Matemática em ação 9. Álgebra e Funções.

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1 Matemática em ação 9 Álgera e Funções

2 Matemática em ação 9 Fichas teóricas Conteúdos aordados: Equações do.º grau a uma incógnita Sistemas de equações Funções de proporcionalidade direta Função afim Funções de proporcionalidade inversa Estas fichas apresentam noções essenciais já anteriormente estudadas, mas na perspetiva de um aluno que frequenta o último ano do Ensino Básico. Contêm noções essenciais: estudadas no 9.º ano e estudadas em anos anteriores e que são prérequisitos para a aprendizagem do aluno.

3 Álgera Equações do. grau Equação do.º grau é toda a equação redutível à forma a + + c = 0, a 0 0 forma canónica: o.º memro é um polinómio do.º grau e o. memro é zero. Para resolver uma equação do. grau são válidas as regras para a resolução de equações do.º grau (ver ficha ). Equações do.º grau incompletas São as equações em que = 0 ou c = = 0 Equação do tipo a + c = 0 ( = 0) - 48 = 0 = passou para o.º memro trocando o sinal 48 = Dividiram-se amos os memros por = 6 = "6 =-"6 = 4 =-4-4 e 4 são as soluções: S = {- 4, 4} + 5 = = 0 =-5 Não eiste nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 5 a equação não tem solução: é impossível. + 8 = 0 Equação do tipo a + = 0 (c = 0, 0 0) Pondo em evidência o factor comum: ( + 8) = 0 otém-se um produto nulo, logo, um dos fatores tem de ser nulo: = = 0 lê-se "ou". = 0 =-8 0 e - 8 são as soluções: S = {- 8, 0} Estas equações que se podem transformar num produto de dois fatores igual a zero, resolvem-se aplicando a: Lei do anulamente do produto Se um produto A * B é nulo, ou A é nulo ou B é nulo e reciprocamente. A * B = 0 A = 0 B = 0 5 ( + 5) ( - ) = = 0 - = 0 =- = S = { - 5, } Equações do.º grau completas a + + c = 0, 0 0, c 0 0 Caso particular: o. memro é um caso notável. Pode usar-se a lei do anulamento do produto (o. memro é zero). - + = 0 ( - ) = 0 ( - ) ( - ) = 0 - = 0 - = 0 = = = é solução dupla ou raiz dupla Número de soluções de uma equação do. grau: Duas soluções quando >0 Nehuma solução quando <0 Uma solução dupla quando =0 = - 4ac chama-se inómio discriminante. Caso geral usando a fórmula resolvente. a + + c = 0 = - " - 4ac a = 0 da fórmula resolvente 7 "49-4 * * 0 = * = = = = 5 = e 5 são soluções: S = {, 5} MA9 RAIZ EDITRA 7

4 Álgera Sistemas de duas equações do. grau com duas incógnitas 8 Equações do. grau com duas incógnitas Equações com dois valores desconhecidos: as incógnitas. s epoentes das incógnitas são iguais a. As soluções de uma equação do. grau com duas incógnitas são pares ordenados de números que a transformam numa igualdade verdadeira. Resolver uma equação em ordem a uma das incógnitas é escrever essa incógnita em função da outra, usando as regras para resolver equações. equação resolvida + = 5 = 5 - em ordem a Agora é fácil determinar soluções: dando valores a, calcula-se o correspondente valor para. Sistemas de duas equações com duas incógnitas Conjunção de duas equações com duas incógnitas, redutíveis à forma simplificada (forma canónica). a a + = c c a' + ' = c' com a,, c, a', ', c' år Solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas é um par ordenado que transforma cada uma das equações em igualdades verdadeiras. Resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas é determinar estes pares ordenados. Uma estratégia para resolver um sistema:. Efetuar todas as operações possíveis para desemaraçar de parêntesis e denominadores, caso eistam.. Usar o método de sustituição: Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas. Sustituir na outra equação essa incógnita pela epressão encontrada. Resolver a equação que tem agora uma só incógnita. Sustituir o valor encontrado na outra equação. Resolver essa equação. Número de soluções de um sistema Uma solução: Sistema possível e determinado. Nenhuma solução: Sistema impossível. Uma infinidade de soluções: Sistema possível e indeterminado. Resolver a equação + = 5 é determinar os pares ordenados (, ) que a verificam. par (, ) é uma solução da equação. * + = 5 par (, ) não é solução. * par (0, 5) é outra solução. * = 5 Eiste uma infinidade de soluções. Na física: e = 70t equação que dá o espaço percorrido por um automóvel a velocidade constante de 70 km/h em função do tempo. Está resolvida em ordem a e. e e = 70t t = (a mesma equação resolvida em ordem a t ) 70 Resolver um sistema. a = 0 a d Forma canónica - d + 5 = d c = d 4 - = 6 c. a + 5 = a + 5 ( ) = c - = 6-4 c = a = a = 6 c = c = a = 7 a = 7 c = * 7 c = Solução: (7, ) Pode-se averiguar se não houve engano, isto é, se o par otido verifica o sistema: a * * - = 0 a d Verificação: d * 7 - d 0 = 0 c = d = c MA9 RAIZ EDITRA

5 Álgera 7 Função de proporcionalidade direta Função de proporcionalidade direta é toda a correspondência do tipo = k, k 0 0. A cada número corresponde o número k, sendo k a constante de proporcionalidade. gráfico de uma função de proporcionalidade direta é um conjunto de pontos de coordenadas (, k). Pertencem à reta que passa na origem do referencial e no ponto (, k). k São funções de proporcionalidade direta: Taela Epressão algérica Gráfico preço da entrada numa piscina municipal n = número de entradas p = preço em euros n 0 p * 5 p = 5n p n custo das peras no mercado p = peso em kg c = custo em euros p 0 c 0,5 4,5 4 6 *,5 c =,5p c 6 4,5,5 4 p As duas taelas representam grandezas diretamente proporcionais. Nos dois casos, a variável dependente é igual ao produto da constante de proporcionalidade pela variável independente. Todos os pontos dos dois gráficos pertencem a retas que passam na origem do referencial e pelo ponto (, k), sendo k a constante de proporcionalidade. A representação gráfica seguinte: não é de uma função de proporcionalidade direta porque a reta não passa na origem. 4 MA9 RAIZ EDITRA

6 Álgera 8 Função afim Uma função afim é uma função do tipo = k +, com k e constantes, e em que a variável independente pode tomar qualquer valor real. gráfico de uma função afim é uma reta. k representa o declive da reta. é a ordenada na origem. Domínio =R rdenada na origem = k + D =R É eemplo de uma função afim a função que a cada faz corresponder - + : =- +. A imagem de 0 é = ; a imagem de é - + =. Bastam dois pontos para desenharmos a reta. 0 - Casos particulares = - + Se k 0 0 e = 0 vem = k Função linear Uma função de proporcionalidade direta é uma função linear quando a variável independente pode tomar qualquer valor, ou seja, quando o domínio é R. gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do referencial. Se k > 0 a reta passa no.º e no.º quadrantes. Se k < 0 a reta passa no.º e no 4.º quadrantes.. quadrante. quadrante. quadrante 4. quadrante Se k = 0 vem = Função constante gráfico é uma reta paralela ao eio. Todos os ojetos têm a mesma imagem. = s gráficos de funções afins com o mesmo valor de k são retas com o mesmo declive, ou seja, retas paralelas. Funções afins com a mesma ordenada na origem correspondem a retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0, ). MA9 RAIZ EDITRA Dada a epressão algérica de uma função afim = k +, com k 0 0 : Se k > 0, ou seja, se o declive é positivo, então a função é crescente. Se k < 0, ou seja, se o declive é negativo, então a função é decrescente. 4

7 Álgera 9 Função de proporcionalidade inversa Grandezas inversamente proporcionais Se os valores de uma grandeza são inversamente proporcionais aos valores de outra grandeza, então eiste uma constante k, diferente de zero, tal que = k. Reciprocamente, se eiste uma constante k 0 0 tal que = k, então é inversamente proporcional a. Designando por t o tempo, em horas, que um automóvel demora a percorrer uma distância e por v a velocidade média, em km/h, a que circula, verifica-se: Velocidade média (em km/h) v Tempo t (em horas) ,8 4 Quando a velocidade aumenta para o doro, o tempo diminui para metade; quando a velocidade aumenta para o triplo, o tempo diminui para a terça parte; 40 * = 80 * 6 = 00 * 4,8 = 0 * 4 = 480 constante de proporcionalidade, representa a distância percorrida. tempo t que um automóvel demora a percorrer uma certa distância é inversamente proporcional à sua velocidade média v utilizada. 480 Neste caso, vt = 480 t =. v Função de proporcionalidade inversa k Função de proporcionalidade inversa é toda a correspondência do tipo =, k 0 0. k A cada número 0 0 corresponde (k constante diferente de zero). k é a constante de proporcionalidade inversa. É uma função de proporcionalidade inversa, a função f que a um número faz corresponder : = ou f() = - - ou f(- ) =- ou f() = Zero não pertence ao domínio de f (0 não tem imagem). Representação gráfica A representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa é o conjunto de todos os pontos de coordenadas a, k. 4 k > 0 gráfico de uma função do tipo = k, k 0 0 é uma curva chamada hipérole produto das coordenadas de qualquer ponto do gráfico é constante e igual a k : * = k. D = CD = ]-?, 0[ ]0, +?[ Uma hipérole é constituída por dois ramos. MA9 RAIZ EDITRA

8 Resolução de eercícios e prolemas Para consolidares os teus conhecimentos, resolve os eercícios e prolemas que te propomos.

9 Matemática em ação 9.ª parte Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, escolhe a opção correta. A solução do sistema { é o par ordenado: (A) (B) (C) (D) A equação : (A) não tem soluções reais. (C) tem uma solução dupla. (B) tem duas soluções diferentes. (D) Nenhuma das respostas anteriores é correta. gráfico da função interseta os eios coordenados nos pontos: (A) (C) (B) (D) 4 A taela ao lado representa uma relação de proporcionalidade direta,. A constante de proporcionalidade é:? (A) (B) (C) (D) 5 A partir da taela ao lado podemos concluir que: (A) (B) (C) (D)

10 Matemática em ação 9.ª parte Apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias. Um cavalo e um urro caminhavam juntos levando sacos muito pesados, todos com o mesmo peso. Lamentava-se o cavalo da sua pesada carga quando o urro lhe disse: Quantos sacos levava cada animal? Adaptado de Álgera, Editora Mir Na figura está representado um triângulo. Determina o valor de, de modo que o triângulo seja retângulo em.

11 Matemática em ação 9 Sae-se que o gráfico de uma função afim passa pelo ponto e tem 5 como ordenada na origem. Faz a representação gráfica dessa função e determina a sua epressão algérica. A distância (em quilómetros) percorrida pelo Afonso no seu jogging matinal é diretamente proporcional ao tempo (em minutos) gasto a percorrê-la. Afonso percorre km em 5 minutos. a) Escreve em função de. ) Determina a distância percorrida pelo Afonso em três quartos de hora. 5 Um pastor tinha 60 ovelhas e ração para as sustentar durante 0 dias. Vendeu um certo número de animais de modo que a ração passou a ser suficiente para mais 0 dias. Quantas ovelhas vendeu? 4