Polinómios Simétricos e Polinómios W-harmónicos

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1 Sob orientação do Prof. Samuel Lopes Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 28 de Maio de 2014

2 Terminologia Consideramos polinómios sobre C em n variáveis: c(j1,...,j n)x j 1 1 x n jn c (j) C O grau do monómio cx j 1 1 x jn n é dado por j j n. Um polinómio diz-se homogéneo se todos os seus monómios tiverem o mesmo grau. Escrevemos P = C[x 1,..., x n ].

3 Polinómios simétricos Definição Dizemos que um polinómio P P é simétrico se é invariante por qualquer permutação das suas variáveis. Designamos por P W o conjunto dos polinómios simétricos. Exemplos (n = 3): x + y + z 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 + xyz xy + yz + xz

4 Polinómios simétricos elementares Definição Se 1 k n, o polinómio simétrico elementar I k é a soma de todos os produtos possíveis de k variáveis. Exemplo (n = 4): I 1 = x + y + z + w I 2 = xy + xz + xw + yz + yw + zw I 3 = xyz + xyw + xzw + yzw I 4 = xyzw Teorema de Viète Seja p C[z] mónico de grau n com raízes x 1,..., x n. Então p(z) = z n I 1 z n 1 + I 2 z n 2 + ( 1) n I n Prova: Basta expandir (z x 1 )(z x 2 ) (z x n ).

5 Polinómios simétricos elementares Teorema Fundamental dos Polinómios Simétricos Se P P W, então P pode ser escrito (de forma única) como um polinómio em I 1,..., I n. P W = C[I 1,..., I n ] Exemplo (n = 3): 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 + xyz = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) + xyz = 3[(x + y + z) 2 2(xy + xz + yz)] + xyz = 3I1 2 6I 2 + I 3

6 Polinómios simétricos elementares Prova da existência: Ordenamos os monómios de P lexicograficamente, de acordo com os expoentes. Seja cx j 1 1 x j 2 2 x n jn o monómio-guia (j 1 j 2 j n, porque P é simétrico). Seja Q 1 = ci j 1 j 2 1 I j 2 j 3 2 I j n 1 j n n 1 In jn. O monómio-guia de Q 1 é o mesmo que o de P. P Q 1 tem um monómio-guia mais baixo. Aplicamos o mesmo método a este polinómio e iteramos até ficar P Q 1 Q 2 Q k = 0. Assim, P = Q 1 + Q Q k.

7 Aplicação Teorema Fundamental dos Polinómios Simétricos Se P P W, então P pode ser escrito como um polinómio em I 1,..., I n de forma única. Teorema de Viète Seja p C[z] mónico de grau n com raízes x 1,..., x n. Então p(z) = z n I 1 z n 1 + I 2 z n 2 + ( 1) n I n O Teorema de Viète e o TFPS dizem-nos que qualquer função polinomial simétrica nas raízes de p C[z] se pode expressar como um polinómio nos seus coeficientes. Exemplo: Seja p C[z] com coeficientes inteiros. Então a soma dos cubos das raízes (complexas) de p é inteira.

8 Polinómios W-harmónicos Dado um polinómio P = c (j) x j 1 1 x n jn P, definimos o operador P : P P Q c (j) j 1 x j 1 1 jn xn jn Q Exemplos (n = 3): Se P = x 2 y + 5z + 1, então P Q = 3 x 2 y Q + 5 z Q + Q. Um polinómio Q é harmónico se P Q = 0, onde P = x 2 + y 2 + z 2.

9 Polinómios W-harmónicos Definição Designe-se por P W + o conjunto dos polinómios simétricos com termo constante nulo. Um polinómio Q P diz-se W-harmónico se para todo P P W + se tem P Q = 0. Escrevemos H para denotar o conjunto dos polinómios W- harmónicos. Nota: Todas as funções W-harmónicas são polinómios. Como consequência do TFPS, um polinómio Q P é W-harmónico sse Ik Q = 0 para todo 1 k n.

10 Polinómios W-harmónicos Exemplos: n = 2 1 x y n = 3 1 x y x z x 2 y 2 2xz + 2yz x 2 z 2 2xy + 2yz xy 2 x 2 y + yz 2 y 2 z + x 2 z xz 2 Facto conhecido H tem dimensão n! (como espaço vectorial sobre C). Problema: Quais são, explicitamente, os polinómios W-harmónicos?

11 Determinante de Vandermonde Definição A matriz V de dimensão n n com V i,j = x j 1 i de Vandermonde. é chamada Matriz Exemplo (n = 4): 1 x x 2 x 3 V = 1 y y 2 y 3 1 z z 2 z 3 1 w w 2 w 3

12 Determinante de Vandermonde Teorema É válida a seguinte fórmula para o determinante de Vandermonde: V = (x j x i ) 1 i<j n Exemplo (n = 4): 1 x x 2 x 3 V = 1 y y 2 y 3 1 z z 2 z 3 1 w w 2 w 3 = (y x)(z x)(w x)(z y)(w y)(w z) Observação: V é homogéneo, de grau ( n 2).

13 Determinante de Vandermonde Prova: Para quaisquer 1 i < j n, pondo x j = x i anulamos V (a matriz fica com duas linhas iguais). Isso mostra que (x j x i ) divide V. Estas diferenças são elementos irredutíveis não associados em P, logo o produtório indicado divide V. O grau de cada membro da igualdade é ( n 2), portanto os polinómios são múltiplos escalares um do outro. A parcela de V correspondente à permutação identidade é x 2 x3 2 x n n 1, e o seu coeficiente é 1. É também este o coeficiente desse monómio na expressão da direita, o que mostra a igualdade.

14 O primeiro polinómio W-harmónico Teorema O determinante de Vandermonde é W-harmónico: V H Prova: Notar que x i V é o determinante da matriz obtida de V derivando as entradas da i-ésima linha (aplicar a expansão de Laplace). Isto resulta de x i figurar apenas nessa linha, portanto podemos aplicar a mesma ideia às derivadas sucessivas de V. Exemplo (n = 4): 3 y 2 w V = 1 x x 2 x y 1 z z 2 z w 3w 2

15 O primeiro polinómio W-harmónico Ik V tem ( n k) parcelas, obtidas derivando k linhas de V e tomando o determinante, para todas as escolhas possíveis. Exemplo (n = 3): 0 1 2x I2 V = 0 1 2y 1 z z x 1 y y z + 1 x x y 0 1 2z Consideremos duas variáveis x i e x j. Se pusermos x i = x j, anulamos Ik V. Para ver isso, observemos cada parcela: Se ambas, ou nenhuma das linhas i,j de V foram derivadas, a substituição torna as linhas iguais e anula o determinante. Se a linha i foi derivada mas a linha j não, então existe uma outra parcela correspondente à escolha de j mas não i, e das mesmas k 1 variáveis restantes. A substituição torna as parcelas simétricas (pois uma matriz é obtida da outra por troca de linhas), anulando a sua soma.

16 O primeiro polinómio W-harmónico Isto mostra que (x j x i ) divide Ik V, para quaisquer 1 i < j k. Daqui, como atrás, Ik V é múltiplo de V. Mas o grau de V é claramente superior ao de Ik V, portanto tem de ser Ik V = 0. Conclui-se que o determinante de Vandermonde é W-Harmónico.

17 Uma base de H Como os operadores de derivação comutam, derivando um polinómio W-harmónico obtemos ainda um W-harmónico. Será possível obter uma base de H usando derivação a partir do determinante de Vandermonde?

18 Uma base de H Consideremos de novo a ordem lexicográfica. Se derivarmos dois monómios em ordem a alguma variável (e nenhum deles for anulado), então a relação de ordem é preservada. Atentemos no caso n = 4: O monómio-cauda de V é yz 2 w 3. Ideia: Se aplicarmos a V um operador do tipo a y a b z b com a 1, b 2 e c 3, esse monómio não é anulado. Todos estes operadores dão origem a monómios-cauda diferentes (da forma cy 1 a z 2 b w 3 c ). Assim, estes operadores dão origem a um conjunto de polinómios linearmente independentes! c w c,

19 Uma base de H Generalizando: O monómio-cauda de V é x 0 1 x 1 2 x n 1 n. Consideramos os operadores da forma a 1 x a 1 1 a 2 x a 2 2 an xn an 0 a i < i, para cada i. Designemo-los simplesmente por (a1,a 2,,a n)., onde O monómio-cauda de (a1,a 2,,a n) V é da forma cx 0 a 1 1 x 1 a 2 2 xn n 1 an. Estes operadores dão origem a um conjunto de polinómios linearmente independentes.

20 Uma base de H Quantos polinómios obtemos por este processo? Exactamente o número de tuplos (a 1, a 2,, a n ), onde a 1 {0} a 2 {0, 1}. a n {0, 1,, n 1} Temos n! escolhas possíveis. Como é esta a dimensão de H, construímos uma base!

21 Uma base de H Exemplo (n = 3): 1 x x 2 (0, 0, 0) 1 y y 2 1 z z 2 1 x x 2 (0, 0, 2) 1 y y x x 2 (0, 1, 1) 0 1 2y 0 1 2z 1 x x 2 (0, 0, 1) 1 y y z 1 x x 2 (0, 1, 0) 0 1 2y 1 z z 2 1 x x 2 (0, 1, 2) 0 1 2y 0 0 2

22 Sobre teoria de representação Definição Dados um grupo G e um conjunto X, um homomorfismo π : G S X onde S X é o grupo das permutações de X, diz-se uma acção de G sobre X. G actua sobre X. Em particular, se V é um espaço vectorial, um homomorfismo π : G GL(V ) onde GL(V ) é o grupo dos endomorfismos lineares invertíveis de V, diz-se uma representação de G. Também se diz que V é uma representação de G.

23 P como representação de S n S n (o grupo simétrico) actua sobre P permutando as variáveis de um polinómio. P é uma representação de S n. Exemplos: A transposição (1 3) envia o polinómio xy + 2z em yz + 2x. P W é, por definição, o conjunto dos polinómios que ficam fixos pela acção de S n. O conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a k é um subespaço de P invariante para a acção de S n. É uma subrepresentação de P. H é uma subrepresentação de P.

24 Outra representação de S n Considere-se CS n, o espaço vectorial das combinações lineares (formais) de elementos de S n. S n actua sobre CS n por multiplicação à esquerda. Exemplo (n = 3): 5(1 2) (1 3) + i(1 3 2) é um elemento de CS 3. A transposição (1 3) S 3 envia-o em 5(1 2 3) e + i(2 3).

25 Outra representação de S n Qualquer representação V de um grupo G admite como subrepresentações o subespaço trivial {0} e o próprio V. Uma representação que não admite mais nenhuma subrepresentação diz-se irredutível. Factos conhecidos CS n contém todas as subrepresentações irredutíveis (a menos de isomorfismo) de S n. H é isomorfo a CS n (como representação de S n ).

26 Perspectivas Problema: Encontrar uma nova base de H, que nos dê a sua decomposição em representações irredutíveis. Equivalentemente, estabelecer explicitamente o isomorfismo de representações H CS n Algumas pistas... 1 σ S n σ V σ S n sgn(σ)σ