Cálculo Diferencial e Integral 1

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1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 08/Sem_0

2 Cálculo ii Índice Funções.... Intervalos.... Deinição de unção.... Classiicação de unções Função composta Função Inversa Eercícios propostos... Reerências Bibliográicas... 5 Cálculo Dierencial e Integral

3 Pro. Nunes Funções. Intervalos.. Notações ( a, b) ] a, b[ { / a b} [ a, b] { / a b} [ a, b) [ a, b[ { / a b} ( a, b] ] a, b] { / a b} ( a, ) ] a, [ { / a} [ a, ) [ a, ] { / a} (, b) ], b[ { / b} (, b] ], b] { / b} (, ) ], [ { / }.. Operações com intervalos Eemplos: ) Sejam A [0,] e B [,4 [, ache B A e A B Respostas: A B [, ] e A B [0,4[ ) Sejam A [,0[ e B ], ], ache A B e A B, 4 Respostas: A B [, ] e A B ],0[ 4 Cálculo Dierencial e Integral

4 9 ) Sejam A [, [ e B [,[, ache A B e A B Pro. Nunes 9 Respostas: A B [, [ e A B [, [. Deinição de unção Dizemos que é uma unção de A em B, e somente, para todo A, eiste um único y B, tal que y (). Notação: : A B O conjunto A é chamado de domínio da unção, denotado por D ( ). O conjunto B é chamado de contradomínio da unção, denotado por CD ( ). é a variável independente. y é a variável dependente. Chamamos de imagem da unção, denotada Im ( ), ao conjunto: Im( ) { y B / A; y ( )}. Dizemos que y () é a imagem de pela unção e a epressão que deine y () é chamada de regra ou lei da unção. Eemplos: ) Para cada caso, obtenha o maior conjunto A, tal que as regras que guem deinem unções : A (Em outras palavras, ache todos os valores de que possuem imagens reais). a) ( ) b) ( ) 6 c) ( )( ) ( ) 8 d) ( ) e) ( ) (5 )( 6) (4 6) a) Condição: 0 ( )( ) 6 Cálculo Dierencial e Integral

5 Resposta: D ( ) { / ou } b) Condição: 6 0 Pro. Nunes Resposta: D ( ) { / ou } c) Condição: 0 0 Resposta: D ( ) { / } d) Condição: 0 Resposta: D ( ) { / } 8 6 e) Condição: (5 )( 6) (4 6) 0 (Figura ora de escala) Resposta: D ( ) { / ou } 5 ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção?, 0 y ( ), 0., Cálculo Dierencial e Integral

6 Pro. Nunes 4 Resposta: Im ( ) [, ] Figura: O gráico da unção cuja regra é y () ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção?, y ( )., Resposta: Im ( ) [, [ Figura: O gráico da unção cuja regra é y ().. Função modular Uma unção : recebe o nome de unção modular, quando a cada, associa o módulo de. 0 Assim, a regra desta unção é ( ) 0 ( ) ma, Podemos também reprentar esta regra por Cálculo Dierencial e Integral

7 Pro. Nunes 5 Figura: O gráico da unção cuja regra é Obrvações: é chamado de módulo de ou valor absoluto de. ( ) Convém lembrarmos algumas desigualdades que envolvem o valor absoluto de números reais ( a 0 ): (i) a a a (ii) a a ou a (iii) y y (Desigualdade triangular) Eemplos: ) Construa o gráico da unção :, tal que y ( ). Qual é a imagem desta unção?, 0, 0 Logo, ( ) ( ) Resposta: Im ( ) [, [ Figura: O gráico da unção cuja regra é ( ) Cálculo Dierencial e Integral

8 Pro. Nunes 6 ) Construa o gráico da unção :, tal que y ( ) imagem desta unção?, 0, 0, 0, 0 Assim, devemos considerar casos: ) Quando, temos: ) Quando, temos: ) Quando, temos: Logo,, y ( ),,. Qual é a Resposta: Im ( ) [, [. Classiicação de unções Figura: O gráico da unção cuja regra é ( ).. Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras é sobrejetora, e somente, Im( ) B. é injetora, e somente, ( ) ( ), mpre que. Cálculo Dierencial e Integral

9 é bijetora, e somente, é sobrejetora e injetora simultaneamente. Obrvação: Uma unção poderá não pertencer a nenhuma destas categorias. Pro. Nunes 7.. Funções pares e unções ímpares Uma unção é par, e somente, D( ), ( ) ( ) Uma unção é ímpar, e somente, D( ), ( ) ( ) Assim, ndo :, as unções ( ) cos( ), ( ), ) ( são eemplos de unções pares. Do mesmo modo, as unções: ( ) n( ), ( ), ( ), são eemplos de unções ímpares, Obrvações: Uma unção poderá não r par, nem ímpar. Eemplo: ( ) A unção ( ) 0 é a única unção par e ímpar ao mesmo tempo. Eemplos: ) Prove que toda unção : I pode r escrita como a soma de uma unção par com uma unção ímpar. Considere a unção, tal que : I. Considere ainda duas unções g e h, também deinidas de I em tais que: g e h. Como t t g t gt, concluímos que g é uma unção par. Como t t h t ht, concluímos que h é uma unção ímpar. Logo, escrevermos g h (veriique que de ato esta igualdade é verdadeira), estaremos escrevendo a unção como a soma de uma unção par (g) com uma unção ímpar (h). Resposta: g h com g e h. ) Mostre que a única unção : I, que é par e ímpar ao mesmo tempo, é a unção nula. Se é par, então temos que. Se é ímpar, então temos que Somando membro a membro as igualdades e, obtemos: 0 0, que é a unção constante nula. Resposta: : I, tal que 0.. Funções crescentes e unções decrescentes Uma unção : A B é crescente no conjunto A A, para dois valores e pertencentes a A, com, tivermos ( ) ( ). Cálculo Dierencial e Integral

10 Pro. Nunes 8 Figura: O gráico de uma unção crescente. Uma unção : A B é decrescente no conjunto A A, para dois valores e pertencentes a A, com, tivermos ( ) ( )..4 Função composta Figura: O gráico de uma unção decrescente Dadas duas unções e g, então, a unção composta g, é a unção cuja regra é: ( g)( ) ( g( )). O domínio de g é o conjunto de todos os valores do domínio de g, tais que g () estejam no domínio de. Eemplos: ) Se as regras das unções e g são dadas por ( ) e g( ), obtenha as regras das unções: a) g b) g c) d) g g a) ( g)( ) ( g( )) 4 b) ( g )( ) g( ( )) c) 4 ( )( ) ( ( )) Cálculo Dierencial e Integral

11 Pro. Nunes 9 d) ( g g)( ) g( g( )) Respostas: a) ( g)( ) 4 b) ( g )( ) 4 c) ( )( ) d) ( g g)( ) ) Sejam as unções e g, tais que: 4 ( ) e g ( ), obter: a) ( g)( ) ( g( )) b) ( g )( ) g( ( )) ( ) 4( ) ( ) a) ( g)( ) ( g( )) ( ) ( ) 4 4 ( g)( ) ( g( )) 4 ( 4 ) b) ( g )( ) g( ( )) ( ) 8 9 ( g )( ) g( ( )) Respostas: ( g)( ) 8 9 e ( g )( ) Função Inversa Se : A B é uma unção bijetora, cuja regra é y (), então chamamos de inversa de, a unção denotada por Obrvação: Os gráicos de ímpares. e : B A, tal que ( y )..5. Regra prática para obter a unção inversa de : ) Na regra de dada por () são simétricos em relação à bistriz dos quadrantes y trocamos por y e y por ; ) Isolamos a variável y, obtendo a regra de Eemplos: ) Seja :, deinida por y y y.. y. Encontre a unção inversa de. Cálculo Dierencial e Integral

12 Pro. Nunes 0 Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que eiste em relação à bistriz dos quadrantes ímpares. Resposta: :, deinida por y. ) Seja : {} { }, deinida por y y y. y y. Encontre a unção inversa de. Figura: Os gráicos de e Resposta: : { } {}, deinida por, mostrando a simetria que eiste em relação à bistriz dos quadrantes ímpares. y. ) Considere a unção :], ] [0, [, deinida por y ( ). Encontre a unção inversa de. y y y Cálculo Dierencial e Integral

13 Pro. Nunes Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que eiste em relação à bistriz dos quadrantes ímpares. Resposta: :[0, [ ], ], deinida por y. 4) Considere a unção inversa de é a unção :, deinida por y ) g :, cuja regra é y g( ) ln. ( e. Veriique que a unção Figura: Os gráicos de e 5) Considere a unção inversa de é a unção, mostrando a simetria que eiste em relação à bistriz dos quadrantes ímpares. :, deinida por y ( ) ( ), Veriique que a unção g :, cuja regra é y g( ) log /. Cálculo Dierencial e Integral

14 Pro. Nunes Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que eiste em relação à bistriz dos quadrantes ímpares., 0 6) Seja :, deinida por y ( ). Encontre a unção inversa de, 0. Se 0 y ( ) y e 0 y ( ) y Assim, a unção é: y 0 e y e y 0 e y Aplicando a regra prática: ) Permutando por y e y por ; y y 0 e e y y 0 e ) Isolando y, temos: y y 0 e e y y 0 e Resposta: :, deinida por.6 Eercícios propostos ( ) 4 ) Sejam A ], ] e B ], ], ache A B e A B, Respostas: A B ], ] e A B ], ] ) Para cada caso, obtenha o maior conjunto A, tal que as regras que guem deinem unções : A (Em outras palavras, ache todos os valores de que possuem imagens reais). a) ( ) 4 b) ( ) c) ( ) ( )( ) d) ( ) Respostas: 4 ( )( ) (5 7 ) e) Cálculo Dierencial e Integral ( ) 4

15 a) D ( ) { / ou } b) D ( ) { } 5 c) D ( ) { } d) D ( ) { / ou } 7 e) D ( ) { / e ou } ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção? Resposta: Im ( ) [, [ ou { } Pro. Nunes, y ( ),., 4) Construa o gráico da unção :, tal que y ( ) 4. Qual é a imagem desta unção? Resposta: 6, y ( ) e Im ( ) [ 4, [, 5) Se as regras das unções e g são dadas por ( ) e g ( ), obtenha as regras das unções: a) g b) g c) d) g g Respostas: a) ( g)( ) b) ( g )( ) 4 c) ( )( ) d) 6) Sejam as unções e g, tais que: 4 ( g g)( ) ( ) e g( ), obter: 4 a) ( g)( ) ( g( )) b) ( g )( ) g( ( )) Respostas: a) ( g)( ) b) ( g )( ) 9 0 Cálculo Dierencial e Integral 7) Sejam as unções reais ( ) 5 e ( g)( ), determinar a lei da unção g. Resposta: g ( ) 8) Sejam as unções reais g ( ) e ( g)( ) 9, determinar a lei da unção. Resposta: ( ) 5 9) Ache a inversa da unção : { } { }, tal que 5 ( ).

16 Pro. Nunes Cálculo Dierencial e Integral 4 Resposta: } { } 5 { :, tal que 5 ) (. 0) Ache a inversa da unção ) ( Resposta: 7 7 ) (

17 Pro. Nunes 5 Reerências Bibliográicas. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. Cálculo A Funções, limite, derivação e integração. 6.a Edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, Iezzi, G. e Murakami, C. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume. 6.a Edição. São Paulo: Atual Editora, Iezzi, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 8. 6.a Edição. São Paulo: Atual Editora, Lima, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Volume. 6.a Edição. Rio de Janeiro: Coleção do Proessor de Matemática Sociedade Brasileira de Matemática, Stewart, J. Cálculo. 6.a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 0. Cálculo Dierencial e Integral