OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA Lista 3

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1 OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA Lista 3 Data da lista: 29/06/2017 Preceptora: Natália Cursos atendidos: Todos Coordenador: Francisco 1. Demonstre que cada uma das seguintes igualdades são identidades. (a) sec θ + cos θ sen θ + tg θ = 0 (b) cos θtg θ + cos θ + cotg θ = cossec θ (c) tg2 θ sen 2 θ tg 2 θ (d) = sen 2 θ 1 + tg θ = sec θ sec θ+tg θ (e) 1 sen θcos θtg θ = cos 2 θ 2. Verique que: (a) sec 30 = cossec 60 (b) sen cos 2 45 = 1 (c) sec 2 60 tg 2 60 = 1 (d) sen 60 = 2sen 30 cos 30 (e) sen 30 = 1 cos Os carros bicombustíveis - que funcionam com gasolina, álcool ou a mistura dos dois, em qualquer proporção e sem que o motorista precise apertar botão algum para fazer a conversão - parecem ter vindo para car. [...] Na hora do abastecimento é preciso fazer uma conta rápida. O álcool é mais barato, mas sua autonomia é menor: um tanque dura 1

2 cerca de 450 quilômetros com ele e em torno de 650 com gasolina. O cálculo, simples, ajuda a decidir no posto. Divida o preço do álcool pelo da gasolina. Se der mais de 0,70, escolha a gasolina; caso contrário, o álcool. [...] (Veja. São Paulo: Abril, ano 36, n. 27, 9 jul p. 102) Certo motorista abasteceu seu carro com uma mistura de álcool e gasolina, totalizando 40L. Sabendo que a quantidade de álcool colocada foi 3 vezes a de gasolina, calcule a quantidade de cada combustível com que o carro foi abastecido. 4. Determine o domínio das funções. (a) f(x) = 3x + 2 (b) f(x) = 1 x 2 (c) f(x) = 1 2x+5 (d) f(x) = x Na superfície do oceano, a pressão da água é a mesma do ar, ou seja, 1 atm. Abaixo da superfície da água a pressão aumenta 1 atm a cada 10m de aumento na profundidade. (a) Escreva uma função P (x) que forneça a pressão (em atm) com relação a profundidade (em m). Considere que x = 0 atm na superfície da água do mar. (b) Determine a pressão a 75 m de profundidade. 6. Verique se as funções abaixo são sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. 7. Em um mesmo sistema cartesiano ortogonal, construa os grácos das seguintes funções. (a) f(x) = 1 2 x 2

3 (b) g(x) = x (c) h(x) = 2x (d) s(x) = 2x 8. Para converter uma temperatura dada em graus Fahrenheit ( F ) para graus Celsius (C), usamos a fórmula C = 5 (F 32). 9 (a) Escreva uma função F (C) que converta para Fahrenheit, uma temperatura C dada em graus Celsius. (b) Trace o gráco de C(F ) para F entre -50 e 250. No mesmo plano coordenado, trace o gráco de F (C) para C entre -50 e 120. (c) Determine que temperatura a medida em Celsius e Fahrenheit é a mesma. (Dica: determine o valor de C tal que F (C) = C). Mostre esse ponto no gráco de F (C). 9. Para cada função abaixo, restrinja o domínio de modo que a função seja injetora. Determine, então, a inversa da função para o domínio escolhido. (a) f(x) = (x 2) 2 (b) f(x) = x 10. Dada a tabela abaixo, esboce o gráco da inversa de f(x). x f(x) -1 1,5 4 6,5 9 11,5 11. Uma loja de automóveis criou uma promoção, válida apenas nessa semana. Todos os carros da loja estão com 10% de desconto sobre o preço de tabela do fabricante. Além disso, depois de calculado o desconto, o cliente ainda tem uma redução de R$900, 00 sobre o preço do carro. (a) Escreva uma função P (x) que forneça o valor que o cliente pagará pelo carro, nessa semana, em relação ao preço de tabela,x. (b) Determine a função inversa de P e indique o que essa função representa. (c) Se você tem exatamente R$27.000, 00, determine o preço de tabela do carro mais caro que você consegue comprar à vista. (d) Esboce o gráco da função inversa de P. 3

4 12. Sabendo que a função f(x) = ax + b é tal que f(1) = 5 e f( 2) = 4, determine: (a) A taxa de variação da função; (b) Os valores de a e b; (c) O gráco de f; (d) O valor de x para o qual f(x) = Dadas as funções f de R em R e g de N em R, denidas por f(x) = 3x+2 e g(x) = 3x+2, construa os grácos de f e g em planos cartesianos distintos e escreva qual a diferença entre esses grácos. 14. Uma pizzaria oferece serviço de entrega e cobra por isso uma taxa xa de R$1, 50 mais R$0, 60 por quilômetro rodado no trajeto entre o estabelecimento e o local da entrega. (a) Qual será o valor da taxa se o local da entrega for a 13km da pizzaria? E se o local for a 8,5 km? (b) Escreva uma função que permita calcular o valor t da taxa de entrega em função da distância d percorrida. 15. Sem construir grácos, descubra os pontos em que as retas, grácos das funções abaixo, cortam os eixos x e y e estude a sua variação de sinal: (a) f(x) = x (b) f(x) = x + 4 (c) f(x) = x (d) f(x) = 2 6x 16. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes (a) (b) a 0 0 (c) 0 b a

5 (d) Para que valores de x o determinante x é positivo? 18. Usando o escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: (a) (b) (c) 2x + y 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4 x y + 2z w = 1 2x + y 2z 2w = 2 x + 2y 4z + w = 1 3x 3w = 3 x + y + z + t = 0 x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = 2 5