soma das distâncias que separam um ponto da elipse aos focos são dados.

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1 LISTA 4 Geometria Analítica Professor Eudes Fileti PARTE A ELIPSE 1) Deduzir a equação da elipse a partir da definição. 2) Obtenha uma equação da elipse cujos focos ( e ) e vértices ( e ) são dados abaixo. Esboce o gráfico em cada caso. a) 3,0 e 3,0 ; 5,0 e 5,0 b) 5,0 e 5,0 ; 3,0 e 3,0 c) 21,0 e 21,0 ; 5,0 e 5,0 d) 0,4 e 0,4 ; 0,5 e 0, 5 e) 0,3 e 0, 3 ; 0,5 e 0, 5 3) Use a definição de elipse e obtenh a uma equação para a elipse para a qual os focos ( e ) e a soma das distâncias que separam um ponto da elipse aos focos são dados. a) 2, 4 e 2, 4; 6 b) 3, 2 e 3, 2; 8 c) 6, 1 e 6, 1 ; 4 d) 2, 4 e 2, 4; 12 4) Em cada um dos casos abaixo achar a s coordenadas dos vértices e focos, os comprimentos dos eixos maior e menor e a excentricidade. Esboce o gráfico. a) b) c) d) 3 6 Resp: a) 0, 3; 0, 5; ; 2 6 ; 2 4. b) 3, 0; 5,0; ; 2 6 ; 2 4 c) 5, 0; 3, 0; ;2 10 ; 2 8 5) Achar a equação da elipse cujos focos são os pontos 2, 0 e 2, 0 e sua excentricidade é. Resp.: 1 6) Achar a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um de seus vértices é o ponto 0, 7 e passa pelo ponto 5,. Resp.: 1 ; 7) Uma elipse tem seu centro na origem é seu eixo maior coincide com o eixo dos. Achar sua equação sabendo que passa pelos pontos 6,1 e 2, 2. Resp.: 1 8) Achar a equação da elipse que passa pelo ponto,3, tem seu centro na origem, seu eixo menor coincide com o eixo dos e seu eixo maio r é o dobro de seu eixo menor. Resp.: 1 9) Ache a equação da elipse que tem centro 2,4 e é tangente aos eixos coordenados. Resp.: 1 10) Encontre a equação cartesiana da elipse que tem um de seus vértices em 5,0 e passa pelo ponto 2, 3. Resp.:

2 11) Achar a equação da elipse cujo eixo menor coincide com o eixo 1 com tem centro 1,5 e focos 1, 8 e 1, 8 e a soma das distâncias dos focos a um ponto da elipse é 12. Resp.: 1 12) A Terra se move numa orbita elíptica em torno do Sol com o Sol sobre um dos focos desta elipse. Se a distância que separa a Terra do Sol é de km e sua maior separação é de km aproximadamente, a que distância o Sol está do outro foco? Qual a equação da trajetória da Terra? Qual a excentricidade desta trajetória? 13) Para cada caso abaixo simplificar a equação à forma reduzida da equação da elipse e determinar as coordenadas do centro, vértices, focos, e excentricidade. a) Resp.: b) c) d) PARTE B HIPÉRBOLE 1 ;, 3, 2 ;, 5, 2 1, 2 ; 3 1) Ded uzir a equação da hipérbole a partir da definição. 2) Em cada item abaixo, para a equação da hipérbole, ache as coordenadas dos vértices e focos, a excentricidade. Trace e discuta o gráfico. a) b) c) d) 4 4 e) f) g) 1 h) 4 1 3) Obte nha a e quação da hipérbole cujos focos e vértices e são dados abaixo. Trace o gráfico da equaçã o obtida. a) 5,0, 5,0, 3,0, 3,0 b) 5,0, 5,0, 4,0, 4,0 c) 0, 7, 0, 7, 0, 3, 0, 3 d) 0, 21, 0, 21, 0, 5, 0, 5 4) O centro de uma hipérbole está na origem e seu eixo transverso está sobre o eixo Y. Se um dos focos é o ponto 0,5 e a excentricidade é ig ual a 3, ache a equação da hipérbole. 5) Os vértices de uma hipérbole são 0,4, 0,4, e sua excentricidade é igual a. Achar a equ ação da hipérbole e as coordenadas de seus focos. 6) Um a hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo transverso sobre o eixo X. Achar a equação sabendo que sua excentricidade é 6 e que a curva passa pelo ponto 2,1.

3 7) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 e 7,6, tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. 8) Para cada caso abaixo, usando a def inição de hipérbole, achar a equação da curva a partir dos dados fornecidos. a) Focos: 7,3,1,3; longitude do transverso 4. b) Vértices: 3,4,3,2; excentricidade 2. 9) No exercício acima através da uma troca de coordenadas, coloque a equação na forma reduzida. 10) Achar e traçar as equações e as assíntotas da hipérbole ) Achar os pontos de intersecção da reta com as assíntotas da hipérbole ) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 3, 1, seu centro está na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo X, e uma de suas assíntotas é a ) Achar a equa ção da hipérbole que passa pelo ponto 2,3, tem seu centro na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo Y, e uma de suas assíntotas é a reta ) Achar a distância do foco à direita da hipérbole a qualquer uma de suas assíntotas. 15) Achar a equa ção da hipérbole que passa pelo ponto 2,3 tem seu centro na origem, seu eixo transverso sobre o eixo Y e uma de suas assíntotas é a reta Resp.: 1 16) Achar a equação da hipérbole, com vértices em 0, 7 e excentricidade. Resp.: Dada a equação da hipérbole 4 4, achar as coordenadas dos vértices, focos e excentricidade. Resp.: Vértices 2,0; Focos 5,0 e excentricidade. 17) Achar a equação da hipérbole cujos focos estão nos vértice s da elipse: diretrizes pass am pelos focos desta elipse. Resp.: 1 1 e as 18) Dada a equação da hipérbole: 1, encontrar as coordenadas do centro, vértice e foco, excentricidade e as equações das diretrizes e assíntotas. Resp.: Vértices 8,0 0,0 ; Focos 16,0 8,0; Equações das diretrizes: ; Equações das assíntotas: : : ) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 7,6, tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. Resp.: ) Em cada um dos itens abaixo determinar, o centro, o vértice, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboce o gráfico de cada hipérbole. a)

4 b) c) ) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar elementos e representar grafic amente as equações: a) b) c) d) PARTE C PARÁBOLA 1) Ded uzir a equação da parábola a partir da definição. 2) Obt er a equação da parábola com vértice na origem com foco nos pontos dados abaixo. Para cad a caso indique a reta diretriz. a) 0, 3 b) 2, 0 c) 1, 0 d) 0, 5 3) Para cada caso, calcule as coordenadas do foco e obtenha uma equação cartesiana da diretriz da parábola com vértice na origem e que passa pelos ponto e. a) 4, 2 4, 2 b) 5, 5 5,5 c) 2, 4 2, 4 d) 6, 8 6,8 4) Par a cada caso abaixo achar as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz. Esboce o gráfico. a) 12 b) 12 c) 80 d) 20 Resp.: a) 3,0 ; 3. b) 0,3 ; 3. c) 2,0 ; 2 5) A forma geral da equação cartesiana de uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos y é: 0 com 0. Esta parábola tem concavidade para cima se 0 e concavidade para baixo se 0. Obtenha para cada caso abaixo uma equação nesta forma para a parábola que passa pelos pontos dados,, e. a) 0, 1 ;1, 6;1,0 b) 0, 2;1, 1; 1,1 c) 0, 2;1, 2; 1,13 d) 0, 5;1, 2;2,7 e) 0, 3;1, 3;2,1 f) 0, 6;1, 1; 2, 14 6) Achar a equação da parábola de vértice na origem e reta diretriz : 5 0. Resp.: 20 7) Uma parábola, cujo vértice esta na origem e cujo eixo coincide com o eixo dos, passa pelo pon to 2,4. Ache sua equação. Resp.: 8 8) Par a cada caso abaixo, apli que a definição de parábola e encontre a equação a partir dos dados. a) Foco 3, 4 ; diretriz 10 Resp.: b) Foco 3, 5 ; diretriz 10 Resp.: c) Vértic e 2, 0 ; Foco 0, 0 Resp.: 8160 d) Foco 1, 1 ; diretri z 50 Resp.: ) Para as equações do exercício anterior, use uma tran sformação de coordenadas e encontre sua forma reduzida. Resp.: a) 4 0; b) 12 0; c) 8 0; d) 5 2 0

5 10) Para cada caso encontrar a forma reduzida da equação da parábola. a) Resp.: b) Resp.: c) 47 d) e) 11) Dada a equação da parábola 8 27 achar o vértice, o eixo, o foco e a dire triz. Esboce a curva. Resp.: ) Mostre que a tangente à parábola 4 em qualquer ponto, da curva tem a equação 2. Sugestão: Escreva a equação cartesiana da reta e substitua na equação da parábola. Em seguida encont re o coeficiente angular da reta tangente levando em conta que o ponto, está sobre a parábola ou seja 4. 13) A partir do resultado anterior, ache as equações da tangente à cada parábola nos ponto dados. a) 40 ; 1, 2 Resp.: 10 b) 4290 ; 6, 3 Resp.: 20 c) ; 2, 1 Resp.: ) Determine o comprimento do segmento determinado pela parábola 40 com a reta 230. Resp.: 4 5 PARTE D EQUAÇÃO GERAL DA CÔNICA 1) Esb ocar o gráfico da cônica: a), b), c), d), e), f), g), ) Reduza as equações abaixo a forma mais simples através de uma translação e/ou uma rotação. a) b) c) d) e) f) g) h)

6 3) Reconheça as cônicas: a) b) c) d) e) f) g) h)