ] β = (a ij ) n n. O traço de T é n Tr(T ) := a kk. k=1 Exercício 2.1 Mostre que o traço de um operador linear T : V V não depende da base de V. Conclua que o traço de T é a soma dos autovalores de T com multiplicidades. Exercício 2.2 Dados dois operadores T : V V e S : V V, mostre que Tr(T S) =Tr(ST ). Denição 2.1 Seja ρ : G GL(V ) a representação de um grupo nito G em V. O caracter da representação V é a função χ V : G C denida por χ V (s) := Tr(ρ s ). Caso esteja claro, pelo contexto, que o caracter χ V está associado à representação V, usaremos a notação χ. O caracter de uma representação irredutível será chamado caracter irredutível. Veremos que esta função caracteriza a representação V.

28 26 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade No que se segue, se z = a + bi é um número complexo, denotaremos o seu conjugado por z = a bi. Proposição 2.2 Seja V uma representação de grau n e χ seu caracter. Então: 1. χ(1) = n; 2. χ(s 1 ) = χ(s) para todo s G; 3. χ(tst 1 ) = χ(s) para todo s, t G. Demonstração: 1. Basta observar que ρ(1) = Id V. Como a dimensão de V é n, obtemos que χ(1) = Tr(Id V ) = n. 2. Fixe s G. Sejam λ 1,..., λ n os autovalores de ρ s. Como G é nito, existe k Z tal que s k = e. Logo ρ k s = ρ s k = ρ e = Id V. Portanto λ i k = 1 para i = 1,..., n e concluímos que λ i λ i = 1. Concluímos que n χ(s) = Tr(ρ s ) = λ i = Tr(ρ 1 s ) = Tr(ρ s 1) = χ(s 1 ). i=1 3. Usaremos a propriedade da função traço descrita no Exercício 2.2: χ(tst 1 ) = Tr(ρ tst 1) = Tr(ρ 1 t ρ t ρ s ) = Tr(ρ s ) = χ(s), o que conclui a demonstração. Considere a ação de G em G por conjugação G G G (t, s) tst 1

29 2.1. Caracter de uma representação 27 A órbita de um elemento s G é o conjunto [s] = {tst 1 t G} chamado de classe de conjugação de s. Temos que, dados s 1, s 2 G, se [s 1 ] [s 2 ], então [s 1 ] = [s 2 ]. O item (3) da Proposição 2.2 arma que o caracter de uma representação é constante em classes de conjugação. Funções que satisfazem esta propriedade são chamadas funções de classe e terão um importante papel no Capítulo 3. Exemplo 2.1 Seja ρ : G C uma representação de grau 1 de G. Neste caso, o caracter da representação coincide com a representação, ou seja, χ = ρ. Exemplo 2.2 Recorde a representação ρ : S 3 GL(2) dada no Exemplo 1.5. No grupo S 3 temos as três classes de conjugação [e] = {e} [(12)] = {(12), (13), (23)} [(123)] = {(123), (132)}. Calculando o caracter explicitamente encontramos χ(e) = 2, χ((12)) = Tr ( ) = 0 e χ((123)) = Tr ( ω 0 0 ω 1 ) = 1 onde ω = e 2πi/3.

30 28 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade 2.2 Lema de Schur Recorde da Seção 1.4 que um homomorsmo entre duas representações de G é uma transformação linear que comuta com a ação de G. O seguinte lema é um dos principais resultados da Teoria de Representações. Lema 2.3 (Schur)Sejam V 1 e V 2 duas representações de G e T : V 1 V 2 um homomorsmo de representações não nulo. 1. Se V 1 é irredutível, então T é injetivo. 2. Se V 2 é irredutível, então T é sobrejetivo. Demonstração: 1. Vimos no Exercício 4a que o Núcleo(T ) V 1 é uma subrepresentação de V 1. Como V 1 é irredutível, temos que Núcleo(T ) = 0 ou Núcleo(T ) = V 1. Porém, T é um homomorsmo de representações não nulo. Então Núcleo(T ) = 0 e concluímos que T é injetivo. 2. Pelo Exercício 4b a Imagem(T ) V 2 é uma subrepresentação de V 2. Como V 2 é irredutível, segue que Imagem(T ) = 0 ou Imagem(T ) = V 2. Porém, T é um homomorsmo de representações não nulo. Concluímos que Imagem(T ) = V 2 e portanto T é sobrejetivo. Teorema 2.4 Seja V uma representação irredutível de G e T : V V um homomorsmo de representações. Então existe λ C tal que T = λid V.

31 2.2. Lema de Schur 29 Demonstração: Como V é espaço vetorial complexo, podemos tomar um autovalor λ de T. Dena T := T λid V. Observe que T é homomorsmo de representações. Se v V é autovetor de T associado a λ, então T (v) = T (v) λv = 0. Logo o núcleo de T é não trivial. Segue do Lema 2.3 que T = 0 e concluímos que T = λid V. Com este teorema conseguimos caracterizar todas as representações irredutíveis de um grupo abeliano. Corolário 2.5 Seja G um grupo abeliano. Então todas as representações irredutíveis de G têm grau 1. Demonstração: Seja ρ : G GL(V ) uma representação irredutível de G. Fixe s G. Como G é abeliano, temos que ρ s ρ t = ρ st = ρ ts = ρ t ρ s, para todo t G. Logo, pelo Teorema 2.4, segue que ρ s = λ s Id V. Como isto é válido para todo s G, obtemos que ρ s é um mútiplo da identidade para todo s G. Portanto todos os subespaços de dimensão 1 de V são invariantes por ρ s, para todo s G. Como V é irredutível e não nulo, concluímos que dim(v ) = 1. Dadas duas representações ρ 1 : G GL(V 1 ) e ρ 2 : G GL(V 2 ) e uma transformação linear T : V 1 V 2, podemos denir T 0 : V 1 V 2 por T 0 = 1 G (ρ 2 s) 1 T ρ 1 s. s G

32 30 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade Armamos que T 0 é um homomorsmo de representações. De fato, para todo t G, (ρ 2 t ) 1 T 0 ρ 1 t = s G (ρ 2 t ) 1 (ρ 2 s) 1 T ρ 1 sρ 1 t = s G(ρ 2 st) 1 T ρ 1 st = T 0 de onde temos que T 0 ρ 1 s = ρ 2 st 0. Observe que T 0 é um homomorsmo de representações mesmo que T não seja. O seguinte resultado, que é uma consequência do Teorema 2.4, será usado na Seção 2.4. Corolário 2.6 Sejam V 1 e V 2 representações irredutíveis de G e T : V 1 V 2 uma transformação linear. Faça T 0 := 1 G (ρ 2 s) 1 T ρ 1 s. (2.1) s G 1. Se ρ 1 não é isomorfa a ρ 2, então T 0 = Se V 1 = V 2 e ρ 1 = ρ 2, então T 0 = λid V1 onde λ = Tr(T ) dim(v 1 ). Demonstração: Já sabemos que T 0 é um homomorsmo de representações. No caso 1, temos que T 0 = 0. Já no caso 2 obtemos T 0 = λid V1 de onde segue que Tr(T 0 ) = λ dim(v 1 ). Por outro lado, Tr(T 0 ) = Tr((ρ 2 s) 1 T ρ 1 s) = Tr(T ). s G Portanto λdim(v 1 ) = Tr(T ).

33 2.3. Representações unitárias Representações unitárias Seja V espaço vetorial complexo. Um produto interno Hermitiano em V é uma aplicação tal que:, : V V C (v, w) v, w 1. é sesquilinear, isto é, linear na primeira variável e semilinear na segunda variável; 2. é uma forma Hermitiana; 3. é não degenerada e denida positiva. Seja ρ : G GL(V ) uma representação de G. Diremos que a representação V é unitária se existe um produto interno Hermitiano, em V tal que ρ s (u), ρ s (v) = u, v para todo s G e u, v V. Neste caso, veremos que se β é uma base ortonormal de V, então a matriz de ρ s com respeito a β é uma matriz unitária. A seguinte proposição mostra que toda representação de um grupo nito é unitária. Proposição 2.7 Seja ρ : G GL(V ) uma representação de G. Existe um produto interno Hermitiano, em V tal que V é unitária. Demonstração: Tome, 0 um produto interno Hermitiano qualquer em V. Dena, : V V C por u, v = s G ρ s (u), ρ s (v) 0.

34 32 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade É claro que, é um produto interno. Além disso, para todo t G, ρ t (u), ρ t (v) = s G ρ sρ t (u), ρ s ρ t (v) 0 = r G ρ r(u), ρ r (v) 0 = u, v, o que mostra a proposição. Sendo ρ : G V uma representação unitária com respeito ao produto interno,, temos que, para todo s G, ρ s t ρ s (u), v = ρ s (u), ρ s (v) = u, v para todo u, v V. Logo ρ s t ρ s (u) u, v para todo v V. Em particular, tomando v := ρ t s ρ s (u) u obtemos que ρ t s ρ s (u) = u para todo u V e concluímos que ρ t s = ρ s 1 para todo s G. Se a representação V tem grau n e é representada pela matriz ρ s = (a ji (s)) n n então obtemos que a ij (s) = a ij (s 1 ), para todo s G. 2.4 Ortogonalidade de Caracteres Seja G um grupo nito. Denote o espaço vetorial das funções complexas em G por C[G]: C[G] := {f : G C}.

35 2.4. Ortogonalidade de Caracteres 33 Observe que o caracter χ de uma representação V de G é um elemento de C[G]. Se f, g C[G] dena f, g = 1 G f(s)g(s). (2.2) s G Exercício 2.3 Mostre que a relação (2.2) dene um produto interno Hermitiano em C[G]. Sejam ρ 1 : G GL(V 1 ) e ρ 2 : G GL(V 2 ) representações de G de graus n 1 e n 2, respectivamente. Vimos na Seção 1.1 que, xadas bases em V 1 e V 2, as representações ρ 1 e ρ 2 podem ser dadas na forma de matrizes a i 11(s) a i 1n i (s) ρ i s =..... (2.3) a i n i1(s) a i n in i para i = 1, 2. Se T : V 1 V 2 é uma transformação linear, então T também pode ser representada na forma matricial: t 11 t 1n1 T = (2.4) t n21 t n2n 1 Lema 2.8 Sejam V 1 e V 2 representações irredutíveis de G de graus n 1 e n 2, respectivamente. Seja T : V 1 V 2 uma transformação linear. Suponha que ρ 1, ρ 2 e T sejam dadas nas formas matriciais (2.3) e (2.4), respectivamente. 1. Se V 1 e V 2 não são isomorfas, então 1 a 2 G kl(s 1 )a 1 ji(s) = 0 (2.5) s G

36 34 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade para todo i, j, k e l. 2. Se ρ 1 e ρ 2 são isomorfas, então 1 a 2 G kl(s 1 )a 1 ji(s) = 1 δ ik δ jl. (2.6) n 1 s G Demonstração: Seja T 0 a transformação linear denida por T 0 := 1 (ρ 2 G s) 1 T ρ 1. s G Observe que T 0 é o homomorsmo de representações denido em (2.1). Sejam t 0 ki as entradas da matriz que representa T 0. Segue da denição que t 0 ki = 1 G ( ) a 2 kl(s 1 )a 1 ji(s) t lj (2.7) j,l s G onde vemos que t 0 ki é dada como uma função polinomial de grau 1 em t lj, com 1 l n 2 e 1 j n 1. Se V 1 e V 2 não são isomorfas, segue do Corolário 2.6, item (1), que t 0 ki = 0. Logo, todos os coecientes da função polinomial (2.7) são nulos. Como isto é válido para todo i e k obtemos (2.5). Por outro lado, se V 1 e V 2 são isomorfas temos que t 0 ki = λδ ki, onde λ = 1 n 1 l,j δ ljt lj. Logo Igualando os coecientes de t lj (2.6). t 0 ki = 1 δ ki δ lj t lj. (2.8) n 1 l,j em (2.7) e em (2.8) obtemos Teorema 2.9 Fixe um grupo nito G. 1. Se χ é o caracter de uma representação irredutível de G, então χ, χ = 1.

37 2.4. Ortogonalidade de Caracteres Se χ V e χ W são caracteres de duas representações irredutíveis de G não isomorfas, então χ V, χ W = 0. Demonstração: 1. Seja ρ : G GL(V ) uma representação irredutível de G de grau n com caracter χ, dada na forma matricial por ρ s = (a ij (s)) n n. Temos que χ(s) = i a ii(s) e portanto χ, χ = n a ii, a jj = i,j=1 n i,j=1 1 G a ii (s)a jj (s). s G Pela Seção 2.3, V é uma representação unitária. Então a ii (s) = a ii (s 1 ) e obtemos χ, χ = n i,j=1 1 G a ii (s)a jj (s 1 ). s G Segue do Lema 2.8, item 1, que χ, χ = n i,j=1 δ ii δ jj n = n i,j=1 δ ij n = Por outro lado, se χ V e χ W são caracteres de representações irredutíveis não isomorfas, então segue do Lema 2.8, item 2, que χ V, χ W = 0. Segue do Teorema 2.9 que o conjunto formado pelos caracteres de representações irredutíveis de G não isomorfas formam um subconjunto ortogonal de C[G]. Concluímos que qualquer grupo nito G possui um número nito de representações irredutíveis. Veja o Exercício 1. Abaixo temos alguns corolários que serão úteis para encontrar os caracteres irredutíveis de um grupo G.

38 36 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade Recorde que, pelo Teorema 1.6, uma representação V de G se decompõe como soma direta de representações irredutíveis de G. Corolário 2.10 Seja V uma representação de G com caracter χ. Assuma que V se decompõe como a soma direta de representações irredutíveis V = W 1 W n. (2.9) Então, se W é uma representação irredutível de G com caracter ϕ, o número de W i 's isomorfas a W é χ, ϕ. Além disso, o número de W i 's isomorfas a W não depende da decomposição (2.9) escolhida. Demonstração: Seja χ i o caracter de W i. Pelo Exercício 1.3 temos que χ = χ χ n. Então χ, ϕ = χ 1, ϕ + + χ n, ϕ. (2.10) Segue do Teorema 2.9 que χ i, ϕ = 1 se W i é isomorfa a W e χ i, ϕ = 0 se W i não é isomorfa a W. Portanto a soma em (2.10) será o número de vezes que a representação irredutível W ocorre em V. Para ver que este número não depende da decomposição (2.9), basta observar que o produto interno χ, ϕ não depende da decomposição. Corolário 2.11 Sejam V e W duas representações de G tais que χ V = χ W. Então V é isomorfa a W.

39 2.4. Ortogonalidade de Caracteres 37 Demonstração: Se χ V = χ W, então χ V, χ i = χ W, χ i para cada caracter irredutível χ i de G. Segue do Corolário 2.10 que o número de vezes que a representação irredutível W i de G, associada a χ i, ocorre em V e W são iguais. Se W 1,..., W n são as representações irredutíveis de G com caracteres χ 1,..., χ n, respectivamente, então V é isomorfa à soma direta V = W m1 1 Wn mn onde os m i 's são inteiros positivos. Os resultados acima mostram que, se χ é o caracter de V, então m i = χ, χ i, para i = 1,..., n. As relações de ortogonalidade do Teorema 2.9 implicam que χ, χ = n m 2 i = i=1 n χ, χ i 2. (2.11) i=1 Corolário 2.12 Seja V uma representação de G com caracter χ. Então V é irredutível se, e somente se, χ, χ = 1. Demonstração: De acordo com a Equação (2.11), χ, χ = 1 se, e somente se, n i=1 χ, χ i 2 = 1, onde χ i são os caracteres irredutíveis de V. Mas isto é possível apenas se χ = χ i para algum i, o que indica, pelo Corolario 2.11, que V é isomorfa a uma representação irredutível. Estes resultados mostram que os caracteres de fato caracterizam as representações de G, o que reduz o estudo de representações ao estudo dos seus caracteres, com especial atenção para os caracteres irredutíveis.

40 38 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade 2.5 Decomposição da representação regular Nesta seção analisaremos a estrutura da representação regular de um grupo G, denida no Exemplo 1.4. Este estudo será importante para encontrar as representações irredutíveis de G. Recorde que, dado um grupo G com ordem g := G e V um espaço vetorial de dimensão g com base {e s } s G indexada pelos elementos de G, a representação regular de G é denida por ϱ : G GL(V ) t ϱ t onde ϱ t : V V é o operador linear denido por ϱ t (e s ) = e ts. Denotaremos por χ ϱ o caracter desta representação. Proposição 2.13 O caracter da representação regular é { G, se t = e χ ϱ (t) = 0, se t e Demonstração: Se t = e então ϱ e = Id V e teremos χ ϱ (e) = Tr(Id V ) = G. Por outro lado, se t e então ts s para todo s G.Logo a matriz de ϱ t na base {e s } s G terá todos os elementos da diagonal principal nulos. Portanto χ ϱ (t) = Tr(ϱ t ) = 0. Corolário 2.14 Seja V uma representação irredutível de G. Então V está contida na representação regular de G com multiplicidade igual ao seu grau, ou seja, dim(v ).

41 2.6. Exercícios 39 Demonstração: O Corolário 2.10 arma que a multiplicidade com que V ocorre na representação regular é χ ϱ, χ V. Segue que χ ϱ, χ V = 1 G χ ϱ (s)χ V (s 1 ) = χ V (e) = dim(v ). s G Corolário 2.15 Sejam V 1,..., V k as representações irredutíveis de G. Suponha que seus caracteres sejam χ 1,..., χ k e seus graus sejam n 1,..., n k, respectivamente. Se s G {e}, então k n i χ i (s) = 0. i=1 Além disso, k i=1 n2 i = G. Demonstração: Segue do Corolário 2.14 que χ ϱ (s) = k n i χ i (s) i=1 para todo s G. Se s e, então o armado segue da Proposição No caso em que s = e, a mesma proposição nos diz que i n2 i = G. 2.6 Exercícios 1. Mostre que a dimensão do espaço vetorial C[G] é nita. Encontre uma base para este espaço. Conclua que o grupo G possui um número nito de representações irredutíveis. 2. Seja ρ : G GL(V ) uma representação de G. Mostre que os autovalores de ρ s têm norma 1, para todo s G.

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43 41 3 Os caracteres irredutíveis de um grupo 3.1 Funções de classe Uma função f : G C que é constante nas classes de conjugação do grupo G é chamada uma função de classe. Na Seção 2.1 denotamos a classe de conjugação de um elemento s G por [s]: [s] := {tst 1 t G}. Portanto, se f é uma função de classe denida em G, então f(r) = f(s) para todo r [s]. Em outras palavras, f(tst 1 ) = f(s) para todo s, t G. Exemplos de funções de classe são os caracteres de uma representação, de acordo com a Proposição 2.2. Seja ρ : G GL(V ) uma representação de G e f : G C uma função de classe. Dena a transformação linear ρ f : V V por ρ f := f(s)ρ s. (3.1) s G Observe que ρ f é um homomorsmo de representações. De fato, para todo t G, ρ 1 t ρ f ρ t = f(s)ρ 1 t ρ s ρ t = f(s)ρ t 1 st = s G s G u=t 1 st f(tut 1 )ρ u.

44 42 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo Como f é função de classe, temos que f(u) = f(tut 1 ) e segue que ρ 1 t ρ f ρ t = u G f(u)ρ u = ρ f. Proposição 3.1 Seja ρ : G GL(V ) uma representação irredutível de G com caracter χ. Sejam f uma função de classe em G e ρ f : V V a transformação linear denida por Então ρ f = λid V, onde λ = ρ f := s G f(s)ρ s. G f, χ. dim(v ) Demonstração: Observe que ρ f é a mesma transformação linear denida em (3.1). Portanto, sabemos que ρ f é homomor- smo de representações. Pelo Teorema 2.4, ρ f = λid V. Além disso, segue do Corolário 2.6, item 2, que 1 λ = dim(v ) Tr(ρ 1 1 f ) = f(s)χ(s) = f, χ, dim(v ) dim(v ) o que demonstra a proposição. s G Vimos na Seção 2.4 que os caracteres de representações irredutíveis não isomorfas de G formam um subconjunto ortonormal de C[G]. Uma pergunta natural é: qual é o subespaço de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G? Na próxima seção usaremos a Proposição 3.1 para responder esta pergunta. 3.2 O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis G: Denote por Cl[G] o conjunto das funções de classe em Cl[G] := {f : G C f é função de classe}.

45 3.2. O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis 43 Observe que Cl[G] C[G] é subespaço vetorial que contém os caracteres de G. Além disso, os caracteres irredutíveis de G formam um subconjunto ortogonal de Cl[G]. Dada uma representação ρ : G GL(V ) e uma função de classe f em G, recorde a transformação linear ρ f = s G f(s)ρ s denida em (3.1). A Proposição 3.1 relaciona a transformação ρ f com o produto interno entre f e o caracter da representação V. O próximo teorema usa esta relação para mostrar que o subespaço de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G é Cl[G]. O seguinte exercício de Álgebra Linear será usado na demonstração do teorema. Exercício 3.1 Sejam V um espaço vetorial com produto interno e S = {v 1,..., v n } V um subconjunto. Seja w V um vetor não nulo tal que w, v i = 0 para todo i = 1,..., n. Mostre que w / ger(s), onde ger(s) é o subespaço de V gerado por S. Teorema 3.2 Seja β := {χ 1,..., χ n } o conjunto formado pelos caracteres irredutíveis do grupo G. Então β é uma base ortonormal de Cl[G]. Demonstração: O Teorema 2.9 mostra que β é um subconjunto ortonormal de Cl[G]. Devemos mostrar que este conjunto gera Cl[G]. Para isto, mostraremos que se f Cl[G] é tal que f, χ i = 0 (3.2) para todo i = 1,..., n, então f = 0. Feito isto, a armação do teorema segue do Exercício 3.1.

46 44 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo Para cada representação ρ : G GL(V ), seja ρ f = s G f(s)ρ s a transformação linear denida em (3.1). Se ρ é uma representação irredutível, então ρ f = 0. De fato, se V i é a representação irredutível de G associada a χ i, então a Proposição 3.1 arma que ρ f = λid Vi, onde λ = G dim(v i ) f, χ i. Segue da hipótese (3.2) que λ = 0 e portanto ρ f = 0. Como qualquer representação pode ser escrita como soma direta de representações irredutíveis, concluímos que ρ f = 0 para qualquer representação de G. Considere agora a representação regular ϱ : G GL(V ), dada no Exemplo 1.4. A imagem do vetor e 1 será ϱ f (e 1 ) = s G f(s)ϱ s (e 1 ) = s G f(s)e s. Como ϱ f = 0, obtemos que f(s) = 0 para todo s G. O seguinte corolário estabelece o número de representações irredutíveis de um grupo nito G. Corolário 3.3 O número de representações irredutíveis do grupo G é igual ao número de classes de conjugação de G. Demonstração: Pelo Teorema 3.2, a dimensão de Cl[G] é igual ao número de representações irredutíveis não isomorfas de G. Por outro lado, se c 1,..., c k são as classes de conjugação distintas de

47 3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 45 G, então dizer que uma função f : G C é uma função de classe é o mesmo que dizer que f é constante em cada c i, para i = 1,..., k. Em outras palavras, se ξ i são as funções de classe denidas por ξ i (s) = para i = 1,..., k, então { f = 1, se s c i 0, se s / c i k f(s)ξ i. i=1 s c i Isto mostra que a dim(cl[g]) = k. Portanto o número de representações irredutíveis de G é igual ao número de classes de conjugação de G. 3.3 Tabelas de caracteres irredutíveis A tabela de caracteres irredutíveis de um grupo nito G reúne todas as informações necessárias para se conhecer os caracteres de G e, consequentemente, as representações de G. A primeira linha da tabela contém as classes de conjugação de G. A classe de conjugação do elemento s G continuará a ser denotada por [s] e o número de elementos desta classe, que formará a segunda linha da tabela, será denotado por #[s]. Em seguida virão os caracteres irredutíveis de G, um por linha, com o respectivo valor deste caracter na classe de conjugação. Ao montar as tabelas usaremos livremente os seguintes resultados vistos durante o curso: o número de representações irredutíveis de G é igual ao número de classes de conjugação de G (Corolário 3.3);

48 46 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo [s] [0] [1] [2] #[s] χ χ 1 1 ω ω 2 χ 2 1 ω 2 ω Tabela 1 Caracteres irredutíveis de Z 3 se n 1,..., n k são os graus das representações irredutíveis de G, então i n2 i = G (Corolário 2.15); se χ 1,..., χ k e n 1,..., n k são os caracteres irredutíveis e os graus das representações irredutíveis de G, então i n iχ i (s) = 0 para todo s G, com s e (Corolário 2.15); se φ : G H é um homomorsmo de grupos, então podemos induzir caracteres irredutíveis em G a partir dos caracteres de H por composição com φ (Exercício 2 do Capítulo 1); No que se segue, o caracter da representação unitária, vista no Exemplo 1.1, será denotado por χ Z 3 De acordo com o Corolário 2.5, as representações irredutíveis de um grupo abeliano têm grau 1. Como Z 3 é abeliano com 3 elementos, este grupo possui 3 classes de conjugação e, portanto, 3 representações irredutíveis não isomorfas. Vimos no Exemplo 1.3 uma representação irredutível de Z 3. A Tabela 1, onde ω = e 2πi/3, contém os caracteres irredutíveis de Z 3..

49 3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 47 [s] [e] [(12)] [(123)] #[s] χ χ σ χ Tabela 2 Caracteres irredutíveis de S S 3 Sabemos que S 3 possui duas representações de grau 1: as representações unitária e sinal dadas nos Exemplos 1.1 e 1.2, respectivamente. Como S 3 possui 3 classes de conjugação, resta encontrar uma representação irredutível. Seja n o grau desta representação. Sabemos que n 2 = S 3 = 6. Logo n = 2. De fato, esta representação de grau 2 é a ação de S 3 no triângulo equilátero que permuta os seus vértices, exibida no Exemplo 1.5. A Tabela 2 contém os caracteres irredutíveis de S A 4 Inicialmente, observe que A 4 possui um subgrupo normal, a saber, K := {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} A 4, conhecido como grupo de Klein e A 4 /K = Z 3. Logo, podemos usar este isomorsmo de grupos para induzir representações em A 4 a partir das representações de Z 3. De fato, se ρ : Z 3 GL(V ) é uma representação irredutível de Z 3, então a composição A 4 π A 4 K ρ GL(V )

50 48 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo [s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)] #[s] χ χ 2 1 ω ω 2 1 χ 3 1 ω 2 ω 1 χ Tabela 3 Caracteres irredutíveis de A 4 é uma representação irredutível de A 4. Além disso, se s e t são elementos de A 4 tais que π(s) = π(t), então teremos que ρ(π(s)) = ρ(π(t)). A Tabela 3 contém os caracteres irredutíveis de A 4, onde os três primeiros caracteres foram encontrados a partir da tabela de caracteres de Z 3, vista na Seção Já o caracter χ 4 foi encontrada usando o Corolário No próximo capítulo encontraremo a representação χ 4 a partir de rotações do tetraedro regular S 4 Assim como no caso de A 4, o grupo de Klein K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} também é subgrupo normal de S 4. Além disso, S 4 /K = S 3. Logo as representações irredutíveis de S 3 induzem representações irredutíveis em S 4 via a composição S 4 S 4 K GL(V ). Abaixo temos a tabela de caracteres de A 4, onde os três primeiros caracteres foram encontrados a partir da tabela de caracteres de S 3, vista na Seção Os caracteres χ 4 e χ 5 serão encontrados no próximo capítulo a partir da ação de S 4 no cubo.

51 3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 49 [s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)] #[s] χ χ σ χ χ χ Tabela 4 Caracteres irredutíveis de S 4 [s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)] #[s] χ φ I φ I χ V χ Tabela 5 Caracteres irredutíveis de A A 5 A Tabela 5 contém os caracteres irredutíveis do grupo A 5. Eles serão encontrados no próximo capítulo a partir de rotações do icosaedro regular. Ela também pode ser obtida por rotações do dodecaedro regular, visto que este é o sólido de Platão dual do icosaedro.

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53 51 4 Representações e sólidos de Platão Existem cinco sólidos de Platão, também conhecidos como poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. Cada um deles dene um grupo nito de rotações no espaço tridimensional, composto por todas as rotações que preservam a posição inicial do poliedro. Estes grupos podem ser identicados com grupos de permutações que agem nos sólidos. Nesta seção relacionaremos caracteres dos grupos A 4, S 4 e A 5 com ações destes grupos nos poliedros regulares. Como o octaedro é o poliedro dual do cubo, eles possuem o mesmo grupo de simetria. Pelo mesmo motivo, o icosaedro e o dodecaedro também possuem o mesmo grupo de simetria. Mais detalhes sobre simetrias em sólidos de Platão podem ser encontrados em [1]. 4.1 Representações por permutações e pontos xos Recorde o Exercício 1 do Capítulo 1. Ele trata da representação por permutações de um conjunto nito X. Se G é um grupo nito que age em X, denimos esta representação da seguinte maneira. Seja V o espaço vetorial complexo com base {e x } x X indexada pelos elementos de X. Para cada s G de- na ρ s : V V por ρ s (e x ) = e sx. A função ρ : G GL(V ) denida por s ρ s é a representação por permutações de X. A seguinte proposição relaciona o caracter da representação por

54 52 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão permutações com os pontos xos da ação de G em X. Proposição 4.1 Seja G um grupo nito que age no conjunto X e ρ : G GL(V ) a representação por permutações de X. Então o valor do caracter χ V em s G é o número de pontos xos de s: χ V (s) = #{x X sx = x}. Demonstração: Considere β := {e x } x X, a base de V indexada pelos elementos de X. Por denição, para todo x X temos que ρ s (e x ) = e sx.logo, se (a ij ) é a matriz que representa ρ s na base β e a k-ésima coluna dessa matriz está associada ao elementos x X, então Portanto a kk = { 1, se sx = x 0, se sx x. χ V (s) = Tr(ρ s ) = Tr(a ij ) = #{x X sx = x}, o que conclui a demonstração. 4.2 Simetrias em sólidos de Platão Tetraedro Considere a ação de A 4 nos vértices do tetraedro. Denotaremos esta ação por T. A m de calcular o caracter desta ação, basta conhecer a ação dos elementos e, (123), (132) e (12)(34) de A 4. Estas ações são descritas geometricamente na Figura 2.

55 4.2. Simetrias em sólidos de Platão 53 Figura 2 Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34), respectivamente, nos vértices do tetraedro. [s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)] φ T Tabela 6 Caracter da ação de A 4 no tetraedro Denote por φ T o caracter desta ação. Usando a Proposição 4.1 para calcularmos esse caracter obtemos os valores contidos na Tabela 6 Sabemos da Seção que A 4 não possui caracter irredutível de grau 4. Portanto φ T não é irredutível. Outra forma de concluirmos que φ T não é irredutível é calcular φ T, φ T e usar o Corolário Calculando o produto interno entre φ T e o caracter da representação unitária obtemos φ T, χ 1 = 1. Portanto a representação unitária ocorre 1 vez em T, ou seja, T = 1 W, onde W é uma representação de A 4 de grau 3. Segue desta decomposição que φ T = χ 1 + χ W,

56 54 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão Figura 3 Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34), respectivamente, nas diagonais principais do cubo. então χ W = φ T χ 1 e podemos calcular os valores do caracter χ W. Calculando χ W, χ W = 1, obtemos que χ W é irredutível. Comparando este caracter com aqueles encontrados na Seção 3.3.3, observamos que χ W = χ 4 e concluímos que a ação de A 4 no tetraedro é a soma das representações irredutíveis χ 1 + χ Cubo e octaedro Considere a ação de S 4 no cubo que permuta as diagonais principais deste poliedro. Denotaremos esta ação por C. Para calcular o caracter desta ação basta saber a ação dos elementos e, (12), (123), (1234) e (12)(34). A Figura 3 mostra geometricamente estas ações. Observe que nesta gura destacamos apenas os extremos de cada diagonal principal. Denote por φ C o caracter desta ação. Podemos calcular φ C usando a Proposição 4.1. Os valores obtidos estão na Tabela 7.

57 4.2. Simetrias em sólidos de Platão 55 [s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)] φ C Tabela 7 Caracter da ação de S 4 no cubo A representação φ C não é irredutível. Calculando o produto interno φ C, χ 1 = 1, temos que a representação C se decompõe como C = 1 W, onde W é uma representação de S 4 de grau 3. Segue desta decomposição que φ C = χ 1 + χ W, e podemos calcular os valores do caracter χ W. Em seguida Calculando χ W, χ W = 1, obtemos que χ W é irredutível. Este caracter corresponde ao caracter χ 4 na tabela 4. Já o caracter χ 5 é χ σ χ W, correspondente à representação W σ. Para denição e propriedades do produto tensorial de representações consulte [2] Icosaedro e dodecaedro Por m, estudaremos as simetrias do icosaedro e encontraremos a tabela dos caracteres irredutíveis do seu grupo de permutações, a saber, A 5. Este grupo possui 60 elementos divididos em 5 classes de conjugação: [e], [(123)], [(12)(34)], [(12345)] e [(13245)]. A ação de A 5 no icosaedro resulta em rotações que preservam a posição inicial do poliedro. A lista abaixo relaciona o elemento de A 5 com a respectiva rotação e exibe a matriz de rotação em uma base adequada:

58 56 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão e: matém o sólido xo; (123): rotação de ângulo θ 1 := 2π 3 perpendicular a duas faces opostas 1/2 3/2 0 3/2 1/ em torno de um eixo ; (12)(34): rotação de ângulo π em torno de um eixo perpendicular a duas arestas opostas; ; (12345): rotação de ângulo θ 1 := 2π 5 através de dois vértices opostos; cosθ 1 senθ 1 0 senθ 1 cosθ (13245): rotação de ângulo θ 2 := 4π 5 através de dois vértices opostos cosθ 2 senθ 2 0 senθ 2 cosθ em torno de um eixo ; em torno de um eixo ; Denotaremos o caracter desta representação por φ I1. Podemos obter outra ação de A 5 no icosaedro permutando o valor dos ângulos θ 1 e θ 2 e mantendo a inalterada a ação de e, (123) e (12)(34). Chamaremos o caracter desta nova ação de

59 4.2. Simetrias em sólidos de Platão 57 [s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)] ψ Tabela 8 Caracter da ação de A 5 em {1, 2, 3, 4, 5} φ I2. Podemos calcular diretamente os valores assumidos por esses caracteres: Vericando que φ I1, φ I1 = φ I2, φ I2 = 1, obtemos que ambos os caracteres são irredutíveis. Outro caracter de A 5 pode ser encontrado analisando a ação natural de A 5 em {1, 2, 3, 4, 5}. Denote o caracter desta ação por ψ. Usando a Proposição 4.1 obtemos os valores da Tabela 8. Calculando ψ, χ 1 = 1, vemos que a representação unitárica ocorre 1 vez nesta representação. Portanto ela não é irredutível e se decompõe como V 1. O caracter de V é χ V := ψ χ 1 e pode ser calculado facilmente. Além disso, χ V, χ V = 1 e concluímos que V é irredutível. Já encontramos quatro caracteres irredutíveis de A 5, a saber: χ 1, φ I1, φ I2 e χ V, cuja soma dos quadrados dos graus é = 35. Portanto o caracter irredutível restante, que chamaremos, χ tem grau 5. Ele pode ser encontrado usando o Corolário Corolário Desta forma encontramos todos os caracteres irredutíveis de A 5 constantes na Tabela 5.