OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

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Leonardo Sousa Natal
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1 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

2 14243 Operações com conjuntos 1. União de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A B = {x x ϵ A ou x ϵ B} A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A região hachurada representa A B.

3 Operações com conjuntos 2. Intersecção de conjuntos A = {x x é um número natural menor que 8} B = {x x é um número natural par menor que 10} Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B. A região hachurada representa A B. A B = {x x ϵ A e x ϵ B} A B = {0, 2, 4, 6}

4 EXEMPLOS 1. Determinar A B e A B sabendo que: A = {x x é um número natural menor que 8} e B = {x x é um número natural entre 7 e 11}. Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. Assim, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10} Desse modo: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A B = { }

5 EXEMPLOS 2. Considerar os conjuntos representados abaixo. a) Observe que: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7} Agora, determinamos (A B): A B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} Então, obtemos: (A B) C = {1, 3, 7} b) Primeiro, determinamos (A B): A B = {1, 2} Determinar: a) (A B) C b) (A B) C Depois, determinamos a união desse conjunto com C: (A B) C = {1, 2, 3, 5, 7}

6 EXEMPLOS 3. Sabendo que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A B = {4,5}, escrever duas possibilidades diferentes para A e B. Como A B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos 4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Sabemos também que os conjuntos A e B são formados necessariamente pelos elementos que pertencem a A B. Assim, podemos escrever: A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5} Há outras possibilidades além dessas.

7 Operações com conjuntos 3. Diferença de conjuntos A = {x x é um número natural e está entre 20 e 30} B = {x x é um número primo menor que 30} A região hachurada representa A B. A B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28} Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A B = {x x A e x B}

8 Complementar de um conjunto OBS.: A C = complementar de A em relação ao Universo. Dados os conjuntos A e B, o complementar do conjunto B em relação a A é a parte laranja da figura. = A B, com B A OBS.: Só vai existir o complementar de B em relação a A se B A. Caso B A, então =.

9 EXEMPLOS 1. Determinar A B sabendo que: A = {x x é um número natural menor que 10} e B = {x x é um número natural e está entre 3 e 7}. Enumerando os elementos de A e B, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6} Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos: A B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}

10 EXEMPLOS 2. Descrever a parte azul do diagrama por meio de operações de conjuntos. Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C. Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte operação para representar a parte azul da figura: A B C ou A C B ou A (B C).

11 EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} e U = {x x é um número natural menor ou igual a 15}. Determinar: a) A c b) c), com E = a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a resolução podemos enumerar seus elementos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Determinando U A, encontramos: A c = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

12 b) c), com E = b) Nesse caso, devemos determinar A B se B A. Assim: = A B = {5, 15} c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do conjunto E. Como E =, temos: E = {5, 15}. Agora, determinamos U E e encontramos: = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

13 EXEMPLOS 4. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, A C = {3, 6, 9} e B C = {15, 18}, determinar: a) o conjunto A. b) o conjunto B. a) Como A C = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem a A C pertencem ao conjunto A; portanto: A = {12, 15, 18} b) Como B C = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem a B C pertencem ao conjunto B; portanto: B = {3, 6, 9, 12}

14 Aplicação das operações com conjuntos 1. ESPORTES. Em uma pesquisa com uma turma de Ensino Médio, verificou-se que 15 alunos praticavam basquete como atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol. Determinar quantos alunos participaram da pesquisa, sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois esportes. Como 15 pessoas praticavam basquete e, desse total, 7 também praticavam futebol, a quantidade de alunos que estão no conjunto A e não estão no conjunto B é: 15 7 = 8 n(a B) = = 33 Somente A Somente B

15 2. CONSUMIDOR. Após uma pesquisa com os clientes de um supermercado, verificou-se que 150 pessoas compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P. Sabendo que 200 pessoas participaram da pesquisa, determinar quantas compraram refrigerantes das duas marcas. Marca C e marca P: x 123 Marca C: 150 x Marca P: 75 x 200 = (150 x) + x + (75 x) x = x = 25 Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes das duas marcas.

16 3. CULTURA. Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de Ensino Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos teve 60 votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. Sabe-se ainda que 20 alunos votaram em história em quadrinhos e em romance, 30 votaram em romance e em ficção, 10 votaram em história em quadrinhos e em ficção e 5 alunos votaram nos três tipos. Determinar quantos alunos votaram somente em romance. HQ (60) 15 X = R (85) X = 85 ( ) 20 F (55)

17 AGORA VOCÊS FAZEM! 4. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B, 386 assistem ao programa C, 180 assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem aos programas A e C, e 10 assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem aos três programas? 54 b)quantas famílias assistem somente ao programa A? 315 c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao prgrama B? 365

18 n(u) = 1000 A (510) B (305) 311 C (386) X = 54 X = 1000 ( ) = 54

19 2. Certo dia um proprietário de um restaurante de cozinha italiana perguntou a 80 dos seus clientes: Entre lasanha, canelone e macarronada, de qual(is) você gosta? O resultado da pesquisa foi o seguinte: 35 gostam de lasanha; 39 gostam de canelone; 40 gostam de macarronada; 15 gostam de lasanha e de canelone; 13 gostam de lasanha e macarronada; 11 gostam de canelone e macarronada; 5 gostam dos três pratos. a) Quantos clientes gostam somente de: Lasanha 12 - Canelone 18 - Macarronada 21 b) Quantos clientes gostam somente de lasanha ou somente de canelone ou de ambos os pratos. 45

20 n(u) = 80 L (35) C(39) 21 M (40) 0 a)12, 18 e 21 b) = 45 c) 21

21 5. Roberto pesquisou 34 proprietários de carros bicombustível para saber qual combustível eles costumam utilizar em seus carros: álcool em gasolina. Dos entrevistados, 23 utilizam álcool e 19 utilizam gasolina. Sabendo que cada proprietário usa pelo menos um dos combustíveis, responda as questões a seguir. a) Quantos proprietários utilizam os dois combustíveis? b) Quantos proprietários utilizam somente gasolina? E apenas álcool? A (23) B (19) A (23) B (19) 23 X X 19 X x + x + 19 x = 34 x = x = 8

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