PAESPE. Equação do 2º grau

Transcrição

1 PAESPE Equação do º grau

2 Equação Uma equação é uma igualdade entre duas epressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável. Eemplo: y1 é equação não são equações

3 Membros e Termos O sinal de igual separa a equação em dois membros e cada monómio que neles figura chama-se termo. Eemplo: º membro º membro 3; 41 ; termos com incógnita termos independentes

4 Grau de uma equação O grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos: Eemplo: Equação do 1º grau Equação do º grau 3 0 Equação do 3º grau

5 Equação do º grau Mas afinal o que é uma equação do º grau? Chama-se equação do º grau a uma incógnita a toda a equação do tipo: a b c 0 Com a, b e c números reais e a 0 Equação na forma canónica a b c 0 Termo em Termo em Termo independente

6 Equações do º grau Completas Todos os termos são diferentes de zero Incompletas Termo em (b) e/ou o termo independente (c) são nulos

7 Mais Eemplos: Completa ² = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 0. -² = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16. Incompleta Equações da forma a² +b = 0, (c = 0) ² - 3 = 0, onde a = 1, b = -3. -² + 4 = 0, onde a = -, b = 4. Equações da forma a² +c = 0, (b = 0) 3² - = 0, onde a = 3, c = -. ² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

8 Será uma equação do º grau?

9 Raízes de uma Equação do º Grau Resolver uma equação do º grau significa determinar as suas raízes ou soluções. Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, a transforma numa proposição verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto solução e representa-se por S ou C.S..

10 Resolução de Equações Incompletas Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta duas importantes propriedades dos números reais, chamando-se à 1.ª Propriedade a Lei do anulamento do produto, a qual permite factorizar a equação: 1ª Propriedade: Se є R, y є R e.y = 0 = 0 ou y = 0 ª Propriedade: Se є R, y є R e ² = y = y ou = - y 1º Caso: Equações da forma a 0 º Caso: Equações da forma a² +b = 0, (c = 0) 3º Caso: Equações da forma a² +c = 0, (b = 0)

11 Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: a² = 0 Consideremos a equação 5 8 Reduzimos a equação à forma canónica Só há um número elevado a dois que é zero. Logo 0 Uma equação do º grau do tipo a² = 0 tem uma e uma só solução: o número zero. a² = 0 0

12 Equações da forma: a² +b = 0, (c = 0) Consideremos a equação: 3 5 Comecemos por escrevê-la na forma canónica Factorizamos o 1º membro Aplicamos a lei do anulamento do produto Logo, S 0;

13 De um modo geral, temos, se b 0 a No geral, a equação do tipo a² +b = 0 tem sempre duas soluções reais, sendo uma delas nula e a outra igual ao simétrico do quociente entre b e a: a 0 a b 0 a b 0 a b 0 = 0 e 0 = - b/a Logo, S 0; b a

14 Equações da forma: a² +c = 0, (b = 0) Consideremos a equação Resolvemo-la por dois processos diferentes: 1º Processo ºProcesso Aplicando casos notáveis para fatorizar o 1º membro e a lei do anulamento do produto para resolver:

15 Logo, S 5 5 ; 3 3 A equação tem duas soluções simétricas. Consideremos a equação Resolvendo vem: Não há nenhum número ao quadrado que vá dar um número negativo. A equação é impossível.

16 EXERCÍCIOS: Resolve cada uma das seguintes equações:

17 Fórmula de Bhaskara ou resolvente A fórmula resolvente da equação do º grau: = - b ± b² - 4ac a Podemos representar as duas raízes reais por ' e ", assim: = - b + b² - 4ac e = - b - b² - 4ac a a

18 Discriminante Denominamos binómio discriminante o radical b - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta). Δ = b - 4ac Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara: = - b ± Δ a De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O) º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O) 3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

19 Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O O valor de Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: = - b + Δ a = - b - Δ a O valor de Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: = = -b a O valor de Δ não eiste em IR, não eistindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número compleos.

20 Determine a solução das equações abaio: 1) ²- 49 = 0 ) 4²= 36 3) 9² - 5 = 0 4) 3² + 30 = 0 5) ² - 5 = 0 6) 3² - 10 = 0 7) ( 3) - ( -3) = 6 8) 7² = -14 9) 3² = 0 10) 9y² 1y + 4 = 0 Eercícios de Sala

21 Equação Biquadrada Definição: equação biquadrada na incógnita, é toda equação de grau 4, redutível à forma a 4 + b + c = 0, que pode ser convertida em uma equação de º grau. Eemplo: = 0 m 4 4m + 3 = 0 são equações biquadradas 4 = 0

22 Mas afinal como é que resolve uma equação biquadrada? Para resolver uma equação biquadrada, utiliza-se o método da mudança de variável = 0 Sabemos que 4 = ( ) Então, podemos fazer: t² = 4 e dessa forma: t 7t 4 = 0 Termo em Termo em Termo independente

23 Passos para resolução das equações Biquadradas: a 4 + b + c = 0 Equações Biquadrada 4 = ( ) Equação do º grau t² = 4

24 EXERCÍCIOS DE SALA: Resolver cada uma das seguintes equações: 1. m 4 4m + 3 = 0. 4 = 0 3. y 4 10y + 9 = ² + 18 = 0 5. y 4 13y + 36 = 0 6. ³( 3) - ( -3) = 6-3³ + 6

25 MUITO OBRIGADa!!