Logaritmo e Função Logarítmica

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1 Logaritmo e Função Logarítmica. (Unifor 04) Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por t Q(t) Q 0 e, onde Q 0 é a capacidade máxima da carga e t é medido em segundos. O tempo que levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade é de: ln0 =, a) segundos. b) segundos. c) 4 segundos. d) 5 segundos. e) 6 segundos.. (Unicamp 06) A solução da equação na variável real x, log x(x 6), é um número a) primo. b) par. c) negativo. d) irracional. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões). Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e da intensidade de fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas de calor etc. (Disponível em: < Acesso em: 0 maio 05.). (Uel 06) Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui um número para quantificar sua magnitude. Por exemplo, o terremoto no Nepal, em de maio de 05, teve magnitude 7, graus nessa escala. Sabendo-se que a magnitude y de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual x representa a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico dessa função. a) b) c) d) e) Página de

2 4. (Unesp 05) No artigo Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático kt para o cálculo da área de desmatamento a função D(t) D(0) e, em que D(t) representa a área de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t 0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação n 0,69, o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente a) 5. b) 5. c) 5. d) 5. e). 5. (Pucrj 05) Se logx, então x x vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 50 e) (Fgv 04) Considere a aproximação: log 0,. É correto afirmar que a soma das raízes x da equação é: a) 7 b) c) 5 x d) 4 e) 7. (Mackenzie 04) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão logab logba é a) 0 b) 6 c) 8 d) A B e) 8. (Espm 04) Se a) 0 b) 0, c) 00 d) 0,0 e) 4 logx logx logx logx 0, o valor de x é: Página de

3 9. (Fuvest 06) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S log 06 5 log 06 0 log 7 06 O valor de S é a) b) c) 5 d) 7 e) 0 0. (Ufrgs 05) Atribuindo para log o valor 0,, então o valor de a). b) 4. c) 8. d) 0. e).. (Pucrj 05) Seja x log log9 log7. Então, é correto afirmar que: a) 6 x 7 b) 7 x 8 c) 8 x 9 d) 9 x 0 e) x 0 0, 00 é. (Pucpr 05) Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela t expressão V(t) V0, em que V 0 é o volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo de escoamento em horas. Qual é, aproximadamente, utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento necessário para que o volume de água escoado seja 0% do volume inicial contido no caminhão? (utilize: log 0,0.) a) h e 0 min. b) h e min. c) h e 8 min. d) h e 5 min. e) h e min. Página de

4 . (Uerj 05) Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x). Admita que, no eixo x, 0 unidades correspondem a cm e que, no eixo y, a ordenada log(000) corresponde a 5 cm. A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a: a) 5: b) 5: c) 50: d) 00: 4. (Unesp 05) O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da dosagem de algumas medicações. A área A (em cm ) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por meio do seu peso P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 0 : loga 0,45logP 0,75logH,84 (Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known, 96. Adaptado.) Rafael, uma criança com m de altura e 6 kg de peso, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de mg para cada 00 cm de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa medicação para Rafael. Adote nos seus cálculos log 0,0 e a tabela a seguir. x x 0, 995,4 5,5 6,6 98,7 50,8 60, Página 4 de

5 5. (Ufsm 05) Quando um elemento radioativo, como o Césio 7, entra em contato com o meio ambiente, pode afetar o solo, os rios, as plantas e as pessoas. A radiação não torna o solo infértil, porém tudo que nele crescer estará contaminado. A expressão 0,0t Q(t) Q0e representa a quantidade, em gramas, de átomos radioativos de Césio 7 presentes no instante t, em dias, onde Q 0 é a quantidade inicial. O tempo, em dias, para que a quantidade de Césio 7 seja a metade da quantidade inicial é igual a Use In 0,69 a) 60. b) 0. c) 5. d) 5. e). 9 5 log 6. (G - cftmg 05) Se 5 log M (4 ) 4 então, o valor de M é igual a a) b) 9 c) 7 d) 8 7. (Uem 05) Dados a e b números reais positivos, com a, o logaritmo de b na base a, denotado por loga b, é o número real x tal que x a b, isto é, Considerando o exposto, assinale o que for correto. 4 0) log ( ). 9 0) A função f(x) log x é crescente para todo x no domínio de f. 04) Se loga b e logb 8, então a. log x log y log5 08) O sistema tem uma única solução. xy 8 6) O domínio da função f(x) log (x 6) é o conjunto {x ;x 4}. x loga b x a b. 8. (Pucpr 05) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce kt exponencialmente pode ser determinado pela equação N N0e em que N 0 é a quantidade inicial, isto é, N0 N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 0 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados: In 0,69 In 5,6) a) minutos e 5 segundos. b) minutos e 5 segundos. c) 5 minutos. d) 5 minutos. e) 5 minutos e 0 segundos. Página 5 de

6 9. (Fgv 05) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de % ao mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir. a) Neste investimento, após meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.00,00. Calcule o valor inicialmente aplicado. b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 9, meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log 0,0 e log0,05, que são logaritmos com apenas casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E t 9, ao erro cometido no cálculo devido ao uso de apenas casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E. 0. (G - ifce 04) Sejam x, y com x e y. A expressão log9 x log 6 6log9 y pode ser simplificada para 6x a) log 9. y x b) log 6. 6 y c) 9 d) log x 6 y. log x 6 y. e) log 6xy.. (Cefet MG 04) O conjunto dos valores de x para que log x x x como número real é x x ou x. a) b) x * x. c) x x ou x. x x. d) e) x * x. exista. (G - cftmg 04) Considere a função f :, definida por f(a) f(b), então a) a b. b) a b. c) a b. d) a b 4. f(x) log x. Se Página 6 de

7 Gabarito: Resposta da questão : [D] Questão anulada pelo gabarito oficial. Queremos calcular t, para o qual se tem Q(t) 0,9 Q 0. Lembrando que n a n b a b e c n a c n a, com a, b reais positivos e c real, vem: t t 0,9 Q0 Q 0( e ) e 0 t n e n 0 t n 0 t n 0. t =., = 4,6, aproximadamente 5 segundos. Resposta da questão : [A] c Sabendo que loga b c a b, para quaisquer a e b reais positivos, e a, temos log x(x 6) x x 6 0 x, que é um número primo. Resposta da questão : Se y f(x), então o gráfico que mais se assemelha ao de uma função logarítmica é o da alternativa. Resposta da questão 4: Queremos calcular o valor de t para o qual se tem D(t) D(0). Portanto, temos 0,006t 0,006t D(0) D(0) e n n e 0,006t 0,69 t 5. Resposta da questão 5: [E] log x x x 8 por tan to Página 7 de

8 Resposta da questão 6: [A] Completando os quadrados, obtemos x x x ( ) 4 x log5 x 0 ou x. log Daí, como 0 log5 log log0 log 0, 0,7, segue-se que log5 0,7 7. log 0, Portanto, a soma das raízes da equação x x é 7. Resposta da questão 7: Sejam a, b e c reais positivos, com a e c. b Sabendo que logca b logca e que logc a, temos loga c loga B logb A loga B logb A logb A 6 log B A 6. Observação: As condições A e B não foram observadas no enunciado. Resposta da questão 8: [D] Sabendo que b loga b loga, para todo a real positivo, vem 4 log x log x log x log x 0 0 log x 0 logx x 0 x 0,0. Página 8 de

9 Resposta da questão 9: [E] c Lembrando que logb a, logba loga b reais positivos diferentes de, temos c logba e logc ab logc a logc b, com a, b e c S log 06 5 log 06 0 log 7 06 (5 log 06 log 06 log 06 7) 0 log log Resposta da questão 0: log 0, log Resposta da questão : [D] x log log9 log7 x log 9 7 x log 79 Sabemos que log5 log 79 log04 Considerando que as opções são intervalos possíveis para x, podemos considerar como solução do exercício o intervalo 9 x 0. Resposta da questão : [C] t V(t) V0 t 0, V0 V0 t 0, Aplicando logaritmo na base 0 nos dois membros da igualdade, temos: t log0, log t log t 0, t,... Utilizando uma casa decimal, como foi pedido no enunciado encontramos o seguinte valor para t. t,h h e (0, 60)min h e 8min Página 9 de

10 Resposta da questão : [C] No eixo x: cm corresponde a 0 unidades; No eixo y: cm corresponde a (log000)/5 = /5 = /5 unidades. Logo, x/y = 50/. Resposta da questão 4: Considerando P 6 kg e H 00 cm, temos a seguinte equação: log A 0,45 log6 0,75 log00,84 4 log A 0,45 log 0,75,84 log A 0,45 4log,45,8 log A,7 0,,9 log A,8,8 A 0 A 60 cm Sabemos que Rafael deve tomar mg para cada diária de Rafael será dada por: 60 6,mg. 00 Resposta da questão 5: 0,0t Q(t) Q0e Q0 0,0t Q0 e 0,0t n ne n 0,0 t 0,69 0,0 t t 0 Resposta da questão 6: 00 cm de seu corpo. Portanto, a dose log log4 log45 log 5 9 log 5 9 M (4 ) (4 ) 5 9. Resposta da questão 7: =. [0] CORRETA. Fazendo 4 log ( ) x, 9 tem-se: x 4 x log ( ) x x Logo, log ( ). 9 Página 0 de

11 [0] INCORRETA. Como f(x) tem base ente zero e um, sabe-se que f(x) é decrescente. [04] CORRETA. Desenvolvendo as duas equações, tem-se: logb 8 b 8 b logab loga a a [08] CORRETA. Resolvendo o sistema: x x log x log y log5 log log5 5 x 5y y y y 5y y 4 xy 8 x y 4 x 5 xy 4 [6] INCORRETA. O domínio da função dada será {x x 4 ou x 4}. Resposta da questão 8: [C] kt N N0e kt 0k e e 6 Também sabemos que: x 6 0, ou seja 0k t t 4t e 6 ln ln 4 t t h 4 Ou seja, t = 5 minutos. Resposta da questão 9: a) Seja C o valor inicialmente aplicado. Tem-se que 400 C 400 C ( 0,0) C 0,00 C R$ ,00 b) Para M 4C, vem t t 4C C ( 0,0) (,0) t log log(,0) 0 log t log 00 t (log0 log0 ) log t (log0 log log0) log 0,0 t,05 0,0 0,0 t 0,00 t 50,5. Portanto, temos E 50,5 9,, meses. Página de

12 Resposta da questão 0: [A] b c Sabendo que loga b loga c log a(b c), loga b loga c log a, clogab logab, c logc b loga b e log c b loga b, para quaisquer a, b e c reais, vem logc a a c log 6 log x log 6 6 log y log x log ( y) log9 log9 x log9 6 log9 y log9 x log9 6 log9 y 6x log 9. y Resposta da questão : Das condições de existência dos logaritmos, deve-se ter x x 0 (x )(x ) 0 e x 0 x e x 0 e x e x e x 0 x e x 0. Portanto, o conjunto dos valores reais de x para que é x x. ( x) seja um número real log ( x x ) Resposta da questão : [C] f(a) f(b) log (a 0) log (b ) a b a b Página de