Unidade II LÓGICA. Profa. Adriane Paulieli Colossetti

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1 Unidade II LÓGICA Profa. Adriane Paulieli Colossetti

2 Relações de implicação e equivalência Implicação lógica Dadas as proposições compostas p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica entre p e q quando a proposição condicional (p q) é uma tautologia.

3 Implicação Lógica Os símbolos e têm significados diferentes: O símbolo realiza uma operação entre proposições, dando origem a uma nova proposição p q cuja tabela-verdade pode conter tanto V quanto F. O símbolo entre duas proposições dadas indica uma relação, isto é, que a proposição condicional associada é uma tautologia.

4 Exemplo: Mostrar que (p ^ q) p p q p ^ q (p ^ q) p V V V V V F F V F V F V F F F V Portanto, como (p ^ q) p é uma tautologia, podemos afirmar que (p q) p

5 Outro exemplo: Mostrar que (p ^ q) q p q p ^ q (p ^ q) q V V V V V F F V F V F V F F F V Portanto, como (p ^ q) q é uma tautologia, podemos afirmar que (p q) q

6 Outro exemplo: Mostrar que (p q) q p q q p q (p q) q V V F V F V F V F V F V F V F F F V V V Portanto, (p q) não é implicação lógica de q, pois não é uma tautologia, mas sim uma contingência.

7 Interatividade Quais das proposições abaixo podemos afirmar que são implicações lógicas? a) ( p ^ q) e q b) (p ^ q) e ( p ^ q) c) (p v q) e( p q) d) ( p ^ q) e p e) NDA

8 Equivalência lógica Dadas as proposições compostas p e q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre p e q quando suas tabelasverdade forem idênticas. Notação: p q ou p q (lê-se: p é equivalente a q ). Intuitivamente, proposições logicamente equivalentes transmitem a mesma informação, a mesma idéia, a partir das mesmas proposições componentes.

9 Exemplo: Mostrar que (p q) ^ (q p) e p q são p q p q q p (p q) ^ (q p) p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V São equivalentes, pois o resultado foi igual para ambas proposições compostas e se aplicarmos a operação bicondicional entre as proposições aqui estudadas, veremos que o resultado será uma tautologia.

10 Mais um exemplo: Mostrar que (p ^ q) ( p v q) A B B p q p ^ q p q p v q ( p v q) A B V V V F F F V V V F F F V V F V F V F V F V F V F F F V V V F V (p ^ q) é equivalência lógica ( ou ) de ( p v q), pois o resultado das duas proposições p compostas são idênticas, além de ser uma tautologia na operação bicondicional.

11 Mais um exemplo: Mostrar que ( p v q) (p v q) A B p q p q p v q p v q A B V V F F F V F V F F V V V V F V V F V V V F F V V V F F ( p v q) não é equivalência lógica ( ou ) de (p v q), pois o resultado das duas proposições compostas não são idênticas, além de não ser uma tautologia na operação bicondicional.

12 Outro exemplo: Mostrar que (p v q) v (p q) (p v q) A B C p q p v q p q A v B C A V V V V V V V F V F V V F V V F V V F F F V V F (p v q) v (p q) não é equivalência lógica ( ou ) de (p v q), pois o resultado das duas proposições compostas não são idênticas, além de não ser uma tautologia na operação bicondicional.

13 Interatividade Quais das proposições abaixo podemos afirmar que são equivalências lógicas e também implicações lógicas ao mesmo tempo? 1. (p ^ q) e q 2. (p ^ q) e ( p v q) 3. ( p v q) e (p q) 4. (p v q) e q a) 1 e 2; b) 1 e 3; c) 3 e 4; d) 2 e 3; e) NDA.

14 Argumento válido É um conjunto de enunciados que possuem certa relação, e faz-se necessário que ao menos um deles seja apresentado como uma tese ou uma conclusão, e os demais como justificativa dessa tese, ou premissas para a conclusão. Os argumentos são utilizados para provar a validade ou a invalidade do argumento. Assim sendo, as proposições abaixo não são argumentos válidos: todos os combustíveis evaporam na mesma proporção; logo, vale a pena levar o cachorro ao pet shop.

15 Continuação de argumento válido Agora, observe no exemplo abaixo os seguintes argumentos: Todos os homens são mortais; Sócrates é homem; logo, Sócrates é mortal. Nesse caso, há uma argumentação válida, em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão também.

16 Argumento válido e inválido O argumento apresenta uma estrutura própria, como no exemplo anterior: todos os x são y; z é x; logo, z é y.

17 Continuação de Argumento válido e inválido Agora, tomemos como base o argumento abaixo, que apresenta uma estrutura idêntica à do exemplo anterior: Todas as mulheres são analfabetas; Monteiro Lobato é mulher; Logo, Monteiro Lobato é analfabeto. Nesse caso, o argumento acima tem premissas e conclusão falsas. Porém, esse argumento possui a mesma estrutura do argumento do exercício anterior, o que significa que também é valido, mas não significa que é verdadeiro.

18 Argumento verdadeiro e falso O argumento é válido quando toda a estrutura de suas premissas for válida, assim como a conclusão. Porém, ser válido não é o mesmo que ser verdadeiro. A estrutura do argumento pode estar correta, mas o argumento ser um absurdo, conforme o exemplo abaixo: Todas as mulheres são analfabetas; Monteiro Lobato é mulher; Logo, Monteiro Lobato é analfabeto.

19 Interatividade Podemos afirmar que para os argumentos abaixo: Todas as baleias são mamíferas; As pessoas são mamíferas. Logo: a) Todas as baleias são pessoas. b) Todas as pessoas são baleias. c) Todos os mamíferos são baleias. d) Todos os mamíferos são pessoas. e) NDA

20 Técnicas dedutivas As implicações e equivalências i foram demonstradas pelo método das tabelasverdade. Agora, será abordado o método dedutivo, que, apoiado na álgebra proposicional, observa as proposições compostas.

21 Exemplo c p; p t, onde p é uma proposição qualquer e c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos são F (Falso) e V (Verdade). c p c p t p t p t p t t. A tabela-verdade de c p e p t mostra que essas condições são tautologia:

22 Tabela-verdade de c p e p t c p c p t p t p c c t c p c v p t v p V F V V V V V F F V V V V V p t p t t. p p t p t p v t V F V V V F V V V V

23 Outro exemplo: Verificar se c p; onde p é uma proposição qualquer e c é proposição cujo valor lógico é F (Falso). c p p c c p V F V F F V

24 Interatividade Qual é o resultado da expressão: p t p t t, sabendo que os valores lógicos de p são F (falsos) e de t é uma proposição qualquer. a) V, V b) F, V c) F, F d) V, F e) NDA

25 ATÉ A PRÓXIMA!