Equações do 2º Grau e I rracionais

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1 Profª. Suely Trevisam Araújo Equações do 2º Grau e I rracionais Objetivo Introduzir conceitos, apresentar exemplos e fornecer aplicações práticas das equações do 2º grau e das equações irracionais. Tópicos 1. Classificação das Equações do 2º Grau 2. Equações do 2º Grau I ncompletas 3. Equações do 2º Grau Completas 4. Equações I rracionais 1. Classificação das Equações do 2º Grau OBJETI VO Apresentar a classificação das equações do 2º grau. Como você deve se lembrar, as equações são classificadas pelo grau do expoente de maior potência que eleva a incógnita. Dessa maneira, as equações do 2º grau são escritas, genericamente, conforme a igualdade abaixo: A. x 2 + B. x + C = 0 onde A, B e C são números reais e A 0. Quando A e B são valores diferentes de ZERO, dizemos que a equação de segundo grau é completa. Exemplos : 2 x 2 8 x = 6 x x + 8 = 0 Em certos casos, A ou B podem ser nulos. Assim, a equação torna se incompleta e pode ser resolvida mais facilmente. Exemplos : A x 2 = 0 A x 2 + C = 0 A x 2 + B x = Saiba Mais Curiosidade M atemática O X do A mor

2 Observe a equação: Agora, veja o que acontece quando ela é resolvida: ( AM + BC ).X = AM (X + BOC) BCTE AMX + BCX = AMX + AMBOC BCTE BCX = AMX AMX + BC (AMO TE) BCX = BC (AMO TE) X = A M O TE Fazendo mmc no 2º membro e eliminando os denominadores. Aplicando a distributiva. Fator comum. Isolando o X e simplificando. Resultado Fonte: / w w w.anglonet.com.br/ jairo/ x_do_amor.html 2. Equações do 2º Grau Incompletas OBJETI VO Demonstrar o procedimento para resolver equações do 2º grau incompletas. Vamos analisar cada caso de equação do 2º grau incompleta. 1º caso: B = 0 e C = 0 A x 2 = 0 logo, x = 0 Toda equação do 2º grau cujos valores B e C são iguais a zero tem uma única raiz e esta vale ZERO. 2º caso: B = 0 e C 0 A x 2 + C = 0 logo, Observe que C não pode ser um valor menor que zero, já que não existe raiz quadrada para valores negativos. Toda equação do 2º grau cujo valor B é igual a zero, mas C assume qualquer outro valor, tem duas raízes reais (de mesmo valor mas uma positiva e outra negativa) se, e somente se, o sinal de C for diferente do sinal de A. 3º caso: B 0 e C = 0

3 A x 2 + B x = 0 x (A x + B) = 0 Para que a igualdade seja verdadeira ou x = 0 ou (A x + B) = 0 (Perceba que, se x (A x + B) = 0, para x A x + B = logo, A x = B ) 0, então, Assim, x = 0 ou A s equações do 2º grau cujo valor C é igual a zero, mas B assume outro valor diferente, tem duas raízes reais, de modo que: 2.1 Saiba Mais DESA FI O M A TEM Á TI CO Num quintal, existem galinhas e coelhos: ao todo 26 cabeças e 70 patas. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos? Resposta: Chamemos C o número de coelhos e G o número de galinhas. Temos, então, que: C + G = 26 (número de cabeças igual ao número de animais) 4C + 2G = 70 (número de patas) C = 26 G 4 (26 G ) + 2G = G + 2G = 70 2G = 34 G = 17 galinhas C = 26 G C = C = 9 coelhos Ao todo, existem 9 coelhos e 17 galinhas. Fonte: / w w w.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ index page80.html 3. Equações do 2º Grau Completas OBJETI VO Demonstrar o procedimento para resolução das equações do 2º grau completas. A resolução de equações do segundo grau completas é possível pelo desenvolvimento de uma fórmula atribuída a um matemático hindu de nome Bhaskara. Por causa disso, também essa fórmula ficou conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara. Não cabe, aqui, desenvolver a fórmula de Bhaskara. Apenas se lembre de que essa fórmula é escrita da seguinte forma: Vale notar que a expressão B 2 4AC, dentro da raiz, tem o nome de discriminante e é representada pela letra grega (delta).

4 Pelo valor de (delta), podemos saber quantas raízes a equação completa admite. Vamos substituir a fórmula acima, usando o valor. = B 2 4AC, então Inicialmente, são possíveis duas raízes para a equação completa: e Agora, vamos às hipóteses: Hipótese 1: Se é positivo, temos que > 0 Neste caso, existe solução para x 1 e x 2 pois, substituindo haverá um valor distinto para x 1 e para x 2. por qualquer número positivo, Hipótese 2: Se é nulo, = 0 Neste caso, x 1 = x 2, havendo apenas uma raiz real. Hipótese 3: Sendo negativo, não há um resultado para, pois não existe raiz quadrada para números negativos. Neste caso, a equação não tem solução com números reais. Exemplos : 1. Resolva a equação : 2x 2 8x = 6 Solução: 2x 2 8x + 6 = 0 (equação completa) A = 2; B = 8 e C = 6 Sendo = B 2 4AC, então: = ( 8) 2 4x2x6 => = 16 => = ± 4 e O conjunto solução é S = {1;3} 2. Calcule a( s) raiz( es) da equação abaixo: x 2 4 x + 4= 0 Solução: x 2 4x + 4 = 0 (equação completa)

5 A = 1; B = 4 e C = 4 Sendo = B 2 4AC, então: = ( 4) 2 4x1x4 => = 0 => = 0 e O conjunto solução S = {1} admite somente uma raiz. 3. Calcule a( s) raiz( es) da equação: x x + 8 = 0 Solução: x 2 + 4x + 8 = 0 (equação completa) A = 1; B = 4 e C = 8, então: = 4 2 4x1x8 => = 16 => =??? Como não existe raiz de número negativo, o conjunto solução é S = (conjunto vazio) 4. Determine as raízes da equação: x x = 0 Solução: x x (+ 0) = 0 (equação incompleta, pois C = 0) A = 1; B = 49 x 2 = 49x x.(x) = 49x x = 49 => como B = 49 e A = 1, isso confirma que Porém, se admitirmos x = 0, a equação também se torna verdadeira, pois substituindo x por 0 na equação x x = = 0 O conjunto solução S = { 49; 0} 5. Determine o valor de x para a equação: x = 0

6 Solução: x 2 + (0)x + 49 = 0 (equação incompleta, pois B = 0) A = 1; C = 49 x 2 = 49 x 1 = 7 e x 2 = 7 Isso confirma que Cuidado! É preciso verificar se as raízes não infringem alguma regra matemática ou se o problema admite as soluções encontradas. 3.1 Glossário Fórmula de Bhaskara O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: Problemas que recaem numa equação do 2º grau já apareciam, há quase 4000 anos, em textos escritos pelos babilônicos. Nesses textos, o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos), que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. Bhaskara, que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185, foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra, respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século XVI, não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir de François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2º grau. Fonte: Revista do P rofessor de Matemática nº 39 Cuidado! Quando temos, por exemplo, uma divisão em que a incógnita faz parte do denominador, a raiz encontrada não pode anular o resultado desse denominador. Verifique abaixo, resolvendo a equação: O m.m.c. dos denominadores é x 2 1 = (x + 1) (x 1). Reduzindo os termos ao mesmo denominador, teremos:

7 Simplificando, a equação fica: 2 x (x+1) = (x + 1)(x 1) 2 x 2 x = x 2 1 x 2 x x 2 = 1 2 2x 2 x = 3 2x 2 x + 3 = 0 (e dividindo todos os termos por 1) 2x 2 + x 3 = 0 (onde A = 2; B = 1 e C = 3) Então: = 1 2 4x2x ( 3) => = 25 => = ± 5 e Repare agora que, para x 1 = 1, o denominador da equação se iguala a zero: o que é impossível!!! Portanto, somente é solução do problema! 3.2 Saiba Mais Exercício Resolvido 1. No teto de um salão de convenções, deseja se construir uma estrutura metálica, na qual deverão ser penduradas 35 bandeiras. P ara economizar espaço e material, resolveu se construir essa estrutura na forma de um polígono regular, com hastes presas nas diagonais desse polígono. Cada bandeira ficará pendurada em uma das hastes. Deseja se saber, então, qual é o polígono regular que tem 35 diagonais? Solução: Relembrando, polígono regular é a figura geométrica fechada que tem todos os lados de mesmo tamanho. O triângulo é o polígono regular de 3 lados, o quadrado é o polígono de 4 lados, o pentágono é o polígono de 5 lados e assim por diante. As diagonais de um polígono são as linhas que unem dois vértices não consecutivos do polígono, ou seja, dois vértices que não sejam vizinhos. Somente é possível traçar linhas diagonais em vértices não consecutivos, já que a linha formada por dois vértices vizinhos é o próprio lado do polígono.

8 Se considerarmos n o número de lados (e, conseqüentemente, o número de vértices também!) de um polígono qualquer, o número de diagonais que sai de cada vértice é n 3. Por quê? Porque, a partir de um mesmo vértice, só se pode traçar uma diagonal para cada lado do polígono, menos para os 2 lados que contêm esse vértice. Note que o quadrado tem 1 diagonal por vértice, o pentágono tem 2 diagonais por vértice e o hexágono tem 3. Então, sempre há (n 3) diagonais para cada vértice de um polígono de n lados. Note também que existe uma mesma diagonal para cada 2 vértices de um polígono qualquer. Fazendo o cálculo do total de diagonais possíveis, chegamos à fórmula:... onde D é o número de diagonais do polígono e n é o número de lados. É por causa disso que o triângulo não tem diagonal! Mas voltemos ao nosso problema: Para 35 bandeiras, precisaremos de 35 hastes diagonais. O polígono que tem 35 diagonais é aquele de lado n quando D for 35. Portanto: ou seja: n(n 3) = 70 n 2 3n = 70 n 2 3n 70 = 0 onde: A = 1; B = 3 e C = 70 então: = ( 3) 2 4x1x ( 70) => = 289 => = ± 17 e É obvio que não se pode construir um polígono com 7 lados. A única alternativa é o decágono (polígono com 10 lados). 2. Um pedreiro constrói uma parede de 7,5 m 2. Se a altura da parede é 0,5 metro menor que a sua extensão, calcule as dimensões dessa parede. Solução: Para uma parede de altura h e extensão b, a área S é o produto dessas duas medidas: S = b. h. Mas, se h é 0,5 metro menor que b: h = b 0,5 portanto: S = b. (b 0,5) S = b 2 0,5b mas S = 7,5 7,5 = b 2 0,5b b 2 0,5b 7,5 = 0 então: = (0,5) 2 4x1x ( 7,5) => = 30,25 => = ± 5,5 e

9 Se b = 3,0 metros e h = b 0,5 => h = 2,5 metros Resposta: A parede tem uma extensão de 3 metros e uma altura de 2,5 metros. 4. Equações Irracionais OBJETI VO Demonstrar a resolução de equações irracionais. Equações irracionais Equação irracional é aquela cuja incógnita é elevada a uma potência fracionária ou está inserida em um sinal de radical (raiz). Exemplos: A solução dessas equações é obtida elevando se os dois membros da igualdade ao expoente correspondente ao índice da raiz. Vejamos como exemplo: Como o índice da raiz quadrada é 2, elevaremos os dois membros da equação à potência 2, de forma que: Sabemos que a raiz quadrada de um número elevada ao quadrado é igual ao próprio número, portanto: 3x = 4x 2 3x 2 4x 2 = 4 x 2 = 4 x 2 = 4 x = ± 2 Logo S = { 2; 2} 1.

10 Quando temos dois termos irracionais, é melhor que cada um deles esteja de um lado da igualdade, para só então elevarmos os dois membros da equação ao expoente da raiz. Acompanhe: 2(5x 3) = 9x 10x 6 = 9x x = 6 2. (Note que o expoente 1/3 equivale à raiz ) 3x 2 = 1 3x = 3 x = 1 3. Cuidado: nesse tipo de equação, todos os termos do primeiro membro da igualdade devem ser elevados ao quadrado e não somente o termo da incógnita x 1/ 2. Assim,

11 x = 9 Solução: S = {9} 4.1 Saiba Mais Explicação Complementar Números I rracionais Um número é dito irracional quando não puder ser escrito na forma de uma fração, ou seja, não puder ser escrito de acordo com a expressão a / b, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero. Toda fração de números inteiros tem como resultado uma dízima finita ou periódica. Verifique os exemplos: 5 / 2 = 2,5 (dízima finita) 9 / 20 = 0,45 (dízima finita) 8 / 3 = 2, (dízima periódica de período 6) 4 / 22 = 0, (dízima periódica de período 18) 32 / 7 = 4, (dízima periódica de período ) Os números com dízimas infinitas, como o número (3, ), não podem ser escritos na forma a / b. Esses são os números irracionais. Muitos números irracionais são apresentados na forma de raízes. Exemplos:,. Isso não significa que toda raiz é um número irracional. Um exemplo é. A soma, subtração, multiplicação e divisão de um número racional com um número irracional, dá sempre um número irracional. Sobre os números racionais, há um artifício interessante para a determinação da fração correspondente a um número com dízima periódica. No numerador coloque o valor do período da dízima e no denominador adicione tantos algarismos 9 quantos algarismos tiver o período da dízima. Exemplo: O número 0, tem período 507, logo, escreveremos 507 no numerador. Como 507 tem três algarismos, colocaremos no denominador três algarismos 9. Ficaremos, assim, com a fração:

12 Comprove!!! Já o número 2, pode ser escrito como 2,3 + 0, A parte 2,3 é simples: Já a parte 0, pode ser calculada da seguinte forma: 10 x 0, = 0, pela regrinha aprendida, o período da dízima tem um único algarismo que vale 2, portanto: mas a fração que queremos é de 0, e não de 0, , assim, teremos que dividir por 10, que é igual a Somando, agora, a fração com, teremos o resultado: Você é capaz de dizer qual é a forma fracionária de 0, ? Bibliografia IEZZI, Gelson. Fundamentos da M atemática Elementar. São Paulo: Atual, SILVA, Sebastião Medeiros da. M atemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, ZOLD, Harold H. N. CORRÊA, Sérgio. Novíssimo curso vestibular. M atemática I e I I. São Paulo: Nova Cultural, 1991.