Notas de Algebra Linear. Eduardo Hernandez, Michelle Pierri

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1 Notas de Algebra Linear Eduardo Hernandez, Michelle Pierri

2 Sumário 1 Espaços Vetoriais 3 11 Exercícios 7 12 Exercicios Interseção e Soma de Subespaços vetoriais 9 13 Exercícios Subespaços gerados Exercícios 18 2 Dependência Linear, base e dimensão Exercícios Coordenadas Exercícios Prova teste 1 de Prova Teste 2 de Prova 1 do ano Prova 1 de Transformações Lineares Imagem e Núcleo de uma transformação Isomorsmo e Automorsmo O Espaço Vetorial L(U, V A matriz associada a uma Transformação Linear Exercícios 50 2

3 Capítulo 1 Espaços Vetoriais Neste capítulo introduziremos o conceito mais importante da teoria de algebra linear, o conceito de espaço vetorial No que segue desta apostilha, R denota o conjunto dos números reais Denição 11 Seja V é um conjunto não vazio e suponha que existem duas operações denidas em V, uma operação somma (denotada + que a cada par de elementos u, v V associa un único elemento de V denotado por u + v, e uma operação chamada de multiplicação por escalar que a cada u V e todo λ R associa un único elemento de V denotado por λ u Dizemos que o triple (V, +, é um espaço vetorial se as seguintes condições são satisfeitas: P 1 u + v = v + u para todo u, v V, (propriedade comutativa P 2 u + (v + w = (u + v + w para todo u, v, w V, (propriedade associativa P 3 existe um elemento 0 V tal que 0 + u = u para todo u V, P 4 para cada u V existe v V tal que u + v = 0, P 5 λ (µ u = (λµ u para todo u V e λ, µ R, P 6 (λ + µ u = λ u + µ u para todo u V, λ, µ R, P 7 λ(u + v = λ u + λ v para todo u, v V e λ R, P 8 1 u = u para todo u V Observação 12 Os elementos de um espaço vetorial (independentemente da natureza do conjunto V são chamados de vetores e os números reais que aparecem na multiplicação λ u são chamados escalares A seguir apresentamos alguns exemplos de espaçõs vetorias Exemplo 13 Um exemplo obvio de espaço vetorial é o conjunto R munido com as operações + e usuais Exemplo 14 O espaço R n Seja R n o conjunto formado por todas as n-uplas ordenadas de números reais Lembre que uma n-upla de números reais é uma ordenação de números reais da forma 3

4 (x 1,, x n No conjunto R n denimos a soma de n-uplas e a multiplicação escalar por (x 1,, x n + (y 1,, y n = (x 1 + y 1,, x n + y n, λ (x 1,, x n = (λx 1,, λx n Deixamos como exercicio mostrar que R n munido com as operações anterioresi é um espaço vetorial Exemplo 15 O espaço de polinomios de grau menor o igual a n Seja n N e P n (R o conjunto formado por todos os polinômios com coecientes reais de grau menor ou igual a n Lembre que um polinômio com coecientes reais é uma função f da forma f(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i onde cada a i é um número real Em P n (R denimos as operações soma e multiplicação por escalar na forma Soma: Se p(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i e q(x = b 0 + b 1 x + + b n x n = n i=0 b ix i denimos (p+q(x = (a 0 +b 0 +(a 1 +b 1 x+ +(a n +b n x n = n i=0 (a i + b i x i Multiplicação por escalar: p(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i e λ R denimos λ p(x = (λa 0 + (λa 1 x + + (λa n x n = n i=0 λa ix i Exercício 16 Mostrar que P n (R munido com as operações anteriores é um espaço vetorial Exemplo 17 Espaços de funções Seja A R e denotemos por F(A; R o conjunto formado por todas as funções f denidas de A em R No conjunto F(A; R consideramos as seguintes operações: Soma: Se f, g F (A; R á função soma f +g : A R é dada por (f +g(x = f(x + g(x Multiplicação por escalar: Se λ R e f F (A; R a função λ f é dada por (λ f(x = λf(x Exercício 18 Mostrar que F (A; R munido com as operações anteriores é um espaço vetorial Exemplo 19 O espaço das matrizes de ordem n m Sejam n, m N Lembremos que uma matriz de ordem n m é uma ordenação de numeros reais a i,j da forma a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m a i,1 a i,2 a i,m a n,1 a n,2 a n,m formada por n-las e m-colunas Para simplicar, no que segue uma matriz como a anterior será representada na forma A = (a i,j n,m 4

5 Denimos M(n, m como sendo o conjunto formado por todas a matrizes de ordem n m Nesta apostilha sempre assumiremos que M(n, m é munido das seguintes operações: Soma: Se A = (a i,j n,m e B = (b i,j n,m a A + B é dada por A + B = (a i,j + b i,j n,m, Multiplicação por escalar: Se λ R e A = (a i,j n,m, a matriz λa é dada por λa = λ (a i,j n,m = (λa i,j n,m Exercício 110 Mostrar que com as operações anteriores M(n, m é um espaço vetorial Exemplo 111 Um exemplo abstrato Os exemplos anteriores envolvem conjuntos e operações que ja conhecemos O seguinte exemplo é mais abstrato e por isso o estudaremos com maior atenção No conjunto V = (0, denimos a soma entre dois números x e y de V por x y = xy (aqui xy é o produto usual entre x e y e o produto escalar de x e λ R por λ x = x λ Com essas operações temos que V é um espaço vetorial De fato, note que P 1 se x, y V temos que x y = xy = yx = y x para todo x, y V, P 2 x (y z = x (yz = x(yz = (xyz = (x yz = (x y z para todo x, y, z V, P 3 se x V temos que 1 x = 1x = x Logo, o vetor 0 em P 3 é o número 1, P 4 se x V então 1 x V, de onde segue que P 4 é satisfeita com x = 1 x, P 5 λ (µ x = λ x µ = (x µ λ = x µλ = x λµ = (λµ x para todo x V e λ, µ R, P 6 (λ + µ x = x λ+µ = x λ x µ = x λ x µ = (λ x (µ x para todo x V e λ, µ R, P 7 λ (x y = λ (xy = (xy λ = x λ y λ = (λ x (λ y para todo x, y V e λ R, P 8 1 x = x 1 = x para todo x V Exemplo 112 Seja V = {(x, y, z, w R 4 : y = x, z = w 2 } com as operações usuais de R 4 Como (0, 0, 1, 1 V e 1(0, 0, 1, 1 = (0, 0, 1, 1 V, segue que V não é um espaço vetorial Um dos aspectos mais interessantes de qualquer teoria matemática é que ela é desenvolvida a partir de um conjunto de propriedades básicas Em particular, notamos que todos os resultados e aplicações da algebra linear são obtidos a partir dos axiomas P 1 -P 8 No próximo resultado vemos como é possivel obter novas propriedades a partir desses axiomas Proposição 113 Se (V, +, é um espaço vetorial, então as seguintes propriedades são vericadas 5

6 1 O elemento 0 da propriedade P 3 é único, 2 para cada u V o vetor u da propriedade P 4 é único, 3 se 0 é o vetor em P 3 e λ R então λ0 = 0, 4 se 0 é o número real zero e u V então 0u = 0, 5 se λu = 0 então λ = 0 ou u = 0, 6 se u então 1 u = u, 7 se λ R e u V então ( λu = λ( u = (λu, 8 se u V então ( u = u, 9 se u + w = v + w então u = v, 10 se u, v V então existe um único w V tal que u + w = v Prova: Mostramos somente as seis primeiras propriedades, a prova das outras é deixada como exercicio 1 Suponha que 0 V tambem satisfaz a propriedade P 3 Então, por P 3 e P 1 temos que 0 = = = 0 2 Suponha que v V é tal que u + v = 0 Usando P 1, P 2 e P 3 vemos que v = v + 0 = v + (u + u = (v + u + u = (u + v + u = 0 + u = u Isto prova que existe un único vetor que verica a propriedade P 4 3 Por P 3 e P 7 temos que λ0 = λ(0 + 0 = λ0 + λ0 Usando isto, vemos que o que prova a propriedade λ0 = λ0 + λ0, / + (λ0 λ0 + (λ0 = (λ0 + λ0 + (λ0 0 = (λ0 + λ0 + (λ0 por P 3 0 = λ0 + (λ0 + (λ0 por P 2 0 = λ0 + 0 por P 4 0 = λ0, por P 3, 4 Note que 0u = (0+0u = 0u+0u Logo, somando (0u ao ambos lados desta igualdade vemos que 0u = (0u + 0u + (0u 0 = 0u + (0u + (0u por P 2 0 = 0u + 0 por P 4 0 = 0u por P 3 5 Suponha que λu = 0 e que λ 0 Por P 8, P 5 e propriedade em (3, vemos que u = 1u = (λ 1 λu = λ 1 (λu = λ 1 0 = 0 6 Como 0 = 0 u = ( 1 u + 1 u = 1u + u, de (2 segue que u = 1 u 6

7 11 Exercícios 1 Verique que o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial {( } a b (a O conjunto V = : a, b R com as operações usuais de b a M(2, 2 {( } a b (b O conjunto V = : a, b R com as operações usuais de b 3a M(2, 2 (c O conjunto V = { (x, y R 2 : 3x 2y = 0 } com as operações usuais de R 2 (d O conjunto V = {f : R R : f( x = f(x, x R} com as operações do espaço F(R; R (e O conjunto V = n N P n(r com as operações do espaço F(R; R (f O conjunto V = R 2 munido das operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (2x 1 2y 1, y 1 x 1 e α (x, y = (3αx, αx (g O conjunto V = R 2 com as operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (x 1 +x 2, y 1 +y 2 e α(x, y = (αx, 0 (h O conjunto V = { (x, y, z, w R 4 : y = x, z = w 2} com as operações de R 4 (i V = R (R \ {0} com as operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 y 2, α (x, y = (αx, y α (j Seja ω R e F ω = {f F (R, R : f é ω periodica} (lembre que uma função f R é ω periodica f(s + ω = f(s para todo s R Com as operações do espaço F(R; R, o conjunto F ω é um espaço vetorial? 2 Suponha que (U,, e (W,, são espaços vetoriais No espaço produto U W = {(x, y : x U, y W } denimos as operações (u, v + (w, z = (u w, v z e λ(u, v = (λ u, λ v Com as operações anteriores U W é um espaço vetorial? Observação 114 Para simplicar as notações, no que segue desta apostilha V será um espaço vetorial e as operações soma e multiplicação por escalar serão denotadas por u + v e αu respectivamente Introduzimos agora o conceito de subespaço vetorial Denição 115 Seja W V Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, se W munido das operações soma e multiplicação escalar de V é um espaço vetorial Observação 116 É conveniente lembrar a seguinte frase da denição de espaço vetorial: Uma operação somma (denotada + que a cada par de elementos u, v V associa um único elemento de V denotado por u + v, e uma multiplicação por escalar que a cada u V e todo λ R associa un único elemento de V denotado por λu " Logo, para que W V seja um subespaço vetorial de V é necessario que u + v W e λu W para todo u, v V e todo λ R Como veremos no próximo resultado, estas propriedades caracterizam o conceito de subespaço vetorial 7

8 Proposição 117 Um conjunto W V é um subespaço vetorial de V u+λv W para todo u, v W e todo λ W Prova: Se W é um subespaço vetorial de V, da denição de subespaço vetorial (veja também a observação 116 segue diretamente que u + λv W para todo u, v W e todo λ W Suponha agora que u + λv W para todo u, v W e todo λ W Para provar que W é um espaço vetorial temos que mostrar que as propriedades P 1 -P 8 são vericadas As propriedades P 1, P 2, P 5, P 6, P 7 e P 8 são trivialmente satisfeitas pois elas são válidas em relação a V Assim, resta mostrar que P 3 e P 4 são satisfeitas Seja u W e λ R Da Proposição 113 sabemos que u = 1u Logo, 0 = u + u = u + 1u W o que implica que a condição P 3 é satisfeita Usando agora que 0 W e que u = 1u temos que u = 0 + 1u W o que prova que P 4 é tambem válida Segue do anterior que W é um subespaço vetorial de V Isto completa a prova Vejamos alguns examplos de sub-espacos vetoriais Exemplo 118 Obviamente os conjuntos {0} e V são subespaços de V subespaços são chamados de subespaços vetoriais triviais de V Estes Exemplo 119 O conjunto S = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 0} é um subsepaço vetorial de R 3 Sejam u = (x, y, z, v = (x 1, y 1, z 1 vetores em S e λ R Para mostrar que W é um subespaço vetorial de R 3 temos que provar que u+λv = (x+λx 1, y+λy 1, z+λz 1 pertence a S Da denição de S segue que x + y + z = 0 e que x 1 + y 1 + z 1 = 0 Logo, x + λx 1 + y + λy 1 + z + λz 1 = x + y + z + λ(x 1 + y 1 + z 1 = 0, o que mostra que u + λv S Por tanto, S é um subespaço de R 3 Exemplo 120 Seja P n(r o subconjunto de P n (R denido por P n = {p P n : p(0 = 0} Para mostrar que P n(r é um subespaço vetorial de P n (R usaremos a Proposição 117 Sejam f, g P n(r e λ R Provar f + αg P n(r é equivalente a mostrar que (f + λg(0 = 0 Note agora que (f + λg(0 = f(0 + (λg(0 = f(0 + λg(0 = 0 + λ0 = 0 Exemplo 121 Seja A M(n, n uma matriz quadrada de ordem n e W = {X M(n, 1 : AX = 0} O conjunto W com as operações de M(n, 1 é um subespaço vetorial de M(n, 1 Sejam X, Y W e λ R Para mostrar que X + λy W temos que provar que A(X + λy = 0 Note agora que da denição de W, temos que AX = 0 e AY = 0, de onde segue que A(X + λy = AX + A(λY = AX + λay = O + λo = O Isto prova que W é um subespaço vetorial de M(n, 1 Exemplo 122 Seja S n(r o subconjunto de P n (R dado por S n(r = {f = n a j x j P n (R : a j = 0 se j é par} i=0 Deixamos como exercicio mostrar que S n(r é um subespaço vetorial de P n (R 8

9 12 Exercicios 1 Sejam a 1,, a n R e W = {(x 1,, x n R n : n i=1 a jx j = a 1 x a n x n = 0} O conjunto S é um subespaço vetorial de R n? 2 Resolver o exercicio anterior usando o Exemplo O conjunto das matrizes simétricas de ordem n n é um subespaço vetorial de M(n, n Lembre que uma matriz A = (a i,j n,n é simétrica se a i,j = a j,i para todo i, j 4 Sejam m, n N com m n O conjunto P m (R é um subespaço de P n (R? 121 Interseção e Soma de Subespaços vetoriais Nesta seção veremos que a interseção e a soma de subespaços vetorias é um subespaço vetorial Para começar, estudemos o caso da interseção Proposição 123 Se U e W são sub-espaços vetoriais de V então o conjunto U W = {x V : x U, x W } é sub-espaço vetorial de V Prova: Para mostrar o resultado usamos a Proposição 117 Sejam u, v U W e λ R Como u, v U e U é um espaço vetorial temos que u + λv U Mais ainda, como u, v W e W é um espaço vetorial também temos que u + λv W Agora, pela Proposição 117 segue que U W é sub-espaço vetorial de V Denição 124 Sejam U e W subconjuntos de V O conjunto U + W denido por U + W = {u + w : u U, w W } é chamado soma de U e W A soma U + W é chamada direta se U W = {0} Se a soma U + W é direta, usaremos a notação U W em lugar de U + W Proposição 125 Suponha que U, W são sub-espaçõs vetoriais de V Então, 1 U + W é um subespaço vetorial de V, 2 U + W é o menor subespaço vetorial de V que contém U W, ou seja, se Q é um subespaço vetorial de V que contém U W então U + W Q 3 A soma U + W é direta para cada v U + W existe um único u U e um único w W tais que v = u + w Prova: Para começar, mostremos que U + W é um subespaço vetorial de V Sejam u, v U + W e λ R Como u U + W, existem vetores u 1 U e w 1 W tais que u = u 1 + w 1 Similarmente, como v U + W existem vetores u 2 U e w 2 W tais que v = u 2 + w 2 Como U e W são subespaços vetoriais de V segue que u 1 + u 2 U e que λ(w 1 + w 2 W Usando isto, vemos que u + λv = u 1 + λw 1 + u 2 + λw 2 = u 1 + u 2 + λ(w 1 + w 2 U + W, de onde concluimos que U + W é um subespaço vetorial de V Provaremos agora a segunda propriedade Se u U então u = u + 0 U + W de onde segue que U U + W Da mesma forma podemos provar que W U + W Assim, obtemos que U W U + W 9

10 Suponha agora que Q é um subespaço vetorial de V tal que U W Q Se u U e w W então u Q e w Q, o que implica que u + w Q pois Q é subespaço vetorial de V Agora da denição de U + W segue que U + W = {u + w : u U, w W } Q Para nalizar, mostremos a propriedade (3 Suponha que a soma U +W é direta Se z U + W existem vetores u 1 U e w 1 W tais que z = u 1 + w 1 Suponha agora que z = u 2 + w 2 com u 2 U e w 2 W Nessas condições u 1 + w 1 = u 2 + w 2 o que implica que u 1 u 2 = w 2 w 1 (126 Como u 1 u 2 U e u 1 u 2 = w 2 w 1 W, segue que u 1 u 2 U W = {0} o que implica que u 1 u 2 = 0 e u 1 = u 2 Mais ainda, como 0 = u 1 u 2 = w 2 w 1 obtemos que w 1 = w 2 Isto prova que a representação de z como soma de vetores de U e W é única Suponha agora que para cada v U + W existe um único u U e um único w W tais que v = u + w Se z U W então z = 0 + z e z = z + 0 de onde inferimos que z = 0 (pela hipotese, z pode ser escrito em uma única maneira Como z é arbitrario do anterior temos que U W = {0} e que a soma U + W é direta A prova está completa Exemplo 127 Sejam U = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 0} e W = {(x, y, z R 3 : x = y = 0} Vejamos que R 3 = U W É simple mostrar que U, W são subespaços vetoriais de R 3 (deixamos isto como exercicio! Para mostrar que R 3 = U W, temos que provar que R 3 = U + W e que U W = {0} Suponha que z = (z 1, z 2, z 3 U W Da denição de W segue que z 1 = z 2 = 0 e da denição de U vemos que z 3 = z 1 + z 2 + z 3 = 0, o que prova que z = 0 e que U W = {0} Para completar a prova, emos que provar que todo vetor de R 3 pode ser escrito na forma u+w com u U e w W Seja z = (z 1, z 2, z 3 R 3 Como (x, y, x y U, (0, 0, z + x + y W e z = (x, y, x y + (0, 0, z + x + y segue que z U + W Portanto, R 3 = U W O conceito de soma direta pode ser generalizado Denição 128 Sejam U 1,, U n subconjuntos do espaço V A soma dos conjuntos U 1,, U n é o conjunto denido por n U i = U U n = {u u n : u j U j, j = 1,, n} i=1 Denição 129 Sejam U 1,, U n subespaços vetoriais de de V Dizemos que a soma U U n é direta se U j (U U j 1 + U j+1 + U n = {0} para todo j {1, n} No que segue, usaremos a notação U 1 U n = n i=1 U i para indicar que a soma U U n é direta Procedendo como na prova da Proposição 125, podemos mostrar o seguinte resultado Proposição 130 Se U 1,, U n são subespaços vetoriais de V então 10

11 1 U U n é um subespaço vetorial de V, 2 U 1 + +U n é o menor subespaço vetorial de V que contém o conjunto n i=1 U i, 3 V = U 1 U n para cada v U U n e todo j {1,, n} existe um único vetor u j U j tal que v = u u n Prova: Exercicio Exemplo 131 Vejamos que P n (R é soma direta dos subespaços vetoriais U i = {ax i : a R} Se f P n (R então f é da forma f(x = a 0 + a 1 x + a n x n de onde segue que f U U n pois a i x i U i para cada i Isto prova que P n (R U U n e que P n (R = U U n pois U U n P n (R Para completar a prova usamos o item (3 da Proposição 130 Suponha que f P n (R é tal que f(x = a 0 + a 1 x + a n x n e f(x = b 0 + b 1 x + b n x n Do anterior, temos que H(x = (a 0 b 0 + (a 1 b 1 x + + (a n b n x n = 0 para todo x R Como a 0 b 0 = H(0 = 0 segue que a 0 = b 0, de onde temos que H(x = (a 1 b 1 x + (a 2 b 2 x (a n b n x n = 0 para todo x R Assim, x[(a 1 b (a n b n x n 1 ] = 0 para todo x R o que implica que (a 1 b 1 + (a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 = 0 para todo x 0 Se (a 1 b 1 > 0 (resp (a 1 b 1 < 0 então podemos escolher x sucientemente pequeno de modo que (a 1 b 1 > [(a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 ] (resp (a 1 b 1 < [(a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 ] o que é absurdo pois neste caso (a 1 b 1 [(a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 ] 0 Assim, única possibilidade é ter que a 1 b 1 = 0 Segundo o anterior, H(x = (a 2 b 2 x (a n b n x n = 0 para todo x R de onde segue que x 2 [(a 2 b (a n b n x n 2 ] = 0 para todo x R e (a 2 b 2 + (a 3 b 3 x + + (a n b n x n 2 = 0 para cada x 0 Argumentando mostramos que a 2 b 2 = 0 Para completar a prova, temos que mostrar a representação f(x = a 0 + a 1 x + a n x n é única Suponha que f(x = b 0 + b 1 x + b n x n Do anterior, temos que H(x = (a 0 b 0 + (a 1 b 1 x + + (a n b n x n = 0 para todo x R Continuando o processo anterior, podemos mostrar que a i = b i para todo i {1,, n} o que prova que a representação de f é única Isto completa a prova que P n (R = U U n 13 Exercícios Ex 132 Nos seguintes casos estude se W é um subespaço vetorial de V 1 V = M(2, 2 e W = {( a b a c 2 V = R 4 e W = {(x, x, y, y : x, y R} } : a, b, c, R 3 V = P n (R e W = {p P n (R : p(0 = p(1} 4 Sejam V = M(n, n, B M(n, n e W o subconjunto de V dado por W = {A M n : BA = 0} 11

12 5 Sejam V = M(n, 1, A M(n, n uma matriz dada e W o subconjunto de V denido por W = {X V : AX = 0} 6 V = M(n, n e W = { A M(n, n : A T = A } onde A T denota a matriz transposta de T Note que A T = (a j,i n,m quando A = (a i,j n,n 7 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x = 0}, 8 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x = 1}, 9 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x 2 + y + z = 0}, 10 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x y z}, 11 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x + y Q}, (Q é o conjunto dos números racionais 12 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x Z}, (Z é o conjunto dos números enteiros 13 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : y é irracional}, 14 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x 3z = 0}, 15 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f tem grau maior que 2}, 16 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(0 = 2f(1}, 17 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(t > 0, t R}, 18 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(1 > 0} Ex 133 Achar subespaços vetoriais de R 2 Quantos subespaços vetoriais de R existem? Ex 134 Estudar as seguintes armações (se você considera que a armação é verdadeira prove ela e se acha que é falsa invente um contraexemplo: 1 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então W 1 W 2 é subespaço vetorial de V 2 Suponha que W 1 e W 2 são subespaços de V Então W 1 W 2 é subespaço de V W 1 W 2 ou W 2 W 1 3 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então o conjunto {w 1 αw 2 : w i W i, α R} é um subespaço vetorial de V 4 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então o conjunto W 1 W 2 = {(w 1, w 2 : w 1 W 1, w 1 W 1 } é um subespaço vetorial de V V (Note que V V é um espaço vetorial quando munido das operações (v 1, v 2 + (v 3, v 4 = (v 1 + v 3, v 2 + v 4 e λ(v 1, v 2 = (λv 1, λv 2 5 Se U = {(x, y, z R 3 : x = 0} e W = {(x, y, z R 3 : y = 0} então R 3 = U W Ex 135 Nos seguintes casos, achar os subespaços U + W e U W de V 12

13 1 V = R 2, U = { (x, y R 2 : y = 0 } e W = { (x, y R 2 : x = αy } onde α é um número real não nulo {( } {( } a 0 0 c 2 V = M((2, 2, U = : a, b R e W = : c, d R 0 b 0 d 3 Se V = R 2, U = { (x, y R 2 : 2x + 3y = 0 } e W = { (x, y R 2 : x y = 0 } então V = U W a b 0 4 Se V é o espaço V = M(3, 3, U = 0 0 c : a, b, c, d R e 0 0 d 0 0 e W = f g 0 ; e, f, g, h, i R então V = U W h i 0 Ex 136 Nos seguintes casos, achar um subespaço W de V de modo que V = U W 1 V = R 3 e U = {(x, y, 0 : x, y R} 2 V = M(3, 3 e U = { A M(3, 3 : A T = A } 3 V = M(2, 1 e U = {X M(2, 1 : AX = 0} sendo A = ( Ex 137 Suponha que U e W são subespaços vetoriais do espaço V Provar que: 1 U W U + W = W 2 U W U W = U 3 U + W = U U W 4 U W = U U W 131 Subespaços gerados Nesta seção veremos como obter um subespaço vetorial de V a partir de un subconjunto de V Para começar introduzimos o conceito de combinação linear de vetores Denição 138 Seja A = {u 1,, u n } V Uma expressao da forma u = n i=1 α iu i, com α 1,, α n números reais, é chamada combinação linear dos vetores u 1,, u n, ou combinação linear dos vetores em A Exemplo 139 Seja A P n (R o conjunto denido por A = {1, x, x 2,, x n } Os vetores 1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x + 3x 2 são combinações lineares dos vetores em A Mais ainda, todo vetor de P n (R (equivalentemente, todo polinômio de grau n é combinação linear dos vetores em A Exemplo 140 Seja A o subconjunto de P 3 (R dado por A = {1, 1 + x, 1 + x + x 2 } Mostre que o polinômio p(x = 1 + x 2 é combinação linear dos vetores em A 13

14 Exemplo 141 Seja n N Nesta apostilha, para i {1,, n} usaremos a notação e i para o vetor de R n dado por e i = (x 1,, x i,, x n onde x j = 0 se j i e x i = 1 (ou seja, e i = (0,, 1,, 0 É fazil ver que y = (y 1,, y i,, y n = n i=1 y ie i, de modo que todo vetor de R n é combinação linear dos vetores e 1,, e n Observamos que os vetores e 1,, e n são chamados de vetores canónicos de R n Exemplo 142 Sejam n, m N, k {1,, n} e p {1,, m} Nesta apostilha, A p,k = (a i,j n,m é a matriz de M(n, m tal que a i,j = 0 quando (i, j (k, p e a k,p = 1, ou seja, A k,p = onde o número 1 aparece no lugar (k, p É fazil ver que toda matriz de M(n, m é combinação linear das matrizes em {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} Mais ainda, se A = (a i,j n,m então A = n i=1 m j=1 a i,ja i,j = i,j a i,ja i,j Denição 143 Seja S V não vazio Denimos o conjunto [S] como sendo o subconjunto de V formado por todas as combinações lineares dos elementos de S, ou seja, [S] = {v = n i=1 α isi : α i R, s i S, n N} Denição 144 Seja S = {u 1,, u n } V Denimos o conjunto [S] como sendo o subconjunto de V formado por todas as combinações lineares dos elementos de S, ou seja, [S] = {v = n i=1 α iu i : α i R} Exemplo 145 Seja n N e S = {e 1,, e n } = {e i : i = 1,, n} Como todo vetor de R n é combinação linear dos vetores canonicos e 1,, e n segue que R n = [S] Se S = {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} onde A i,j são as matrizes denidas no Exemplo 142, então M(n, m = [S] Similarmente, se S é o subconjunto de P n (R formado pelos polinomios 1, x, x 2,, x n temos que P n (R = [S] Nos exemplos anteriores, o subespaço gerado por S é sempre o espaço completo Em geral isto não é assim Considere a modo de exemplo, o subconjunto de R 3 dado por S = {e 1, e 2 } É fazil ver que neste caso, [S] = {(x, y, 0 : x, y R} R 3 Exemplo 146 Se S P 3 (R é o conjunto S = {1, t, t 2, 1 + t 3 } então P 3 (R = [S] De fato, note que um polinomio da forma p(t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 pode ser representado na forma p(t = (a 0 a 3 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 (t [S], de onde segue que P 3 (R = [S] {( ( } Exemplo 147 Se S =,, os vetores em [S] são da forma ( 0 1 A = α β 1 0 ( = ( 0 α β 0 com α, β R Como α, β são arbitrarios, vemos que [S] está formado por todas as matrizes con diagonal principal nula, 14

15 Na próxima proposição consideramos algumas importantes propriedades dos conjuntos gerados Proposição 148 Seja S um subconjunto não vazio de V As seguintes condições são válidas 1 [S] é um subespaço vetorial de V, S [S] e [S] é o menor subespaço vetorial de V contendo S, 2 se S um subespaço vetorial de V então S = [S] e [[S]] = [S], 3 se T S então [T ] [S], 4 [S T ] = [S] + [T ] Prova: Provemos a primeira propriedade Para mostrar que [S] subespaço vetorial de V, xemos u, v [S] e α R Pela denição de [S] podemos supor que u = α 1 u α n u n e v = β 1 v β m v m onde α 1,, α n, β 1,, β m R são números números reais e u 1,, u n, v 1,, v m são vetores em S De esta forma, temos que u + αv = α 1 u α n u n + αβ 1 v αβ m v m, que mostra que u+αv [S] pois u+αv se escreve como combinação linear de vetores em S Agora, pela Proposição 117 segue que [S] subespaço vetorial de V O fato que S [S] é obvio Para completar a prova de (1, mostremos agora que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem o conjunto S Suponha que M é um subespaço vetorial de V tal que S M Se u [S] então existem números reais α 1,, α n e vetores u 1,, u n em S tais que u = α 1 u α n u n Como cada vetor u i é um elemento de M e M é subespaço vetorial temos que u = α 1 u α n u n M, o que implica que [S] M Isto prova que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem S Mostremos agora a segunda propriedade Como S é um subespaço vetorial e [S] é o menor subespaço vetorial de V temos que [S] S o que implica que [S] = S pois S [S] Mais ainda, usando o anterior é claro que [[S]] = [S] Para mostrar (3 suponha que T S Se u [T ] então existem números reais α 1,, α n e vetores u 1,, u n em T tais que u = n i=1 α iu i Como cada vetor u i é també um elemento de S segue da denição de [S] que u [S] Isto prova que [T ] [S] Para nalizar, provemos que [S T ] = [S] + [T ] É fazil ver que S [S] + [T ] e T [S]+[T ] de onde segue que S T [S]+[T ] Observando agora que [S]+[T ] é um subespaço vetorial de V e que [S T ] é o menor subespaço vetorial que contem S T, obtemos que [S T ] [S]+[T ] Mais ainda, como [S]+[T ] [S T ]+[S T ] [S T ] vemos que [S] + [T ] [S T ] Do anterior, tem-se que [S] + [T ] = [S T ] Proposição 149 Se S = {u 1,, u n } V, etão as seguintes propriedades são válidas 1 [S] é um subespaço vetorial de V, S [S] e [S] é o menor subespaço vetorial de V contendo S 2 se T S então [T ] [S], 3 [S T ] = [S] + [T ] 15

16 Prova: Provemos a primeira propriedade Para mostrar que [S] subespaço vetorial de V, xemos u, v [S] e α R Pela denição de [S] podemos supor que u = α 1 u α n u n e v = β 1 v β n v n onde α 1,, α n, β 1,, β n são números reais Assim, temos que u + αv = α 1 u α n u n + αβ 1 v αβ n v n = n (α i + β i u i, i=1 que mostra que u + αv [S] pois u + αv é uma combinação linear de vetores em S Agora, pela Proposição 117 segue que [S] subespaço vetorial de V O fato que S [S] é obvio pois cada vetor u i pode ser escrito na forma u i = j i 0u j + 1u i Mostremos agora que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem o conjunto S Suponha que M é um subespaço vetorial de V tal que S M Se u [S] então existem números reais α 1,, α n tais que u = α 1 u α n u n Como cada vetor u i é também um elemento de M e M é subespaço vetorial temos que u = α 1 u α n u n M, o que implica que [S] M Isto prova que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem S Mostremos agora (2 Como T S, podemos supor que T = {u i1,, u ip } sendo 1 i j i n para cada j Se u [T ] então existem números reais α 1,, α p tais que u = p j=1 α ju ij Mas, como u = n j=1 β ju j com β j = α j se j = i j e β j = 0 quando j / {i 1,, i p } temos que u [S], o que prova que [T ] [S] Para nalizar, provemos que [S T ] = [S] + [T ] É fazil ver que S [S] + [T ] e T [S]+[T ] de onde segue que S T [S]+[T ] Observando agora que [S]+[T ] é um subespaço vetorial de V e que [S T ] é o menor subespaço vetorial que contem S T, obtemos que [S T ] [S]+[T ] Mais ainda, como [S]+[T ] [S T ]+[S T ] [S T ] vemos que [S] + [T ] [S T ] Do anterior, tem-se que [S] + [T ] = [S T ] Denição 150 Seja S V O conjunto [S] é chamado o subespaço vetorial gerado por S e os elementos de S são chamados de geradores de [S] Se S = {u 1,, u n }, usaremos a notação [S] = [u 1,, u n ] Denição 151 Seja S = {u 1,, u n } V O conjunto [S] é chamado o subespaço vetorial gerado por S e os elementos de S são chamados de geradores de [S] No que segue, também usamos a notação [S] = [u 1,, u n ] Denição 152 Dizemos que V é um espaço nitamente gerado se existe un conjunto S = {u 1,, u n } V tal que V = [S] Do Exemplo 145 segue que os espaços P n (R, R n e M(n, m são espaços vetoriais nitamente gerados Exemplo 153 O espaço W denido por W = {X M(3, 1 : AX = 0} onde A = é nitamente gerado Para rovar nossa armação, é conveniente caracterizar os elementos de W Se α α 0 X = β W então β = 0 de onde segue que α = β = γ = 0 γ γ 0 Logo, o único elemento em W é o vetor zero Assim, W = [{0}] 16

17 Exemplo 154 O espaço W denido por W = {X M(4, 1 : AX = 0} sendo A = é nitamente gerado Para começar, caracterizemos de uma forma mais explicita o espaço W α X = β γ W então δ α β γ = δ 0 Se de onde segue que { α = γ/2 δ/2 e β = 3γ/2 + δ/2 γ/2 δ/2 1/2 1/2 X = 3γ/2 + δ/2 γ = γ 3/2 1 + δ 1/2 0 δ 0 1 1/2 1/2 Do anterior concluimos que W = 3/2 1, 1/ No seguinte exemplo, vemos o caso de um espaço vetorial que não é nitamente gerado Exemplo 155 Seja P (R conjunto formado por todos os polinomios de grau nito munido das operações soma e multiplicação por escalar usuais Como veremos, P (R não é nitamente gerado Para mostrar esta armação, suponha que existem polinomios p 1,, p n tais que P (R = [p 1,, p n ] Seja N o grau mais alto dentre os graus dos polinômios p 1,, p n Como o x N+1 pertence P (R e P (R = [p 1,, p n ], segue que existem numeros reais α 1,, α n tais que x N+1 = n i=1 α ip i Logo, temos que 1 = n i=1 α p i i x N+1 para todo x 0 Porém isto é abusrdo, pois para valores grandes de x temos que n i=1 α p i i < x N+1 1 Como este absurdo surge de supor que P (R = [p 1,, p n ], segue que P (R não pode ser nitamente gerado Exemplo 156 Sejam U = {(x, y, z, t R 4 : x y + t + z = 0} e V = {(x, y, z, t R 4 : x + y t + z = 0} No que segue, acharemos um conjunto gerador para cada um dos espaços U, V, U V e U + V Para começar, estudemos o espaço U Se (x, y, z, t U então y = x + z + t e (x, y, z, t = (x, x + z + t, z, t = x(1, 1, 0, 0 + z(0, 1, 1, 0 + t(0, 1, 0, 1, 17

18 de onde segue que U = [(1, 1, 0, 0, (0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1] Vejamos agora o espaço V Se (x, y, z, t V então t = x + y + z e (x, y, z, t = (x, y, z, x + y + z = x(1, 0, 0, 1 + y(0, 1, 0, 1 + z(0, 0, 1, 1, de onde podemos concluir que V = [(1, 0, 0, 1, (0, 1, 0, 1, (0, 0, 1, 1] Se (x, y, z, t U V então { x y + t + z = 0 x + y t + z = 0, o que implica em x = z e y = t Deste modo, temos que (x, y, z, t = (x, y, x, y = x(1, 0, 1, 0 + y(0, 1, 0, 1 de onde concluimos que U V = [(1, 0, 1, 0, (0, 1, 0, 1] Finalmente, estudemos o espaço U + V Como U + V = [U] + [V ] = [U V ], temos que U + V = [(1, 1, 0, 0, (0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1, (1, 0, 0, 1, (0, 0, 1, 1] Mais ainda, como (1, 1, 0, 0 = (1, 0, 0, 1 + (0, 1, 1, 0 (0, 0, 1, 1 temos que U + V = [(0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1, (1, 0, 0, 1, (0, 0, 1, 1] 14 Exercícios Ex 157 Em cada caso, achar [S] como subespaço de V 1 S = {(1, 0, (2, 1}, V = R 2 2 S = {(1, 1, 1, (2, 2, 0}, V = R 3 3 S = { 1, t, t 2, 1 + t 3}, V = P 3 (R {( ( } S =,, V = M(2, Ex 158 Em cada um dos itens abaixo achar um conjunto nito que gere o espaço W 1 W = { (x, y, z R 3 : x 2y = 0 } 2 W = {p P 3 (R : p (t = 0, t R} 3 W = { A M(2, 2 : A t = A } 4 W = {X M(3, 1 : AX = 0} onde A = Ex 159 Em cada um dos itens abaixo achar un conjunto (o menor possivel gerador de U, W, U W e U + W 1 U = [(1, 0, 0, (1, 1, 1] e W = [(0, 1, 0, (0, 0, 1], 18

19 2 U = { (x, y, z R 3 : x + y = 0 } e W = [(1, 3, 0, (0, 4, 6], 3 U = { A M(2, 2 : A t = A } [( ] 1 1 e W =, U = [t 3 + 4t 2 t + 3, t 3 + 5t 2 + 5, 3t 3 ] e W = [t 3 + 4t 2, t 1, 1] como subespaços de P 3 (R Ex 160 Achar un subconjunto nito de P 3 (R que seja gerador de 1 U = {p P 3 (R : p(1 = p(0 = 0}, 2 W = {p P 3 (R : p = 0}, 3 U W Ex 161 Mostre que as funções 1 e cos 2x pertencem a [ sen 2 x, cos 2 x] Ex 162 Verique se P 2 (R = [1 + x, x + 2x 2, 1 x 2 ] Ex 163 Achar um conjunto nito que seja gerador de 1 U = {(x, y, z R 3 : x 2y = 0}, 2 V = {(x, y, z R 3 : x + z = 0 e x 2y = 0}, 3 W = {(x, y, z R 3 : x + 2y 3z = 0}, 4 U V e V + W Ex 164 Achar un conjunto de geradores para o conjunto dos numeros complexos C munido das operações usuais (a+ib+(c+id = a+c+i(c+d e α(a+ib = αa+iαb Mostre que {2 + 3i, 1 2i} é um conjunto gerador de C Ex 165 Os conjuntos {(1, 1, 2, (3, 0, 1} e {( 1, 2, 3, (3, 3, 4} geram o mesmo subespaço vetorial de R 3? {( ( ( ( } Ex 166 O conjuto de matrizes,,, é un conjunto gerador de M(2, 2? 19

20 Capítulo 2 Dependência Linear, base e dimensão Nos Exemplo 145 foi observado que os conjuntos S = {e 1,, e n } e T = {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} são geradores de R n e M(n, m respectivamente É interessante notar para qualquer vetor e i temos que S \ {e i } não é gerador de R n Similarmente, para cada matriz A i,j temos que T \ {A i,j } não é gerador de M(n, m A propriedade descrita anteriormente não é restrita a esses conjuntos e a essses espaços Mais ainda, como veremos neste capitulo nenhum subconjunto de R n com menos de n vetores pode ser gerador de R n e nenhum subconjunto de M(n, m com menos de mn elementos pode ser gerador de M(n, m Do anterior vemos que os conjuntos geradores de um espaço vetorial com o menor número de elementos possiveis são muito especiais Este tipo de conjunto serão chamados de bases Para formalizar as ideias anteriores, temos que introduzir algumas denições Denição 21 Sejam u 1,, u n vetores não nulos de V Dizemos que os vetores u 1,, u n são linearmente independentes ou que o conjunto {u 1,, u n } é linearmente independente, se nenhum dos vetores u i é combinação linear dos outros vetores No próximo Lema reformulamos o conceito anterior Lema 22 Un conjunto {u 1,, u n } V de vetores não nulos é linearmente independente a única solução da equação n i=1 α iu i = 0 é a solução nula, ou seja, a solução com α 1 =, α n = 0 Prova: Suponha que {u 1,, u n } é linearmente independente e que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma solução não nula Então existem escalares α 1, α 2,, α n não todos zero, tais que n i=1 α iu i = 0 Se α i 0, então u i = n α j j=1,j i α i u j o que implica que {u 1,, u n } não é linearmente independente, o que é absurdo Isto prova que a equação n i=1 α iu i = 0 tem uma única solução, a solução nula α 1 = α 2 = = α n = 0 Suponha que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma única solução Se o conjunto {u 1,, u n } não é li, então um desses vetores, digamos u i, é combinação linear dos outros Neste caso, existem números reais β 1, β 2,, β i 1, β i,, β n tais que u i = n j=1,j i β ju j Nessas condições, temos que os números β 1, β 2,, β i 1, 1, β i,, β n são uma solução nula de n i=1 α iu i = 0, o que é aburdo Portanto, {u 1,, u n } é linearmente independente 20

21 Observação 23 Do Lemma anterior vemos que para mostrar que um conjunto de vetores {u 1,, u n } é linearmente independente, é suciente provar que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma única solução Denição 24 Dizemos que um conjunto de vetores não nulos {u 1,, u n } V é linearmente dependente (o que os vetores u 1,, u n são linearmente dependentes se {u 1,, u n } V não é linearmente independente Observação 25 Un conjunto de vetores {u 1,, u n } V não nulos é linearmente dependente se é possível encontrar números reais α 1,, α n não todos zeros tais que α 1 u α n u n = 0 Exemplo 26 Os vetores (1, 1, 1, (1, 1, 0, (1, 0, 0 são linearmente independente em R 3 De fato, note que a equação α(1, 1, 1 + β(1, 1, 0 + γ(1, 0, 0 = (0, 0, 0 é equivalente ao sistema de equações α + β + γ = 0 α + β = 0 γ = 0 Como este sistema possui uma única solução, a soluçaõ nula, segue que {(1, 1, 1, (1, 1, 0, (1, 0, 0} e linearmente independente Exemplo 27 Sejam u 1 = (x 1,1, x 2,1,, x n,1, u 2 = (x 1,2, x 2,2,, x n,2,, u n = (x 1,n, x 2,n,, x n,n vetores de R n Como foi observado nateriormente, para ver se os vetores u 1,, u n são lineramente independentes, temos que estudar a equação n i=1 α iu i = 0 Esta equação é equivalente ao sistema de equações α 1 x 1,1 + +α i x 1,i + α n x 1,n = 0, α 1 x 2,1 + +α i x 2,i + α n x 2,n = 0, α 1 x j,1 + +α i x j,i + α n x j,n = 0, (28 α 1 x n,1 + +α i x n,i + α n x n,n = 0, o qual pode ser re-escrito na forma x 1,1 x 1,2 x 1,n x 2,1 x 2,2 x 2,n x j,1 x j,2 x j,n x n,1 x n,2 x n,n α 1 α i α n = Aα = 0 (29 Se a matriz A é inversivel (o que é equivalente a ter que det A 0 segue que α = A 1 0 = 0 é a única solução de (29, o que os vetores u 1,, u n são lineramente independentes Se A não é inversivel (o que é equivalente a ter que det A = 0, o problema Aα = 0 tem innitas soluções, de onde segue que os vetores u 1,, u n são linearmente dependentes 21

22 Resumimos as observações do Exemplo 27 na seguinte proposição Proposição 210 Sejam u 1 = (x 1,1, x 1,2,, x 1,n, u 2 = (x 2,1, x 2,2,, x 2,n,, u n = (x n,1, x n,2,, x n,n vetores de R n e A a matriz denida em (29 Os vetores u 1,, u n são linearmente independentes det(a 0 Exemplo 211 As matrizes ( , ( , ( são linearmente independentes? Para resolver o problema temos que estudar a equação α ( β 0 1 ( γ 0 1 ( 0 1 = 0 0 ( 0 0 ( Deste equação segue que ( α + β β + γ = 0 α + β ( 0 0, 0 0 de onde inferimos que β = α e γ = α Logo, temos que para α R, os números α, β = α e γ = α são soluções de (212, o que implica que as matrizes são linearmente dependentes Exemplo 213 As funções cos( e sen ( são linearmente independentes? Como antes, temos que estudar a equação α cos( + β sen ( = 0 Se α, β R são soluções desta equação, então teremos que α cos(x + β sin(x = 0 para todo x R Se avaliamos em x = 0 obtemos que α = 0, de onde segue que β sin(x = 0 para todo x R Se avaliarmos agora em x = π/2 obtemos que β = 0 Portanto, a única solução da equação α cos( + β sen ( = 0 e α = β = 0, o que implica que as funções cos( e sen ( são linearmente independentes O próximo resultado resume algumas propriedades associadas ao conceito de conjunto linearmente independente Teorema 214 Seja A = {u 1,, u n } V 1 Se {u 1,, u n } é linearmente dependente então pelo um dos vetores é combinação linear dos outros 2 Se {u 1,, u n } é linearmente dependente e B é un conjunto nito tal que {u 1,, u n } B então B é ld 3 Se {u 1,, u n } é linearmente independente e B {u 1,, u n } então B também é li 4 Se {u 1,, u n } é linearmente independente e {u 1,, u n, v} é linearmente dependente então o vetor v é combinação linear dos vetores u 1,, u n 5 Se {u 1,, u n } é linearmente independente, então todo vetor v [u 1,, u n ] se escreve de uma única maneira como combinação linear dos vetores u 1,, u n, ou seja, se v = α 1 u α n u n e v = β 1 u β n u n então α i = β i para cada i = 1,, n 22

23 Prova: A propriedade em (1 segue diretamente da deniçaõ de conjunto linearmente independente Para mostrar (2, suponha que B = {u 1,, u n, v 1,, v p } Como A é linearmente dependente existem números reias β 1,, β n não todos zero tais que n i=1 β iu i = 0 Em particular, temos que β 1 u β n u n + 0v v p = 0, o que implica que os vetores u 1,, u n, v 1,, v p são linearmente dependente Provemos agora (3 Sem perda de generalidade, podemos supor que B = {u 1,, u k } para algum k n Se α 1,, α k é uma soluçao da equação k i=1 β iu i = 0 então α 1 u α k u k + 0u k u k = 0, de onde segue que α 1 = α 2 = α k = 0 pois os vetores u 1,, u n são linearmente independentes Assim, a única solução da equação k i=1 β iu i = 0 é α 1 = α 2 = α k = 0 o que prova que B é linearmente independente Mostremos agora (4 Suponha que u 1,, u n são linearmente independentes e que u 1,, u n, v são linearmente dependentes Como os vetores u 1,, u n, v são linearmente dependentes, existem números reias β 1,, β n, γ não todos zero tais que n i=1 β iu i + γv = 0 Se γ = 0 então n i=1 β iu i = 0 o que implica que α 1 = = α n = 0 pois os vetores u 1,, u n são linearmente independentes Assim, temos que necesariamente γ 0 de onde obtemos que v = n β i i=1 γ u i = 0 Isto mostra que v é combinação linear dos vetores u 1,, u n Para nalizar, mostremos agora (5 Se v = α 1 u α n u n e v = β 1 u β n u n então 0 = v v = n i=1 (α i β i u i = 0 de onde segue que α i β i = 0 para todo i pois {u 1,, u n } é linearmente independente Portanto, α i = β i para cada i = 1,, n 21 Exercícios 1 Estude se o conjunto S V é linearmente independente (a S = {(1, 2, ( 3, 1}, V = R 2 (b S = { 1 + t t 2, 2 + 5t 9t 2}, V = P 2 (R {( ( } (c S =,, V = M(2, (d S = {(1, 2, 2, 3, ( 1, 4, 2, 0}, V = R (e S = 3 0 1, 0 0 0, e V = M(3, (f S = {xe x, x}, V = F(R; R 2 Suponha que o conjunto S = {u, v, w} é linearmente independente Os conjuntos S 1 = {u, u+v, u+v+w}, S 2 = {u v, v w, w u} e S 3 = {u+v, u+v+w, w} são linearmente independentes? 3 Quais os subconjuntos abaixo são linearmente independentes? (a {(1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1, (2, 3, 5}, 23

24 (b {(1, 1, 1, (0, 1, 0, (1, 0, 2}, (c {(0, 0, 0, (1, 2, 3, (4, 1, 2}, (d {(1, 1, 1, (1, 2, 1, (3, 2, 1}, 4 Quais dos subconjuntos de P 4 (R são linearmente independentes? (a {1, x 1, x 2 + 2x + 1, x 2 }, (b {2, x 2 + 1, x + 1, x 2 1}, (c {x(x 1, x 3, 2x 3 x 2, x}, 5 O subconjunto de F(R; R dado por {1, e x, e 2x } é linearmente independente? Introduzimos agora o conceito de base de um espaço vetorial Denição 215 Dizemos que um conjunto de vetores não nulos {u 1,, u n } V é uma base de V se {u 1,, u n } é linearmente independente e [S] = V Exemplo 216 O conjunto {e 1,, e n } é uma base de R n e o conjunto de matrizes {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m}, veja Exemplo 142, é uma base de M(n, m Exemplo 217 O conceito de base é especial, e por isso é um conceito restritivo Porém, um espaço vetorial (diferente de {0} sempre possui innitas bases Considere como exemplo, o espaço V = R 2 Seja (a, b R 2 diferente de (0, 0 Vejamos como podemos achar vetores (c, d de modo que {(a, b, (c, d} seja uma base de R 2 Sejam c, d R de modo que ad bc 0 (note que isto é sempre possivel de fazer Vejamos agora que {(a, b, (c, d} é base de R 2 Para mostrar que {(a, b, (c, d} é um conjuto gerador de V temos que provar que todo vetor (x, y R 2 é combinação linear dos vetores (a, b, (c, d Considere a equação α(a, b + β(c, d = (x, y donde as incognitas são α e β Esta equação é equivalente a equação ( a c ( a c Como det b d onde obtemos que ( α β ( x y (218 = b d ( a c = ad bc 0, segue que a matriz é inversivel de b d ( α β ( a c = b d 1 ( x y (219 Portanto, a equação α(a, b + β(c, d = (x, y tem uma única solução o que mostra que R 2 = [(a, b, (c, d] Vejamos agora que {(a, b, (c, d} é linearmente independente Para isto, temos que estudar a equação α(a, b + β(c, d = (0, 0 De (219 sabemos que a única solução desta equação é (α, β = (0, 0, o que prova que {(a, b, (c, d} é linearmente independente ( a c Do anterior, vemos que {(a, b, (c, d} é uma base se det = ad bc 0, b d o que nos permite armar que existe uma quantidade não nita de bases de R 2 24

25 Exercício 220 Achar bases de R 2 da forma {(1, 1, (c, d} Do Exemplo anterior, segue {(1, 1, (c, d} é base se d c Logo, {(1, 1, (1, 2}, {(1, 1, (1, π}, {(1, 1, (π, 2} são bases de R 2 Exemplo 221 Achar uma base do subespaço vetorial U de R 3 gerado pelo conjunto {(1, 0, 1, (1, 2, 0, (0, 2, 1} É fazil ver que o vetor (0, 2, 1 é combinação linear dos vetores (1, 0, 1 e (1, 2, 0 e que {(1, 0, 1, (1, 2, 0} é linearmente independente Assim, obtemos que {(1, 0, 1, (1, 2, 0} é uma base de U Exemplo 222 Os vetores u 1 = (x 1,1, x 1,2,, x 1,n, u 2 = (x 2,1, x 2,2,, x 2,n,, u n = (x n,1, x n,2,, x n,n forman uma base de R n o determinate da matriz A em (29 é diferente de zero Do exemplo 27 sabemos que os vetores {u 1,, u n } são linearmente independentes det(a 0 Assim, para mostrar que {u 1,, u n } é uma base resta provar que {u 1,, u n } é un conjunto gerador de R n Seja y = (y 1,, y n R n e considere a equação n i=1 α iu i = y Procedendo como no Exemplo 27, vemos que esta equação é equivalente a Aα = y T onde y T é o vetor y escrito na forma de coluna Como a matriz A é inversivel, segue que o problema tem uma única solução a qual é dada por A 1 y T Isto mostra que o conjunto {u 1,, u n } é uma base de R n Exemplo 223 Existem innitas bases do espaço R n Sabemos que os vetores canonicos u 2 = e 1, u 2 = e 2,, u n 1 = e n 1 são linearmente independentes Seja agora u n = (x n,1, x n,2,, x n,n de modo que o determinate da matriz A em (29 seja diferente de zero (note que este vetor existe pois neste caso det(a = x n,n Nessas condições, sabemos que o conjunto de vetores {u 1,, u n } é uma base de R n e como existem innitos vetores u n que vericam as condições acima, temos que existem innitas bases de R n No seguinte resultado veremos que todo espaço vetorial nitamente gerado possui uma base Teorema 224 Se V é nitamente gerado, então V possui uma base Prova: Suponha que V = [u 1,, u n ] Se {u 1,, u n } é linearmente independente então o resultado está provado Se os vetores u 1,, u n não são linearmente independentes, então existe um vetor u j que é combinação linear dos outros vetores Para simplicar a escrita, podemos reordenar os vetores e supor que u 1 = n k=2 α ku k sendo α k números reais Armamos que o conjunto {u 2,, u n } é un conjunto gerador de V Para mostrar isto, xemos u V Como V = [u 1,, u n ] temos que existem números reais γ 1,, γ n tais que u = n k=1 γ ku k Logo u = n γ k u k = γ 1 u 1 + k=1 n γ k u k = γ 1 k=2 n α k u k + k=2 n γ k u k = k=2 n (γ 1 α k + γ k u k, o que prova que u [u 2,, u n ] Como u é arbitrario, obtemos que V = [u 2,, u n ] Se os vetores u 2,, u n são linearmente independente então {u 2,, u n } é uma base de V e o resultado está provado De modo contrario, um dos vetores u 2,, u n k=2 25

26 é combinaçõa linear dos outros Renumerando os vetores, sem necessario, podemos supor u 2 = n k=3 β ku k sendo β k escalares Com antes, armamos que {u 3,, u n } é um conjunto gerador de V De fato, se u V e u = n k=2 θ ku k então n n n n n u = θ k u k = θ 2 u 2 + θ k u k = θ 2 β k u k + θ k u k = (θ 2 β k + θ k u k, k=2 k=3 k=3 o que implica que u [u 3,, u n ] e que {u 3,, u n } é um conjunto gerador de V Como o conjunto {u 1,, u n } é nito, o processo anterior não pode continuar indenidamente (o processo naliza em {u n } ou antes Assim, existe k {1,, n} tal que os vetores u k,, u n são linearmente independentes e [{u k,, u n }] = V Neste caso, o conjunto {u k,, u n } é uma base de V O próximo resultado nos permitirá introduzir o conceito de dimensão de um espaço vetorial nitamente gerado Proposição 225 Suponha que V é nitamente gerado e que {v 1,, v m } é uma base de V Se n > m e {u 1,, u n } V então {u 1,, u n } é linearmente dependente Prova: Para provar o resultado temos que estudar a equação em variaveis x i dada por k=3 k=3 x 1 u x n u n = 0 (226 Como V = [{v 1,, v m }], temos que cada vetor u j é combinação linear dos vetores v 1,, v m Logo, para cada 1 j n existen números reais α 1,j,, α m,j tais que u j = α 1,j v α m,j v m = m i=1 α i,jv i Usando isto em (226 obtemos que ( m ( m x 1 α i,1 v i + + x n α i,n v i = 0 (227 i=1 Notamos agora que a somma anterior pode ser re-escrita na forma n n x j α 1,j v x j α m,j v m = 0 j=1 Como os vetores v 1,, v m são linearmente independentes, vemos que cada uma das somas que aparecem na última expressao são zero Assim, obtemos o sistema de equações j=1 i=1 x 1 α 1,1 + + x n α 1,n = 0, x 1 α 2,1 + + x n α 2,n = 0, (228 x 1 α m,1 + + x n α m,n = 0, O sistema (228 é um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas e como n > m, segue-se que este sistema possui uma solução não trivial que denotamos x 1,, x n É claro do anterior que x 1,, x n é uma solução não trivial de (226 o que mostra que {u 1,, u n } é un conjunto linearmente dependente A prova está completa Como consequência do resultado anterior temos o seguinte Teorema 26

27 Teorema 229 Se V é nitamente gerado então todas as bases de V possuem o mesmo número de elementos Prova: Suponha que {v 1,, v m } e {u 1,, u n } são duas bases do espaço V Como {u 1,, u n } é base e {v 1,, v m } é linearmente independente, da Proposição 225 segue que m n De maneira similar, como {v 1,, v m } é base e {u 1,, u n } é linearmente independente, obtemos que n m Como m n e n m segue-se que n = m O resultado anterior nos permite introduzir o conceito de dimensão de um espaço vetorial Denição 230 Suponha que V é nitamente gerado Se V {0}, denimos a dimensão de V como o número de elementos de uma base de V Se V = {0} dizemos que a dimensão de V é zero A dimensão de V será denotada por dim(v Observação 231 Do exemplo (155 sabemos que existem espaços vetorias de dimensão não nita Quando um espaço não tem dimensão nita, diremos simplesmente que possui dimensão innita Para facilitar a prova de nossos proximos resultados estabelecemos o próximo Lemma Lema 232 Se {u 1,, u n } V é linearmente independente e v / [{u 1,, u n }] então o conjunto {u 1,, u n, v} V é linearmente independente Prova: Suponha que α 1 u α n u n + αv = 0 Se α 0, então v = n α j j=1 α u j o que é absurdo pois v / [{u 1,, u n }] Assim, α = 0 Como α = 0, segue-se que α 1 u α n u n = 0 de onde obtemos que α 1 = = α n = 0 pois {u 1,, u n } é linearmente independente Portanto, a única solução de α 1 u 1 + +α n u n +αv = 0 é a solução com α 1 = = α n = α = 0, o que implica que {u 1,, u n, v} é linearmente independente O próximo resultado considera algumas propriedades dos espaços de dimensão nita Proposição 233 Suponha que V é um espaço de dimensão nita 1 Se W é um subespaço vetorial de V então W é um espaço de dimensão nita e dim(w dim(v, 2 Se n = dim(v e {u 1,, u n } é linearmente independente então {u 1,, u n } é uma base de V Prova: Suponha que W {0} é um subespaço vetorial de W Como W {0}, existe um vetor (não zero w 1 W Se {w 1 } é uma base de W então a propriedade está provada De modo contrario, {w 1 } não é base e existe w 2 W tal que w 2 / [{w 1 }] Agora, do Lemma 232 vemos que {w 1, w 2 } é un conjunto linearmente independente Se {w 1, w 2 } é uma base de W, o resultado está provado De modo contrario, existe w 3 W tal que w 3 / [{w 1, w 2 }] Como antes, do Lemma 232 obtemos que {w 1, w 2, w 3 } é linearmente independente Se o processo anterior continua indenidamente, teremos que existe k > n e un conjunto {w 1,, w k } que é linearmente independente, o que é absurdo segundo a Proposição 225 Assim, deve existir k n tal que o processo para Note agora 27