COMPREENDENDO AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS COM O AUXÍLIO DO CÁLCULO DIFERENCIAL

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1 COMPREENDENDO AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS COM O AUXÍLIO DO CÁLCULO DIFERENCIAL Airton Temistocles Gonçalves de Castro Universidade Federal de Pernambuco airton@dmat.ufpe.br Ademilson do Nascimento Rodrigues Universidade Federal de Pernambuco adessisso@yahoo.com.br Resumo: O ensino das funções exponencial e logarítmicas encontra sua principal razão pela sua extensa aplicabilidade em diversas atividades das diferentes áreas do conhecimento. Estas funções e suas propriedades são apresentadas aos alunos do Ensino Médio. No entanto, na maioria das vezes, não lhes é permitido apreciar algumas nuances na adaptação das mesmas propriedades a campos numéricos mais abrangentes. No Ensino Superior, durante os cursos iniciais, o que se espera dos alunos é a mera obediência às propriedades. A análise crítica para a construção e consequentemente validade das mesmas fica relevada a cursos mais avançados. Este mini-curso é voltado a alunos da Licenciatura e professores do Ensino Superior e tem como objetivo trazer com atividades simples, a apreciação das propriedades das funções exponenciais e logarítmicas no domínio números reais, para tanto, usaremos a derivada e alguns teoremas do Cálculo e ou da Análise. Palavras-chave: Função exponencial; Função logarítmica; Continuidade; Derivação. 1. Introdução Séculos atrás, no âmago dos estudos envolvendo exponenciais e logarítmos, objetivava-se estabelecer estruturas que transformassem produtos em somas. Algumas dessas tentativas levaram a caminhos profícuos de estudos dentro da própria Matemática e áreas afins. Hoje em dia, no âmbito escolar, o uso de tal argumento, como justificativa para que os conceitos de funções exponenciais e logarítmicas façam parte dos conteúdos curriculares, já não tem tanta força. Devido o surgimento de outros métodos e ao avanço tecnológico, a multiplicação entre números formados por muitos algarismos já não consiste numa grande dificuldade para alunos do ensino médio. Por outro lado, as potencialidades didáticas nas propostas de modelagem matemáticas para situações-problema, reavivaram o interesse dos educadores pelas funções exponenciais e logarítmicas. São inúmeros os fenômenos, naturais ou não, que podem ser 1

2 modelados por estas funções. Podemos citar a construção da escala de notas musicais, o cálculo do tempo de meia vida de partículas radioativas e a avaliação do crescimento de populações, dentre outros. A organização e interligação das áreas de conhecimentos sugeridas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio (PCNEM) estimula a abordagem de tais conceitos em aulas de outras disciplinas, como as da Química e da Física. Todavia, esperase uma análise mais rigorosa com relação às propriedades e seus domínios de validade, pelo menos, por parte dos futuros professores de Matemática que lecionarão no Ensino Médio. O propósito deste mini-curso é de trazer uma abordagem diferenciada para a apresentação das funções logarítmicas e exponenciais bem como a obtenção de suas propriedades a partir de conhecimentos do Cálculo Diferencial, permitindo assim, aos futuros professores do Ensino Médio, até mesmo do Ensino Superior, que possam ampliar as suas próprias percepções e interpretação das funções logarítmica e exponencial. 2. As funções exponenciais no ensino médio Ao ingressar no Ensino Médio, espera-se que o aluno já está familiarizado com o significado de potenciação com expoente natural ou racional. Além disso, espera-se, também, que não seja mais mistério a propriedade que relaciona o produto de duas potências de mesma base. Entretanto, na maioria dos livros didáticos, a apresentação do domínio de validade dessa propriedade não abrange todas as situações. Encontramos sempre o seguinte: Para um número real a positivo diferente de 1, defini-se a função, com domínio nos reais. Aos alunos são apresentadas as propriedades: (a 1 ), para todos x 1 e x 2 números reais e (a 2 ), para todos x 1 e x 2 números reais. (a 3 ) Se a função é crescente; implica que Se a função é decrescente; implica que 2

3 3. As funções exponenciais nos cursos de cálculo No Ensino Superior, nos curso de Cálculo Diferencial 1, voltamos a trabalhar com a função exponencial, só que agora utilizamos uma base específica, o estranho número irracional e. Nossa função exponencial passa a ser e x, além das propriedades já conhecidas do Ensino Médio, ganha novas propriedades: (E 1 ) A função exponencial é derivável e sua derivada é ela mesma:. (E 2 ) Comportamento da função exponencial no infinito: e 4. Nova abordagem Vamos nos concentrar apenas na propriedade (E 1 ) e no fato que. Use uma borracha para apagar de sua memória as outras propriedades e vamos constatar que podemos recuperar todas as outras a partir destas. Suponha que exista uma função derivável definida para todo número real x,, satisfazendo a seguinte equação: Vamos partir desta função e resgatar as outras propriedades. Propriedade 1: para todo x real, em particular. Demonstração: defina a função, calculando a sua derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos: Desta forma, temos que a função f tem derivada nula. Daí podemos concluir que a função é constante (Corolário 2 do anexo), em particular, só que temos e, assim, provando a propriedade. 3

4 Propriedade 2: Existem poucas funções que coincidem com sua derivada, mais precisamente, se uma função coincide com sua derivada, então para todo x real. Em particular, isto mostra que só existe, no máximo, uma função satisfazendo a equação (Eq 1). Demonstração: Defina. Calculando a derivada desta função (outra vez regra do produto e regra da cadeia), encontramos Logo é outra função com derivada nula e portanto uma função constante;. Consequentemente. Usando concluímos. Se além de temos que, outra solução da equação (Eq 1) temos que mostrando que a equação, tem no máximo, uma solução. Propriedade 3: Transformação do soma em produto,, para todos a e b reais, em particular Demonstração: Definindo, para todo n inteiro e calculando a sua derivada obtemos: ; usando a Propriedade 2 para nossa função, fazendo optemos o resultado desejado:. A demonstração da última parte fica como exercício. Sugestão: no caso n natural use indução finita e para o caso negativo use a propriedade 1. Propriedade 4: A função positiva e crescente. Demonstração: Sabemos que o crescimento de uma função está vinculado ao sinal da derivada primeira (veja corolário 2 no anexo), desta forma basta verificar que. Entra em cena outro importante resultado, o Teorema do Valor Intermediário, que em um de seus corolários afirma que se uma função contínua (nossas funções são deriváveis, logo contínuas) está definida em um intervalo e troca de sinal (tem dois pontos com sinais diferentes) estão ela tem algum zero neste intervalo. Pela propriedade 1, sabemos que a 4

5 função não tem zeros, logo ela não pode trocar de sinal, como sabemos que a função é positiva num ponto, podemos concluir que ela é sempre positiva. Propriedade 5 (Limite no Infinito): e Demonstração: Defina ; como e a função é crescente. Temos. Usando a transformação de soma em produto, temos que. Analogamente. Podemos usar indução finita para concluir que para todo n natura. como, tem-se que, ou seja, dado um número real M, existe um número natural n 0, tal que para todo, ; em particular. Usando novamente que a função E(x) é crescente, temos que. Para todo x, implica. Isto mostra que. Para o outro limite, colocando e temos Propriedade 6: A imagem da função é os números reais positivos. Demonstração: Como a função é positiva, temos que ; dado, como. Sabemos que existe um número real x 1 tal que ; analogamente, como, existe outro número real x 2 tal que usando o Teorema do Valor Intermediário concluímos que existe um número real x 0, entre x 1 e x 2, tal que. 5. A função logarítmica Observe que a nossa função é uma bijeção (injetiva e sobrejetiva) na sua imagem, assim faz sentido falar de sua inversa, que denotaremos por, assim para todo x real e para todo y real positivo. 5

6 Vamos agora demonstrar propriedades de L (nossa função logarítmica), observe que e. Propriedade 7: Transformação do produto em soma:, para a e b reais positivos, e, em particular, para a real positivo e n inteiro. Demonstração: Defina e, usando a Propriedade 3 temos Aplicando a função L nesta identidade concluímos, ou seja,. Como exercício verifique que. Por último, calcule, aplicando L obtemos: Propriedade 8: A derivada da função :, para todo x real positivo. Demonstração: Pelo Teorema da Função Inversa, sabemos que L tem derivada, derivando a seguinte identidade,. Como conhecemos a derivada da função, temos, assim concluímos que. 6. A função exponencial geral. Como conseguir uma boa definição para, como a real positivo e b real? A resposta é simples para os casos b natural e inteiro. Caso 1: n natural e a real: e, produto de n fatores iguais (n maior que 1). Caso 2: n inteiro e real: só falta fazer o caso n negativo, neste caso. Caso 3: a real positivo e q racional: para definir de forma apropriada teremos que admitir conhecido o cálculo de raiz de n-ésima de um número real positivo. Isto é, dados a 6

7 real positivo e n natural positivo e existe (único) b real positivo tal que dizemos que b é a raiz de ordem n (n-ésima) de a e escrevemos, neste caso. Assumindo isto, podemos escrever. Observe que existem muitos detalhes a serem verificados. Caso 4: a real positivo e b real, como definir? Não é uma pergunta simples e muitas vezes passa despercebido este importante tópico, vamos usar a nossa função logarítmica (L) para resolver de forma rápida e simples este impasse. Definição Geral:, para a real positivo e b real. Vamos mostrar que esta definição coincide com a definição usual para os casos 1, 2 e 3. Vejamos o caso 1:, observe que usamos a propriedade 7; e. O caso 2 é consequência de. Para o caso 3, suponha conhecido, ou seja,, aplicando a função L,, logo, assim olhando para nossa definição. O caso 4 pode ser visto como uma extensão dos casos anteriores, que funciona bem nos casos já conhecidos. 7. Anexos Os teoremas aqui enunciados, já se encontram demonstrados em livros de análise real, tais como: Lima 2004 e Ávila 2006 ou Teorema do Valor Intermediário (TVI): Se é contínua então f assume todos os valores entre e. 7

8 Corolário 1 : Se é contínua e, então a função tem, pelo menos, uma raiz no intervalo aberto (, noutras palavras, toda vez que uma função contínua troca de sinal ela tem uma raiz. TVM. Dada uma função contínua, derivável no intervalo aberto. Então, existe tal que. Em outras palavras, existe um ponto do intervalo cuja reta tangente ao gráfico da função é paralela a reta secante definida pelos pontos e Corolário 2: O sinal de determina o crescimento da função. i. no intervalo, implica que a função é monótona crescente. ii. no intervalo, implica que a função é monótona decrescente. iii. no intervalo, implica que a função é monótona não-crescente. iv. no intervalo, implica que a função é monótona não-decrescente. v. no intervalo, implica que a função é constante neste intervalo. Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para licenciatura. 3ª Ed. revista e ampliada. São Paulo: Blücher, Introdução à Análise Matemática. 2ª edição revista. São Paulo: Blücher, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMTEC, v. LIMA, Elon Lages. Análise Real, 7ª edição. Rio de Janeiro: IMPA,