FUNÇÕES. Jairo Weber

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1 FUNÇÕES Jairo Weber

2 De Relações e funções Seja o conjunto A={0, 1,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: R = {(x,y) AxB / y = 2x} R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)} N(R)=5 Diagrama

3 Relações que são funções O que há de especial? Quando uma relação é uma função? Neste exemplo, todos os elementos do conjunto origem (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do destino (contradomínio) A B Conjunto Imagem 11 Im={0,2,4,6,8} Conjunto Domínio = A Conjunto Contradomínio = B

4 Por que essa característica é especial? A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.

5 Funções: definição Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B. Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem. Em qual das situações ao lado podemos afirmar que é função?

6 Funções: Notação Exemplo: Dada a função f:n N, definida para todo natural n N, tal que f(n)=2n+1 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar! Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1) Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3) Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5) Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

7 Representação no plano cartesiano - Funções B A={0, 1,2, 3} B={0, 2, 4, 6} R= {(x,y) AxB / y=2x} A A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.

8 Funções - Classificação Injetora, Sobrejetora e Bijetora

9 Função Injetora É a função na qual: x 1 x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ) Pares = {(0,0),(1,2),(2,4),(3,6), (4,8)} Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

10 Função Sobrejetora É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

11 Função Bijetora É a função que é injetora e sobrejetora Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

12 Estudo do domínio e imagem de uma função. O conjunto domínio é formado por todos os valores possíveis da variável independente x. Exemplos de estudo do domínio. 4 ² 5 ) ( ) ) ( ) ) ( ) 9 2 ) ( ) x x t d x x x h c x x g b x x f a

13 Exercícios. Livro páginas 29 e 30 (1 ao 5).

14 Representação gráfica de uma função. Exemplo. (PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma função?

15 (PUC-RS)

16 Do gráfico representado abaixo, podemos afirmar que sua imagem é:

17 Função afim Uma função definida por f: R R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. A lei que define função afim é: f(x)=ax+b

18 Gráficos de função afim O ponto de interseção entre a reta e o eixo x é chamado de RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO. Para f(x) = ax+b, temos: x b a Exemplo. Faça o esboço do gráfico da função f(x) = 2x 16, destacando os pontos de interseção com os eixos.

19 Gráficos de função afim Exemplo. A partir do gráfico abaixo, determine a lei de formação da sua função.

20 Exercícios 1)Determine a lei de formação da função que representa a reta que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,6). 2)Determine a lei de formação da função afim, que representa a reta que passa pelos pontos A (-1,-2) e B (5,2). 3)Escreva a lei de formação da função afim que representa a reta que passa por: a) A(2,3) e B(0,1). b) M(-3,-1) e N(2,-5). 4)Dada a reta r definida em R por f(x)=ax+l, determine a e l.

21 VESTIBULAR (Uerj) Sabedoria egípcia Há mais de anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.) Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8-4x b) x = 6-3y c) x = 8-4y d) y = 6-3x

22 VESTIBULAR (Ufrn) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em ml, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: a) 7 ml b) 9 ml c) 8 ml d) 10 ml

23 1.O melhor indicador de até onde o organismo pode chegar durante exercícios aeróbicos é o ritmo dos batimentos cardíacos. Para funcionar e não causar problemas, a atividade física deve ser praticada co o coração trabalhando entre a freqüência cardíaca mínima e máxima. Podem-se obter objetivos diferentes com o mesmo exercício, conforme a faixa da freqüência cardíaca em que se trabalha. Se o seu objetivo é emagrecer, a atividade física deve ser praticada com o coração trabalhando entre 65% e 75% de sua freqüência cardíaca. Para obter valores, faça a conta:.0,65 frequência 220-idade.0,75 frequência mínima máxima Se o seu objetivo é melhorar o sistema cardiovascular, a atividade física deve ser praticada com o coração trabalhando entre 70% e 85% de sua frequência cardíaca. Para obter esses valores, faça a conta: 220-idade.0,70.0,85 frequência frequência mínima máxima Se uma pessoa de 30 anos pretende emagrecer e melhorar o sistema cardiovascular, determine a frequência mínima e máxima.

24 Ponto de intersecção entre retas. As retas r: 2x y 9 0 e s: x y 7 0 são concorrentes sobre um mesmo plano. Isto significa que existe entre elas um ponto em comum, chamado ponto de interseção. O ponto de interseção entre as retas r e s é: a) (-2,-3) b) (2,3) c) (-3,-2) d) (-2,-5) e) (-2,5)