Função IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO

Transcrição

1 Função IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de unção é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são eemplos de unções: - O valor a ser pago numa corrida de tái é unção do espaço percorrido; - A área de um quadrado é unção da medida do seu lado; - Em um termômetro, a temperatura é dada em unção do comprimento da coluna de mercúrio. Deinição Sejam A e B conjuntos dierentes do vazio. Uma relação de A em B é unção se, e somente se, todo elemento de A estiver associado através de a um único elemento de B. Usaremos a notação : A B para indicar que é unção de A em B. A unção determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos deini-la utilizando uma lei de ormação, em que, para cada valor de, temos um valor de ). Chamamos de domínio e ) ou y de imagem da unção. A ormalização matemática para a deinição de unção é dada por: Seja X um conjunto com elementos de e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: : y Assim sendo, cada elemento do conjunto é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de ormação. A partir dessa deinição, é possível constatar que é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda unção, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de. Tipos de unções As unções podem ser classiicadas em três tipos, a saber: Função injetora ou injetiva Nessa unção, cada elemento do domínio ) associa-se a um único elemento da imagem ). Todavia, podem eistir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são dierentes. Veja um eemplo: Conjunto dos elementos do domínio da unção: D) = {-,5, +, +8} Conjunto dos elementos da imagem da unção: Im) = {A, C, D} Conjunto dos elementos do contradomínio da unção: CD) = {A, B, C, D}

2 Função Sobrejetora ou sobrejetiva Na unção sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos. Conjunto dos elementos do domínio da unção: D) = {-0,, 8, 5} Conjunto dos elementos da imagem da unção: Im ) = {A, B, C} Conjunto dos elementos do contradomínio da unção: CD ) = {A, B, C} Função bijetora ou bijetiva Essa unção é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de relaciona-se a um único elemento de ). Nessa unção, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos. Conjunto dos elementos do domínio da unção: D) = {-, 0,, 5} Conjunto dos elementos da imagem da unção: Im ) = {A, B, C, D} Conjunto dos elementos do contradomínio da unção: CD ) = {A, B, C, D}

3 As unções podem ser representadas graicamente. Para que isso seja eito, utilizamos duas coordenadas, que são e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em unções, elas ormam leis de ormação. Veja a imagem do gráico do eio e y: - Função constante Na unção constante, todo valor do domínio ) tem a mesma imagem y). Fórmula geral da unção constante: ) = c = Domínio ) = Imagem c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. Eemplo de gráico da unção constante: ) = Função Par

4 A unção par é simétrica em relação ao eio vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma igura/gráico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se pereitamente. Fórmula geral da unção par: ) = - ) = domínio ) = imagem - = simétrico do domínio Eemplo de gráico da unção par: ) = 4 Função ímpar A unção ímpar é simétrica igura/gráico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se pereitamente) em relação ao eio horizontal, ou seja, à abscissa. Fórmula geral da unção ímpar ) = ) = domínio ) = imagem - ) = simétrico da imagem Eemplo de gráico da unção ímpar: ) =

5 5 4 Função aim ou polinomial do primeiro grau Para saber se uma unção é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável termo desconhecido), que sempre deve ser igual a. Nessa unção, o gráico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio, imagem ) e coeicientes a e b. Fórmula geral da unção aim ou polinomial do primeiro grau ) = a + b = domínio ) = imagem a = coeiciente b = coeiciente Eemplo de gráico da unção polinomial do primeiro grau: ) = Função Linear A unção linear tem sua origem na unção do primeiro grau ) = a + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero. Fórmula geral da unção linear ) = a

6 6 = domínio ) = imagem a = coeiciente Eemplo de gráico da unção linear: ) = -/ 6 Função crescente A unção polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeiciente a or dierente de zero e maior que um a > ). Fórmula geral da unção crescente ) = + a + b = domínio ) = imagem a = coeiciente sempre positivo b = coeiciente Eemplo de gráico da unção crescente: ) = 5 7 Função decrescente

7 Na unção decrescente, o coeiciente a da unção do primeiro grau ) = a + b) é sempre negativo. Fórmula geral da unção decrescente ) = - a + b = domínio/ incógnita ) = imagem - a = coeiciente sempre negativo b = coeiciente Eemplo de gráico da unção decrescente: ) = Gráico de uma unção do grau. FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS

8 8 Função Composta Deinição: Sejam as unções e g tais que: g: A B e : B C. Deinimos a composta de com g e denotamos por og lê-se bola g), à unção dada por og)) = g)). A unção h) = g)) é então denominada unção composta de com g, aplicada em. Eemplos: ) Dadas as unções ƒ) = e g) = ² +, calcular: a) og) = g)) = ƒ² + ) = ² + ) = ² + 4 = ² +. b) g o) = gƒ)) = g ) = )² + = 4² = = 4² +. c) o) = ƒƒ)) = ƒ ) = ) = 4 6 = 4 9. Função Inversa Dada a unção ƒ: A em B, chama-se unção inversa de ƒ, indicada por ƒ - ), a unção ƒ - : B em A que associa cada y de B ao elemento de A, tal que y = ƒ). OBS.: ) Apenas as unções bijetoras admitem unção inversa. ) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa: Trocar ƒ) ou a unção que está representada por y. Trocar por y e y por. Isolar y para representá-lo como unção de. Trocar y por ƒ - ). Eemplo: ) Obter a unção inversa da unção ƒ) =. ƒ) = y = = y y = + y = + )/ ƒ - ) = + )/ Eercícios: - Dada a unção ) 5, determine o valor de. 7

9 9 Solução. Calculando a inversa de ), temos: y i) Trocando y por : y 5 ii) Epressando y = - ): y y5 y y y 5 y 5 5 y OBS: y y = y y). Fatoração por evidência. iii) Calculando 7 : Centec-BA) Considerem-se as unções equação g )) g )) 4 0. ) e g ). Determine a soma das raízes da Solução. Calculando as compostas, temos: i) g )) ) ii) g )) g ) ) Substituindo na equação e encontrando a soma das raízes, temos: g )) g )) ) ) 0 S ) ) 0 ) Dada as unções ) 5 e g ), calcule : a) g)) b) g )) c) g0)) g )) d) g ) ) Solução. Aplicando em cada caso a composta ou inversa, temos: a) g)).) ) ) 5) 55 b) g )) g5. )) g 5). 5) 5 c) g0)) g )).0) ) g5.)) ) g5) 5.).5) d) y troca) g ) g ) y 5y troca) ) 5 ) y 5 Logo, g ) ) Dada a unção ) ³, determine sua inversa. Solução. Aplicando o mesmo procedimento, temos: ) y troca) ) y 5 O gráico de uma unção de º. Grau passa pelos pontos -, 4) e, 0). Determine ).

10 0 Solução. O gráico é uma reta. Com os dois pontos indicados, podemos encontrar a equação da orma y = a + b, onde a é o coeiciente angular e b o linear. ) ) 0 0 ) : ) ) ) ,0),4) ) b b Q Ponto b b a ii a Q P i Calculando a inversa, temos: ) ), 6 ) 6 ) ) Logo y y troca y 6 Sendo ) ², determine o valor de para que ) ). Solução. Encontrando + ) e resolvendo a equação pedida, temos: 0 ) ) ) OBS: Se )) =, então signiica que a inversa de ) é ela mesma: ) = - ). 7 Se ), ) com, determine )). Solução. É pedido a aplicação da unção sobre si mesma. )) ) 8 Se ) ) e og, determine ) g. Solução. Utilizando a lei de ormação de ) para g), temos: g)) =.g)) +. Mas a composta já oi inormada. Logo podemos igualar as compostas: ) ). ). )) ). )) g g g g g g 9 Sejam ) ) e g. Então )) g. Solução. Calculando as compostas, temos: i) ) = ) = 4 = ii) g)) = g) = + = 4 0 Seja ) 5, determine o valor de, sabendo que 7 )

11 Solução. Calculando a inversa pelo procedimento já utilizado, temos: ) y troca) y ) y. Igualando ao valor indicado e resolvendo a equação, temos: 5 ) 5 7 ) ) 0 ) - UFBA) Sendo ) 00, calcule Solução. Calculando as potências em separado, temos: i) 0 8 ) ) 0.0 ii) 0 ) 000 ) Calculando a epressão pedida, vem: ) 0 ) ) Dadas as unções ) e g ) k, determine o valor de k para que g )) g )). Solução. Calculando as compostas e igualando, temos: g )) k) k) 4 k i) g )) g ). ) k 4 k ii) g )) g )) 4 k 4 k k k Mais sobre Função do º Grau O estudo das unções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em dierentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em etinção, etc. O signiicado de unção é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de unção, seja ela do ou do grau, ou uma unção eponencial ou logarítmica. Portanto, a unção é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada epressão algébrica de acordo com cada valor que a variável assume. Sendo assim, a unção do grau relacionará os valores numéricos obtidos de epressões algébricas do tipo a + b), constituindo, assim, a unção ) = a + b. Note que para deinir a unção do grau, basta haver uma epressão algébrica do grau. Como dito anteriormente, o objetivo da unção é relacionar para cada valor de um valor para o ). Vejamos um eemplo para a unção )=. =, temos que ) = = = 4, temos que 4) = 4 =

12 Note que os valores numéricos mudam conorme o valor de é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira:, )). Veja que para cada coordenada, iremos obter uma coordenada ). Isso auilia na construção de gráicos das unções. Portanto, para que o estudo das unções do grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeicientes. Coeiciente Linear de uma Função do º Grau As unções do tipo ) = y = a + b, com a e b números reais e a 0, são consideradas do º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a unção é chamada de constante. Uma unção possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráico, e um desses pontos é dado pelo coeiciente linear da reta representado na unção pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eio das ordenadas y). Nas unções a seguir, observe o valor numérico do coeiciente linear e o gráico representativo da unção: y = + b = y = b = y = + 4 b = 4

13 y = 4 b = 4. Estudo dos Sinais Deinimos unção como relação entre duas grandezas representadas por e y. No caso de uma unção do º grau, sua lei de ormação possui a seguinte característica: y = a + b ou ) = a + b, onde os coeicientes a e b pertencem aos reais e dierem de zero. Esse modelo de unção possui como representação gráica a igura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeiciente a. Se o coeiciente possui sinal positivo, a unção é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a unção é decrescente. Função Crescente a > 0 Na unção crescente, à medida que os valores de aumentam, os valores de y também aumentam; ou, à medida que os valores de diminuem, os valores de y diminuem. Observe a tabela de pontos e o gráico da unção y =. y

14 4 Função Decrescente a < 0 No caso da unção decrescente, à medida que os valores de aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de diminuem, os valores de y aumentam. Veja a tabela e o gráico da unção y =. y

15 5 De acordo as análises eitas sobre as unções crescentes e decrescentes do º grau, podemos relacionar seus gráicos aos sinais. Veja: Sinais da unção do º grau crescente Sinais da unção do º grau decrescente Eemplo: Determine os sinais da unção y = + 9. Fazendo y = 0 cálculo da raiz da unção + 9 = 0 = 9 = 9/ = A unção possui o coeiciente a =, no caso maior que zero, portanto, a unção é crescente.. Gráico de Função do º grau Toda unção pode ser representada graicamente, e a unção do º grau é ormada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

16 6 Quando a > 0 Isso signiica que a será positivo. Por eemplo, dada a unção: ) = ou y = -, onde a = e b = -. Para construirmos seu gráico devemos atribuir valores reais para, para que possamos achar os valores correspondentes em y. y / 0 Podemos observar que conorme o valor de aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a unção é crescente. Com os valores de e y ormamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para ormar a reta. Veja: No eio vertical colocamos os valores de y e no eio horizontal colocamos os valores de. Quando a < 0 Isso indica que a será negativo. Por eemplo, dada a unção ) = - + ou y = - +, onde a = - e b =. Para construirmos seu gráico devemos atribuir valores reais para, para que possamos achar os valores correspondentes em y. y Podemos observar que conorme o valor de aumenta o valor de y diminui, então dizemos que

17 7 quando a < 0 a unção é decrescente. Com os valores de e y ormamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para ormar a reta. Veja: No eio vertical colocamos os valores de y e no eio horizontal colocamos os valores de. Características de um gráico de uma unção do º grau. Com a > 0 o gráico será crescente. Com a < 0 o gráico será decrescente. O ângulo α ormado com a reta e com o eio será agudo menor que 90 ) quando a > 0. O ângulo α ormado com reta e com o eio será obtuso maior que 90º) quando a < 0. Na construção de um gráico de uma unção do º grau basta indicar apenas dois valores pra, pois o gráico é uma reta e uma reta é ormada por, no mínimo, pontos. Apenas um ponto corta o eio, e esse ponto é a raiz da unção. Apenas um ponto corta o eio y, esse ponto é o valor de b.. Raiz de uma Função do º Grau As unções do tipo y = a + b ou ) = a + b, onde a e b assumem valores reais e a 0 são consideradas unções do º grau. Esse modelo de unção possui como representação geométrica a igura de uma reta, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeiciente a. Observe: Função crescente: a > 0. Função decrescente: a < 0.

18 8 Raiz da unção Calcular o valor da raiz da unção é determinar o valor em que a reta cruza o eio, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eio, y = 0. Observe a representação gráica a seguir: Podemos estabelecer uma ormação geral para o cálculo da raiz de uma unção do º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de ormação da unção, considerando y = 0 e isolando o valor de raiz da unção). Veja: y = a + b y = 0 a + b = 0 a = b = b/a Portanto, para calcularmos a raiz de uma unção do º grau, basta utilizar a epressão = = b/a. Eemplo Calcule a raiz da unção y = 9, esse é o momento em que a reta da unção intersecta o eio. Resolução: = b/a = 9)/ = 9/ = 4,5 Eemplo Dada a unção ) = 6 +, determine a raiz dessa unção. Resolução = b/a

19 9 = / 6 = Eercicios:.Faça o gráico das unções de primeiro grau deinidas de R em R: a) ) = + b) g) = -+ c) h) = -4 d) r) = -+. O gráico da unção ) = a +b corta o eio no ponto de abscissa -7 e o eio y no ponto de ordenada 8. Calcule a e b.. Determine m para que o gráico de ) = +m -7m) corte o eio y no ponto de ordenada Faça os gráicos, num mesmo sistema de eios cartesianos, das unções deinidas de R em R por ) = - e g) = -+. Em seguida, determine algebricamente o ponto de intersecção dos gráicos e compare com o ponto obtido graicamente. 5. Obtenha a órmula que deine a unção de primeiro grau cujo gráico é a reta que passa pelos pontos ;) e ;-). 6. Determine a lei da unção para cada um dos gráicos a seguir: a)

20 0 b) c) 7. Esboce o gráico das seguintes unções lineares a) ) = b) 8. Faça o gráico da unção deinida de R em R por: 9. Estude os sinais das unções deinidas por: a) ) = +6 b) g) = -5+0 c) d) 0. Estude os sinais de ) = - e, sem calcular o valor das imagens, dê os sinais de ), -), 0), 6) e 0).. A tabela abaio reere-se ao estudo de sinais de uma unção g de primeiro grau.

21 a) Qual é a raiz da unção g? b) g é crescente ou decrescente? c) Dê os sinais de g0), g0), g-5), e. d) Calcule, se eistirem, os valores de g-).g5), g-)/g-8), g7).-0))/g-) Respostas:. a) e b) c) e d). a = 8/7 e b = 8. m = ou m = 5. 4.

22 Ponto de intersecção é ;) 5. ) = a) ) = -+4 b) c) ) = a)

23 b) c) d) 0. )>0, -)<0, 0)<0, 6)>0 e 0)>0. a) - b) decrescente c) g0)<0, g0)<0, g-5)>0 <0, >0 d) g-).g5) = 0, g-)/g-8) = 0, g7).-0))/g-) não está deinido Um pouco - Inequação do º Grau Resolvendo uma inequação de grau Uma maneira simples de resolver uma inequação do grau é isolarmos a incógnita em um dos membros. Observe dois eemplos: Eemplo : > 0 Solução: - > -7 Multiplicando por -) < 7 < 7/ Portanto a solução da inequação é < 7/. Eemplo : - 6 < 0

24 4 Solução: < 6 < 6/ < Portanto a solução da inequação e < Pode-se resolver qualquer inequação do grau por meio do estudo do sinal de uma unção do grau, com o seguinte procedimento:. Iguala-se a epressão a + b a zero;. Localiza-se a raiz no eio ;. Estuda-se o sinal conorme o caso. Eemplo : > = 0 = 7/ Eemplo : 6 < 0-6 = 0 = Inequação Produto Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de que satisazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma unção. Observe a resolução da seguinte equação produto: + 6)* + ) > 0. Vamos estabelecer as seguintes unções: y = + 6 e y = +. Determinando a raiz da unção y = 0) e a posição da reta a > 0 crescente e a < 0 decrescente). y = = 0 = 6

25 5 = y = + + = 0 = = 4 Veriicando o sinal da inequação produto + 6)* + ) > 0. Observe que a inequação produto eige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo. Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y*y, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de : Є R / < < 4 Inequação quociente Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que diere é que, ao calcularmos a unção do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da seguinte inequação quociente: Resolver as unções y = + e y =, determinando a raiz da unção y = 0) e a posição da reta a > 0 crescente e a < 0 decrescente). y = + + = 0 =

26 6 y = = 0 = = / Com base no jogo de sinal concluímos que assume os seguintes valores na inequação quociente: Є R / < / Restrições do Domínio de uma unção As unções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de eistência: Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio. Uma epressão y = ) associando os valores de e y, ormando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio. Através de alguns eemplos, demonstraremos como determinar o domínio de uma unção, isto é, descobrir quais os números que a unção não pode assumir para que a sua condição de eistência não seja aetada. a) Nesse caso, o denominador não pode ser nulo, pois não eiste divisão por zero na Matemática. 0 Portanto, D) = {? R / } = R {}.

27 7 b) Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo /4 / Portanto, D) = {? R / /} c) O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D) = R. d) Nesse caso, temos restrições tanto no numerador quanto no denominador. As restrições podem ser calculadas da seguinte maneira: I) 0 II) + > 0 > Eecutando a intersecção entre I e II, obtemos: Portanto, D) = {? R / < } ], ].. Resolva as inequações U = R Eercicios a) 8 0 > + 8 b) +7) < c) 0 +5) + 8. Resolva as inequações U = N a) + 5 < +40 b) 6 5) 4 +) > 00 c) 7 9 < + 6. Resolva as inequações U = Z a) b) 6 5) 4 +) 80 c) ) < 0 4. Resolva as inequações em R: a) 0 b) 0 c) 0 d). 4 4 e) 0 7 ) 5 g)

28 8 i) 5 ). ).4 ) 0 0 h) UFRS) Se < + <, então está entre: a) e b) e 0 c) 0 e d) e e) e 4 6. UNAERP) Se 5 7, então: a) - b) - c) - d) = e) = 0 7. PUC) Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total do salário que receber, possa gastar /4 com alimentação, /5 com aluguel e R$ 00,00 em roupas e lazer. Se, descontadas todas essas despesas, ele ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85,00, então, para que suas pretensões sejam atendidas, seu salário deve ser no mínimo: a) R$ 950,00 b) R$ 00,00 c) R$ 980,00 d) R$ 500,00 e) R$ 000,00 8. FUVEST) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$0,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. UNESP) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taa ia de R$00,00, mais R$0,00 por hora, para animar uma esta. Daniel, na mesma unção, cobra uma taa ia de R$55,00, mais R$5,00 por hora. O tempo máimo de duração de uma esta, para que a contratação de Daniel não ique mais cara que a de Carlos, é: a) 6 horas b) 5 horas c) 4 horas d) horas e) horas 0. UNICAMP) Três planos de teleonia celular são apresentados na tabela abaio: PLANO CUSTO FIXO MENSAL CUSTO ADICIONAL POR MINUTO A R$ 5,00 R$ 0,50 B R$ 0,00 R$ 0,80 C 0 R$,0 a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 5 minutos por mês? b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? Respostas: ) a) S = { R / > }; b) S = {R / < - /5}; c) S = { R / /5}; ) a) S = {0,,,, 4, 5, 6}; b) S = Φ; c) S = {0,,,, 4}; ) a) S = {7, 8, 9, 0,...}; b) S = {...,-59, -58, -57}; c) S = {-, 0,,,...}; 4) a) ]-, -[ ]-/, + [; b) ]-, [; c) ]-, /]; d) ]-/4, /[ ]4, + [; e) ]0, [ ], + [; ) [8/7, 5/[; g) ]-, [; h) ]-4, -[ [, ]; i) ]-, -/4] [-/5, ]; 5) e; 6) a; 7) b; 8) c; 9) d; 0) a) C; b) 50 minutos. Eercícios Mais eercicios ) Veriique quais relações abaio representam unções. a) Não é unção, pois o elemento 0 de A está associado a elementos de B.

29 9 b) Não é unção, pois os elementos - e -4 de A não estão associados a algum elemento de B. c) É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. d) É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. e) É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. )

30 0 É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. g) Não é unção, pois o elemento 4 de A está associado a elementos de B. ) Dados A = {0,,, }, B = {-, 0, } e a correspondência entre A e B dada por y =, com A e yb, aça um diagrama e diga se é uma unção de A em B. GABARITO: Não é unção, pois o elemento 0 de A não está associado a algum elemento de B. ) Dados A = {-, -, 0,, } e B = {-8, -6, -4, -, 0,, 6, 7} e a relação R = {,y) AB /y =.} aça um diagrama e diga se é uma unção de A em B. GABARITO: É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B.

31 4) Dados A = { -, -, 0, } e B = { -, 0,,, 4, 5, 7 } e uma relação epressa pela órmula y = +, com pertencendo a A e y pertencendo a B. Faça o diagrama e veriique se é uma unção de A em B. GABARITO: É unção, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. 5) O preço a ser pago por uma corrida de tái inclui uma parcela ia de R$ 6,00, denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A unção que representa o preço P de uma corrida em unção de quilômetros rodados. b) O preço de uma corrida de km. c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. GABARITO: a) P 6 0,90. b) P 6 0,90. P 6 0,80 P 6,80 P R$6,80. c) , , ,90 00 km Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem Dados os conjuntos A = {0,,, } e B = {0,,,, 4, 5, 6}, vamos considerar a unção : A B que transorma A em yb. Em toda unção de A em B, Im) B. Nesse caso, a unção : A B está deinida por y =. ou por ) =.. Veja que para caracterizar uma unção é necessário conhecer seus três componentes: o domínio A), o contradomínio B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = ) de B. Nesse eemplo, o domínio é A = {0,,, }, o contradomínio é B = {0,,,, 4, 5, 6}, a regra é dada por y =. e o conjunto imagem é dado por Im)= {0,, 4, 6}. Eercícios ) O diagrama de lechas abaio representa uma unção de A em B. Determine:

32 a) D ) b) CD ) c) Im ) d) ) e) 5) ) ) = 4 GABARITO: a) D) {, b) CD) c) Im ) d) ) 6 e) 5) 0 ), 5} {0,, 4, 6, 8,0} {4, 6,0} ) Seja a unção : R R deinida por ) = ² Determine: a) O valor de -) b) Os valores de para que se tenha ) = -. GABARITO: a) ) ² 7 9 ) )² 7 ) 9 ) 7 9 ) 7 b) ) ² 7 9 ² )² e ) Dadas as unções ) = 4 + e g) = ² + a. Sabendo que ) - g) =, calcule o valor de a. GABARITO: ) 4 e g) ² a ) 4.) ) g) )² a g) a ) g) a) a 7 a 4) Seja : IR* IR a unção deinida por ) = GABARITO: +. Qual o valor de ) + )?

33 ² ) ² ) ) 5 5 ) ) 4 ) 4 ) ) ) ) ) ) 5) Um vendedor recebe mensalmente um salário io de R$ 00,00 mais uma comissão de 8% sobre o que vender. a) Num mês em que suas vendas chegaram a R$ 6000,00, qual oi o salário total recebido? b) Se, em certo mês, esse vendedor recebeu R$ 50,00, qual oi o valor de suas vendas? GABARITO: a) Comissão b) Salário Comissão Comissão Vendas Vendas R$4000,00 8 Comissão 480 Salário Salário R$680,00 6) Considere a relação de M em N representada no diagrama abaio: 5 8.Vendas 00 0 Assinale verdadeiro V) ou also F) nas airmativas abaio, para que seja uma unção de M em N. F ) apagar a seta e retirar o elemento s. F ) apagar as setas e 4 e apagar o elemento k. F ) retirar os elementos k e s. V ) apagar a seta 4 e retirar o elemento k. F ) apagar a seta e retirar o elemento k. 7) O preço do serviço eecutado por um pintor consiste em uma taa ia de R$ 50,00 mais R$ 5,00 por metro quadrado m²) de área pintada. Determine: a) O preço cobrado pela pintura de 00 m². b) Um cliente pagou R$ 00,00 pelo serviço de pintura. Qual a área pintada? GABARITO: a) O preço será: P = ) = = R$050,00. b) Considerando A, a área pintada, temos: P A.5) 00 5A A 50m. P 50 A.5) 5 8) Considere a unção, dada por:

34 4, se 0 ) 5, se 0 5, se 5. Calcule GABARITO: 0).0) 0 ). ) ) ) 5.) 5 5 5) 5) 5.5) ).6) 0 0) ) ) 0 5 5) 6) ) A empresa de teleonia celular ABC oerece um plano mensal para seus clientes com as seguintes características: Para um total de ligações de até 50 minutos, o cliente paga um valor io de R$40,00; Se os 50 minutos orem ecedidos, cada minuto de ecesso será cobrado pelo valor de R$,50 além dos R$40,00 ios). a) Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 74 minutos em certo mês. b) Em certo mês, utilizando o plano descrito acima, o valor a ser pago por um cliente oi de R$0,50. Determine quantos minutos oram utilizados nesse mês. GABARITO: a) 74 minutos, menos 50 minutos que têm direito, são 4 minutos ecedentes. Portanto, irá pagar: ,50 = = 67. Resp. R$ 76,00 b) 0,50 40,00 = 6,50 6,50 :,50 = 4 minutos Logo, além dos 50 minutos que têm direito, gastou mais 4 minutos ecedentes. Resp = 9 minutos. 0) Dada a unção ) = ³ - 4 +, calcule ) ). GABARITO: ) ³ 4 ).)³ 4.) ) 4 ) 0 ).)³ 4.) ) 54 ) 44 ) ) ) Considere as unções com domínio nos números reais dadas por ) ² 5 e g. ) 9 a) Calcule o valor de 0) g) ) b) Determine o valor de tal que ) = g). GABARITO:

35 5 ).² 5 e g) 9 a) 0).0)² 0 5 0) 5 ).)² ) 5 ) 7 g) ) 9 g) 7 0) g) 5 7 ) 7 b) ) g).² 5 9 ² 4 0 )² ) Seja a unção imagem é 5. : R R deinida por 4 ). Calcule o elemento do domínio de cuja GABARITO: ) 5 e )