OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista 4

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1 OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista 4 Data da lista: 03/12/2016 Preceptora: Natália Cursos atendidos: Todos Coordenador: Francisco 1. Dados os polinômios f(x) = 5x 4 + 3x 2 2x 1 e g(x) = 2x 3 + 4x + 3, calcule: a) f + g b) g f c) f.g 2. Sabendo que os polinômios m, n e p têm respectivamente grau 3, 5 e 7 determine o grau do polinômio q, sendo: a) q = p + n b) q = p m c) q = m.n d) q = (m + n).p e) q = (p.m) n 3. Determine o quociente e o resto da divisão de p(x) por h(x), sendo: a) p(x) = 4x 5 2x 4 10x + 15; h(x) = 2x 1 b) p(x) = x 6 2x; h(x) = x 2 2x 1 1

2 c) p(x) = 3x 7 5x 6 + 9x 5 10x 4 3X x 2 19x + 18; h(x) = 3x 2 5x Sem utilizar o método da chave, determine o resto da divisão de p(x) por h(x) em cada item. a) p(x) = x 4 2x 3 3x 2 2x 15; h(x) = x + 1 b) p(x) = 2x 5 9x x 3 14x x 1; h(x) = x 3 c) p(x) = x 4 3x 3 7x x 10; h(x) = x 3 d) p(x) = 3x 7 15x 6 + 5x 5 25x 4 7x x 2 ; q(x) = x 5 e) p(x) = 4x 6 16x 5 + 8x 4 32x 3 12x x 7; q(x)x 4 5. Determine quantas raízes complexas, não necessariamente distintas, tem cada equação polinomial. a) 2x 3 5x 2 + 3x 1 = 0 b) 5x 5 6x 4 + 2x 2 x = 5x 5 3x 4 + x 3 5 c) x 2 (7x 3 6x 2 5x + 1) = 0 d) x 3 x 2 (x 4 5x + 1) = 0 6. Qual é o conjunto-solução da equação 1 5 (x 3)4 (x 1) 2 (x + 2) 3 = 0? E qual é o grau dessa equação? 7. Decomponha o polinômio p(x) = 3x 2 + 6x 45 em termos de suas raízes. 8. Decomponha cada um dos polinômios a seguir em termos de suas raízes. a) p(x) = x 3 2x 2 5x + 6, em que 1, 3 e 2 são raízes b) q(x) = x x2 9x 4, em que 4, 1 e 2 são raízes 2 c) r(x) = x x2 53x + 35, em que 7, 5 e 2 são raízes Dentre as seis matrizes seguintes, cinco tem o determinante igual a zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades dos determinantes. Justifique. A =

3 B = C = D = E = F = 10. Sendo A = o , calcule deta. 11. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que deta = 6 e detb = 4, calcule det(ab) Sabendo que A = 0 1 2, calcule deta 1, se existir A Calcule os determinantes usando a regra de Chió a)

4 b) c) d) x 1 x 0 x x 1 0 x Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo com base em uma tabela de valores da função em pontos que você escolheu. a) f(x) = 1 + x b) f(x) = 1 + x c) f(x) = 2 x 15. Trace o gráfico das funções abaixo para x [ 2, 4]. { 1, se x < 0 a) f(x) = 1, se x 0 { 0, se x < 1 b) f(x) = x 2 1, se As figuras abaixo mostram os gráficos de funções definidas por partes. Escreva a expressão de cada função. 4

5 17. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta. a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104km/h. 5

6 b) Um determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando esse trafega a 20km/h, mas indica que o veículo está a 70km/h quando a velocidade real é de 65km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de xkm/h. 18. A frequência natural de vibração de uma corda (como a do violino) é inversamente proporcional ao comprimento da corda. Suponha que uma determinada corda produza uma frequência de 440Hz quando mede 33cm. a) Escreva uma função F (c) que relacione a fequência e o comprimento da corda do enunciado (em metros). b) Determine a frequência da corda quando seu comprimento é reduzido para 25cm. 19. A tabela abaixo fornece o custo de envio de uma carta simples pelo correio, em relação ao peso da carta. Escreva a função que representa esse custo. 20. Para as funções f e g apresentadas abaixo, defina f + g, fg e f/g a) f(x) = x 2, g(x) = x 2 1 b) f(x) = x 3, g(x) = x + 3 6

7 c) f(x) = 1 x, g(x) = x 2 d) f(x) = x+1 x, g(x) = 1 x Suponha que c pre (t) forneça o número de telefones celulares pré-pagos e c pos (t) forneça o número de celulares pós-pagos registrados no Brasil, no instante de tempo t (em anos) decorrido desde o ano Suponha, também, que p(t) forneça a população brasileira no instante t (também em anos a partir de 2000). a) Defina a função que fornece o número de telefones celulares registrados no Brasil, em relação a t. b) Defina a função que fornece o número de telefones celulares per capita em relação a t. c) Defina a função que fornece o percentual dos telefones celulares que são do tipo pré-pago, em relação a t. 22. Uma loja de informática lançou uma promoção de impressoras. Ela está vendendo qualquer modelo novo com um desconto de R$100, 00 para quem deixar sua impressora velha. Além disso, todas as impressoras da loja estão com 5% de desconto sobre o valor de fábrica (ou seja, sem o desconto de R$100, 00). a) Crie uma função p que forneça o preço real de uma impressora cujo preço original era x, para quem não deixar na loja sua impressora velha. b) Crie uma função q que forneça o preço real de uma impressora cujo preço original era x, para quem deixar uma impressora velha. c) Crie uma função d que forneça o desconto percentual que terá um cliente que comprar uma impressora cujo preço original era x, se o cliente deixar na loja sua impressora velha. 23. Com base nas figuras abaixo, trace o gráfico de h(x) = f(x) + g(x). 7

8 24. Resolva as equações trigonométricas. a) cos (x + π 6 ) = 1 b) tan 5x = 0 c) sen(3x π 4 ) d) 3 tan (2x) = 3 = Resolva as equações a seguir. a) cos x = cos 7π 12 b) senx = sen π 18 c) tan x = tan 9π 4 d) cos x = sen π Resolva as seguintes equações: a) 2senx cos x cos x = 0 b) sen 2 senx = 0 c) tan 2 x = 3 d) 2sen 2 x+ sen x 1 = 0 e) cos 2x+sen x 1 = 0 f) 4 cos x + 3 sec x = 8 8