Exercícios: Funções - Introdução Prof. André Augusto

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1 Exercícios: Funções - Introdução Prof. André Augusto 1. EXERCÍCIOS BÁSICOS DE FUNÇÕES Exercício 1. Nos itens a seguir, diga se as associações f : X Y a seguir são funções ou não: 1 X = 0, 1, 2,, 4, X = 0, 1, 2,, 4, X = 0, 1, 2,, 4,, 6 X = 0, 1, 2,, 4, (a) Y = 0, 1, 2,, 4, (b) Y = 0, 1, 2,, 4,, 6 (c) Y = 0, 1, 2,, 4, (d) Y = de 0 a 10 f(x) = 2x X = 0, 1, 2,, 4, X = 0, 1, 2, X = 0, 1, 2, X = N (e) Y = de 0 a 10 f(x) = 1 (f) Y = de 0 a 10 (g) Y = de 0 a 10 (h) Y = N x X = N X = N X = N X = R X = R (i) Y = N (j) Y = N + x + 2 f(x) = (k) Y = R x f(x) = (l) Y = R x f(x) = (m) Y = R x + 27 X = R X = R + X = N (n) Y = R (o) Y = R (p) Y = R 1 f(x) = 1 x f(x) = + 27 x f(x) = + x e, ao mesmo tempo, x + 27 X = conjunto dos segmentos no plano X = R X = R (q) Y = conjunto das retas no plano (r) Y = R (s) Y = R f(x) = mediatriz de x f(x) = 1 x X = N Y = R (t) 2, se x é múltiplo de 2 (u) Y = população mundial f(x) =, se x é múltiplo de f(x) = irmão de x 0, caso x não seja múltiplo de 2 nem X = estados do Brasil (v) Y = R (w) Y = população do Brasil f(x) = altura de x (em centímetros) f(x) = governador do estado x (x) Y = perfis do Facebook (y) Y = signos do zodíaco f(x) = perifl da pessoa x no Facebook f(x) = signo da pessoa x Exercício 2. Seja 2 x + 4, g(x) = x 2 e h(x) = 8x. Calcule: (a) f(2) (b) f( 1) (c) g(4) (d) h(4) (e) h(10) (f) g(0) (g) f(4) h() (h) g( 2) h( ) (i) f(0) g(1) + h(2) (j) f(4) + h( ) (k) g(6) ( ) 2 (l) f(1) h(0) f( 9) g (m) f() h(1) g() 2. DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÕES Exercício. Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções: (a) f(x) = 10x (b) f(x) = 10x, onde x representa quantidade de livros (c) f(x) = x + 1 Observação: R + representa os números reais positivos

2 Exercícios: Funções - Introdução 2 (d) f(x) = x + (e), onde x representa quantidade de lanches. (f) f(x) = 12x + 6 (g) f(x) = 1x (l) f(x) = 7 x 2 x + 2 (h) f(x) = x (i) x + (m) f(x) = (x + 1) x 2 x 2 (n) f(x) = (j) f(x) = 4 x 1 (k) f(x) = x 1 1 x(x ) (o) x(x ). TESTES DE VESTIBULARES Exercício 4 (U.F.VIÇOSA). Considere a função f : R R definida por: O valor da expressão f( 2) + f ( ) f(π) (a) 2 (b) (c) 12 (d) , se x é racional; f(x) =, se x é irracional. 4 (e) 2 1 Exercício (VUNESP). Seja T C a temperatura em graus Celsius e T F a mesma temperatura em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação 9T C = T F 160. Considere agora T K a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionados pela equação T K = T C A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin (a) T F = T K 11 (e) T F = 9T K 2617 (b) T F = 9T K 247 (c) T F = 9T K 2297 Exercício 6 (UFPI). Se f(x) = 2 x 1, p = 108 e q = 10 10, então o valor de (a) 10 8 (b) (c) 2 (d) 2 (e) 1 (d) T F = 9T K 267 f(p) f(q) q p Exercício 7 (VUNESP). Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por S(p) = p 2, onde p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8 kg. Determine: (a) a área da superfície corporal da criança. (b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (Use a aproximação 2 = 1, 4). Exercício 8 (UEL). Seja N = {0, 1, 2,,...}. Se n é um número do conjunto N, qual das regras de associação abaixo define uma função de N em N? (a) n é associado à sua metade. (b) n é associado a seu antecessor. (c) n é associado ao resto de sua divisão por 7. (d) n é associado a p tal que p é primo e p < n. (e) n é associado a m tal que m é múltiplo de n. Exercício 9 (FGV). Seja a função f : R R, definida por f(x) = x. Se f(a) = 8, então f ( a ) (a) 1 2 (b) 1 4 (c) 1 8 (d) 4 (e) 2

3 Exercícios: Funções - Introdução Exercício 10 (VUNESP). A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 1 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17 h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (1, ).h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2 97 kcal. Sabendo-se que Paulo é cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 1 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, (a) 201 (b) 2601 (c) 2770 (d) 287 (e) 2970 Exercício 11 (VUNESP). O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança que nasceu com 40 semanas, 0, 6 cm de altura e com 446 gramas de massa foi modelado, a partir da vigésima semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas h(t) = 1, t 9, 4 e p(t) =, 8t 2 72t + 246, onde t indica o tempo em semanas, t 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era, 6 cm. Exercício 12 (Mackenzie). A função f : R R é tal que f(x) = f(x) para todo número real. Se f(9) = 4, então f(1) + f() é igual a: (a) (b) 10 (c) 1 (d) 20 (e) 2 Exercício 1 (FGV). Seja a função 2. O valor de f(m + n) f(m n) (a) 2m 2 + 2n 2 (b) 2n 2 (c) 4mn (d) 2m 2 (e) 0 Exercício 14 (UFMS). Seja f : R R uma função real tal que f(1) = A, f(e) = B e f(x+y) = f(x) (y), para todo x e y números reais. Então f(2 + e) é igual a: (a) A (b) B (c) A 2 B (d) AB 2 (e) A 2 B Exercício 1 (VUNESP). Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2 f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo-se que f() = 6, determine o valor de: (a) f(1) (b) f() Exercício 16 (FUVEST). As funções f e g são dadas por f(x) = x 1 e g(x) = 4 x + a. Sabe-se que f(0) g(0) = 1 ( ) 1. O valor de f() g (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) (e) 4 Exercício 17 (VUNESP). Considere a função f : R R, definida por f(x) = 2x 1. Determine todos os valores possíveis de m para os quais é válida a igualdade f(m 2 ) 2 f(m) + f(2m) = m 2. x+1 x+9 x+1 x Exercício 18 (FUVEST). Considere a função f dada por + 12 f.. Determine o domínio de Exercício 19 (FUVEST). Considere a função f(x) = 1 4x a qual está definida para x 1. Então, (x + 1) 2 para todo x 1, x 1, o produto f(x) f( x) é igual a: (a) 1 (b) 1 (c) x + 1 (d) x (e) (x 1) 2 4. DESAFIOS Exercício 20 (FUVEST). Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = a f(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x 1) + 1 para todo número real x. (a) Calcule g().

4 Exercícios: Funções - Introdução 4 (b) Determine f(x), para todo x real. (c) Resolva a equação g(x) = 8. Exercício 21 (VUNESP). Segundo a Teoria da Relatividade de Einstein, se um astronauta viajar em uma nave espacial muito rapidamente em relação a um referencial na Terra, o tempo passará mais devagar para o astronauta do que para as pessoas que ficaram na Terra. Suponha que um pai astronauta, com 0 anos de idade, viaje numa nave espacial, numa velocidade constante, até o planeta recém-descoberto GL81c, e deixe na Terra seu filho com 10 anos de idade. O tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o tempo T decorrido para o astronauta, em função da velocidade v dessa viagem (ida e volta, relativamente ao referencial da Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração), são dados respectivamente pelas equações t = 40c v e T = 40c ( v ) 2, 1 onde c é uma constante que indica a velocidade da luz no vácuo e t e v c T são medidos em anos. Determine, em função de c, a que velocidade o pai deveria viajar de modo que, quando retornasse à Terra, ele e seu filho estivessem com a mesma idade. Gabarito: 1. No gabarito abaixo, Sim significa que a associação é função, enquanto Não significa que a associação não é função. (a) Sim (b) Sim (c) Não (d) Sim (e) Não (f) Sim (g) Não (h) Sim (i) Sim (j) Não (k) Sim (l) Não (m) Sim (n) Não (o) Sim (p) Não (q) Sim (r) Sim (s) Sim (t) Não (u) Não (v) Sim (w) Sim (x) Não (y) Sim 2. (a) 2 (b) 8 (c) 10 (d) 2 (e) 80 (f) 2 (g) 20 (h) 192 (i) 19 (j) 2 (k) 2 (l) zero (m) 2. Neste exercício, o contradomínio é sempre o conjunto R. (a) Domínio: R. (b) Domínio: N. (c) Domínio: R. (d) Domínio: números reais maiores ou iguais a. (e) Domínio: N. (f) Domínio: R. (g) Domínio: R {0}. (h) Domínio: { } R. (i) Domínio: números reais maiores ou iguais a 1. (j) Domínio: R. (k) Domínio: 29 R {1, 2}. (l) Domínio: R {2}. (m) Domínio: R {0, }. (n) Domínio: R {0, }. 4. (E). (C) 6. (D) 7. (a) S(8) = 0, 44 m 2 (b) p = 22, 4 kg 8. (C) 9. (A) 10. (B) gramas 12. (D) 1. (C) 14. (C) 1. (a) f(1) = 2 (b) f() = (E)

5 Exercícios: Funções - Introdução 17. m = 0 ou m = R {, 1, 0, 1} 19. (B) 20. (a) g() = 2 (b) 2 (c) x = v = 4 c