Teorema de Stokes ***

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires 1 uperfícies orientáveis Teorema de tokes eja M R 3 uma variedade-2 (superfície). Diz-se que M é orientável se eistir um campo vectorial contínuo ν : M R 3 tal que ν() é um vector unitário e normal a M no ponto. Também se diz que ν define uma orientação em M. Eemplo 1.1 eja M uma variedade-2 dada pelo conjunto de nível zero de uma função F : R de classe C 1, definida no aberto R 3. Então, o campo vectorial ν : M R 3 definido por ν(,,z) DF(,,z) DF(,,z) é contínuo, unitário e normal a M em cada ponto (,,z), ou seja, M é orientável. Notese que a derivada DF(,,z) tem característica igual a um em M, ou seja DF(,,z) (,,). Eemplo 1.2 eja M R 3 uma variedade-2 dada pelo gráfico de uma função f : D R de classe C 1, definida no aberto D R 2, ou seja M {(,,z) R 3 : z f(,) ; (,) D} Os vectores t 1 (1,, f ) ; t 2 (,1, f ) são tangentes a M e, portanto, o campo vectorial definido por ν(,,f(,)) t 1 t 2 t 1 t 2 ( f, f,1) 1+ Df(,) 2 é contínuo, unitário e normal a M em cada um dos seus pontos (,,f(,)). Assim, o gráfico de uma função de classe C 1 é uma superfície orientável. Eemplo 1.3 eja M R 3 uma variedade-2 dada por uma parametrização g : T R 3, em que T R 2 é um aberto. Então, o campo vectorial definido por ν(,,z) D 1g(t) D 2 g(t) D 1 g(t) D 2 g(t) em que g(t) (,,z), é contínuo, unitário e normal a M no ponto (,,z), ou seja, M é orientável. Note-se que os vectores D 1 g(t) e D 2 g(t) são linearmente independentes, ou seja o seu produto eterno não se anula. Neste caso, diz-se que a orientação definida por ν é induzida pela parametrização g. 1

2 Podemos concluir que uma variedade-2 é localmente orientável. De facto, localmente, uma variedade-2 pode ser descrita como conjunto de nível, como gráfico ou através de uma parametrização. Eemplo 1.4 O eemplo de uma superfície não orientável, a chamada banda ou fita de Möbius, resulta da identificação de duas arestas opostas de um rectângulo, percorridas em sentidos opostos. Mais precisamente, consideremos o segmento de recta [AB] no plano z definido por 2 ; z < 1 e a circunferência C de raio igual a dois e com centro na origem. A banda de Möbius é a superfície que se obtém deslocando o centro do segmento [AB] ao longo da circunferência C e, ao mesmo tempo, fazendo rodar o segmento em torno do seu centro e no plano vertical definido por [AB] e pela origem. e a deslocação ao longo da circunferência C for dada pelo ângulo θ, a rotação do segmento em torno do seu centro deve ser θ. Na figura 1 apresenta-se a banda de Möbius e destaca-se o segmento [AB] na 2 posição inicial (θ ) e na posição em que θ π. z A A C B B Figura 1: A banda de Möbius Assim, tendo percorrido a circunferência C, ou seja, para θ 2π, o segmento [AB] encontra-se na posição inicial mas com os etremos invertidos. Portanto, se ν designar a normal unitária no ponto (,2,) no instante inicial, então, no instante final e no mesmo ponto a normal será ν, ou seja, a banda de Möbius não é orientável. 2

3 2 Fronteira ou bordo de uma superfície eja D R 2 um aberto, limitado e cuja fronteira D é uma linha simples, fechada e seccionalmente declassec 1 representada parametricamente porγ : [a,b] R 2 epercorrida no sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio). eja g : D R 3 a parametrização de uma superfície. Chama-sefronteira ou bordodasuperfície àlinhaparametrizadaporg γ : [a,b] R 3, ou seja, g( D) g(γ([a,b])) uponhamos que a orientação de é a induzida pela parametrização g. Então, diz-se que a orientação ou sentido de percurso da linha parametrizada por g γ é compatível com a orientação de. Diz-se que um ponto p R 3 pertence ao interior de uma superfície M, se eistir uma vizinhança de coordenadas V e uma parametrização g : D R 3 tais que Eemplo 2.1 eja p g(d) M V {(,,z) R 3 : z ; < 1} a porção de plano parametrizada pela função g : D R 3 dada por em que D {(,) R 2 : < 1}. g(,) (,,) z ν Figura 2 3

4 Então a fronteira ou bordo de é o conjunto g( D) {(,,) : } A orientação de induzida por g é dada pela normal D 1 g(,) D 2 g(,) (,,1) eja γ : [,2π] R 2 a parametrização que descreve D no sentido positivo e dada por γ(t) (cost,sent) Então, a orientação de é compatível com a orientação de, induzida pela parametrização g. De facto, g(γ(t)) (cost,sent,) ou seja, é percorrido no sentido positivo e a normal a dirige-se no sentido positivo do eio z, tal como se mostra na figura 2. Eemplo 2.2 Consideremos a superfície definida por {(,,z) R 3 : < z } parametrizada pela função g : D R 3 definida por g(,) (,,1 2 2 ), em que D {(,) R 2 : < 1}. z 1 ν 1 Figura 3 4

5 A fronteira ou bordo de é a circunferência g( D) {(,,z) R 3 : z ; } A orientação de induzida pela parametrização g é dada pelo vector ν D 1g(,) D 2 g(,) D 1 g(,) D 2 g(,) (2,2,1) Assim, se D for percorrida no sentido positivo, então a fronteira será percorrida no sentido positivo, ou seja, segundo a orientação compatível com a normal ν, tal como se ilustra na figura 3. De facto, seja γ : [,2π] R 2 a parametrização de D definida por Então, γ(t) (cost,sent). g(γ(t)) (cost,sent,), ou seja, é percorrida no sentido ilustrado na figura 3. Eemplo 2.3 Consideremos a porção da superfície cilíndrica definida por {(,,z) R 3 : ; < z < 1} z N Γ 1 M ν Γ Figura 4 A descrição paramétrica de é dada, em coordenadas cilíndricas, por duas funções g :],2π[ ],1[ R 3 ; h :] π,π[ ],1[ R 3 5

6 definidas por g(θ,z) (cosθ,senθ,z) h(θ,z) (cosθ,senθ,z) A parametrização g descreve \N, em que e h descreve \M, sendo No entanto, temos N {(,,z) : ; 1 ; < z < 1} M {(,,z) : ; 1 ; < z < 1} N {(h(,z) : < z < 1} M {(g(π,z) : < z < 1}, ou seja, os conjuntos M e N estão no interior de. Portanto, a fronteira ou bordo de é a união das duas circunferências Γ {(,,z) : z ; } Γ 1 {(,,z) : z 1 ; } A orientação de, induzida por g, é traduzida pela normal ν tal que De facto, ν(,1, 1 2 ) (,1,). ν D 1g(θ,z) D 2 g(θ,z) D 1 g(θ,z) D 2 g(θ,z) (cosθ,senθ,). Percorrendo o domínio de g no sentido positivo, então para z, temos e, para z 1, g(θ,) (cosθ,senθ,) g(θ,1) (cos(2π θ),sen(2π θ),1) (cost, sent,1). Portanto, a circunferência Γ deve ser percorrida no sentido positivo e a circunferência Γ 1 deve ser percorrida no sentido negativo, tal como se mostra na figura 4. A orientação de uma superfície orientável pode ser estabelecida através da célebre regra da mão direita. Fechando a mão direita e com o polegar levantado, a normal ν é dada pelo polegar e o sentido de percurso no bordo é indicado pelos restantes dedos tal como se representa na figura 5. 6

7 ν Figura 5 3 Teorema de tokes eja F um campo vectorial de classe C 1 e definido num aberto de R 3. Ao campo vectorial definido por ( F3 rotf F 2 z, F 1 z F 3, F 2 F ) 1 chamamos rotacional do campo F. Na prática, usa-se a seguinte regra mnemónica para definir o rotacional de um campo F : e 1 e 2 e 3 ( rotf z F 1 F 2 F 3 F3 F 2 z, F 1 z F 3, F 2 F ) 1, em que se simula o cálculo do determinante da matriz que apresenta na primeira linha os vectores da base canónica de R 3, na segunda linha os símbolos das derivadas parciais em, e z e na terceira linha as componentes do campo F. O teorema de tokes estabelece que o fluo do rotacional de um campo vectorial F de classe C 1 através de uma superfície orientável é igual ao trabalho realizado por F ao longo da fronteira ou bordo de cuja orientação é compatível com a de. É usual designar este trabalho por circulação. A demonstração do teorema de tokes numa forma geral pode ser vista em [2, 3, 1]. Teorema 3.1 eja R 3 uma variedade-2 orientável e F um campo vectorial de classe C 1 em. Então, rotf ν F dγ ondeγ éum caminhoregular simplesque representa a linha cuja orientação écompatível com a de. 7

8 Por ser instrutivo apresentamos a ideia da demonstração do teorema de tokes para um caso simples em que é o gráfico de uma função de classe C 2. eja R 3 uma superfície descrita pela parametrização g : D R 3 definida por g(,) (,,f(,)) em que D R 2 é um domínio regular e f : D R é uma função de classe C 2, tal como se representa na figura 6. z ν z f(,) D D Figura 6: Teorema de tokes Neste caso, é o gráfico de uma função de classe C 2 e, portanto, é uma variedade-2 orientável. eja F (P,Q,R) um campo vectorial de classe C 1. Note-se que D 1 g D 2 g ( f, f,1). Então, temos rotf ν Fazendo, obtemos D ( f ( R Q ) f ( P z z R ) + Q P ) dd. A P +R f ; B Q+R f, rotf ν D ( B A ) dd. Por outro lado, o bordo de pode ser descrito pelo caminho regular γ(t) ((t),(t),f((t),(t))) 8

9 em que ((t),(t)) é o caminho que descreve a fronteira de D tal como se ilustra na figura 6. Assim, γ (t) ( (t),, f ((t),(t)) (t))+(, (t), f ((t),(t)) (t)) e o trabalho de F em será então dado pelo integral F dγ Ad+Bd. D endo D R 2 um domínio regular, aplicando o teorema de Green ao campo (A,B), obtemos ( B rotf ν D A ) dd Ad+Bd F dγ, D como pretendido. Eemplo 3.1 eja a superfície definida por {(,,z) R 3 : z 2, } e consideremos o campo vectorial dado por F(,,z) (z,ze, ). z 1 ν Figura 7 9

10 A superfície é o gráfico da função f : D R de classe C 1 definida por em que f(,z) z 2 D {(,z) R 2 : 2 +z 2 < 1}. Portanto é uma superfície orientável e a respectiva fronteira ou bordo é a linha {(,,z) : ; 2 +z 2 1} Podemos usar o teorema detokes paracalcular o fluo derotf através de no sentido da normal ν cuja componente segundo é negativa. Para que a orientação definida por esta normal seja compatível com a de, esta linha deve ser percorrida no sentido negativo tal como se mostra na figura 7, ou seja, deve ser parametrizada por γ : [,2π] R 3 dada por γ(t) (,cost, sent). Então, rotf ν F dγ 2π (, sent, cost) (, sent, cost)dt 2π. Eemplo 3.2 Consideremos o campo vectorial dado por e a semi-esfera definida por F(,,z) (,,e z ) {(,,z) R 3 : z 2 1 ; z > } Vamos usar o teorema de tokes para calcular o fluo do rotacional de F através de segundo a normal ν tal que ν(,,1) (,,1). A superfície é orientável por ser o conjunto de nível zero da função H(,,z) z 2 1. A fronteira ou bordo de é a linha {(,,z) : z ; } Para que a orientação de seja compatível com a de, induzida por ν, devemos considerar a seguinte parametrização de γ(t) (cost,sent,) ; t 2π que descreve no sentido positivo tal como se apresenta na figura 8. Assim, pelo teorema de tokes, temos 2π rotf ν F dγ (sent, cost,1) ( sent,cost,)dt 2π 1

11 z 1 ν 1 Figura 8 Eemplo 3.3 Consideremos o campo vectorial definido no eemplo anterior e a porção da superfície cilíndrica {(,,z) R 3 : ; < z < 1} A superfície é orientável por ser um conjunto de nível e a fronteira é a união de duas linhas Γ {(,,z) : z ; } Γ 1 {(,,z) : z 1 ; } eja ν a normal em tal que ν(,1,1/2) (,1,). Então, Γ deve ser percorrida no sentido positivo e Γ 1 deve ser percorrida no sentido negativo, tal como se mostra na figura 4. Portanto, as respectivas parametrizações devem ser dadas por γ (t) (cost,sent,) γ 1 (t) (cost, sent,1) em que t 2π. Pelo teorema de tokes, temos rotf ν F dγ + F dγ 1 Γ Γ 1 2π 2π 11

12 4 Potencial vectorial O teorema de tokes pode ser usado para calcular o fluo de um campo vectorial através de uma superfície. eja R 3 uma superfície orientável e F : D R 3 um campo vectorial de classe C 1 e definido num aberto D R 3 tal que D. Para usar o teorema de tokes no cálculo do fluo de F através de segundo a normal unitária ν, deverá eistir um campo vectorial A : D R 3 tal que F rota. O campo A designa-se por potencial vectorial de F. e tal campo vectorial eistir, teremos F ν rota ν A dγ em que γ é um caminho que descreve o bordo e compatível com a orientação de. É fácil concluir que, dado um campo vectorial A, se tem div(rota). Portanto, dado um campo vectorial F, a condição divf é necessária para que eista o respectivo potencial vectorial A. Assim, para usar o teorema de tokes no cálculo do fluo de um campo vectorial F através de uma superfície, deveremos ter divf. Eemplo 4.1 eja F : R 3 \{(,,} R 3 o campo vectorial definido por e a superfície F(,,z) (,,z) ( z 2 ) 3/2 {(,,z) R 3 : z 2 1; z < h < 1}, em que h > tal como se representa na figura 9. Note-se que divf e que é a superfície esférica da qual se retirou a calote esférica correspondente a z > h. eja A o potencial vectorial de F definido em R 3 \ {(,,}. Pelo teorema de tokes, temos F ν rota ν A dγ em que γ é um caminho que descreve o bordo, compatível com a orientação de. É claro que (,,z) F ν ( z 2 ) (,,z) vol 2(), 3/2 12

13 z ν Figura 9 em que vol 2 () é a área de. Por outro lado, A dγ M l( ) em que l( ) é o comprimento de e M ma porque é um conjunto compacto. Fazendo h 1 obtemos o absurdo A. Note-se que este máimo eiste 4π lim F ν lim A dγ h 1 h 1 e, portanto, concluimos que, apesar de termos div F, não eiste potencial vectorial para o campo F. Note-se que R 3 \{(,,} não é um conjunto em estrela. eja D R 3 um aberto, em estrela relativamente à origem, e seja F : D R 3 um campo vectorial de classe C 1 tal que divf. Consideremos o campo vectorial A : D R 3 definido por A(,,z) F(t,t,tz) (t,t,tz)dt, ouseja, obtido porintegração do produtoeterno F(,,z) (,,z)ao longodo segmento de recta entre a origem e o ponto (,,z) D. endo A (A 1,A 2,A 3 ), então A 1 (,,z) A 2 (,,z) A 3 (,,z) t[zf 2 (t,t,tz) F 3 (t,t,tz)]dt t[f 3 (t,t,tz) zf 1 (t,t,tz)]dt t[f 1 (t,t,tz) F 2 (t,t,tz)]dt. 13

14 Usando a Regra de Leibniz e sabendo que divf, obtemos A 3 A ( 2 2tF 1 +t 2 F 1 z +t2 F 1 +zt2 F 1 z Do mesmo modo, F 1 (,,z). d dt t2 F 1 (t,t,tz)dt ) dt A 1 z A 3 A 2 A 1 F 2 (,,z) F 3 (,,z), ou seja, F rota e, portanto, o campo A é o potencial vectorial de F em D. Teorema 4.1 eja D R 3 um aberto em estrela e F : D R 3 um campo vectorial de classe C 1 tal que divf. Então, eiste potencial vectorial de F, ou seja, eiste um campo A : D R 3 tal que F rota. Note-se que, dado um campo escalar φ : D R, de classe C 2, é claro que rot( φ), ou seja, um campo gradiente é fechado. Portanto, se A for um potencial vectorial de F, então o campo A+ φ será também um potencial vectorial de F. Diz-se que um campo vectorial é irrotacional se o respectivo rotacional for nulo. Eemplo 4.2 Considere a superfície e o campo vectorial F : R 3 R 3 dado por {(,,z) R 3 : 2 +z 2 2,1 < < 2}, F(,,z) (2,, z). 14

15 Facilmente se verifica que divf. Estando F definido em R 3, que é um conjunto em estrela, eiste potencial vectorial de F e podemos usar o teorema de tokes para calcular o fluo de F através de segundo a direcção da normal ν. uponhamos que a normal ν tem primeira componente negativa. Um potencial vectorial de F será dado por A(,,z) F(t,t,tz) (t,t,tz)dt t(2t, t, tz) (,,z)dt (, 3tz, 3t)dt (, z,) Outra forma para determinar um potencial vectorial A será a de resolver o sistema e 1 e 2 e 3 rota F z A 1 A 2 A 3 (2,, z) A 3 A 2 2 z A 1 A 3 z A 2 A 1 z Fazendo, por eemplo, A 1 obtemos, A 3 A 2 A 3 2 z z A 2 ubstituindo na primeira equação, obtemos A 3 A 2 z 2 A 3 (,,z) +C 3 (,z) A 2 (,,z) z+c 2 (,z) + C 3 (,z)+ C 2 (,z) 2 z pelo que podemos fazer C 2 (,z) C 3 (,z). Conclui-se que um potencial vectorial para F é dado por A(,,z) (, z,). Pelo teorema de tokes, F nd O bordo de é constituído por duas linhas: rota nd A dγ. Γ 1 {(,,z) R 3 : 2 +z 2 1, 1} 15

16 e Γ 2 {(,,z) R 3 : 2 +z 2 4, 2}. Para que as respectivas orientações sejam compatíveis com a normal ν, então Γ 1 deve ser percorrida no sentido positivo e Γ 2 no sentido negativo tal como se ilustra na figura 1. z Γ 1 ν Γ 2 Figura 1 Γ 1 pode ser descrita pelo caminho γ 1 (t) (1,cost,sent), < t < 2π e Γ 2 por Assim, F nd γ 2 (t) (2,2cost, 2sent), < t < 2π. A dγ 1 + A dγ 2 Γ 1 Γ 2 2π + 2π 2π (, sent,cost) (, sent,cost)dt+ (,4sent,4cost) (, 2sent, 2cost)dt dt 2π 8 dt 14π. Eemplo 4.3 eja F : R 3 R 3 o campo definido por F(,,z) (,,) 16

17 e a superfície {(,,z R 3 : 1 2 z 2 ; z > ; > }. Dado que divf e R 3 é um conjunto em estrela, o campo F admite potencial vectorial A e podemos usar o teorema de tokes para calcular o fluo de F através de. O potencial vectorial A pode ser determinado resolvendo a equação rota F ou calculando o integral seguinte A(,,z) ( 1 F(t,t,tz) (t,t,tz)dt (,t,) (t,t,tz)dt ( t 2 z,, t 2 2) dt ) 3 z,, Consideremos a normal ν sobre com primeira componente positiva. Pelo teorema de tokes, o fluo de F através de segundo a normal ν será dado por F ν rota ν A dγ, em que γ é um caminho que descreve o bordo e compatível com a orientação de. O bordo de é constituído por duas linhas e Γ 1 {(,,z R 3 : 1 2 ; z ; > } Γ 2 {(,,z R 3 : 2 +z 2 1; z > ; }, cujas orientações, compatíveis com a normal ν, se ilustram na figura 11. Assim, a linha Γ 1 pode ser descrita pelo caminho γ 1 : [ 1,1] R 3, definido por γ 1 () (1 2,,), e a linha Γ 2 pelo caminho γ 2 : [,π] R 3, dado por γ 2 (θ) (,cosθ,senθ). Portanto, teremos F ν A dγ A dγ 1 + A dγ 2 Γ 1 Γ 2 ) (,, (1 2 ) 2 ( 2,1,)d π (,,) (, senθ,cosθ)dθ

18 z ν Γ 2 Γ 1 Figura 11 Eemplo 4.4 eja F : R 3 R 3 o campo definido por e a superfície F(,,z) (2z,,z z 2 ) {(,,z) R 3 : z ; z < 1}, cuja normal ν tem terceira componente negativa. Dado que divf e sendo R 3 um conjunto em estrela, F admite um potencial vectorial A que pode ser determinado resolvendo a equação rota F, ou seja, Fazendo A 3, obtemos A 3 A 2 z A 1 z A 3 A 2 A 1 2z z z 2. Das primeiras duas equações vem A 2 z A 1 z A 2 A 1 2z z z 2. A 1 (,,z) z A 2 (,,z) z 2 +K(,) 18

19 em que K é uma função que não depende de z. Da terceira equação obtemos K e, portanto, podemos considerar para potencial vectorial de F o campo Usando o teorema de tokes, temos F ν A(,,z) ( z, z 2,). rota ν A dγ em que γ é um caminho que descreve o bordo de forma compatível com a normal ν. O bordo de é a circunferência {(,,z) R 3 : ; z 1} e pode ser descrita pelo caminho γ : [,2π] R 3 definido por γ(t) (cost, sent,1) que é compatível com a normal ν, tal como se ilustra na figura 12. z ν Figura 12 Portanto, F ν A dγ 2π 2π 2π. (costsent, cost,) ( sent, cost,)dt [ sen 2 tcost+cos 2 t ] dt 19

20 Referências [1] F. R. Dias Agudo. Cálculo Integral em R n. Escolar Editora, [2] Luís T. Magalhães. Integrais em Variedades e Aplicações. Teto Editora, [3] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Compan,