Métodos Quantitativos Matemáticos. Paulo Afonso Bracarense Maria Emilia Martins Ferreira

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1 Métodos Quantitativos Matemáticos Paulo Afonso Bracarense Maria Emilia Martins Ferreira.ª edição 008

2 007 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. B796 Bracarense, Paulo Afonso. / Métodos Quantitativos Matemáticos. / Paulo Afonso Bracarense; Maria Emilia Martins Ferreira.. ed Curitiba : IESDE Brasil S.A., p. ISBN: Análise Numérica.. Teoria dos Conjuntos. 3. Funções (Matemática). 4. Cálculo. I. Ferreira, Maria Emilia Martins. II. Título. CDD Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, CEP: Batel Curitiba PR

3 Paulo Afonso Bracarense Doutor em Engenharia de Produção com concentração em Inteligência Artificial pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Estatística e Eperimentação Agrícola pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP). Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da Universidade Federal do Paraná. Diretor Superintendente da Fundação da Universidade Federal do Paraná (FUNPAR). Maria Emilia Martins Ferreira Doutoranda em Engenharia da Produção com concentração em Inteligência Artificial pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Engenharia de Produção com concentração em Meio Ambiente pela UFSC. Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do Maranhão (UEMA). Consultora da Unesco na Secretaria do Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia da Presidência da República, sediada no Ministério da Ciência e Tecnologia.

4 sumário sumário Sistemas numéricos 15 O problema 15 Eplorando o problema 16 Equacionando o problema 18 Conceitos e regras 15 Operações com números reais 31 O problema 31 Eplorando o problema 31 Equacionando o problema 33 Conceitos e regras 31 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 57 O problema 57 Eplorando o problema 58 Equacionando o problema 59 Conceitos e regras 59 Teoria dos conjuntos Intervalos O problema 85 Eplorando o problema 85 Equacionando o problema 86 Conceitos e regras Estudo de funções O problema 97 Eplorando o problema 98 Equacionando o problema 98 Conceitos e regras 57

5 11 Limites 11 O problema 11 Eplorando o problema 1 Equacionando o problema 1 Conceitos e regras Derivada de função O problema 137 Eplorando o problema 138 Equacionando o problema 139 Conceitos e regras Gabarito 157 Atividades de revisão 183 Referências Anotações

6 Derivada de função O problema O produtor de uma mercadoria tem como padrão de produção elementos dessa mercadoria em um mês. Ele pretende aumentar a sua produção porque a aceitação de seu produto no mercado tem sido muito boa. Mas para efeito de planejamento ele deseja saber qual será a variação no custo total devida à produção de uma unidade adicional. Complementarmente, ele deseja verificar qual será a variação da receita total devida à venda de uma unidade a mais desse produto. Eplorando o problema Em Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita por qualquer de dois conceitos: o de média ou o de marginal. O conceito de média epressa a variação de uma quantidade (custo, por eemplo) sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quantidade (número de itens produzidos, por eemplo). O conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. Assim, se pensarmos em custo, no conteto acima poderemos raciocinar em termos de custo médio e custo marginal. Se pensarmos em receita, podemos pensar em receita média e receita marginal. O que é custo médio? Suponha que possamos construir uma função que epresse o custo total da fabricação de pares de sapato e que essa função seja denominada por C(). Uma função que represente o custo médio será, portanto, a razão entre o custo de pares de sapato e o número de sapatos produzidos (). Ou seja, C() /, geralmente denotada por Q(), e chamada de função de custo médio.

7 Métodos Quantitativos Matemáticos C ( ) = ( Q ) Ela informa quanto custou em média cada um dos primeiros pares de sapato fabricados. Já a função de custo marginal nos dirá quanto custará cada unidade adicional de par de sapato fabricado. Ela equivale, aproimadamente, a calcular C( + 1) C(). Ocorre, no entanto, que quando calcularmos o quanto custará a fabricação do segundo par de sapato adicional, o valor C( + ) C( + 1) no geral não será o mesmo da diferença anterior. O que nos interessa é saber quanto será o aumento pela produção de cada unidade adicional de novos pares de sapato. Esse custo adicional será fornecido pelo cálculo da função custo marginal, chamada de C (), que é eatamente o valor da derivada da função custo total no ponto, conforme estudaremos em detalhes no desenvolvimento do capítulo. Eatamente o mesmo raciocínio vale para as funções de receitas. Equacionando o problema 138 Suponha que C() seja o custo total de produção de unidades de certo produto. A função C é chamada de função custo total. Como representa o número de unidades de um produto, tem que ser um inteiro não-negativo. Podemos fazer, sem qualquer prejuízo, a suposição que seja um número real não-negativo. Essa suposição nos garantirá as condições de continuidade de C, necessária para que possamos mais tarde aplicar conceitos de derivação. O custo médio de produção de cada unidade do produto pode ser obtido pela razão entre o custo total e o número de unidades produzidas, como foi visto anteriormente, onde Q é chamado de função custo médio. C( ) Q( )= Supondo agora que o número de unidades de uma determinada produção seja 1, e que ela tenha sido alterada por Δ. Então a variação no custo total é dada por C( 1 + ) C( 1 ), e a variação média no custo total em

8 relação à variação no número de unidades produzidas é dada por: C( 1+ D) C( 1) D Derivada de função O limite desse quociente quando tende a zero é chamado de custo marginal. Esse limite é definido como a derivada da função de custo total C(), denotada por C'(). C( 1+ D) C( 1) C'( ) = lim D 0 D Assim, C'() pode ser interpretada como a taa de variação instantânea do custo total quando 1 unidades são produzidas. Supondo que C() seja o custo total da fabricação de pares de sapato e que seja dada pela epressão: C() = ,04 Então, a tabela 1 abaio mostra quanto custaria fabricar pares de sapato: Tabela 1 Taa de variação instantânea do custo total quando 1 unidades são produzidas e custo médio de produção de cada unidade do produto (unidades) Produção C() (em R$) Custo Total Q() (em R$) Custo médio ,00 706,04 71,16 718,36 74,64 731,00 54,00 53,06 5,16 51,9 50,46 49,65 Conceitos e regras Diferenciação ou derivação A operação para encontrar a derivada de uma função tem o nome diferenciação. Dizemos que derivamos y = f() em relação a variável. O estudo da derivada foi motivado fundamentalmente para a construção da reta tangente a uma curva dada em um ponto A conhecido. A interpretação geométrica do conceito de derivadas vem a seguir: 139

9 Métodos Quantitativos Matemáticos f( 0 + D) y B S f( 0 ) A D Figura 1 Reta secante interceptando os pontos A e B. Definiremos a derivada no ponto A com a utilização do processo-limite descrito abaio. Considerando A um ponto fio sobre a curva dada e um ponto B, (Figura 1), o processo se inicia traçando-se uma reta secante (S) que intercepta os pontos A e B. Considerando-se, ainda, que o ponto B não é fio e move-se ao encontro do ponto A, sobre a mesma curva, a secante tenderá para uma posição limite, determinando a tangente (Figura ). Importante frisar que a aproimação vale para toda vizinhança, ou seja, vindo no sentido direito-esquerdo ou no sentido esquerdo-direito, implicando necessariamente na eistência da tangente. y B 1 B B 3 A Tangente Figura Interpretação geométrica da derivada. Tendo em mente o conceito geométrico da derivada é necessário, neste momento, representar de forma analítica o processo limite proposto. 140 Suponhamos que em um intervalo aberto (a, b) eiste uma função contínua y = f(). Seu gráfico leva o nome de curva contínua p. Tomemos na curva p um ponto A = ( 0, f ( 0 )) com o objetivo de determinar a tangente à curva p no

10 Derivada de função ponto definido. Com este fim vamos tomar outro ponto B = ( 0 +, f ( 0 + )), onde 0 (na Figura 1 está epresso o caso de > 0). Denominamos de secante S a reta que passa pelos pontos A e B e está orientada na direção de crescimento de. O ângulo que S forma com a direção positiva do eio se designará como β. Consideramos que π/ < β < π/. β será positivo quando o sentido dado for anti-horário. Na figura mencionada, β > 0. Se for igual ao segmento de reta AC ( = AC) e y = CB, temos que y/ = tg β. Se 0, então y 0 e o ponto B tenderá ao ponto A. Se neste caso o ângulo β tenda a um valor α, distinto de π/ e de π/, então eiste um limite, D y f( +D) -f( ) = = b= a D D lim lim 0 0 lim tg tg D 0 D 0 b a igual a derivada (finita) f no ponto : f () = tgα. Portanto, f( 0 + ) ( 0) '( ) = lim f f 0 Quando β tende a α, a secante S ocupa a posição da reta T que passa pelo ponto A e forma o ângulo α com a direção positiva do eio. A reta orientada T recebe o nome de tangente à curva π no ponto A. Denomina-se tangente à curva π (y = f()) no ponto A = (, f()) uma reta orientada T, a qual tende a secante S (uma reta orientada na direção de crescimento do eio ) que passa por A e pelo ponto B = ( +, f ( + )) Є π, quando 0. Eemplo 1 Calcular a derivada da função f() = 3, no ponto = 1. Pela definição temos: 3 3 f( 0 + ) f( 0) ( + ) f '( ) = lim = lim = lim 0 ( ) f '( ) = lim = lim ( ) =

11 Métodos Quantitativos Matemáticos Portanto, a derivada da função f () = 3, no ponto = 1, é f (1) = 3, pois f () = 3. Dizemos que a função f é diferenciável (ou derivável) em seu domínio se a função for diferenciável em cada ponto do domínio. Se a função f é diferenciável em 1, então f é contínua em 1. Se a função f é diferenciável significa dizer que as derivadas laterais eistem e são iguais, assim: f( 0 + ) f( 0) f( 0 + ) f( 0) ' f ' + ( 0) = lim = lim = f ( 0) onde f + ( 0 ) é a derivada à direita de f e f ( 0 ) é a derivada à esquerda de f, em 0. Se a função f é diferenciável no ponto 0, então a função f é contínua em 0. Eemplo Seja a função f definida por f() = a) Esboce o gráfico da função f. b) Mostre que a função f é contínua em 0 = 0. c) f é diferenciável em 0 = 0? ì, se 0 Lembre-se de que, por definição, f( ) ï ³ = =í. ï- ïî, se < 0 Gráfico da função Valor Absoluto: y Figura 3 Gráfico da função Valor Absoluto. a) Sabe-se que uma função é contínua quando se verifica que limf( ) = f( a), a 14

12 Derivada de função se o limite eistir. Façamos, primeiramente, a verificação de que eiste o limite da função, ou seja, mostremos que os limites laterais eistem e são iguais: lim f( ) = 0 = lim f( ), por outro lado, a função aplicada no ponto 0 = 0 nos dá f(0) = 0. Finalmente, como se tem que limf( 0 ) = f(0), conclui-se que a função f é 0 contínua no ponto 0 = 0. b) Para que a função seja diferenciável no ponto 0 = 0 é necessário que as derivadas laterais aplicadas no ponto eistam e sejam iguais. 0+D D-0 D f ' + ( 0 ) = lim = lim = lim = D 0 D D 0 D D 0 D 0+D - 0 -( 0+D-0) -D f '-( 0 ) = lim = lim = lim =-1 D 0 D 0 + D D D 0 D 0+D - 0 Logo, f '( 0 ) = lim não eiste, ou seja, f não é diferenciável em zero. Como f (0) não eiste, o gráfico de f() = não admite reta D 0 D tangente em (0, f (0)). Derivadas de funções elementares Se y = f(), várias são as formas de denotar simbolicamente uma função derivada, podendo citar: dy d f( + ) f( ) f( ) f( ) y' = f '( ) = D y= = f( ) = lim = lim d d Trabalhar com a definição de derivada, muitas vezes, torna-se muito trabalhoso, e, para isso, eistem fórmulas que são tabeladas, facilitando sua aplicação. Apresentaremos em seguida as derivadas das funções mais usuais. Tabela Derivadas das funções mais usuais f() = c, c é uma constante. f () = 0 f() = f () = 1 f() = a + b, a 0 f () = a f() = n f () = n n 1 f() = e f () = e f() = a f () = a ln a f() = ln f () = 1 143

13 Métodos Quantitativos Matemáticos 144 f() = sen f() = cos f() = tg f() = cotg f() = sec f() = cosec f () = cos f () = sen f () = sec f () = cosec f () = sec tg f () = cosec cotg Outro estudo relevante diz respeito a identificação de algumas regras gerais para cálculo das derivadas de funções: a) Multiplicação por escalar (kf) () = k f () b) Soma de funções (f + g) () = f () + g () c) Diferença de funções (f g) () = f () g () d) Produto de funções (f. g) () = f (). g() + f(). g () e) Divisão de funções Eemplo 1 f'( ). g( ) f( ). g'( ) ( fg / )'( ) = g ( ) Dados f() = 1 e g() = 10. Calcule as derivadas: a) (f + g)() b) (f g)() c) (f. g)() d) (f / g)() Sabendo-se que f () = 4 e g () = 1, então: a) (f + g) () = f () + g () = b) (f g) () = f () g () = 4 1 c) (f. g) () = f (). g() + f(). g () = 4. ( 10) = d) f'( ). g( ) f( ). g'( ) 4.( 10) (f/g)'( ) = = = g ( ) ( 10) ( 10) Derivada de função composta Outro passo importante para o estudo de derivação diz respeito a derivar uma função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. Assim, seja y uma função de u, onde u é uma função de, teremos: y = f(u), onde u = g() A corresponde função composta é y = f (g()). A derivação de funções compostas é baseada na Regra da Cadeia: se g é diferenciável em, f diferenciável em g() e fog está definida, então vale a regra:

14 Derivada de função (fog) () = f (g()). (g ()) Ou ainda, Eemplo 1 d y d d = y u. d du d Derivar y = (4 3 ) 15. Façamos u = 4 3. Assim, y = u 15 ; ao calcular as derivadas das funções y(u) e u(), encontramos: dy 14 du = 15u e = 1. du d Aplicando a fórmula encontraremos a derivada solicitada: dy 3 14 = 15(4 ).(1 ). d Ampliaremos nosso estudo de fórmulas tabeladas envolvendo o conhecimento de Regra da Cadeia: Tabela 3 Derivadas das funções utilizando a Regra da Cadeia. y= c u, c > 0, onde c é constante. y = c u lnc. u y= u n y = nu n 1. u y= e u y = e u. u u y= ln u y' = ' u u y= log a u y' = ' lna u y= sen u y = cos u. u y= cos u y = sen u. u y= tg u y = sec u. u y= cotg u y = cosec u. u y= sec u y = sec u. tg u. u y= cosec u y = cosec u. cotg u. u y= arctg u y= arc cotg u y= arc sen u y= arc cos u u' y'= 1+ u - u' y'= 1+ u u' y'= 1- u' y' = 1 u u 145

15 Métodos Quantitativos Matemáticos y = u v y= m u vu =. ' uv y'. ' v u' y' = m m. u m 1 Diferencial de uma função dy No cálculo diferencial o símbolo pode ser interpretado em dois contetos distintos. Até aqui, representamos com a função derivada de uma d função f(). Nesta seção, interpretaremos como uma razão de duas quantidades, dy e d. Em uma função f(), um acréscimo em, denotado por Δ, produzirá um acréscimo correspondente Δy. Sendo assim, podemos utilizar o quociente diferencial Δy/Δ para representar a taa de variação de y em relação à. Como é verdade: y y=. A grandeza de Δy pode ser encontrada uma vez que conheçamos o quociente diferencial Δy/Δ e a variação em. Quando Δ é infinitesimal, Δy também será e o quociente diferencial torna-se a derivada Δy/Δ. Então, se denotarmos as variações infinitesimais em e y por d e dy, respectivamente, a identidade acima ficará: dy dy= =. d ou dy f '( ). d d Os símbolos d e dy são denominados as diferenciais de e y, respectivamente. A interpretação geométrica da diferencial é apresentada com o auílio da figura (4). y ( 0. f( 0 )) d dy f( 0 + d) f( 0 ) d 146 Figura 4 Interpretação geométrica do diferencial.

16 Derivada de função Eemplo 1 Dada a função f() = , encontre a diferencial. De posse da fórmula anterior e sabendo que f () = , temos: dy = ( )d Observação importante: sempre que trabalharmos com diferencial, em ambos os termos há necessidade da eposição de um diferencial. Derivada de ordem superior Suponhamos que no intervalo aberto (a, b) esteja definida uma função f. Sua derivada, se eiste no mesmo intervalo, é a função f () e se chama função de primeira derivada. Pode acontecer que a primeira derivada tenha, por sua vez, a derivada no intervalo (a, b). Esta última se denomina segunda derivada de f, ou ainda, derivada de f de segunda ordem, que tem por notação: f () = f () () = (f ()) ou y = (y ) Em geral, tem-se a derivada da função f de n-ésima ordem: f (n) () = (f (n 1) ()) ou y (n) = (y (n 1) ) Caso trate-se de um valor fio da variável, o símbolo f (n) () designa-se a derivada de ordem n aplicada ao ponto. E para que esta derivada eista é necessário que a derivada eista no ponto e em sua vizinhança. Eemplo 1 Seja dada a função f () = m, calcular as derivadas de ordem superior até a n-ésima ordem: f () = m m 1 f () = m(m 1) m f () = m(m 1) (m ) m 3... f (n) () = m(m 1) (m )... (m n + 1) m n 147

17 Métodos Quantitativos Matemáticos Aplicações de derivada Seja uma função f definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f (c) 0 então f(c) não é um ponto etremo local de f. Ou equivalentemente se f é derivável em (a, b) e c é um ponto de máimo ou mínimo local de f, então f (c) = 0. Um ponto c é dito um ponto crítico de f se f (c) = 0 ou se f (c) não eiste. Ou seja, pontos onde a derivada da função é igual a zero são chamados de pontos críticos. A derivada ser nula é condição apenas necessária para a eistência de etremos, mas não é condição suficiente. Eistem três tipos de pontos onde pode acontecer a situação descrita. São os pontos de máimo, pontos de mínimo e pontos de infleão. O valor da derivada de uma função em um ponto é a declividade da reta tangente à curva nesse ponto. Se a derivada é igual a zero é porque a declividade nesse ponto também é zero porque o ângulo nesse caso é igual a zero, isto é a reta tangente é paralela ao eio. Estes pontos acontecem onde a função atinge um valor máimo, um valor mínimo ou também podem ocorrer em pontos de infleão da função. Pontos de infleão são aqueles pontos na curva em que ela muda de concavidade. Os passos para identificar um ponto crítico consistem em se calcular a primeira e a segunda derivadas da função. Calculamos a primeira derivada e verificamos para que valores de ela é igual a zero. Estes pontos, se eistirem, serão pontos críticos. Em seguida calculamos a segunda derivada da função. Se o valor da segunda derivada for positivo no ponto onde a derivada primeira é nula, esse ponto será um ponto de mínimo local. Se o valor da derivada segunda for negativo, o ponto em questão é um máimo local. E se a derivada segunda também for nula, o ponto é um ponto de infleão. Pode ocorrer etremos onde a função não é derivável e nestas situações o teste da segunda derivada não se aplica. Então, não eistindo a primeira deriva, a segunda também não eistirá. Nesse caso é necessário, então, verificar os pontos críticos através da avaliação da mudança de sinal da primeira derivada, quando a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Eemplo 1 Determine os valores máimos e mínimos de f() = Primeiro definimos a função f e calculamos a sua derivada: 148

18 Derivada de função f() = f () = Pontos críticos Observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a etremos desta função são os etremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar esses últimos pontos, basta resolver a equação f () = 0 As raízes serão: 1 = 1 e = = 0 ( 6) ± ( 6) 4.3.( 9) =.3 6 ± = 6 6 ± 1 = = = 1 = = Então os pontos 1 e 3 são pontos críticos. Nesses pontos críticos, os valores de f são, respectivamente: f( 1) = ( 1) 3 3( 1) 9( 1) + 3 f( 1) = f( 1) = f( 1) = 8 f(3) = (3) 3 3(3) 9(3) + 3 f(3) = f(3) = 4 f( 1) = 8 e f(3) = 4 149

19 Métodos Quantitativos Matemáticos Máimo e mínimo Para avaliar se são pontos de máimo ou de mínimo é necessário calcular a segunda derivada da função, que será igual a: f () = 6 6 No ponto = 1, o valor da segunda derivada será igual a f () = 6. ( 1) 6 = 1 um valor negativo, logo o ponto na função para = 1 é um ponto de máimo. No ponto = 3 o valor da segunda derivada será igual a f () = 6. (3) 6 = 1 um valor positivo, logo o ponto na função para = 1 é um ponto de máimo: se f () < 0, f tem um valor de máimo relativo em. se f () > 0, f tem um valor de mínimo relativo em. Ponto de infleão Igualando a segunda derivada a zero, obtemos o ponto de infleão. Então, f () = 6 6 = 0, assim, no ponto = 1 temos o ponto de infleão da função. Nesse ponto, a função f() = assume o valor 8. f() = 1 3 3(1) 9(1) + 3 = = 8 Observe o gráfico de f traçado abaio: 60 y

20 Derivada de função Ampliando seus conhecimentos O matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz, nasceu em 1.º de julho de 1646 e morreu em 14 de novembro de Foi um gênio universal e um fundador de ciência moderna. Ele antecipou o desenvolvimento de lógica simbólica e, independentemente de Isaac Newton, inventou o cálculo com uma notação superior, incluindo os símbolos para integração e diferenciação. Leibniz também defendeu o ecumenismo cristão na religião, as leis romanas codificadas e a lei natural em jurisprudência, propôs a lei metafísica de otimismo (satirizada por Voltaire em Candide) que nosso universo é o melhor de todos os possíveis mundos, e transmitiu o pensamento chinês para a Europa. Para o seu trabalho, ele é considerado um progenitor do idealismo alemão e um pioneiro do Esclarecimento. (Disponível em: < Peano nasceu no dia 7 de agosto de 1858, em Cuneo, Piemont, Itália, e morreu em 0 de abril de 193, em Turin, Itália. Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da Matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Peano estudou Matemática na Universidade de Turin e se uniu ao pessoal de lá em 1880, sendo designado a uma cadeira em Em 1889, Peano publicou os seus aiomas famosos, chamados aiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos. Em 1891, ele fundou a Rivista di Matematica, um diário dedicado principalmente à lógica e aos fundamentos da Matemática. (Disponível em: < Atividades de aplicação Sabendo-se que y = f(), encontre as derivadas da função através da definição: 1. f() = 151

21 Métodos Quantitativos Matemáticos. f() = ( + 1) 3 3. f() = c, sendo c uma constante real f ( )= f ( )= 3. Lembre-se que a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Encontre f ( 0 ) para o valor 0 conhecido, pela definição: 6. f() = 1; 0 = 3 7. f ( )= 3 ; 0 = 5 8. f() = ; 0 = Verifique se a função f é diferenciável no valor 0 dado. 9. f() = ( 3) ; 0 = 3 ìï 10. ( ) ï 1-, se < 1 f = í ; 0 = 1 ï ïî ( 1 - ) se ³ Encontrar as derivadas das seguintes funções potência: a) y = 7 b) y = c) y= 5 d) y = 1 1. Sendo dadas as constantes a, b e c, calcular as derivadas das funções: b c a) ( ) = + c b) f ( ) = a + b + f a Calcule f (p), sendo dados: a) f() = 3 + ; p = 3 3 b) f( )= ; p= 14. Calcule f () a) f() = b) f( )= Qual é a derivada de f() = π? π 16. Seja f() = sen. Calcule f ' 4. 15

22 Derivada de função 17. Seja ìï + < f() =í ï ï ïî ; se ³ 0 ; se 0, pergunta-se: a) f é diferenciável em zero? b) se possível, calcule f (0). ìï ; se Seja f( ) =í ï, pergunta-se: ï ïî 1; se > 1 a) f é contínua em 1? b) f é diferenciável em 1? 19. Seja f() = Calcule f () e f (1). 0. Se f() = cos e g() = sen. Prove que (f () + g ()) = 1 f() g(). Diferencie as funções dos eercícios 1 e, usando a regra da adição: 1. f() = e g() = 10. f() = tg e g() = sec 3. Sejam dados f() = e g() = 3 10, diferencie f() g(). Diferencie as funções dos eercícios 4 a 7 usando a regra do produto. 4. f() = ln 5. f() = e g() = 1 6. (5 7)(1 )(1 + ) 7. 3 ( + 4) Diferencie as funções dos eercícios 8 e 9, usando a regra da divisão ( 3) ( + 5) (-7) 30. Se f() = a + b, ache a derivada de f()/. 153

23 Métodos Quantitativos Matemáticos Determinar a derivada da função: 31. f() = cos + sen f = tg - cotg 3. ( ) 33. f( )= 1+ 3 sen 34. f( )= sen 35. f() = cosec f() = sec + cosec 37. f() = ln e f() = log f() = arctg 40. f( )= 16 - Nos eercícios 41 e 4 encontre a diferencial. 41. f() = f( )= 3 Nos últimos eercícios desta seção, dada a função f() = encontre Δy, dy e Δy dy. Faça uma análise crítica quanto a diferença entre a variação e a diferencial em relação a variável y, para: 43. =, Δ = 0,1 44. =, Δ = 0, =, Δ = 0, Qualquer valor de e de Δ. 154

24 Derivada de função Calcule as derivadas solicitadas: 47. Seja f() = sen, calcule f (4) (). 48. Seja f() = e, calcule f (n) (). 49. Seja f() = ln, calcule f (3) (). 50. Seja f() = (3 + 1), calcule f () (). 51. Seja f() = ar cos, calcule f () (). 5. Seja f() = , calcule f (5) (). 53. Seja f() = 3, calcule f (3) (). 54. Seja f() = 7, demonstre que a f (7) ()= 7! 55. Seja f() = sen. cos, calcule f () (). 56. Seja f() = sen, calcule f (4) (). 57. Achar os etremos relativos da função custo médio: CMe = f(q) = Q 5Q + 8. Encontre os pontos críticos das funções (máimo, mínimo e infleão): 58. f() = f() =