Geometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas

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1 TEMA Tend Mat Apl Comput, 7, No 006), c Uma Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Geometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas O ALÉSSIO1, Departamento de Pós-Graduação, Mestrado em Matemática e Estatística, UNINCOR- Universidade Vale do Rio Verde de Três Corações, Av Castelo Branco, 8, CEP: , Três Corações, MG, Brasil Resumo Apresenta-se uma técnica para encontrar as propriedades geométricas da curva de interseção de duas superfícies implícitas, usando o teorema da função implícita 1 Introdução A principal motivação deste artigo é o problema de interseção de duas superfícies Do ponto de vista histórico o problema de interseção de superfícies SSI) vem de muitos séculos atrás As clássicas curvas conhecidas como cônicas elipse, hipérbole, parábola) são obtidas através da interseção entre duas superfícies: um plano e um cone Muitos problemas podem ser reduzidos em interseção de superfícies, como por exemplo determinar: a equação paramétrica de curvas dadas implicitamente por duas superfícies, o conjunto de nível de uma função vetorial, máximos e mínimos via Multiplicadores de Lagrange com duas restrições, limites de integração de integrais triplas, soluções de sistemas não-lineares, formas complexas via modelagem geométrica Para a interseção de superfícies em geral, não se consegue obter a equação paramétrica da curva de interseção, o que se faz é obter pontos ao longo da curva de interseção e para isso o método mais utilizado é o de caminhada [1] O método de caminhada consiste em partir de um ponto inicial na curva de interseção e determinar iterativamente o próximo ponto até traçar a curva completamente Propriedades geométricas locais da curva de interseção são aplicadas para adaptativamente determinar os passos da caminhada [1, ] O problema de interseção de superfícies pode ser dos tipos: paramétrica-paramétrica, implícita-implícita e paramétrica-implícita Para calcular a curva de interseção com precisão e eficiência, aproximações de ordem superior são necessárias, isto é, precisa-se obter as propriedades geométricas locais da curva de interseção Enquanto geometria diferencial de curvas paramétricas pode ser encontrada em livros clássicos Struik, 1950; Willmore, 1959; do Carmo, 1976), há pouca literatura de geometria diferencial de curvas de interseção Willmore em seu livro [], descreve como obter o vetor tangente, vetor normal e o vetor binormal da curva de interseção de duas superfícies implícitas usando o operador denotado por Recentemente, 1 osmaralessio@yahoocombr

2 170 Aléssio Ye e Maekawa [4], forneceram as propriedades geométricas da curva de interseção para os três tipos, usando o vetor α como combinação linear dos vetores normais e α como combinação do vetor tangente e os vetores normais Diferentemente dos trabalhos anteriores, pretende-se fornecer as propriedades geométricas da curva de interseção de duas superfícies implícitas, usando o teorema da função implícita Neste trabalho, o cálculo das propriedades geométricas resume-se a resolver sistemas lineares de equações e variáveis, independente da ordem da derivada, isto é, se quiséssemos calcular a derivada de ordem 5, teríamos que resolver um sistema linear de equações e variáveis, enquanto que o método de Willmore elevaria a complexidade a cada aplicação do operador e o método de Ye e Maekawa teria complexos coeficientes das combinações lineares dos vetores envolvidos Geometria Diferencial de Curvas Curvas Parametrizadas pelo comprimento de arco Seja x = xs), y = ys), z = zs), ou em forma de vetor αs) = xs),ys),zs)), a curva parametrizada pelo comprimento de arco s Então temos α s) = t e α s) = k = kn, onde t é o vetor tangente unitário e k o vetor curvatura Temos que a curvatura é dada por k = k k = α α A terceira derivada α s) é obtida por diferenciar α s) em relação a s, isto é, α s) = k n+kn, onde pode-se trocar n pela segunda equação do Triedro de Frenet, produzindo α s) = k t+k n+kτb Como os vetores t, n e b formam a base ortonormal com a orientação da mão-direita, a torção pode ser obtida por τ = b α s) k Superfícies Implícitas e Curvas Implícitas Definição 1 Superfície Implícita) Seja f : D R R uma aplicação diferenciável no aberto D Dado k R, lembramos que o conjunto de nível k de f é o conjunto definido por f 1 k) = {x,y,z) D;f x,y,z) = k), isto é, f 1 k) é o conjunto solução em D da equação fx, y, z) = k Formalmente: S = f 1 0) = {x,y,z) R fx,y,z) = 0} Teorema 1 Teor da Função Implícita) Sejam A R R um aberto, f : A R de classe C k,k 1, f x 0,y 0,z 0 ) = 0 e f z x 0,y 0,z 0 ) 0 Então existem abertos U R, V R com x 0,y 0,z 0 ) U V A R R, tais que, para todo x,y) U, existe um único z = zx,y) V tal que fx,y,zx,y)) = 0 e z = zx,y) C k Teorema Sejam f,g : A R R funções de classe C k,k 1, no aberto A, p 0 = x 0,y 0,z 0 ) A, e fp 0 ) = c 1 e gp 0 ) = c Se f,g) y,z) p 0) 0 então existem abertos U e V tais que x 0,y 0,z 0 ) U V A R { R e tais que, para todo f1 x,yx),zx)) = c x U, existe um único y,z) = yx),zx)) V tal que 1 f x,yx),zx)) = c

3 Geometria Diferencial de Curvas de Interseção Representação Implícita das Curvas A representação implícita de uma curva espacial pode ser expressa como uma curva de interseção entre superfícies implícitas f = 0 g = 0 De fato, é conhecido pelo teorema da função implícita que as equações f = 0 e g = 0, podem ser resolvidas para duas das variáveis em função da terceira Por exemplo, se f,g) y,z) P 0) 0, para alguma vizinhança de x 0 podemos resolver f = 0 g = 0 para y e z como função de x, obtendo uma representação da seguinte forma x = x, y = yx), z = zx) com x sendo o parâmetro Isto define localmente uma curva paramétrica αx) = x,yx),zx)), que é solução de f = 0 g = 0 Sejam fx,y,z) = 0 e gx,y,z) = 0 superfícies implícitas Vamos assumir que estas superfícies são todas regulares Em outras palavras f 0, g 0 O vetor normal unitário da superfície implícita f é dado por N f = f f 4 Trabalhos Existentes Com base nas propriedades geométricas das duas superfícies regulares, fx, y, z) e gx, y, z) que se intersectam, foram propostas técnicas para estimar ou determinar exatamente as propriedades locais da curva de interseção As propriedades geométricas serão calculadas somente nos pontos cuja a interseção das superfícies seja transversal, isto é, os vetores normais de ambas as superfícies não são paralelos Para o caso tangencial veja Ye e Maekawa [4] Para ilustrar melhor os resultados que virão a seguir, veja a Figura 1 k g nn g t α s) N g N f k f nn f fx,y,z) αs) gx,y,z) 41 Vetor Tangente Figura 1: Interseção Transversal Barnhill e Kersey [1], quando se trata de uma interseção transversal, a forma mais usual para obter o vetor tangente em cada ponto P é dada pelo produto vetorial dos vetores normais de ambas superfícies: t = Nf u,v) N g p,q) N f u,v) N g p,q) 41)

4 17 Aléssio 4 Vetor Curvatura e Curvatura Ye e Maekawa [4] obtiveram expressões para a curvatura tanto nos pontos regulares quanto nos pontos singulares Para interseções transversais, o vetor curvatura da curva interseção no ponto P é perpendicular ao vetor tangente, logo ele está no plano formado pelos vetores normais das duas superfícies Assim, ele pode ser expresso como uma combinação linear dos dois vetores: α s) = αn f + βn g, 4) onde α e β são as incógnitas A curvatura normal em P na direção t é a projeção do vetor α s) sobre o vetor normal unitário N da superfície em P dado por Com isso, temos k n = α s) N = κn N 4) k f n = α + β cosθ) k g n = α cosθ) + β, 44) onde θ é o ângulo entre os vetores normais N f e N g Solucionando os coeficientes α e β pelo sistema Eq44), e substituindo-os na Eq4), temos α = kf n k g n cos θ sin θ N f + kg n kn f cos θ sin N g, 45) θ onde cos θ = N f N g A curvatura normal k n para a superfície implícita é obtida por usar d f projeção do vetor d f ds sobre o vetor normal N = f f ds A da superfície, é dado por: kn f = f xxx ) + f yy y ) + f zz z ) + f xy x y + f yz y z + f xz x z ), 46) f x ) + f y ) + f z ) onde x,y e z são as coordenadas do vetor tangente t = α s) dado pela Eq41) A expressão da curvatura é dada exatamente por κ = 1 kn) f sinθ + kn) g knk f n g cos θ ou κ = α s) Willmore [] descreve como obter a curvatura da curva de interseção para duas superfícies implícitas, considerando a curva de interseção representada pela equação α = αs), e sejam duas superfícies implícitas dadas por fαs)) = 0 e gαs)) = 0 Como vetor tangente unitário da curva de interseção é ortogonal aos vetores normais de ambas as superfícies Assim, se f = f x, f y, f z ), segue que t = α s) é paralelo a f g = h 47)

5 Geometria Diferencial de Curvas de Interseção 17 Diz-se que λα = f g Então λx = h 1, λy = h, λz = h e λ d ) ds = h 1 x + h y + h 48) z É conveniente denotar o operador 48) por Portanto Da definição de λ e h segue que e assim Operando em 410) com tem-se Aplicando o produto vetorial de 49) e 41) temos: logo a curvatura da curva é α = h 49) λt = h, 410) λ = h 411) λ kn + λλ t = h 41) λ kb = h h = k, 41) k = k λ 414) O vetor curvatura α s) é dado por 4 Torção α s) = k t =kb t 415) λ Ye e Maekawa [4] obtiveram também expressões da torção para interseções transversais Como N f e N g estão no plano normal plano gerado por n e b), os termos k n+kτb de α s) = k t+k n+kτb pode ser trocado pela combinação linear γn f + δn g Assim temos α s) = κ t + γn f + δn g 416) Agora, se projetarmos α s) sobre os vetores normais unitários N f e N g em P e denotarmos por λ f n e λ g n, respectivamente, temos λ f n = γ + δ cos θ) λ g n = γ cosθ) + δ 417) Resolvendo o sistema linear 417) para os escalares γ, δ e substituindo em 416) tem-se α = κ t + λf n λ g n cos θ sin θ N f + λg n λ f n cos θ sin N g 418) θ

6 174 Aléssio Os parâmetros λ f n e λ g n para ambas as superfícies implícitas são obtidos usando d f ds A projeção do d f ds sobre o vetor normal N = f f da superfície, é dado por: λ n = f xx + f y y + f z z F 1 + F + F =, 419) f x ) + f y ) + f z ) f x ) + f y ) + f z ) onde F 1 = f xxx x ) + f yyy y ) + f zzz z ), F = [f xxy x ) y + f xxz x ) z + f xyy x y ) + f yyz y ) z + f xzz x z ) + f yzz y z ) + f xyz x y z ], F = [f xx x x + f yy y y + f zz z z + f xy x y + x y ) + f yz y z + y z )+ f xz x z + x z )], onde x,y e z são dados pela Eq41) e x,y e z são dados pela Eq45) Finalmente, a torção pode ser obtida de α s) = k t+k n+kτb por τ = b α, k onde κ é a curvatura e o vetor binormal pela expressão b = t n 40) Willmore [] descreve como obter a torção da curva de interseção para duas superfícies implícitas Aplicando o operador na Eq41) temos λ λ k ) b λ 4 kτn = k 41) Fazendo o produto escalar de 41) e de 41) temos λ 6 k τ = h k, 4) logo a torção é τ = h k λ 6 k 4) 5 Método usando o Teorema da Função Implícita 51 Vetor Tangente Sem perda de generalidade, podemos assumir que a matriz jacobiana f,g) y,z) P 0) 0, então temos localmente uma curva paramétrica α x) = x,y x),z x)) Portanto temos que o ponto da curva P 0 = αx 0 ) satisfaz as duas relações da forma { f x0,y x 0 ),z x 0 )) = 0 g x 0,y x 0 ),z x 0 )) = 0 51)

7 Geometria Diferencial de Curvas de Interseção 175 Derivando as equações em relação a x, temos { f x + f yẏ + f z ż = 0 g x + yẏ g + g zż = 0 { f yẏ + f z ż = f x g yẏ + g zż = g x, 5) onde ẏ = dy dx e ż = dz dx O vetor tangente da curva α x) no ponto α x 0) = P 0 é dado por α x 0 ) = 1,ẏ x 0 ),ż x 0 )) Para obter este vetor tangente, devemos resolver o sistema 5) 5 Vetor Curvatura e Curvatura Derivando as equações dadas no sistema 5) em relação a x, temos { f yÿ + f z z = f x x y yẏẏ f z zżż f f x yẏ f x zż y zẏż f g yÿ + g z z = g x x y yẏẏ g z zżż g g x yẏ g x zż 5) y zẏż g onde ÿ = d y dx e z = d z dx O vetor derivada segunda da curva α x) no ponto α x 0 ) = P 0 é dado por α x 0 ) = 0,ÿ x 0 ), z x 0 )) A curvatura da curva no ponto α x 0 ) = P 0 é κx 0 ) = αx0) αx0) O vetor curvatura é α x αx 0) 0 ) = knx 0 ), onde nx 0 ) = bx 0 ) tx 0 ) e bx 0 ) = αx0) αx0) αx 0) αx 0) 5 Torção Derivando as equações dadas no sistema 5) em relação a x, temos f y y + f z z = f x x x f y y y ẏ) f z z z ż) f x x yẏ f x x zż f x y y ẏ) f y y z ẏ) ż f x z z ż) f y z zẏż) 6 x y zẏż f y yẏÿ f z zż z f f x yÿ f y z ÿż + ẏ z) g y y + g z z = f x z z g x x x g y y y ẏ) g z z z ż) g x x yẏ g x x zż g x y y ẏ) g y y z ẏ) ż g x z z ż) g y z zẏż) 6 x y zẏż g y yẏÿ g z zż z g g x yÿ g y z ÿż + ẏ z) g x z z 54) z = d z dx O vetor α x) no ponto α x 0 ) = P 0 é dado por onde y = d y dx e α x 0 ) = 0, y x 0 ), z x 0 )) A torção da curva no ponto αx 0 ) = P 0 é τx 0 ) = αx 0) αx 0 )) αx 0 ) αx 0 ) αx 0 ) 6 Exemplo Será calculado o vetor tangente, vetor curvatura, curvatura e a torção no ponto P 1, 1, ) da curva de interseção da esfera de raio 1 com o cilindro deslocado em

8 176 Aléssio 1 no eixo x e raio 1, cujas equações implícitas são dadas respectivamente por: { f x,y,z) = x + y + z 1 = 0 g x,y,z) = x + y 61) x = Figura : Esfera X Cilindro e a Curva de Interseção 61 Método Ye e Maekawa Por Barnhill e Kersey [1] o vetor tangente é dado por t = Nf u,v) N g p,q) N f u,v) N g p,q) No ponto P 1, 1, ) temos Nf = 1, 1, ) e Ng = 0,1,0) Portanto o vetor tangente é ts 0 ) = 6,0, ) O vetor curvatura é dado pela Eq45) α s)= kf n kg n cos θ sin θ N f + kg n kf n cos θ N g, e a expressão da curvatura é dada exata- sin θ kn) f + kn) g knk f n g cos θ mente por κ = 1 sin θ Agora precisamos calcular as duas curvaturas normais k f n e k g n e os ângulos cos θ e sin θ em P Para calcular k f n e k g n usamos a Eq46) No ponto P 1, 1, temos: kn f = 1, kn g = 4,cos θ = 1 e sin θ = Portanto o vetor curvatura é ) α s 0 ) = 9, 4, 9 e a curvatura é κ = 1 81, 4 6 9, O vetor α é dado pela Eq418) α = κ t + λf n λg n cos θ N f + λg sin n λf n cos θ N g θ sin θ e a expressão da torção é dada por τ = b α Os parâmetros λ f n e λ g n são dados k pela Eq419) No ponto P 1, 1, ) temos: λf n = 0, λ g n = Portanto α s 0 ) = 40 6 ) Para calcular a torção precisamos encontrar o vetor binormal b, mas antes devemos encontrar o vetor n, isto é, n = k ) k = 1 1, 1, e b = t n = 1 1, 1 1, 6 1 torção é τ = b α k = Método Willmore ) ) Então a Agora o vetor tangente unitário é calculado usando as Eqs47),410) e 411)

9 Geometria Diferencial de Curvas de Interseção 177 A Eq47) é dada por h = f g = 4yz,4xz z,y), pois f = x,y,z) e g = x 1,y,0) No ponto P 1, 1, ), temos f = 1,1, ) e g = 0,1,0) Portanto hp 0 ) =,0,1 ) Da Eq410) temos λt =,0,1), consequentemente λx =,λy = 0,λz = 1 Da Eq411) tem-se λ = h = = λ = ± Obtendo o vetor tangente t = ± 6,0, ) Escolhendo t = 6,0, ) λ = Usando o operador em h temos: h = h 1 x +h y +h z ) 4yz),h 1 x +h y +h z )4xz z),h 1 x +h y + h z )y)) = 4zh 4yh,4zh 1 +4x )h,h ), como λx = h 1,λy = h,λz = h, tem-se h = λ 4y z 4yz,4x z + 4xz z,y ) Usando as coordenadas do ponto P 1, 1, ) e do vetor tangente, hp 0) =, 4,0) Aplicando o produto vetorial de hp 0 ) e hp 0 ) temos: k = hp 0 ) hp 0 ) = 4,,4 ), então a 1 O vetor curvatura α s) é dado curvatura da curva é k = k pela Eq415) α s) = λ = 1 = 9, 4, 9 ) Fazendo o produto vetorial de h por h temos k = h h = -4yz,4xz-z,y) λ 4y z 4yz,4x z + 4xz z,y ) Usando o operador em k temos: k = h h = 4yz,4xz z,y) 4λ y z y z yz,x z + x z + xz 1 z, 1 y ) Substituindo as coordenadas do ponto P 1, 1, ), do vetor tangente, e do 8 vetor curvatura, temos k = ), 4, 56 Pela Eq4), a torção é o produto escalar de h por k dividido por λ 6 k, logo temos τ = h k λ 6 k = Método Função Implícita f y g y Escolhendo x como parâmetro, pois det { yẏ + zż = x sistema 5) torna-se yẏ = x + 1 { { ẏ + ż = 1 ż = temos ẏ = ẏ = 0 f z g z ) 0 no ponto P 1, 1, ), o Substituindo x = 1,y = 1 e z =, O vetor α é α 1 ) = 1,0, ) O vetor tangente unitário na direção contrária de α é t 1 ) = 6,0, ) { yÿ + z z = ẏẏ żż O sistema 5) torna-se Substituindo x = yÿ = ẏẏ { 1,y = 1, z =,ẋ = 1,ẏ = 0, ż = z =, tem-se ) ÿ = derivada segunda é α 1 ) = 0,, A curvatura é κu) = αu) αu) αu) = 1 Logo o vetor

10 178 Aléssio O vetor curvatura é α x 0 ) = knx 0 ), onde nx 0 ) = bx 0 ) tx 0 ) e bx 0 ) = αx 0) αx 0) αx 0) αx 0) Temos bx 0 ) = 1 1, 1 1, ), nx 0) = 9 9, 9 1, 78 9 ) e 1 9 9, 9 α x 0 ) = 1, 78 9 ) ) O vetor curvatura é α x 0 ) = 9, 4, 9 { y y + z z = 4ẏÿ ẏÿ 4ż z ż z O sistema??) torna-se y y = 4ẏÿ ẏÿ Substituindo x = 1,y = 1, z =,ẋ = 1,ẏ = 0, ż =,ẍ = 0,ÿ =, z = {, temos y + { z = 1 z = y Logo o vetor terceira derivada é = 0 y = 0 α 1 ) = 0,0, ) A torção é τu) = αu) αu)) α = 6 αu) αu) 1 Abstract We present a method for computing the differential geometry properties of the intersection curve of two implicit surfaces, using the Implicit Function Theorem Referências [1] RE Barnhill, SN Kersey, A marching method for parametric surface/surface intersection, Computer Aided Geometric Design, 7, No 1-4, 1990), [] TJ Willmore, An Introduction to Differential Geometry Clarendon Press, Oxford, 1959 [] ST Wu, O Alessio, SIR Costa, On estimating local geometric properties of intersection curves In Proceedings of SIBGRAPI 000, pp , 000 [4] X Ye, T Maekawa, Differential geometry of intersection curves of two surfaces, Computer Aided Geometric Design, ),